Nguyên hàm của hàm số lượng giác

httpMỤC LỤC Chủ đề ④ NGUYÊN HÀM của hàm số Lượng giác .... Phương pháp tính .... Phương pháp tính .... Phương pháp tính .... Phương pháp tính .... Phương pháp tính .... Phương pháp tín

http

MỤC LỤC

Chủ đề ④ NGUYÊN HÀM của hàm số Lượng giác 1

1

1

1 Dạng 1     sin sin dx I x a x b     1

a Phương pháp tính 1

b Chú ý 2

c Ví dụ áp dụng 2

2 Dạng 2 I   tan  x  a   tan x  b dx  3

a Phương pháp tính 3

b Chú ý 4

c Ví dụ áp dụng 4

3 Dạng 3 sin cos dx I a x b x    6

a Phương pháp tính 6

b Ví dụ áp dụng 6

4 Dạng 4 sin cos dx I a x b x c     7

a Phương pháp tính 7

b Ví dụ áp dụng 7

5 Dạng 5 2 2 .sin sin cos cos dx I a x b x x c x     8

a Phương pháp tính 8

b Ví dụ áp dụng 8

6 Dạng 6 1 1 2 2 sin cos sin cos a x b x I dx a x b x     9

a Phương pháp tính 9

b Ví dụ áp dụng 9

c Chú ý 10

7 Dạng 7 Biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản hoặc 6 dạng ở trên 12

Ví dụ áp dụng 12

BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ THƯỜNG GẶP

I

=I

CÁC DẠNG TỐN

II

=I

Lượng giác

Nguyên hàm của hàm số

sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số hợp  u u x    

Nguyên hàm của hàm số hợp

sinxdx cosx C

sin ax b dx cos ax b C

a

 cosxdxsinx C

cos ax b dx sin ax b C

a

 tan x dx ln cosx C

tan ax b dx ln cos ax b C

a

 cot x dxln sinx C

2

1

cot sin x dx   x C 

1

cot sin u du   u C 

cot sin ax b dx a ax b C





2

1

tan cos x dx  x C 

1

tan cos u du  u C 

tan





1

ln tan

x

u

2 sin

a

ax b







1

ln tan

x

x



u

u



cos

C a

ax b









1 Dạng 1

dx I





a Phương pháp tính

Dùng đồng nhất thức:

sin

1

x a x b

Từ đĩ suy ra:

1



BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ THƯỜNG GẶP

I

=I

CÁC DẠNG TỐN

II

=I

http

 1  cos     cos    

dx



b Chú ý

Với cách này, ta có thể tìm được các nguyên hàm:

•

dx J



sin 1 sin

a b

a b







•

dx K



cos 1 cos

a b

a b







c Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1

Tìm nguyên hàm sau đây:

sin sin

6

dx I





  



 Giải

Ta có:

sin sin

6 6

sin

    

Từ đó:

sin

x

x



sin

C x

     

Ví dụ 2

Tìm nguyên hàm sau đây:

cos3 cos 3

6

dx I







 Giải

Ta có:

6

sin

Từ đó:

cos 3

x x x x x

x

x



cos3 6

ln

C x

     

Ví dụ 3

Tìm nguyên hàm sau đây:

dx I





 Giải

Ta có:

cos

4 1

2 cos

       

Từ đó:

2





C

2 Dạng 2 I   tan  x  a   tan x  b dx 

a Phương pháp tính

Ta có: tan    tan  sin       sin  

x a x b x a x b a b

x a x b x a x b

dx



Đến đây ta gặp bài toán tìm nguyên hàm ở Dạng 1.

http

b Chú ý

Với cách này, ta có thể tính được các nguyên hàm:

• J   cot  x  a   cot x  b dx 

• K   tan  x  a   tan x  b dx 

c Ví dụ áp dụng

Ví dụ 4

I   x     x    dx



 Giải

Ta có:

Ta có:

1

cos

2

          

Tính 1

dx I





Ta có:

sin sin

6 1

1 sin

       

Từ đó: 1

2





Suy ra:

2

Ví dụ 5

K   x     x    dx



 Giải

Ta có:

1

sin

2

          

Đến đây, bằng cách tính ở Dạng 1, ta tính được:

1

sin

ln 3

x dx



  



Suy ra:

sin

ln 3 cos

3

x

x



  



  

http

3 Dạng 3

dx I







a Phương pháp tính

ln tan

x

 

 

b Ví dụ áp dụng

Ví dụ 6





I

 Giải

2

I





Ví dụ 7

Tìm nguyên hàm sau đây:





J

 Giải

1 2

J

2



2

x

 



4 Dạng 4

dx I





a Phương pháp tính

Đặt

2

2 2 2

2

2 1 2 sin

1 tan

cos

1 2 tan

1

dt dx

t t x

t

t x

t t x

t

 



  









b Ví dụ áp dụng

Ví dụ 8

Tìm nguyên hàm sau đây:

dx I





 Giải

Đặt

2

2 2 2

2 1 2

1 cos

1

dt dx

t

t t x

t

 













Từ đó:

2

2

1

dt

t I



t







Ví dụ 9

dx J





 Giải

Đặt

2

2 2 2

2 1 2

1 cos

1

dt dx

t

t t x

t

 













http

Từ đó:

2

2

dt

t J



1 1

t t





Ví dụ 10

Tìm nguyên hàm sau đây:

dx K







 Giải

Đặt

2

2

2

2 1 2

2 tan

1

dt dx

t

t t x

t

 











Từ đó:

2 2

2

1

dt

t







dx I





a Phương pháp tính

dx I





cos

dx

x

I

at bt c



 



b Ví dụ áp dụng

Ví dụ 11



I

 Giải

•

I

cos

dx

x

2

I

d t dt

dt



Ví dụ 12



J

 Giải

cos

dx

x

   2

ln

d t

ln

x

C x

 

 









a Phương pháp tính

Ta tìm A B , sao cho:

a x  b x  A a x  b x  B a x b  x

b Ví dụ áp dụng

Ví dụ 13









 Giải

Ta tìm A B , sao cho:











Ví dụ 14









 Giải

Ta tìm A B , sao cho:

http

11

17

A

B

 



 



Từ đó:







 cos 4sin 





c Chú ý

1 Nếu gặp







a x  b x  A a x  b x  B a x b  x



a x  b x   c A a x  b x  c  B a x b  x  C

Ví dụ 15

Tìm nguyên hàm sau đây:

8cos

x







 Giải

Ta tìm A B , sao cho:

8cos x  A 3 sin x  cos x  B 3 cos x  sin x

2

2 3

A

B













dx



I





ln tan

x





Ví dụ 16





 Giải

Ta tìm A B C , , sao cho:

       







1

Tìm 1

dx J





Đặt

2

2 2 2

2 1 2

1 cos

1

dt dx

t

t t x

t

 













2

2

1

dt

t



tan

2

x t

x t

Vậy:

tan 2

2

x

x



http

Ví dụ áp dụng

Ví dụ 17

Tìm nguyên hàm sau đây: I   cos3 cos 4 x xdx

 Giải

1

2

I   x xdx   x  x dx

Ví dụ 18

Tìm nguyên hàm sau đây: I   cos sin 2 cos3 x x xdx

 Giải

1

2

Ví dụ 19

I  x    x     x dx 



 Giải

Ta có:

2

2





 

3 2





ln cos3

x

Ví dụ 20

Tìm nguyên hàm sau đây: I   sin3x sin 3 xdx

 Giải

3sin x  sin 3 x

3 3sin 4sin 3

4



Ví dụ 21

sin cos 3 cos sin 3

I   x x  x x dx

 Giải

sin

4

x x

x 

cos

4

x x

x 



x x x x

x x x x  x  x

3sin cos 3 1sin 3 cos 3 3cos sin 3 1cos 3 sin 3

I    xdx x C

Ví dụ 22

sin cos

I

x x

 Giải

x x x x x x x x x

cos

dx

x t dt

x

2

t t dt

I dt tdt



Ví dụ 23

I

x x

 Giải

Đặt sinx t cosxdxdt

1



ln

http

3

ln

x C





Ví dụ 24

Tìm nguyên hàm sau đây: sin 3 sin 4





I dx

x x

 Giải

sin 4 cos 2 cos sin 3

cos cos 2

x x x x

I dx dx x x xdx

x

x x

x x



Ví dụ 25

sin

dx I

x

 Giải

2

1

cos sin

sin cot sin

x u

x

x dx

dv

x



1 2

x x x x

Tính

ln tan

x x dx dx x



1

ln tan