De thi HS nang khieu lop 678

Môn Toán - Lớp 8 Lưu ý: Học sinh làm bài theo cách khác tổ chấm thống nhất cho điểm tương ứng với hướng dẫn chấm./... x a Giải phương trình.[r]

UBND HUYỆN THANH SƠN

PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU

NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn: Toán 8

(Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao

đề )

( Đề thi có 01 trang ) Câu 1 (4,0 điểm)

a) Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức An4  n3  6n2 7n 21 là số nguyên tố

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì B4n 15n 10 9 

Câu 2 (4,0 điểm).

a) Tìm các số nguyên dương x, y, z khác nhau sao cho

   

1 1 1

1

x y z

b) Tính giá trị của biểu thức         

C

ab a 2014 bc b 1 ac 2014c 2014 Biết abc = 2014

Câu 3 (4,0 điểm).

a) Giải phương trình x2 3x2 2x  3 2x  5 30

b) Tìm tất cả các cặp số (x, y) thỏa mãn điều kiện x3 y3 x4 y4 1

Câu 4 (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H Gọi M, N theo thứ tự là

trung điểm của BC, AC Gọi O là giao điểm các đường trung trực của BC và AC

a) Chứng minh rằng OMN đồng dạng với HAB;

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng HAG đồng dạng với OMG;

c) Chứng minh rằng ba điểm H, O, G thẳng hàng và GH = 2GO

Câu 5 (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3

Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2

1+ a 1+ b 1+ c 3 1+ b 1+ c 1+ a  .

–––––––––––– Hết ––––––––––––

Họ và tên thí sinh SBD

Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2013 - 2014

Môn Toán - Lớp 8

Lưu ý: Học sinh làm bài theo cách khác tổ chấm thống nhất cho điểm tương

ứng với hướng dẫn chấm./.

Câu 1 ( 4,0 điểm)

a) Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức An4  n3  6n2 7n 21 là số nguyên tố

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì B4n 15n 10 9 

a) Phân tích An 3 n  3 2n2 7 0,50 Nhận xét: n32n2 7  n 3 n3 n2 (n2 n 10) 0

với mọi số tự

Để A là số nguyên tố thì n - 3 = 1, hay n = 4 0,50 Thử lại: n = 4 thì P = 103 là số nguyên tố

b) Với n = 0 thì B9 9  n0 thỏa mãn 0,50 Giả sử bài toán đúng với n = k (kN) Tức là: Bk 4k 15k 10 9  0,50

Ta chứng minh bài toán đúng với n = k +1 Thật vậy:



B 4 15(k 1) 10 4 4 15k 10 45k 45 4.B 45k 45 9 0,50 Vậy: B4n 15n 10 9  với mọi số tự nhiên n 0,50

Câu 2 (4,0 điểm).

a) Tìm các số nguyên dương x, y, z khác nhau sao cho

   

1 1 1

1

x y z

b) Tính giá trị của biểu thức: C  a   b   2014c 

Bi t abc =2014.ế

Do vai trò của x, y, z bình đẳng nên không mất tính tổng quát, giả sử

    1 1 1   1 1 1  3    

0,50

+ Với

1 1

1 0 (Vô lí)

x

y z

+ Với

1 1 1 1 1 1 2

2 2

               0,50 Vậy: (x, y, z) = (2, 3, 6) và các hoán vị 0,50

b)         

2 2

C

1,00

 

bc

1 bc

1,00

Câu 3 (4,0 điểm).

a) Giải phương trình x2 3x2 2x  3 2x  5 30

b) Tìm tất cả các cặp số (x, y) thỏa mãn điều kiện x3y3 x4 y4 1

a)x2 3x2 2x  3 2x  5 30 x 1 x   2 2x  3 2x  5 30 0,25

Đặt

              

+ Với







 



x 0

2

0,50

+ Với

2

( PT vô nghiệm)

0,50

Tóm lại: Phương trình có tập nghiệm

7 0;

2

S   

b) Vì

      

  

4 4

x y 1

1 y 1





   





x 0 Tóm lại: 0 x 1;0 y 1   

1,00

Lại có: x3y3 x4y4  x x 13  y y 13   0 Mà x x 13  0; y y 13  0

nên

 





 



 



3

3

x 0

x x 1 0 y 1

x x 1 y y 1 0

x 1

y y 1 0

y 0

1,00

Câu 4 (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H Gọi M, N theo thứ tự

là trung điểm của BC, AC Gọi O là giao điểm các đường trung trực của BC và

AC a) Chứng minh rằng OMN đồng dạng với HAB;

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng HAG đồng dạng với OMG;

c) Chứng minh rằng ba điểm H, O, G thẳng hàng và GH = 2GO

* Vẽ hình:

G O N

M H A

0,50

a) Ta có:

 

0 0

HBA BAC 90

ONM MNC 90 HBA ONM

BAC MNC (doMN AB// )







Chứng minh tương tự: BAH NMO  Suy ra:  ABH   MNO (g-g)

1,50

b) Vì

AH AB AG

, mà HAG GMO  ( so le trong, OM//AD) Suy ra:  HAG   OMG(c-g-c)

1,50 c) Vì HAG   OMG  AGH MGO   MGO bù MGH=>H, G, O thẳng hàng 1,25 Lại có:

GH GA

2 GH 2GO

GO GM   

1,25

Câu 5 (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3

Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2

1+ a 1+ b 1+ c 3 1+ b 1+ c 1+ a 

Vì 1 + b2  2b > 0 nên

1

a



0,75

Tương tự

2

1 1

1

b c b

b c





  

2

1 1

1

c a c

c a





  



0,25

Do đó VT  3 1  1  3 3 1 

2 a b c 2 ab bc ca 2 2 ab bc ca

          

(1)

0,25 Mặt khác 3ab bc ca   3a2 b2 c2a b c  2  9

2 ab bc ca 2

   

(2) Suy ra: đpcm

0,75