de hsg toan 6

Tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số mà khi chia cho 75 có thương và số dư bằng nhau... Viết số hạng thứ n của dãy trên với n là số thứ tự..[r]

Phòng GD-ĐT Hưng Hà

Trường THCS Lê Quý Đôn

ĐỀ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

Vòng 2

Môn Toán lớp 6 (Thời gian làm bài 120ph)

==***==

Bài 1(3 điểm)

a Trong hệ thập phân số A được viết bằng 100 chữ số 3, số B được viết bằng 100 chữ số 6 Hãy tính A.B

b Tính tổng A = 1.2 + 2.3 +3.4 + + 2013 2014

Bài 2 (3,5 điểm)

1 Viết liên tiếp các số tự nhiên thành dãy 123456…

a Hỏi chữ số 4 ở hàng đơn vị của số 2014 đứng ở hàng thứ bao nhiêu?

b Chữ số thứ 2014 là chữ số nào?

2 Cho a1+a2+a3+ +a101 = 0 và a1+a2 = a3+a4 = = a99+a100 =-1.Tìm a ❑101 ?

Bài 3 (7,5 điểm)

1 Cho dãy số: 7; -12; 17; -22; 27; …

a Tìm số thứ 2014 của dãy trên?

b Tính tổng 2014 số hạng đầu tiên của dãy trên?

c Viết số hạng thứ n của dãy trên ( với n là số thứ tự)

d Các số -5007; 38946 có mặt trong dãy trên không?

2 Tìm số nguyên n,m, biết:

a mn-5m-3n = -8

b n ❑2 +2n-7 chia hết cho n+2

Bài 4 (4 điểm)

a Tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số mà khi chia cho 75 có thương và số dư bằng nhau

b Cho B= 888 8⏟

❑

−9+n với n N❑ Chứng minh rằng B chia hết cho 9

c Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 thì số 111 1⏟

❑

2111 .1⏟

❑ là hợp số

Bài 5 (2 điểm):

Cho AB=2 ❑2014 cm Gọi C ❑1 là trung điểm của AB; Gọi C ❑2 là trung điểm của A C

❑1 ; Gọi C ❑3 là trung điểm của AC ❑2 ;… Gọi C; ❑2014 là trung điểm của AC ❑2013 Tính C ❑1 C ❑2014

…Hết…

Phòng GD-ĐT Hưng Hà

Trường THCS Lê Quý Đôn

ĐÁP ÁN KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

Vòng 2

Môn Toán lớp 6 (Thời gian làm bài 120ph)

==***==

Bài 1

(3

điểm)

a Trong hệ thập phân số A được viết bằng 100 chữ số 3, số B được viết bằng 100 chữ số 6 Hãy tính A.B

A.B= 333 .3⏟

100 chusô

666 6⏟

100chusô = 333 .3⏟

100 chusô

3

222 .2⏟

100 chusô

= 999 9⏟

100 chuso 222 .2⏟

100 chusô

=(1 000 0⏟

100 chuso -1) 222 .2⏟

100 chusô

= 222 .2⏟

100 chusô

000 0

⏟

100chuso

− 222 .2⏟

100 chusô

= 222 .2⏟

99chusô

1 777 .7⏟

99chuso

b Tính tổng A = 1.2 + 2.3 +3.4 + + 2013 2014

3A=1.2+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+…+2013.2014.(2015-2012) 0.5đ

3A=1.2+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+…+2013.2014.2015-2012.2013.2014 0.25đ

Bài 2

(3,5đ)

1 Viết liên tiếp các số tự nhiên thành dãy 123456…

a Hỏi chữ số 4 ở hàng đơn vị của số 2014 đứng ở hàng thứ bao nhiêu?

Từ 10 đến 99 có 90 số có 2 chữ số

Vậy, chữ số 4 ở hàng đơn vị của số 2014 đứng ở hàng thứ:

9.1+90.2+900.3+1015.4=6949

0.25đ 0.25đ

b Chữ số thứ 2014 là chữ số nào?

Từ 10 đến 99 có 90 số có 2 chữ số

Số các chữ số còn lại là: 2014-90.2-9.1=1825(chữ số để viết các số có 3 chữ số)

0.25đ

Số các số có 3 chữ số là: 1825:3=608(dư1) 0.25đ

=> Số thứ 609 kể từ số 100 là số (609-1)+100=708 0,5đ

2 Cho a1+a2+a3+ +a101 = 0 và a1+a2 = a3+a4 = = a99+a100 =-1.Tìm a

❑101 ?

Ta có a1+a2 = a3+a4 = = a99+a100 =-1. 0.5đ

Bài 3

(7,5

điểm)

1 Cho dãy số: 7; -12; 17; -22; 27; …

a Tìm số thứ 2014 của dãy trên?

b Tính tổng 2014 số hạng đầu tiên của dãy trên?

c Viết số hạng thứ n của dãy trên ( với n là số thứ tự).

d Các số -5007; 38946 có mặt trong dãy trên không?

a Tìm số thứ 2014 của dãy trên?

Dãy số: 7; -12; 17; -22; 27; …

Gọi số hạng thứ 2014 của dãy trên có giá trị tuyện đối là x ( x N¿∗

Ta có:( x-7):5+1=2014

x=10072

0.25đ 0.25đ

Mà mỗi số hạng của dãy trên đứng ở thứ tự lẻ mang dấu “+”, số đứng ở thứ tự

chẵn mang dấu “-”

Vậy số hạng thứ 2014 của dãy trên là -10072

0.25đ

0.25đ

b Tính tổng 2014 số hạng đầu tiên của dãy trên?

7+(-12)+17+(-22)+27+…+(-10072)

=[7+(-12)]+[17+(-22)]+…+[10067+(-10072)](có 2014:2=1007 nhóm)

=-5.1007

=-5035

0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ

c Viết số hạng thứ n của dãy trên ( với n là số thứ tự).

Ta thấy: Mỗi số của dãy trên chia 5 đều dư 2, số hạng đứng ở thứ tự lẻ mang

dấu “+”, số đứng ở thứ tự chẵn mang dấu “-”

Công thức tổng quát của số hạng thứ n là: (-1) ❑n+1 (5n+2)

0.25đ

0.5đ

d Các số -5007; 38946 có mặt trong dãy trên không?

Vậy -5007 có mặt trong dãy trên còn 38946 không cố mặt ở dãy trên 0.5đ

2 Tìm số nguyên n,m, biết:

mn-5m-3n = -8

m(n-5)-3n+15=7

=>(n-5),(m-3) Ư(7)

0.25đ

Mà Ư(7)={-7;-1;1;7}

Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn

0.5đ

Vậy các cặp số nguyên (n,m)cần tìm là (-2;2), (4;-4), (6;10), (12;4) 0.25đ

b n ❑2 +2n-7 chia hết cho n+2.

Ta có n ❑2 +2n-7

=n(n+2)-7

Để n ❑2 +2n-7 chia hết cho n+2 thì n(n+2)-7 chia hết cho n+2 0.25đ

=>7 chia hết cho n+2

0.25đ

=> n+2 là ước của 7

Mà Ư(7)={-7;-1;1;7}

Ta có bảng

0.5đ

Vậy, với n {−9 ;− 3;− 1;5} thì n ❑2 +2n-7 chia hết cho n+2 0.25đ

Bài 4

(4,5

điểm)

a Tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số mà khi chia cho 75 có thương và số dư bằng nhau.

Gọi thương và số dư của phép chia đó là a (0< a <75) 0.25đ

Mà số cần tìm là số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số (2) 0.25đ

b Cho B= 888 8⏟

nchuso

B= 888 8⏟

nchuso

= 888 8⏟

nchuso

+ 111 .1⏟

nchuso

−111 .1⏟

nchuso

= (999 9⏟

nchuso

−9)+(n −111 1⏟

nchuso

=9 111 1⏟

nchuso + (n −111 .1⏟

nchuso

Vì n chính là tổng các chữ số của 111 1⏟

nchuso nên (n −111 .1⏟

nchuso

) chia hết cho 9

0.25đ

c Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 thì số 111 1⏟

nchuso

2111 .1⏟

nchuso là hợp số.

Ta có 111 1⏟

nchuso

2111 .1⏟

nchuso

= 111 1⏟

n+1 chuso

000 0

⏟

nchuso

+111 1⏟

n+1 chuso

0.5đ

= 111 1⏟

nchuso

+ 1¿ chia hết cho 111 1⏟

n+1 chuso

0.5đ

Vậy với mọi số tự nhiên n khác 0 thì số 111 1⏟

nchuso

2111 .1⏟

nchuso là hợp số 0.25đ

Bài 5 (2

điểm):

Cho AB=2 ❑2014 cm Gọi C ❑1 là trung điểm của AB; Gọi C ❑2 là trung điểm của A C ❑1 ; Gọi C ❑3 là trung điểm của AC ❑2 ; … ; Gọi C ❑2014 là trung điểm của AC ❑2013 Tính C ❑1 C ❑2014 .

Vì C ❑1 là trung điểm của AB nên AC ❑1 =AB/2 (1) 0.25đ

Vì C ❑2 là trung điểm của A C ❑1 nên AC ❑2 = AC ❑1 /2=AB/2 ❑2

(2)

0.25đ

Vì C ❑3 à trung điểm của A C ❑2 nên AC ❑3 = AC ❑2 /2=AB/2 ❑3

(3)

0.25đ

VÌ C ❑2014 là trung điểm của AC ❑2013 nên AC ❑2014 = AB/2 ❑2014 =1

(2014)

0.25đ

TỪ (1), (2),(3),…,(2014) suy ra C ❑2014 nằm giữa A và C ❑1 0.25đ