Một số vấn đề về chuỗi số và chuỗi hàm

Mở đầuChuỗi số và chuỗi hàm là một trong những chủ đề trọng tâm của giải tích toán học.Trong lý thuyết chuỗi số, chuỗi hàm thì người ta luôn quan tâm đến sự hội tụ, phân kỳ củachúng.. Tr

CAO YẾN NHI

MỘT SÔ VÂN ĐÊ VÊ CHUÔI SÔ VÀ CHUÔI HÀM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Bình Đinh - Năm 2020CAO YẾN NHI

MỘT SÔ VÂN ĐÊ VÊ CHUÔI SÔ VÀ CHUÔI HÀM

Chuyên ngành: Phương Pháp Toán sơ CẤP

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Mở đầu

Chuỗi số và chuỗi hàm là một trong những chủ đề trọng tâm của giải tích toán học.Trong lý thuyết chuỗi số, chuỗi hàm thì người ta luôn quan tâm đến sự hội tụ, phân kỳ củachúng Trong trường hợp chuỗi hội tụ thì ta cũng quan tâm đến việc tìm tổng của một chuỗihội tụ

Luận văn nhằm nghiên cứu và trình bày một cách có hệ thống các các đinh lý hội tụ củachuỗi số, chuỗi hàm và các ứng dụng quan trọng của chúng Một số phương pháp đặc biệt

để khảo sát sự hội tụ của chuỗi số, chuỗi hàm cũng như tính tổng trong trường hợp chúnghội tụ cũng được chúng tôi quan tâm nghiên cứu

Nội dung chính của luận văn được chia thành ba chương Chương 1 nhắc lại một sốkiến thức cơ bản nhất về dãy số, dãy hàm và chuỗi hàm Chương 2 trình bày các đinh lý hội

tụ của chuỗi số và chuỗi hàm, bao gồm các điều kiện cần, điều kiện đủ để chuỗi số, chuỗihàm hội tụ Một số phương pháp tìm tổng của một chuỗi hội tụ cũng được chúng tôi trìnhbày chi tiết trong chương này Chương cuối cùng dành cho việc giới thiệu một số ứng dụngcủa chuỗi Taylor trong việc tính giới hạn hàm số, tính gần đúng tích phân và tìm nghiệmgần đúng của phương trình vi phân

Luân văn sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho những ai quan tâm và muốn tìm hiểu sâuhơn các vấn đề về chuỗi số và chuỗi hàm

Luận văn được hoàn thành tại Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn dưới

sự hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Ngọc Quốc Thương Nhân đây tôi xin được bày tỏlòng cảm ơn sâu sắc đến thầy Tôi cũng biết ơn tất cả các thầy cô Khoa Toán và Thống kê đãdạy dỗ, dìu dắt tôi trong suốt 2 năm học Thạc sỹ Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạntrong lớp Cao học Toán K21 (2018-2020) đã quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốtthời gian qua Cuối cùng tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn đối với bố, mẹ và giađình và người thân của tôi

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn khôngthể trách khỏi những thiếu sót Rất mong quý thầy cô, bạn đọc góp ý để luận văn được hoànthiện hơn

3

Bịnh Định, tháng 8 năm 2020

Học viên Cao Yến nhi

4

4

Chương 1

Đại cương vê chuôi sô và chuôi hàm

Chương này dành cho việc nhắc lại một số kiến thức cơ bản nhất về dãy số, chuỗi số,dãy hàm và chuỗi hàm Các chứng minh chi tiết có thể tham khảo trong tài liệu [1]

1.1 Một sô khái niêm cơ bản của dãy sô và dãy hàm

1.1.1Một sô khái niêm của dãy sô

Định nghĩa 1.1 Dãy số là một ánh xạ a : N R được cho bởi n a(n) := a n Dãy số thường được

ký hiệu là {a n }, hoặc Pa n q, hoặc a 1 , a 2 , , a n , Trong luận văn này ta sẽ dùng ký hiệu Pa n q

Định nghĩa 1.2 Ta nói dãy số Pa n q có giới hạn là L P R nếu với mọi E > 0, tồn tại N = N:: P

N sao cho với mọi n > N ta có

Định lý 1.3 (Đinh lý hội tụ đơn điệu, [1]) Cho dãy số pa n q

1 Nếu Pa n q tăng và bi chặn trên thì Pa n q hội tụ, và hơn nữa ta có

Định nghĩa 1.4 (Dãy Cauchy, [1]) Dãy số Pa n q được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu

với mọi E > 0, tồn tại N “ Np&q P N sao cho với mọi m > n > N ta có

Định lý 1.5 ([1]) Dãy Pa n q hội tụ khi và chỉ khi Pa n q là dãy Cauchy

1.1.2Một số khái niệm của dãy hàm

Định nghĩa 1.6 (Hội tụ điểm, [1]) Dãy hàm tfn-Px'qU xác đinh trên A Ă R được gọi là hội

cho với mọi n > N ta có

|f npxq - f p x q| ă£.

Ký hiệu:

f n x ỉ > f (x), XPA.

Định nghĩa 1.7 (Hội tụ đều, [1]) Dãy hàm {/ n PxỴị xác đinh trên A Ă R được gọi là hội tụ

và mọi X P A ta có

| f npxq - f pxq| ă£.

Ký hiệu:

Nhận xét 1.8 Từ hai đinh nghĩa trên, ta dễ dàng suy ra nhận xét quan trọng sau: Nếu dãy

hàm tfn.px'qu hội tụ đều đến hàm số f Pxq trên A thì tf n PxỴU hội tụ điểm đến hàm số f Pxq

Định lý 1.10 ([1]) Dãy hàm tfn.px'qu xác đinh trên A Ă R hội tụ đều đến hàm số f Pxq trên A

khi và chỉ khi với mọi £ > 0, tồn tại N “ NPe) P N sao cho với mọi m > n > N và mọi X P A tacó

\ f m p xq — f n p x q\ ă £■

Định lý 1.11 ([1]) Dãy hàm tỉ n PxỴU xác đinh trên A Ă R hội tụ điểm đến hàm số f Pxq trên

A khi và chỉ khi với mọi E > 0 và mọi x P A, tồn tại N — N(e, x) P N sao cho với mọi m > n >

N ta có

If m Pxq - f n Pxq| ă £.

Định lý 1.12 ([1]) Cho dãy hàm tfn.px'q} xác đinh trên A Ă R và giả sử với mỗi n P N, hàm

số fn.px'q liên tục tại điểm x 0 P A Nếu dãy hàm tfn-Px'qU hội tụ đều đến hàm số f Pxq trên A

thì hàm số f Pxq liên tục tại điểm x 0

Nhận xét 1.13 Từ đinh lý trên ta suy ra nếu tfn-Px'qU liên tục trên A và tfn-Px'qU hội tụ

đều đến f Pxq trên A thì f Pxq liên tục trên A

Môt số khái niêm và tính chất của chuỗi số

Môt số khái niêm của chuỗi số

Định nghĩa 1.14 ([2]) Cho dãy số thực {a n } Một tổng có dạng

88

Định nghĩa 1.16 ([2]) Xét chuỗi số (1.1) và gọi tS n U là dãy tổng riêng thứ n của chuỗi số.

• Nếu dãy số tS n U hội tụ về số thực S thì ta nói chuỗi số (1.1)hổi tụ và có tổng là

v n Khi đó lim S n “ S và lim S' n “ S Suy ra lim pS n ' S' n) “ S ' S' n^8 n^8 n^8

Ta có điều phải chứng minh

Ta có điều phải chứng minh

Tính chất 1.3 Tính hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi số không thay đổi khi ta ngắt bỏ đi

khỏi chuỗi số đó 1 số hữu hạn các số hạng đầu tiên

+ Nếu chuỗi số ^2 u nphân kỳ Suy ra S m ' kkhông có giới hạn khi k >8 và do n“ 1

S mhữu hạn Do đó S k không có giới hạn khi k ^8

8

Suy ra chuỗi số ^2 u nphân kỳ

n=m'1

81

Bài giải Chuỗi này suy ra từ chuỗi điều hòa bằng cách ngắt bỏ đi 3 số hạng dầu tiên.8

1

Mà chuỗi điều hòa phân kỳ nên chuỗi / —-— cũng phân kỳ n“1 ' 3

1.3 Một số khái niêm và tính chất của chuỗi hàm

1.3.1 Một số khái niêm của chuỗi hàm

Định nghĩa 1.17 ([2]) Cho dãy hàm tun.px'qu xác đinh trên D Ă R Khi đó tổng có dạng

8

u n pxq “ u 1 px'q' u 2 pxq' ■ ■ ■' u n pxq' ■ ■ ■ (1.2)

n “1

được gọi là một chuỗi hàm xác đinh trên D

Khi cố đinh x “ x 0 P D thì ta nhận được chuỗi số

Nếu chuỗi số (1.3) hội tụ (tương ứng, phân kỳ) thì x 0được gọi là điểm hội tụ (tương ứng,

được gọi gọi là miền hội tụ (tương ứng, miền phân kỳ) của chuỗi hàm (1.2)

Định nghĩa 1.19 Xét chuỗi hàm (1.2) có dãy tổng riêng thứ n là ts n pxqu

1 Nếu ts n pxqu hội tụ điểm đến hàm S(x) trên D Ă R thì ta nói chuỗi hàm (1.2) hội tụ

8

u n pxq SPxq, x P D.

n “1

11

2 Nếu ts n (x)u hội tụ đều đến hàm S(x) trên D Ă R thì ta nói chuỗi hàm (1.2)hổi tụ đều

đến hàm S(x) trên D, và được ký hiệu là

Vậy chuỗi hàm trên hội tụ trong khoảng (—1,1) và có tổng s(x) “

Định nghĩa 1.20 Chỗi hàm u n (x) được gọi là hội tụ đều tới hàm s(x) trên X,

nếu @E > 0, Dn 0 > 0 : n > n 0 | s(x) — s n (x) | “ | r n (x) | ă E, @x P X.

12

1 1—x

1 1—x

1.3.2 Tính chất cơ bản của chuỗi hàm

Tính chất 1.4 Cho chuỗi hàm u n pxq hội tụ đều về hàm S(x) trên X nếu các số

n

hạng U n (x) đều liên tục tại x 0 P X thì S(x) cũng liên tục tại x 0 P X

Bài giải Ta thấy chuỗi trên hội tụ đều, có các số hạng liên tục tại x “ n

số hạng U n (x) đều liên tục trên ra, b]@n 1 thì

Tính chất 1.6 Cho chuỗi hàm u n pxq hội tụ trên Pa, bq tới SPxq, các số hạng

8 1

Ví dụ 2.2 ([1]) Xét chuỗi số V — Mặc dù n“1 n

lim a n “ lim — “ 0

n ^8 n ^8 n

nhưng chuỗi số đã cho phân kỳ

Dựa trên tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số, ta nhận được tiêu chuẩn tương tự cho sự hội tụ của chuỗi số

8

Định lý 2.3 (Tiêu chuẩn Cauchy, [1]) Chuỗi số ^2 a nhội tụ khi và chỉ khi với mọi n “1

8

8

số ^2 a nhội tụ khi và chỉ khi dãy tS n U hội tụ Mà dãy tS n U hội tụkhi và chỉ khi dãy n “ 1

tS n U là dãy Cauchy Điều này tương đương với

Lời giải Chúng ta viết lại số hạng thứ 1n

a n “ — ' Bây giờ chuỗi đã cho là

n2

chuỗi là tổng hai số hạng như sau

Chuỗi thứ nhất (chuỗi điềuhòa) là phân kỳ Chuỗi thứhai là hội tụ Do đó chuỗi

đã cho sẽ phân kỳ

□Tiếp theo ta sẽ khảo sátmột số dấu hiệu hội tụdành cho các chuỗi số màcác số hạng của nó đềukhông âm Trước tiên taphát biểu đinh nghĩa vềchuỗi số dương và chuỗi sốdương thật sự

a nhội tụ khi và chỉ khidãy tS n u

Vì hai khẳng đinh trên là tương đương nhau nên ta chỉ cần chứng minh 8

cho khẳng đinh thứ nhất Ta

kí hiệu tS n } là tổng từng phần của

chuỗi số dương thật sự

1 / 0, do đó chuỗi đã cho phân kỳ

- / 0, nên chuỗi đã cho phân kỳ

2 nếu không hoặc nếu lim tồn tại và kháclim “8 thì

phân kỳ của chuỗi 88 n >8 b n n^8 b n

p dụn

g phầ

n 1) chún

g tathấ

y rằn

l n

n “1

Định lý 2.9 (Tiêu

chuẩn tích phân, [1]).

Cho f là một hàm sốdương, liên tục, giảm

> S

N ' 1

-

ai

.

Nếu tích phân f (t)dt

hội tụ, khi đó bất đẳng thứcbên tay phải cho ta thấy rằng

1 8

dãy tS Nu là bi chặn và theo Đinh lý 2.6 dẫn đến chuỗi

a n hội tụ

n “1

p 8

Mặt khác, giả sử rằng tích phân

f (t)dt phân kỳ, và cho

M > 0 Khi đó, Dx 0 > —

f x 1sao cho F(x) I f (t)dt thỏa mãn F(x 0 ) > M Cho N “ rx 0 s,khi đó N ' — > x 0

tính dương của f dẫnđến rằng F (N ' —) > F (x 0 ) > M Theo đó S n > M

1 \

1 ' ln

vì f giảm Cuối cùng, tính cấp nguyên hàm của — -

trong trường hợp các giới hạn này tồn

tại hữu hạn hoặc vô hạn.

Định lý 2.10 (Tiêu chuẩn Cauchy, [1]) Cho

chuỗi số dương (2.1)

1 Nếu tồn tại r ă 1 và N P N sao cho C n

< r với mọi n > N thì chuỗi (2.1) hộitụ

2 Nếu C n 1 với mọi n > N thì chuỗi (2.1)

phân kỳ

3 Đặc biệt, chuỗi (2.1) hội tụ nếu C ă 1

và phân kỳ nếu C > 1.

Như vậy cho a n < r nvà sự hội 8

tụ của chuỗi (2.1) theo từ tiêu chuẩn sosánh, từ chuỗi hình học ^2 r nhội tụ

có giới hạn 0 và theo tiêu chuẩn phân kỳchuỗi (2.1) phân kỳ Đặc biệt, nếu C > 1, khi

đó DN P N* , C n> 1 ,n N và chuỗi (2.1) phânkỳ

□

Lời giải Ta có

-<a “ ( í c.r í3.',)

Chuỗi đã cho hội tụ

Định lý 2.11 (Tiêu chuẩn D'Alembert,

[1]) Cho chuỗi số dương (2.1)

1 Nếu tồn tại r ă 1 và N P N sao cho D n < r với mọi ' > N thì chuỗi (2.1) hội tụ

2 Nếu D n > 1 với mọi ' > N thì chuỗi (2.1) phân kỳ

1 pin nq n

2n

3 Đặc biệt, chuỗi (2.1) hội tụ nếu D ă 1

và phân kỳ nếu D > 1 Chứng minh.

Giả sử rằng n ' 1 < r với n > N, khi đó

bây giờ từ tiêu chuẩn so sánh, vì ^2 r k a N k “1

là một chuỗi hình học với giới hạn ban đầu

ra Nvà tỉ số r ă 1 Khi đó D ă 1, chúng ta lấymột số thực r sao cho D ă r ă 1 khi đó DN P

N*, sao cho với n > N, D n ă r và vấn đề là rútgọn đến trước 1

Bất đẳng thức D n > 1 dẫn đến rằng a n+1 > a n.Nếu điều này đúng với tất cả n > N, khi đódãy ta n u không thể có giới hạn 0 và bằng tiêuchuẩn phân kỳ, chuỗi (2.1) phân kỳ

Trong trường hợp đặc biêt, khi D > 1,

DN P N* sao cho với n > N, D n > 1 thì chuỗi

Đinh lý sau cho ta mối liên hệ về giới hạn của các dãy C n “ ?a n và D n “ a n ' 1

a n

(L - 2)k a NTiếptheo,cho tùy ý

k P N*, bằng cách lấy căn thứ PN '

Xét sự hội tụ của chuỗi số 2 p 1 n n “1

Lời giải Đầu tiên ta thử tiêu chuẩn

D'Alembert

Vậy chuỗi đã cho hội tụ

Định lý 2.13 (Tiêu chuẩn Kummer, [1])

Cho {a n U, {c n U là hai dãy số dương thật sự 8 1

sao cho chuỗi — phân kỳ Với mỗi n P N,

hội tụ Mặt khác, nếu K n < 0, n > N, khi

đó chuỗi (2.1) phân kỳ Đặc biệt, nếu

tiêu chuẩn D'Alembert, vì vậy không thể áp dụng nó

Chúng ta sử dụng tiêu chuẩn Cauchy

Chứng minh Đầu tiên giả sử rằng K n > r > 0, cho n > N Theo đó, cho n > N

Chúng ta thấy rằng dãy tc n a n U là một dãy giảm và nó bi chặn dưới bởi 0, nó hội tụ đến một

giới hạn L Cho nên

Lời giải Đầu tiên chúng ta thử tiêu chuẩn D'Alembert

vì D “ 1 và tiêu chuẩn không đem lại kết quả Tuy nhiên

vì vậy ta được chuỗi đã cho là chuỗi điều hòa và nó phân kỳ

Tiếp theo ta sẽ khảo sát sự hội tụ của chuỗi với số hạng có dấu tuỳ ý Trước tiên ta giới thiệu đinh nghĩa sau

(

a + 1)( a + )-”( a + + )

_ n! _

( a +1)( a +2) -( a + n )

hội tụ nếu a > 1 và phân kỳ nếu

Lời giải Chú ý rằng ở đây không bi giới hạn bởi a, vì vậy nếu a ă 0, điều kiện dương

và âm sẽ đan dấu Tuy nhiên, chúng ta sẽ xét chuỗi

Do đó, chuỗi 7 n—7 “1 là hội tụ tuyệt đối cho bất kỳ a P R, và bằng Đinh lý 2.16 nên n!

Định lý 2.17 (Tiêu chuẩn Leibniz, [1]) Cho tc n U là một dãy số dương, giảm và hội

vì vậy tS 2m u cũng bi chặn trên Theo đó nó là sự hội tụ, lim S 2m “ S Nó cho ta thấy rằng lim

S 2m _ 1 “ S Hơn nữa, S 2m _ 1 “ S 2m — c m S, khi m 0 Do đó dãy của

m ^8

8

n “1

Nhận xét 2.18 Chuỗi đan dấu thoả mãn Tiêu chuẩn Leibniz trên đây được gọi là chuỗi

Leibniz Từ tiêu chuẩn Leibniz trên đây, ta suy ra hai nhận xét quan trọng sau về chuỗi

Leibniz

2 Ký hiệu r n := S — S n = p—iq n pc n ' 1 — c n ' 2 ' ■ ■ ■ q là phần dư thứ n của chuỗi Leibniz Khi đó

thì phân kỳ (chuỗi điều hoà) Vậy chuỗi đã cho hội tụ có điều kiện

Bo đề 2.20 (Tổng từng phần, [1]) Cho ta n U và {b n } là hai dãy số thực, m P N và đặt n

B n b kvới mọi n P N Khi đó

Nhận xét 2.21 Công thức (2.2) tương tự như công thức tích phân từng phần

Tiếp theo ta trình bày hai tiêu chuẩn dùng để khảo sát sự hội tụ của chuỗi có dạng 8

Định lý 2.22 (Tiêu chuẩn Abel, [1]) Giả sử hai điều kiện sau đây được thoả mãn.

(i) Dãy {a n } đơn điệu và bi chặn;

Nếu chúng ta kí hiệu M “ max{Mi,M 2 }, ta có |a n | < M và |B n | < M với mọi n P N* Cho B “

P a n '1 an.q ' P a n '2 an 'iq ' ■ ■ ■ ' P a m '1 am.q am '1 an

và sau

Phương pháp này, ta được |a m+1 — a n | Cho nên

— € € ố € € € € \ S m — S n - d < M 4M ' 4 ' M 4M ' Ma — a 4'4'4 ' M 4M “ ố.

Vậy tS n U là dãy Cauchy và do đó chuỗi đã cho hội tụ

Định lý 2.23 (Tiêu chuẩn Dirichlet, [1]) Giả sử hai điều kiện sau được thoả mãn.

(i) Dãy ta n u là đơn điệu và hội tụ đến 0;

ố ố

< —— M ' —— M ' > |a k ' 1 — a k |M

7Khi đó chuỗi a k b khội tụ

Nếu x / k2n, chúng ta sẽ áp dụng tiêu chuẩn Dirichlet's với a n “ —, b n “ cos nx n

Rõ ràng, {a n U là đơn điệu và hội tụ đến 0

„ sin (n ' D x — sin 2x

chứng minh

2.2 Các định lý hội tụ của chuỗi hàm

2.2.1 Một số tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi hàm

Định lý 2.24 (Tiêu chuẩn Weierstrass, [1]) Cho dãy hàm tfn.px'qu xác định trên A Ă R và giả sử {M n u là dãy số dương sao cho

Chứng minh Cho £ > 0 và tS n U là tổng riêng thứ n của chuỗi 8f n Ta sử dụng

Định lý 2.25 (Tiêu chuẩn Abel, [1]) Cho hai dãy hàm ta n pxqu và tbn.px'qu thoả mãn các

điều kiện sau

(i) Dãy ta n pxqu đơn điệu (với mỗi x) và tồn tại M > 0 sao cho

k “1

x^ n

k “1

8

tS n U là dãy Cauchy đều Cho £ > 0 Giả sử rằng chuỗi b khội tụ đều dẫn đến dãy của

k “1

tổng riêng tB n U hội tụ đều đến tổng B hoặc tương đương, dãy của số dư R n “ B — B n

hội đều đếu 0 Khi đó DN P N* sao cho

< M , y , ' , y , / , |a k (x) — a k _ 1 (x)| ' M——.

Từ ta n u là đơn điệu, điều kiện trong tổng cuối tất cả cùng dấu hiệu, như vậy sau khi

khử bên trái chũng ta được |a m (x) — a n _ 1 (x)| không lớn hơn 2M Theo đó

£ £ £

| S m(x) — Sn- 1(x)| < 4'4M 2M ' 4 “ £

Do đó, tS n U là một dãy Cauchy đều và kết quả có từ Đinh lý 1.11 □

Định lý 2.26 (Tiêu chuẩn Dirichlet, [1]) Cho hai dãy hàm ta n (x)u và tb n (x)u thoả mãn cácđiều kiện sau

(i) Dãy hàm ta n (x)u đơn điệu giảm và hội tụ đến 0 (với mỗi x);

(ii) Tồn tại M > 0 sao cho

hội tụ đều trong khoảng (0,1)

trong A nếu và chỉ nếu De 0 > 0 sao cho N P N*, Dm > n > N và x N P A thảo mãn lf m (x N) - f n (x N )| >

Do đó, chuỗi 281 xe nx không hội tụ đều trong (0,1)

2.2.2 Chuỗi lũy thừa

Một trong những chuỗi hàm quan trọng và có nhiều ứng dụng nhất trong giải tích toánhọc là chuỗi luỹ thừa Tiếp theo chúng ta sẽ khảo sát một số đinh lý hội tụ về chuỗi luỹ thừa

Định nghĩa 2.27 ([1]) Chuỗi luỹ thừa là chuỗi hàm cố dạng

trong đó c P R và a n P R với mọi n “ 0,1, 2, a nđược gọi là hệ số của chuỗi luỹ thừa Trongtrường hợp c “ 0 thì ta nhận được chuỗi luỹ thừa có dạng

phần này ta chỉ khảo sát chuỗi luỹ thừa có dạng (2.4)

Định lý 2.28 ([1]) Giả sử chuỗi lũy (2.4) hội tụ tại điểm x “ r > 0 Khi đó nó hội tụ tuyệt đốivới mọi x P (—r, r) và hội tụ đều trong r—r 1 , r 1 S với mọi r 1 ă r

88

Khi đó dãy ta n r n u phải hội tụ đến 0, vì vậy nó bi chặn, |a n r n | < M sao cho n P N* nếu |x| ă r, khiđó

1 n

n “0

Nhận xét 2.29 Kết quả của đinh lý trên cho thấy một chuỗi luỹ thừa luôn hội tụ trong một

khoảng có bán kính R > 0 Khoảng này và bán kính R được gọi lần lượt là khoảng hội tụ và

bán kính hổi tụ của chuỗi luỹ thừa.