Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Kiên Thành

a) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. a) [r]

TRƯỜNG THCS KIÊN THÀNH ĐỀ THI HSG LỚP 8

b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy

c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Vì k k( +1)(k+ là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên: 2)

- Tồn tại một số là bội của 2 nên k k( +1)(k+2 2) nên A16

- Tồn tại một số là bội của 3 nên k k( +1)(k+2 3)

M F

E

B A

Vậy A chia hết cho 3, 16 mà (3,16)= nên 1 A 3.16=48

Từ đó ta tìm được x = 0 hoặc x = -5 thì min P = -36

b) Gọi hai số phải tìm là a và b, ta có a + b chia hết cho 3

b) Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy

c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất

Hướng dẫn

a) Chứng minh: AE = FM = DF

  AED =  DFC  đpcm

b) DE, BF, CM là ba đường cao của  EFC  đpcm

c) Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi

 là trung điểm của BD

Câu 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2) Một người đi xe đạp, một người đi xe máy, một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A lần lượt lúc 8

giờ, 9 giờ, 10 giờ cùng ngày với vận tốc theo thứ tự lần lượt là 10km/h, 30km/h, 50km/h Hỏi đến mấy

giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy?

Câu 4 Cho tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho

BD= AE Xác định vị trí của điểm D, E sao cho:

b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác vuông, với a là độ dài cạnh huyền thì

thì các số x=9a+4b+ ; 8c y=4a+ +b 4c; z=8a+4b+ cũng là số đo ba cạnh của một tam giác 7c

bc ac ab c

b a ac a

c bc c

b ab b

a2 + 2 −2 + 2 + 2 −2 + 2 + 2 +2 =4 2 +4 2 +4 2 −4 −4 −4

0)2(

)2(

)2(a2 +b2 − ac + b2 +c2 − bc + a2 +c2 − ac =

0)()()

2) Gọi thời gian từ khi ô tô xuất phát đến khi cách đều xe đạp và xe máy là: x (giờ; x  0)

Thì thời gian xe đạp đã đi là: x + 2 (giờ)

Thời gian xe máy đã đi là: x + 1 (giờ)

Quãng đường ô tô đi là: 50x (km);

Xe máy đã đi là: 30.(x+1) (km); Xe đạp đã đi là: 10.(x+2) (km)

Vì ô tô cách đều xe đạp và xe máy nên quãng đường ô tô đi nhiều hơn xe đạp bằng quãng đường xe máy

đi nhiều hơn ô tô Ta có phương trình:

50x 10 x− ( +2)=30 x( + −2) 50x



4

x3

 = (tm)

Vậy đến 10h 4h 11h20'

3+ = thì ô tô cách đều xe đạp và xe máy Câu 4 (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE Xác định vị trí của điểm D, E sao cho:

b) Diện tích của tam giác ABC là: 1 2

2a

E D

C B

A

Diện tích tam giác ADE là: 1( )

2 a−x xKhi đó diện tích của tứ giác BDEC là:

x

 =Khi đó D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC

2 2

Từ đó tìm được các giá trị của x, y, z là:

Câu 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=a4−2a3+3a2−4a+5

Câu 3 Tìm số dư trong phép chia của biểu thức (x+2)(x+4)(x+6)(x+ +8) 2016 cho đa thức

2

10 21

x + x+

Câu 4 Cho tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho

BD= AE Xác định vị trí của điểm D, E sao cho:

b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác vuông, với a là độ dài cạnh huyền thì

thì các số x=9a+4b+ ; 8c y=4a+ +b 4c; z=8a+4b+ cũng là số đo ba cạnh của một tam giác 7c

b a ac a

c bc c

b ab b

a2 + 2 −2 + 2 + 2 −2 + 2 + 2 +2 =4 2 +4 2 +4 2 −4 −4 −4

0)2(

)2(

)2(a2 +b2 − ac + b2 +c2 − bc + a2 +c2 − ac =

0)()()

a + a−  với mọi a nên A  3

Vậy giá trị nhỏ nhất của A=  − =  = 3 a 1 0 a 1

C B

A

b) Diện tích của tam giác ABC là: 1 2

2aDiện tích tam giác ADE là: 1( )

2 a−x xKhi đó diện tích của tứ giác BDEC là:

x

 =Khi đó D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC

( ) ( )

2 2

2 2

Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông

góc của điểm D lên AB, AC

a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông

b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 4

Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm

3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn

a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì E = = = A F 90o)

Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân giác của BAC

b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF

Suy ra 3AD + 4EF = 7AD

3AD + 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất, AD nhỏ nhất khi D là hình chiếu của A trên BC

Câu 4 (2 điểm)

Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm

3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn

Cho a, b dương và a2012+b2012 =a2013+b2013=a2014+b2014

Với a = 1 thì b2012 =b2013 =b 1 hoặc b = (loại) 0

Với b = 1 thì a2012 =a2013 =a 1 hoặc a = (loại) 0

Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông

góc của điểm D lên AB, AC

a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông

b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 1 (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân giác của BAC

b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF

3AD + 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất, AD nhỏ nhất khi D là hình chiếu của A trên BC

Câu 4 Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11 Phân số cần tìm là

−

x

x

(x khác -15)

Theo bài ra ta có phương trình

11+

x

x

=7

15

−

+

x x

Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn)

Từ đó tìm được phân số

6

5

−Câu 5 (2 điểm)

Cho a, b dương và a2012+b2012 =a2013+b2013=a2014+b2014

Vậy a = 1, b = 1

Do đó 2015 2015

2

a +b =

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội

dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

I.Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây

dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên

khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt

điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành

cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các

môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu

tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí