Hướng dẫn giải các dạng toán hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Hàm sốy = tan xnhận các giá trị đặc biệtHàm sốy = y = cot xnhận các giá trị đặc biệt... Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau: 4 Lời giải... Tìm tập xác địnhDcủa hàm số lượng gi

CHƯƠNG 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG

(III) (IV)

Góc phần tưGiá trị lượng giác I II III IV

2 Công thức lượng giác cơ bản

sin2x + cos2x = 1 1 + tan2x = 1

Cung phụ nhau Cung hơn kém π

2cos³π

1 − tan a tan b tan(a − b) =

tan a − tan b

1 + tan a tan btan³π

5 Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc

Công thức nhân đôi Công thức hạ bậcsin 2α = 2sinαcosα sin2α = 1 − cos2α

2cos 2α = cos2α − sin2α = 2cos2α − 1 = 1 − 2sin2α cos2α = 1 + cos2α2

" sin3α = 3sinα − 4sin3α

cos 3α = 4cos3α − 3cosα tan 3α =

3 tanα − tan3α

1 − 3tan2α

6 Công thức biến đổi tổng thành tích

cos a + cos b = 2cosa + b

cos a cos b tan a − tan b =sin(a − b)

cos a cos bcot a + cot b =sin(a + b)

sin a sin b cot a − cot b =sin(b − a)

p3

p32

p22

1

cosα 1

p32

p22

1

p2

p3

tanα 0

p3

p

p3

cotα kxđ p

p3

p3

3 −1 −p3 kxđ kxđ

Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác sẽ có tọa độ M(cos α,sinα)

2 ,12´

³p 2

2 ,

p 2 2

´

³

−

p 3

2 ,12´

³

−

p 2

2 ,

p 2 2

´

³

−12,

p 3 2

´

³

−

p 3

2 , −12´

³

−

p 2

2 , −

p 2 2

´

³

−12, −

p 3 2

´

³p 3

2 , −12´

³p 2

2 , −

p 2 2

´

(0, −1)(0, 1)

Hàm sốy = f (x)có tập xác định làD gọi là hàm số lẻ nếu với mọix ∈D thì−x ∈D vàf (−x) = −f (x)

Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độOlàm tâm đối xứng

b) Hàm số đơn điệu

Cho hàm sốy = f (x)xác định trên tập(a; b) ⊂ R

Hàm sốy = f (x)gọi là đồng biến trên(a; b)nếu∀x1, x2∈ (a; b)cóx1< x2⇒ f (x1) < f (x2)

Hàm sốy = f (x)gọi là nghịch biến trên(a; b)nếu∀x1, x2∈ (a; b)cóx1< x2⇒ f (x1) > f (x2)

Hàm số y = f (x) = sin xlà hàm số lẻ vì f (−x) = sin(−x) = −sin x = −f (x) Nên đồ thị hàm số y = sin xnhận gốc tọa độOlàm tâm đối xứng.

Hàm số y = sin xtuần hoàn với chu kìT0= 2π, nghĩa làsin (x + k2π) = sin x Hàm số y = sin(ax + b)tuần hoàn với chu kìT0=2π

|a|.Hàm số y = sin x đồng biến trên mỗi khoảng ³−π

Hàm sốy = sin xnhận các giá trị đặc biệt

Hàm sốy = cos xnhận các giá trị đặc biệt

2+ kπ ⇒hàm số y = tan[f (x)]xác định⇔ f (x) 6=π

2+ kπ; π

2+ kπ

´, k ∈ Z

Hàm sốy = tan xnhận các giá trị đặc biệt

Hàm sốy = y = cot xnhận các giá trị đặc biệt

B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

{ DẠNG 2.1 Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Phương pháp giải : Để tìm tập xác định của hàm số lượng giác ta cần nhớ:

4 Lưu ý rằng:−1 ≤ sin f (x); cos f (x) ≤ 1vàA · B 6= 0 ⇔( A 6= 0

2 − cos x

1 + cos x≥ 0cos x 6= −1

Do−1 ≤ cos x ≤ 1nên⇐(1 ≤ 2 − cos x ≤ 3

0 ≤ 1 + cos x ≤ 2 Từ đó suy ra:

…cos x + 4sin x + 1. ĐS:D= R \n−π

3 Điều kiện xác định:sin x 6= 0 ⇔ x 6= kπ.

4 Điều kiện xác định:cos 2x 6= 0 ⇔ 2x 6=π

Do−1 ≤ sin x; cos x ≤ 1nên cos x + 4

sin x + 1≥ 0;∀x ∈ R.Vậy hàm số xác định khix 6= −π

äBÀI 2 Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:

4

Lời giải.

1 Điều kiện xác định:(π2

− x2≥ 0sin 2x 6= 0 ⇔

2 Điều kiện xác định:(π2

− 4x2≥ 0cos 2x 6= 0 ⇔

1 − sin³x −π

8

´6= 0

1 − cos³x +π

3

´6= 0

¾

6

y = cot³x +π

6

´+

Kết luận:max y = Mvàmin y = m.

5 ,max y =4

p

5

5 vàmax y =4

p2

Do0 ≤ cos2x ≤ 1nên5 ≥ f (x) = 5 − 6cos2x ≥ −1

◦ f (x) = 5khicos x = 0, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx =π

2

◦ f (x) = −1khicos2x = 1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx = 0

VÍ DỤ 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất củaf (x) = sin6x + cos6x + 2,∀x ∈

4,max y = 3

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau:

◦ y = 14khicos 2x = 1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx = 0

Vậymin y = 5p2 + 4vàmax y = 14

◦ y = 0khicos 4x = 1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx = 0

Vậymax y =p2vàmin y = 0

2

Do0 ≤ sin22x ≤ 1nên−4 ≤ y = 3 sin22x − 4 ≤ −1

◦ y = −4khisin 2x = 0, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx = 0

◦ y = −1khisin22x = 1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx =π

4.Vậymin y = −4vàmax y = −1

4

4

Do0 ≤ |sin4x| ≤ 1nên3 ≥ y = 3 − 2|sin4x| ≥ 1

◦ y = 3khisin 4x = 0, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx = 0

◦ y = 1khi| sin 4x| = 1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx =π

8.Vậymax y = 3vàmin y = 1

5

äBÀI 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau:

y = −sin2x − cos x + 2 ĐS:min y =3

4,max y = 3

y = cos2x + 2sin x + 2 ĐS:min y = 0,max y = 4

2,max y = 5

4

y =p2 − cos2x + sin2x ĐS:min y = 1,max y = 2

4,max y = 1

6

y = sin2x +p3 cos 2x + 4 ĐS:min y = 2,max y = 6

7

µcos x −12

◦ y = −1khisin x = 0, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx = 0

◦ y = 2khisin2x = 1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx =π

2.Vậymin y = −1vàmax y = 2

2

Ta có

y = cos2x + 2sin x + 2 =¡1 − sin2x¢ + 2sin x + 2 = −sin2x + 2sin x + 3 = 4 − (sin x − 1)2

Do−1 ≤ sin x ≤ 1nên−2 ≤ sin x − 1 ≤ 0

◦ y = 5khisin 2x = 0, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx = 0

◦ y =92 khisin22x = 1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx =π

4.Vậymax y = 5vàmin y =9

2

4

Ta có

y2= 2 − cos 2x + sin2x = 2 −¡1 − 2sin2x¢ + sin2x = 3sin2x + 1 ⇒ y =p3 sin2x + 1

Do0 ≤ sin2x ≤ 1nên1 ≤ 3sin2x + 1 ≤ 4

Suy ra1 ≤ y ≤ 2

◦ y = 1khisin x = 0, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx = 0

◦ y = 2khisin2x = 1, luôn tồn tạixthỏa mãn, chẳng hạnx =π

2.Vậymin y = 1vàmax y = 2

5

Ta có

y = sin6x + cos6x =¡sin2x + cos2x¢3

− 3 sin2x cos2x¡sin2x + cos2x¢

7

äBÀI 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau

y = sin2x,∀x ∈

h0;π

◦ y = 0khix = 0hoặcx =π

2

◦ y = 6khix =π

4.Vậymin y = 0vàmax y = 1

p2

p2

2 vàmax y = 1

3

ä

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau

y =p4 − 2sin52x − 8 ĐS:min y = −8 +p2,max y = −8 +p6

ĐS:min y = −2

p6

BÀI 5 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác sau

2 ,max y = 5 +5

p22

Bước 1. Tìm tập xác địnhDcủa hàm số lượng giác.

Nếu∀x ∈ Dthì−x ∈ D ⇒ Dlà tập đối xứng và chuyển sang bước 2.

Bước 2. Tínhf (−x), nghĩa là sẽ thayxbằng−x, sẽ có 2 kết quả thường gặp sau

Ta thường sử dụng cung góc liên kết dạng cung đối trong dạng toán này, cụ thể

cos(−a) = cos a,sin(−a) = −sin a,tan(−a) = −tan a,cot(−a) = −cot a.

Vậy f (x)là hàm số chẵn

2

CHƯƠNG 2 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG

TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Vớik ∈ Z, ta có các phương trình lượng giác cơ bản sau

sin a = sin b ⇔"a = b + k2π

4+ kπ

cos x = 1 ⇔ x = k2π.cos x = 0 ⇔ x =π

2+ kπ

cos x = −1 ⇔ x = π + k2π.

cot x = 0 ⇔ x =π

2+ kπ.cot x = 1 ⇔ x =π

4+ kπ.cot x = −1 ⇔ x = −π

9 sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x = 1

32+kπ

8 (k ∈ Z)

{ DẠNG 1.1 Sử dụng thành thạo cung liên kết

cos(−a) = cos a sin(π − a) = sin a sin³π

2− a

´

= cos asin(−a) = −sin a cos(π − a) = −cos a cos³π

2− a´= sin atan(−a) = −tan a tan(π − a) = −tan a tan³π

2− a´= cot acot(−a) = −cot a cot(π − a) = −cot a cot³π

2+ a

´

= cos acos(π + a) = −cos a cos³π

2+ a´= −sin atan(π + a) = tan a tan³π

2+ a´= −cot acot(π + a) = cota cot³π

x =π

6+ k2π

(k ∈ Z)

Vậy phương trình có nghiệm là





x =5π

18+k2π3

3+ x + k2π 2x = π −³π

Vậy phương trình có nghiệm là

2 Ta có phương trình tương đương

Vậy phương trình có nghiệm

3 Ta có phương trình tương đương

Vậy phương trình có nghiệmx =17π

36 +kπ

3 (k ∈ Z)

äBÀI 2 Giải các phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định)

4 Phương trình tương đương

Vậy phương trình có nghiệm

6 Phương trình tương đương

Lời giải.

1 Phương trình tương đương

sin 4x = cos2x ⇔ sin4x = sin³π

2− 2x + k2π 4x = π − π

x =π

4+ kπ

(k ∈ Z)

2 Phương trình tương đương

cos 8x + cos2x + sin x = cos8x ⇔ cos2x = cos³π

Vậy phương trình có nghiệm

3 Phương trình tương đương

sin x + sin2x = 0 ⇔ sin2x = sin(−x)

⇔ "2x = −x + k2π 2x = π + x + k2π (k ∈ Z) ⇔

x = π + k2π

(k ∈ Z)

4 Phương trình tương đương

cos 5x + cos x = 0 ⇔ cos5x = cos(π − x)

⇔ "5x = π − x + k2π 5x = x − π + k2π (k ∈ Z) ⇔

Vậy phương trình có nghiệm

x = −π

4+kπ2(k ∈ Z)

5 Phương trình tương đương

sin

µ4π

9 + x

¶+ sin³π

x −7π5

{ DẠNG 1.2 Ghép cung thích hợp để áp dụng công thức tích thành tổng

cos a + cos b = 2cosa + b

2 · cosa − b2 cos a − cos b = −2sina + b

2 · sina − b2sin a + sin b = 2sina + b

2 · cosa − b2 sin a − sin b = 2cosa + b

sin 5x + sin3x + sin x = 0 ⇔ (sin5x + sin x) + sin3x = 0 ⇔ 2sin3x cos2x + sin3x = 0

⇔ sin 3x(2 cos 2x + 1) = 0 ⇔" sin3x = 0

cos 3x + cos2x + cos x + 1 = 0 ⇔ (cos3x + cos x) + (cos2x + 1) = 0

⇔ 2 cos 2x cos x + 2cos2x = 0 ⇔ 2cos x(cos2x + cos x) = 0

2 = 0cosx

BÀI 1 Giải các phương trình lượng giác sau

2 ,±2π

3 + l2π,(k, l ∈ Z)

2 cos x + cos3x + cos5x = 0 ĐS: π

sin x + sin2x + sin3x = 0 ⇔ 2sin2x cos x + sin2x = 0

⇔ sin 2x(2 cos x + 1) = 0 ⇔" sin2x = 0







x =kπ2

cos x + cos3x + cos5x = 0 ⇔ 2cos3x cos2x + cos3x = 0

⇔ cos 3x(2 cos 2x + 1) = 0 ⇔" cos3x = 0





x =π

6+kπ3

1 − sin x − cos2x + sin3x = 0 ⇔ 2cos2x sin x + 2sin2x = 0

⇔ 2 sin x(cos 2x + sin x) = 0 ⇔" sin2x = 0

Kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác, ta được phương trình có nghiệmx =kπ

2 ,x = −π

6+m2π,x =7π

6 +m2π,(k, m ∈ Z)

2= 0cos5x

Vậy phương trình có nghiệmx =π

2+ kπ,x = π + k2π,x =π

5+k2π

5 ,(k ∈ Z)

äBÀI 2 Giải các phương trình lượng giác sau

sin 5x + sin x + 2sin2x = 1 ⇔ (sin5x + sin x) − (1 − 2sin2x) = 0

⇔ 2 sin 3x cos 2x − cos2x = 0 ⇔ cos2x(2sin3x − 1) = 0

x =5π

18+l2π3(k, l ∈ Z)

Vậy phương trình có nghiệmx =π

sin x + sin2x + sin3x = 1 + cos x + cos2x ⇔ (sin3x + sin x) + sin2x = (1 + cos2x) + cos x

⇔ 2 sin 2x cos x + sin2x = 2cos2x + cos x ⇔ sin2x(2cos x + 1) − cos x(2cos x + 1) = 0

⇔ cos x(2 cos x + 1)(2sin x − 1) = 0 ⇔

2sin x =12

cos 3x − 2sin2x − cos x − sin x = 1 ⇔ (cos3x − cos x) − 2sin2x − (sin x + 1) = 0

⇔ −2 sin 2x sin x − 2 sin 2x − (sin x + 1) = 0 ⇔ 2 sin 2x(sin x + 1) − (sin x + 1) = 0

⇔ (sin x + 1)(2sin2x + 1) = 0 ⇔" sin x + 1 = 0

2 sin 2x + 1 = 0

⇔



sin x = −1sin 2x = −1

4 Ta có

4 sin 3x + sin5x − 2sin x cos2x = 0 ⇔ 4sin3x + sin5x + sin x − sin3x = 0

⇔ 3 sin 3x + 2sin3x cos2x = 0 ⇔ sin3x(3 + 2cos2x) = 0

BÀI 3 Giải các phương trình lượng giác sau

Đối với công thức hạ bậc của sin và cosin

Mỗi lần hạ bậc xuất hiện1

2 và cung góc tăng gấp đôi.

Mục đích cả việc hạ bậc để triệt tiêu hằng số không mong muốn và nhóm hạng tử thích hợp để sau khi áp dụng công thức (tổng thành tích sau khi hạ bậc) sẽ xuất hiện nhân tử chung hoặc làm bài toán đơn giản hơn.

⇔ cos 6x + cos2x + cos4x + 2cos24x = 0 ⇔ 2cos4x cos2x + cos4x + 2cos24x = 0

⇔ cos 4x(2 cos 4x + 2cos2x + 1) = 0 ⇔ cos4x(4cos22x + 2cos2x − 1) = 0

p54cos 2x =1 +

p54

x =5π

24+kπ

2(k ∈ Z)

Vậy phương trình có nghiệmx = π

4 ⇔1 + cos2x

2 =2 +

p3

4 ⇔ cos 2x =

p3

Vậy phương trình có nghiệmx =13π

⇔ (1 + cos2x)2+ (1 + cos 2x)2= 1 ⇔ 2 cos22x + 4cos2x + 1 = 0

⇔





cos 2x =−2 −

p2

2 (vô nghiệm)cos 2x =−2 +

p22

5 sin2x + sin22x + sin23x = 2 ĐS:π

8+ kπ, 5π

8 + kπ,(k ∈ Z)BÀI 3 Giải các phương trình lượng giác sau

1 sin24x + cos26x = sin10x,∀x ∈³0;π

4 cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 ĐS:

x = −π

6+ kπ

x = −π

12+kπ2(k ∈ Z)

6 sin24x − cos26x = sin³π

{ DẠNG 1.4 Xác định nhân tử chung để đưa về phương trình tích

Đa số đề thi, kiểm tra thường là những phương trình đưa về tích số Do đó, trước khi giải ta phải quan sát xem chúng có những lượng nhân tử chung nào, sau đó định hướng để tách, ghép, nhóm phù hợp Một số lượng

nhân tử thường gặp:

1 Các biểu thức có nhân tử chung vớicos x ± sin xthường gặp là:

1 ± sin2x = sin2x ± 2sin x cos x + cos2x = (sin x ± cos x)2

cos 2x = cos2x − sin2x = (cos x + sin x)(cos x − sin x)

cos4x − sin4x = (cos2x − sin2x)(cos2x + sin2x) = (cos x + sin x)(cos x − sin x)

cos3x − sin3x = (cos x ∓ sin x)(1 ± sin x cos x)

sin2x + cos2x = 1 ⇒·sin

2x = 1 − cos2x = (1 − cos x)(1 + cos x)cos2x = 1 − sin2x = (1 − sin x)(1 + sin x)cos3x = cos x · cos2x = cos x(1 − sin2x) = cos x(1 − sin x)(1 + sin x)

sin3x = sin x · sin2x = sin x(1 − cos2x) = sin x(1 − cos x)(1 + cos x)

cos3x − sin3x = (cos x ∓ sin x)(1 ± sin x cos x)

3 − 4cos2x = 3 − 4(1 − sin2x) = 4sin2x − 1 = (2sin x − 1)(2sin x + 1)

sin 2x = 1 + sin2x − 1 = sin2x + 2sin x cos x + cos2x − 1 = (sin x + cos x)2− 1 = (sin x + cos x − 1)(sin x + cos x + 1)

2(cos4x − sin4x) + 1 = 3cos2x − sin2x = (p3 cos x − sin x)(p3 cos x + sin x)

3 Phân tích tam thức bậc hai dạng: f (X ) = aX2+ bX + c = a(X − X1)(X − X2)vớiX có thể làsin x, cos xvàX1, X2

là hai nghiệm của f (X ) = 0

Ta có:2 cos x +p3 sin x = sin2x +p3

⇔ (2 cos x − sin 2x) +¡p3sin x −p3¢ = 0

⇔ 2 cos x (1 − sin x) +p3 (sin x − 1) = 0

Ta có:cos 2x + (1 + sin x)(sin x + cos x) = 0

⇔ cos2x − sin2x + (1 + sin x)(sin x + cos x) = 0

⇔ (cos x − sin x) (cos x + sin x) + (1 + sin x) (sin x + cos x) = 0

⇔ (sin x + cos x) (cos x + 1) = 0

Ta có:(sin x − cos x + 1)(−2sin x + cos x) − sin2x = 0

⇔ (sin x − cos x + 1) (−2 sin x + cos x) + (1 − sin 2x) − 1 = 0

⇔ (sin x − cos x + 1) (−2 sin x + cos x) + (sin x − cos x)2− 1 = 0

⇔ (sin x − cos x + 1) (−2 sin x + cos x) + (sin x − cos x − 1) (sin x − cos x + 1) = 0

⇔ (sin x − cos x + 1) (−2 sin x + cos x + sin x − cos x − 1) = 0

⇔ (sin x − cos x + 1) (− sin x − 1) = 0

x =−π

2 + k2π ⇔



sin³x −π

4

´

=p−12

Ta có:¡2sin x −p3¢ ¡sin x cos x +p3¢ = 1 − 4cos2x

⇔¡2sin x −p3¢ ¡sin x cos x +p3¢ = 1 − 4(1 − sin2x)

⇔¡2sin x −p3¢ ¡sin x cos x +p3¢ = 4sin2x − 3

⇔¡2sin x −p3¢ ¡sin x cos x +p3¢ = ¡2sin x −p3¢ ¡2sin x +p3¢ = 0

⇔¡2sin x −p3¢ (sin x cos x − 2sin x) = 0

⇔¡2sin x −p3¢ sin x (cos x − 2) = 0

2 Ta có:(sin x + cos x)2= 1 + cos x

⇔ sin2x + 2sin x cos x + cos2x − 1 − cos x = 0

⇔ 2 sin x cos x − cos x = 0

⇔ cos x(2 sin x − 1) = 0 ⇔

"cos x = 0sin x =12

3 Ta có:sin x + cos x = cos2x

⇔ sin x + cos x = cos2x − sin2x

⇔ sin x + cos x = (cos x + sin x) (cos x − sin x)

⇔ (sin x + cos x) (1 − cos x + sin x) = 0

4

´

=p−12

Ta có:cos 2x + (1 + 2cos x)(sin x − cos x) = 0

⇔ cos2x − sin2x + (1 + 2cos x)(sin x − cos x) = 0

⇔ (cos x − sin x)(cos x + sin x) − (1 + 2 cos x)(cos x − sin x) = 0

⇔ (cos x − sin x)(cos x + sin x − 1 − 2 sin x) = 0

⇔ (cos x − sin x)(cos x − sin x − 1) = 0

⇔ (sin x + cos x) sin2x + cos x(cos x − sin x)(cos x + sin x) = 0

⇔ (sin x + cos x)(sin2x + cos2x − sin x cos x) = 0

⇔ (sin x + cos x)(1 −12sin 2x) = 0

2 Ta có:sin x(1 + cos2x) + sin2x = 1 + cos x

⇔ 2 sin x cos2x + sin2x = 1 + cos x

⇔ sin 2x cos x + sin 2x = 1 + cos x

⇔ sin 2x(1 + cos x) = 1 + cos x

⇔ (1 + cos x)(sin 2x − 1) = 0 ⇔·cos x = −1

⇔ sin 2x + cos x − sin x + cos x − 1 = 0

⇔ sin 2x + 2 cos x − sin x − 1 = 0

⇔ 2 sin x cos x + 2 cos x − (sin x + 1) = 0

⇔ 2 cos x(sin x + 1) − (sin x + 1) = 0

⇔ (cos x + sin x) ·1 + cos2x

sin x =sin x + cos x

sin x

⇔ (sin x + cos x)(1 + cos 2x) − (sin x + cos x) = 0

⇔ (sin x + cos x) cos 2x = 0

BÀI 4 Giải các phương trình lượng giác sau

1 4 sin2x + 3p3 sin 2x − 2cos2x = 4 ĐS: x =π

2+ kπ; x = π

6+ kπ, k ∈ Z

2 (cos x + 1)(cos2x + 2cos x) + 2sin2x = 0 ĐS:x = π + k2π, k ∈ Z

3 1 + sin x + cos3x = cos x + sin2x + cos2x ĐS:kπ,±π

1 2 sin2x −p3 sin x cos x + cos2x = 1

ĐS:x = kπ; x = π

3+ nπ

2 4 sin 2x sin x + 2sin2x − 2sin x = 4 − 4cos2x.

2 sin2x −p3 sin x cos x + cos2x = 1 ⇔ sin2x −p3 sin x cos x = 0

⇔ sin x(sin x −p3 cos x) = 0

⇔ " sin x = 0sin x −p3 cos x = 0

4 sin 2x sin x + 2sin2x − 2sin x = 4 − 4cos2x ⇔ 2 sin 2x(2 sin x + 1) − 2sin x(2sin x + 1) = 0

⇔ (2 sin x + 1)(4sin x cos x − 2sin x) = 0

⇔ (2 sin x + 1)(2cos x − 1)sin x = 0

Vậy phương trình đã cho có năm nghiệm làx = k1π,x = −π

(cos x + 1)(cos2x + 2cos x) + 2sin2x = 0

⇔ (cos x + 1)(cos2x + 2cos x) + 2(1 − cos2x) = 0

⇔ (cos x + 1)(cos2x + 2cos x + 2 − 2cos x) = 0

(2 cos x + 1)(sin2x + 2sin x − 2) = 4cos2x − 1

⇔ (2 cos x + 1)(sin2x + 2sin x − 2) = (2cos x − 1)(2cos x + 1))

⇔ (2 cos x + 1)(sin2x + 2sin x − 2 − 2sin x + 1) = 0

⇔ (2 cos x + 1)(sin2x − 1) = 0

⇔



cos x = −1

2sin 2x = 1

6 Ta có

(2 sin x − 1)(2cos2x + 2sin x + 3) = 4sin2x − 1

⇔ (2 sin x − 1)(2cos2x + 2sin x + 3) = (2sin x + 1)(2sin x − 1)

⇔ (2 sin x − 1)(2cos2x + 2sin x + 3 − 2sin x − 1) = 0

⇔ (2 sin x − 1)(cos2x + 1) = 0

⇔



sin x =12cos 2x = −1

(2 sin x − 1)(2sin2x + 1) + 4cos2x = 3

⇔ (2 sin x − 1)(2sin2x + 1) + 1 − 4sin2x = 0

⇔ (2 sin x − 1)(4sin x cos x + 1 − 1 − 2sin x) = 0

⇔



sin x =12

2 sin x cos x − sin x = 0

(2 sin x − 1)(2cos2x + 2sin x + 1) = 3 − 4cos2x

⇔ (2 sin x − 1)(2cos2x + 2sin x + 1) = 4sin2x − 1

⇔ (2 sin x − 1)(2cos2x + 2sin x + 1 − 2sin x − 1) = 0

⇔



sin x =12cos 2x = 0

9 Ta có

sin 2x = (sin x + cos x − 1)(2sin x + cos x + 2)

⇔ sin 2x = sin2x + 3sin x cos x + cos x − 1

⇔ sin2x − 1 + sin x cos x + cos x = 0

⇔ (sin x − 1)(sin x + 1) + cos x(sin x + 1) = 0

⇔ (sin x + 1)(sin x + cos x − 1) = 0

⇔





sin x = −1p

4

´

=

p22

2(cos4x − sin4x) + 1 =p3 cos x − sin x

⇔ 2(cos2x − sin2x) + 1 =p3 cos x − sin x

⇔ 2 cos 2x + 1 =p3 cos x − sin x

⇔ cos 2x +1

2=

p3