PHÒNG GD& ĐT VÕ NHAI TRƯỜNG THCS TRÀNG XÁ.[r]
Trang 1PHềNG GD& ĐT Vế NHAI
TRƯỜNG THCS TRÀNG XÁ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2013 - 2014
MễN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian làm bài 120 phỳt khụng kể thời gian giao đề
Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức
1 x
1
x 0; x ; x 1
4 a) Rỳt gọn biểu thức A
b) Tớnh giỏ trị của A khi x 17 12 2
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Cho x + y = 1 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức M = x3 + y3
b) Xỏc định a để cỏc đường thẳng sau đõy đồng quy
2x – y + 3 = 0; x + y + 3 = 0; ax - y - 1 = 0
Bài 3: (4,0 điểm): Giải cỏc hệ phương trỡnh sau.
a) √x −2+√y −3=3 b) 2(x2- 2x) + √y+1=0
2√x −2 −3√y −3=− 4 3(x2 – 2x) - 2 √y+1=−7
Bài 4.(6,0 điểm)
Cho tam giác ABC có AB = c; AC = b; BC = a, phân giác AD
a) Chứng minh hệ thức AD2 = AB.AC – BD.DC
b) Tính độ dài phân giác AD?
Bài 5: (2,0 điểm) Rỳt gọn biểu thức sau:
Hết
Trang 2-HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2013-2014
MÔN TOÁN LỚP 9
Bài 1 (4 điểm)
a) Rút gọn biểu thức (3 điểm)
x 2x x 1
:
x 1 2 x 1 x x 1 2 x 1
2 x 1
:
: 2 x 1
x x 1
2 x 1
: 2 x 1 :
:
x
0.5
0.75 0.75 0.5 0.5
b) Tính giá trị của A khi x17 12 2 (1 điểm).
Tính x17 12 2 3 2 2 2 x 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2
1 3 2 2 17 12 2 15 10 2 5 3 2 2
0.5 0.5
Bài 2 (4 điểm)
a) Ta có M = x 3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = x2 - xy + y2 ( vì x + y = 1)
M =
1
Suy ra M
2 2 1
Mặt khác : x + y =1 x2 + y2 +2xy = 1 2(x2 + y2) – (x – y )2 = 1
2(x2 + y2) 1
Do đó : x2 + y2
1 2
0.5 0.5 0.5
0.5
Trang 3Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi x = y =
1
2
Ta cú M
2 2 1
và x2 + y2
1 2
M
Vậy M
1 4
, nờn giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức M bằng
1
4 khi x = y =
1
b) Phương trỡnh 2x – y +3 = 0 => y = 2x +3; và PT x +y + 3 = 0 => y = -x – 3
Giao điểm của hai đường thẳng này cú hoành độ là nghiệm của PT: 2x + 3= -x-3 => x = -2; y = -1.Giao điểm của hai đường thẳng này là M(-2;-1) Để ba đường thẳng đồng quy thỡ tọa độ của M phải thỏa món phương trỡnh đường thẳng thứ ba tức là: a(-2) +1-1 = 0 => a= 0
0,5 0.5 0.5
Bài 3 (4điểm) Giải hệ phương trỡnh
a) √x −2+√y −3=3 Đặt: √x −2=a ;
2√x −2 −3√y −3=− 4 √y − 3=b
a + b = 3 Giải hệ này ta được a = 1, b =2
=> 2a – 3b = -4
=> √x −2=1 x-2 =1 x =3;
Và √y − 3=2 y- 3 =4 y =7
0.5 0.1 0.5
b) 2(x2- 2x) + √y+1=0 Đặt x2 -2x = a; √y+1=b
3(x2 – 2x) - 2 √y+1=−7
2a + b = 0 Giải hệ này ta được a = -1; b = 2
3a – 2b = -7
=> x2
– 2x = -1 x2
-2x + 1= 0 ( x-1)2
= 0 x=1
Và √y+1=2 y +1 =4 y =3
0.5
1
0.5
Bài 4 (6 điểm)
Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp Δ ABC
Gọi E là giao điểm của AD và (O)
a) Ta có : Δ ABD ~ Δ CED (g –g)
⇒ BD
ED=
AD
CD ⇒ AD.ED = BD.CD ⇒ AD(AE – AD) = BD.CD
⇒ AD2 = AD.AE – BD.CD (1)
Lại có: Δ ABD ~ Δ AEC (g –g)
⇒ AB
AE=
AD
AC ⇒ AB.AC = AD.AE (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AD2 = AB.AC – BD.DC
b) Vì AD là phân giác ⇒ DB
DC=
BA
CA
0.5 0.5
1 0.5 0.5 0.5 0,5
0.5
A
B
C
E D
Trang 4⇒ DB
DC
b =¿
DB+DC
a b+c
⇒ DB = ac
b+c vµ DC =
ab
b+c
⇒ AD2 = bc -
b+c¿2
¿
a2bc
¿
0.5 0.5
0.5
Bài 5 (2,0 điểm)
Rút gọn biểu thức sau:
Ta có:
2 1
1
3 4 =
Tương tự ta có
= 2 1 3 2 4 3 2010 2009
= 1 2010 2010 1
1
1