Tài liệu Động lực học cơ hệ pdf

Các lực tác dụng lên cơ hệ- Lực tác dụng lên các chất điểm của cơ hệ thay đổi theo thời gian, không những phụ thuộc vμo vị trí vμ vận tốc của chất điểm chịu lực mμ còn phụ thuộc vμo vị

Chương 3: Động lực học cơ hệ

1.CáC KHáI NIệM

1.1 Di chuyển khả dĩ vμ số bậc tự do của cơ hệ

- Chuyển động của cơ hệ thường bị rằng buộc bởi những điều

kiện hình học vμ động học nhất định tập hợp các điều kiện

đó gọi lμ liên kết.

™Tập hợp những di chuyển vô cùng

bé bảo toμn liên kết của hệ gọi lμ

di chuyển khả dĩ của hệ

™ Ví dụ: Số di chuyển khả dĩ của

điểm M.

2

2 2

1

k

™Di chuyển khả dĩ độc lập

™Số bậc tự do của cơ hệ bằng số di chuyển khả dĩ độc lập.

1.2 Toạ độ suy rộng của cơ hệ

- Tập hợp các thông số đủ để xác định vị trí của cơ hệ trong

một hệ quy chiếu xác định gọi lμ các toạ độ suy rộng của cơ

hệ ký hiệu: q 1 , q 2 , q 3 , …q m

- Toạ độ đề các của các chất điểm có thể biểu diễn qua toạ

độ suy rộng

- Nếu các toạ độ suy rộng lμ độc lập ⇒ toạ độ suy rộng đủ

(q 1 , q 2 , …q n ).

- Nếu không ta có toạ độ suy rộng dư (q n+1 , q n+2 , q m ), m>n

- Số toạ độ suy rộng dư bằng số phương trình liên kết.

™ Ví dụ:

- Khảo sát hai thanh liên kết bản lề loại 5 với nhau vμ với giá

như hình vẽ:

- Vị trí của của chúng có thể xác định như sau:

2

δ r = r δ r ri = k1δ r r1 + k2δ r r2

ắ {ϕ, ψ}

- Số toạ độ suy rộng đủ

ắ {x A , y A , x B , y B }

m-n = 2

Phương trình liên kết:

Trong trường hợp các phương

trình liên kết không chứa các

vận tốc suy rộng ⇒ liên kết hình học

Nếu không chứa thời gian ⇒

liên kết dừng.

Trong phạm vi giáo trình ta chỉ khảo sát các cơ hệ chịu liên kết hình học vμ dừng

1.3 Các đặc trưng hình học khối của vật rắn

1.3.1 Khối tâm của vật rắn

( ) (2 )2 2

2 2

2

AB y

y x

x

OA y

x

A B

A B

A A

=

ư +

ư

= +

- Vị trí khối tâm của vật rắn được xác định như sau:

- Chiếu phương trình nμy lên các trục toạ độ ⇒ toạ độ (x c , y c ,

z c ) của khối tâm

1.3.2 Mô men quán tính của vật rắn

- Mô men quán tính của vật rắn đối với trục z ký hiệu I z , lμ một

đại lượng vô hướng xác định theo công thức:

- Trong trường hợp

-∫

∑

=

=

∞

→

∞

→

v N

k

k N

k k N

M m

r

m

lim

lim

1

∫∫∫

=

ư

∞

→

v

N

k

k k N

1

2

1.4 Các lực tác dụng lên cơ hệ

- Lực tác dụng lên các chất điểm của cơ hệ thay đổi theo thời

gian, không những phụ thuộc vμo vị trí vμ vận tốc của chất

điểm chịu lực mμ còn phụ thuộc vμo vị trí vμ vận tốc của tất cả các chất điểm thuộc cơ hệ

- Gọi lμ lực tác dụng lên chất điểm M k

™Lực tác dụng lên cơ hệ gồm:

- Ngoại lực: Lực từ bên ngoμi tác dụng lên chất điểm M k của cơ hệ ký hiệu

- Nội lực: Lực do các chất điểm thuộc cơ hệ tác dụng lẫn nhau ký hiệu

- Lực liên kết: Ký hiệu , lμ lực liên kết tác dụng lên chất

điểm thuộc cơ hệ

- Lực hoạt động lμ lực không phụ thuộc vμo loại lực liên kết

1.5 Lực suy rộng

1.5.1 Biểu thức công của lực trong di chuyển khả dĩ

k

F r

k

k F t r r r v v v

F r r , r , r , , r , r , r , , r

2 1 2

1

=

ck

F r

ik

F r

k

R r

∑

∑δA k = ∑ Frkδrrk = F kxδx k + F kyδy k + F kzδz k

- Giả sử số toạ độ suy rộng đủ của cơ hệ lμ:q 1 , q 2 , q 3 , …q n Vì

x k lμ hμm số của q i nên:

- Thay vμo biểu thức của ta có:

1.5.2 Lực suy rộng

- Đại lượng:

- Thứ nguyên của lực suy rộng phụ thuộc vμo thứ nguyên của

toạ độ suy rộng (lực hoặc mômen)

1.6 Liên kết lý tưởng

™Lμ liên kết mμ tổng công của các lực liên kết trong mọi di

chuyển khả dĩ đều bằng 0, thực tế nếu bỏ qua ma sát vμ tính

đμn hồi các liên kết sau đây:

- Các vật rắn tự do lμ cơ hệ chịu liên kết lý tưởng;

i n

k

q

x

= ∂

∂

=

1

i n

k

q

y

= ∂

∂

=

1

i n

k

q

z

= ∂

∂

=

1

∑ δ Ak

∑

∑ ∑ ∑

=

= =

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

i

i i n

i

n

k kz

i

k ky

i

k kx

q

z F

q

y F

q

x F

A

1

1 1

δ δ

i

k n

k

k n

k kz

i

k ky

i

k kx

i

q

r F

q

z F

q

y F

q

x F

Q

∂

∂

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

=

=

r r

1 1

- Hai vật rắn luôn tựa vμo nhau (bỏ qua ma sát);

- Dây mềm không dãn vắt qua ròng rọc (ma sát trục, trượt);

- Hai vật lăn không trượt với nhau

- Dễ dμng thấy:

2 Nguyên lý di chuyển khả dĩ

2.1 Nguyên lý di chuyển khả dĩ

- Đối với các cơ hệ chịu liên kết hình học, dừng, vμ lý tưởng

điều kiện cần vμ đủ để cơ hệ cân bằng tại vị trí đang xét lμ tổng công nguyên tố của các lực hoạt động trong mọi di chuyển khả dĩ của cơ hệ từ vị trí đang xét đều triệt tiêu

- lμ lực hoạt động (hợp lực) tác dụng lên chất điểm M k

- lμ di chuyển khả dĩ của điểm M k

2.2 Điều kiện cân bằng của cơ hệ trong toạ độ suy rộng đủ

Từ nguyên lý di chuyển khả dĩ ta có:

0

=

∂

∂

= ∑

i

k k

R i

q

r R

Q

r r

0

=

=

∑ δ Ak ∑ F rkδ r rk

k

F r

k

r r

δ

- Do các toạ độ suy rộng đủ độc lập với nhau nên các δq i

cũng độc lập đối với nhau

Vậy: Q i = 0 (i = 1, 2, 3 …n)

Định lý: Điều kiện cần vμ đủ để cơ hệ chịu liên kết hình học, dừng vμ lý tưởng cân bằng tại một vị trí lμ các lực suy rộng của các lực hoạt động ứng với các toạ độ suy rộng đủ phải

đồng thời triệt tiêu

- Nếu đặt: thì nguyên lý di chuyển khả dĩ có thể viết

dưới dạng:

- Phương trình nμy gọi lμ phương trình công suất DCKD.

2.3 Ví dụ

0 1

∑

=

=

=

i

i i

k k

dt

r

Vk k

r

=

*

0

* =

∑ F rk v rk

3 Nguyên lý Đa lăm be

3.1 Nguyên lý Đa lăm be đối với chất điểm

- Các lực thực sự đặt vμo chất điểm cùng lực quán tính của

chất điểm tạo thμnh một hệ lực cân bằng.

- Theo đinh luật cơ bản của ĐLH (Niu tơn 2):

- Biến đổi ta có:

3.2 Nguyên lý Đa lăm be đối với cơ hệ

- Khảo sát chất điểm thứ k thuộc cơ hệ:

- Lấy tổng hai vế từ 1 đến n (hệ lực phẳng) ta có:

a m

F r = r

− m a F Fqt

k

e k

k m a F F F

( ) 0

0

1

1

= +

= +

∑

∑

=

=

qt M

F m

R F

o n

k

e k o

qt n

k

e k

r r r

3.3 Thu gọn hệ lực quán tính

3.3.1 Vật rắn chuyển động tịnh tiến

- Hợp lực quán tính đặt tại khối tâm của vật

3.3.2 Vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định

- Thu gọn hệ lực quán tính về O ta đ−ợc

3.3.3 Vật rắn chuyển động song phẳng

- Thu gọn hệ lực quán tính về khối tâm C ta đ−ợc.

3.4 Ví dụ

c n

k

k k

R r = ∑ − r = − r

=1

c n

k

k k

qt m a M a

R r = ∑ − r = − r

=1

z n

k

k k o

n

k

n kqt o

n

k

kqt o

qt

=

=

r r

r

c

R r = − r M Cqt = − JCzε c

4.Động lực học vật rắn

4.1 Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn

4.1.1 Vật rắn chuyển động tịnh tiến

- Theo nguyên lý Đa lăm be:

4.1.2 Vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định

- Trong đó lμ các lực ngoμi kể cả phản lực liên kết

4.1.3 Chuyển động song phẳng của tấm phẳng

- Trong hệ toạ độ đề các:

- Trong đó: x C vμ y C lμ toạ độ khối tâm C

0

1

= +

∑

N

k

k R

F r r

∑

=

=

k

k c

dt

r

d M

1 2

2r &&r r

1

= +

∑

N

k

k

o F M

=

= N

k

k o

J

1

r

&&

ϕ

k

F r

∑

=

= N

k

kx

x

M

1

r

=

= N

k

k o

Cz m F

J

1

r

&&

ϕ

∑

=

= N

k

ky

y

M

1

r

&&

∑

=

= N

k

kx

x

M

1

r

=

= N

k

ky

y

M

1

r

&&

4.2 Phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ Phương trình Lagrange loại 2

- Khảo sát cơ hệ chịu liên kết hình học vμ lý tưởng có vị trí

xác định nhờ n toạ độ suy rộng đủ: q 1 , q 2 , q 3 …q n

- Theo nguyên lý Đa lăm be:

- Do liên kết lý tưởng nên các lực liên kết triệt tiêu nhau nên

điều kiện cân bằng sẽ lμ:

Trong đó: i = 1, 2…n

-Từ biểu thức động năng T của cơ hệ theo các toạ độ suy

rộng vμ vận tốc suy rộng có thể chứng minh:

Lμ lực suy rộng của các lực hoạt động

0

, ,

,

N

qt qt

N

F F

F r r r r r r r r r

0

=

+ qt

i

F

i Q Q

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

∂

ư

∂

∂

ư

=

i i

qt i

q

T q

T dt

d Q

&

( q q qn q q qn )

T

T = 1, 2, , &1, &2 , &

F

i

Q

- Thay vμo phương trình điều kiện cân bằng

- Đây lμ phương trình Lagrange II mô tả chuyển động của cơ

hệ

- Nếu các lực hoạt động gồm các lực có thế với hμm thế năng

Π vμ các lực hoạt động khác không thế có lực suy rộng Q* i

thì phương trình Lagrange loại II có thể viết như sau:

i = 1, 2,…n

5 Ví dụ

F i i

i

Q q

T q

T dt

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

∂

ư

∂

∂

&

*

i i

i i

Q q

q

T q

T dt

∂

Π

∂

ư

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

∂

ư

∂

∂

&