SAI lầm THƯỜNG gặp thi toán vào 10

TRƯỜNG THCS PHÚ LƯƠNG TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN MỘT SỐ SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG MẮC PHẢI CỦA HỌC SINH VÀ CÁCH KHẮC PHỤC A... Tìm m để độ dài đoạn HK bằng 3 đơn vị độ dài Vẽ hình Dễ dàng tìm

TRƯỜNG THCS PHÚ LƯƠNG

TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN

MỘT SỐ SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG MẮC PHẢI CỦA HỌC SINH VÀ CÁCH KHẮC PHỤC

A BÀI TOÁN RÚT GỌN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

1) Tìm x để biểu thức Pa P; a P; a P; a

Ví dụ 1: Cho

( 0; 1)

1

x

x



Tìm x để P 1

Sai sót 1:

1

x

x





Sai sót 2:

2

1 1

P

x

x do x x

x



 

0 2

0

0 1

P

x x

x x





  



Ví dụ 2: Cho 1 ( 0)

1

x

x



Tìm x để 2

3

P 

Sai sót 1:

x

x





Sai sót 2:

Điều kiện để P có nghĩa khi

1

1

x

x





x

x





2 4 1 4

169

0 0

25

x

x





   

Từ (1) và (2): 1 169

25

x

 

Các bài tập tương tự:

Bài 3: Tìm x để 0

1

x P

x

1

P

x

 Bài 5: Tìm x để P x 1 2 (x 0)

x



2) Tìm giá trị của tham số để phương trình hoặc bất phương trình có nghiệm

Ví dụ 1: Biết

( 0; 1)

A x x x x

Tìm m để A = m có nghiệm x

Sai sót 1:

2

2

2

1 1

4 4

1 0 2

Do x

    

        

Sai sót 2:

2

2

2

1 1

4 4

0

Do x x

    



   

      

2

2

2

1 1

4 4

0

0; 2

Do x x

Vay m m

    



   

      

Ví dụ 2: Biết

1 ( 0; )

9

x x

x



Tìm m để phương trình A = m có

nghiệm x

(1 3 ) 0(1)

x x

x



 Đặt

2

2

1 ( 0; )

9 (1) (1 3 ) 0(2) (1 3 ) 4

t x t t

Sai sót 1:

(1) có nghiệm khi (2) có nghiệm

2

0 (1 3 ) 4 0

1

1

m

m













Sai sót 2:

(1) có nghiệm khi (2) có nghiệm cùng không âm

2

0 (1 3 ) 4 0

1

1

m

m













Khi đó phương trình có hai nghiệm t1, t2

Vì

1 2

0

1 (**) 3

t

m



Từ (*) và (**) m 1

Sai sót 3: Phương trình có ít nhất một

nghiệm không âm

x x

m x







Đặt ( 0; 1)

3

t x t t

2

(1) t  (1 3 )  m tm 0(2)

Vì a = 1 khác 0  (2) luôn là phương trình bậc hai

(1 3 )m 4m

(1) Có nghiệm khi (2) có ít nhất một nghiệm t 0 và 1

3

t 

TH1: Phương trình (2) có nghiệm khi t =

0  m = 0

TH2: Phương trình (2) có nghiệm kép

1 0;

3

t t

2

0 (1 3 ) 4 0 1

9 1

m m















Với m = 1  t = 1(TM) Với m = 1/9  t = -4/3 ( KTM)

TH3: Phương trình (2) có hai nghiệm

trái dấu và 1

3

t 

TH1: Phương trình (2) có nghiệm kép khi

0

t 

2

0 (1 3 ) 4 0 1

9 1

m m















Với m = 1  t = 1(TM) Với m = 1/9  t = -4/3 ( KTM)

TH2 : Phương trình (2) có hai nghiệm

trái dấu  a.c < 0  m <0 TH3 : Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt cùng dương

( 1)(9 1) 0

1

9 0

m





 



Kết hợp điều kiện lại 0 1

9

m

  hoặc m = 1

2

0

(1 3 ) 0

0

0 4

0 9

ac

m

m







  

 



 













TH4: Phương trình (2) có hai nghiệm

phân biệt cùng dương ( 1)(9 1) 0

1

9 0

m





 



Kết hợp điều kiện lại 0 1

9

m

  hoặc m =

1

Các bài tập tương tự

Bài 3: Biết 2 6 ( 0)

1

x



Tìm m để P = m có nghiệm x

Bài 4: Biết 2 1 ( 0)

1

x

x



Tìm m để mP x 2 có nghiệm x

Bài 5: Biết 1 ( 0)

1

x

x



Tìm m để  x 1Pmx có nghiệm x

B DẠNG TÌM X ĐỂ P NHẬN GIÁ TRỊ NGUYÊN

Ví dụ 1: Cho biểu thức

2

x P

x





 với x 0 Tìm các số thực x để P là số

nguyên ?

Sai sót:

HS thường phân tích, rồi đi tìm mẫu thuộc vào ước của tử

5 0

P P











 

5

P x

P



do x 0

 

dấu do P+5>P-5

5 0

5 0

P

P P

 



 



ví P là số nguyên nên P= -5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4

2 1 6 4 14 {0; ; ; ; ;3; ;8;18}

9 2 7 3 3

x

x={0;9;64,324 1 16 4 196; ; ;

4 9 81 9

36

49}

Ví dụ 2: Cho biểu thức

6 P

x x





 Tìm các số thực x để P là số

Sai sót:

HS thường phân tích, rồi đi tìm mẫu thuộc vào ước của tử

x



Vì P là số nguyên nên 2P là số nguyên Khi

đó 8  x 2 hay  x 2 Ư (8),

nguyên ? Vì x  2 2 và x  2 4 với x 0;x 4

Nên  x 28; 2 Khi đó x 6; 0 hay x 36; 0 Thử lại ta thấy với x 36 thì P = 0 là số nguyên, với x 0 thì P 3

2



 không la số nguyên

Vậy với x 36 thì P là số nguyên

Các bài tập tương tự:

Bài 3: Tìm xR để M có giá

trị là số nguyên, biết

5 1

M

x





Bài 4: Tìm các giá trị của x để biểu

thức P nhận giá trị nguyên, biết

4 3

x P

x





Bài 5: Cho hai biểu thức

1

x A

x x



  và

1

B

x x





Cho biết P 1 A

B



 Tìm các giá trị x để P

nguyên

C PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL

1) Tìm m thỏa mãn số nghiệm của phương trình

Ví dụ 1: Cho phương trình

x2 – 2mx + m2 – m + 3 = 0

Tìm m để phương trình có hai

nghiệm x1, x2 và tìm giá trị nhỏ

nhất của A = x12 + x22

Sai sót 1:

Phương trình có nghiệm x1; x2 khi:

0

m

 

Sai sót 2:

Phương trình có hai nghiệm x1; x2 khi:

0

m

 

Theo hệ thức Vi ét: 1 2 2

1 2

2

x x m m

 







Ta có: A = x12 + x22

A =…

2

1 13 2

A m   

Vì

0 2

Amin = 13/2 khi m = -1/2

Phương trình có hai nghiệm x1; x2 khi:

0

m

 

Theo hệ thức Vi ét: 1 2 2

1 2

2

x x m m

 







Ta có: A = x12 + x22

A =…

2

1 13 2

A m   

Vì

2

2

1 49

3

1 13

m

    

     

Amin = 16 khi m = 3 ( TM)

Ví dụ 2 : Cho phương trình

(m+1)x2 – 2(m-1)x + m + 3 = 0

Tìm m để phương trình chỉ có

một nghiệm x <0

Sai sót 1: Phương trình chỉ có một

nghiệm x <0 nên nghiệm còn lại x >0

 Phương trình có hai nghiệm trái dấu

 a.c < 0

Xét m + 1 = 0  m = -1, thay vào phương trình, ta được x = -1/2 ( TM) Xét m  1 0 m  1

TH1 : Phương trình có nghiệm kép x < 0

( 1)( 3) 0

m

      Sai sót 2:

TH1 : Phương trình có nghiệm kép x < 0

2

' 0 ( 1) ( 1)( 3) 0

1

3

m



Khi đó phương trình có nghiệm

x1 = x2 = m – 1 = -4/3 (TM)

TH2 : Phương trình chỉ có một nghiệm x

<0 nên nghiệm còn lại x >0

 Phương trình có hai nghiệm trái dấu

 a.c < 0

( 1)( 3) 0

m

     

Kết hợp điều kiện lại ta có :

1

3

    

2

' 0 ( 1) ( 1)( 3) 0

1

3

m



Khi đó phương trình có nghiệm

x1 = x2 = m – 1 = -4/3 (TM)

TH2 : Phương trình chỉ có một nghiệm x

<0 nên nghiệm còn lại x >0

 Phương trình có hai nghiệm trái dấu

 a.c < 0

( 1)( 3) 0

m

      Kết hợp điều kiện lại ta có :

1

3

    

Ví dụ 3: Cho phương trình

x2 + 2(m-1)x - m - 3 = 0

Tìm tất cả các giá trị của m để

phương trình có hai nghiệm phân

biệt x1, x2 thỏa mãn x1  1 x2

' (m 1) m 3 m m 4

       

Dễ dàng chứng minh được  '>0 với mọi

m  Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Sai sót 1 :

HS không lập luận mà đưa ra luôn : phương trình có hai nghiệm

Vì a = 1 khác 0

' (m 1) m 3 m m 4

       

Dễ dàng chứng minh được  '>0 với mọi

m  Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Vì x1  1 x2

TH1 : Tìm m để x1 = 1 ; x2>1

x1 =1, thày vào phương trình ta được m =

4 Thay m = 4 vào phương trình, ta được:

2 1

2 2

2 1

2 2

4

m











Sai sót 2 : Vì x1   1 x2x1x2 Phương trình có hai nghiệm

2 1

2 2

2 1

2 2

4

m











(Không xét dấu của hai vế phương trình trước khi bình phương)

Sai sót 3 :

Vì

( 1)( 1) 0

m

x1 = 1, x2 = -7 ( KTM) Vậy m = 4 ( Loại )

TH2: Tìm m để x1<1; x2>1

( 1)( 1) 0

m

Kết hợp 2 trường hợp ta được m < 4 thảo mãn

Các bài tập tương tự

Bài 4:

Tìm m để phương trình

(m+1)x2 -2mx + m +2 = 0 có hai

nghiệm phân biệt

Bài 5: Cho phương trình

x2 +(m+2)x - m - 2 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 0 x2

Bài 6:

Tìm m để phương trình

x4 –(2m-1)x2 +2m -2 = 0 có hai nghiệm

phân biệt

2) Quan hệ giữa (P) và (d)

Ví dụ 1: Cho đường thẳng (d): y

= 2x + m2 – 1 và parabol (P): y =

x2 ( m là tham số) trong mặt

phẳng tọa độ Oxy

a) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai

điểm phân biệt A và B

b) Gọi H và K lần lượt là hình

chiếu vuông góc của A, B trên

trục hoành Tìm m để độ dài

đoạn HK bằng 3 ( đơn vị độ dài)

Vẽ hình

Dễ dàng tìm thấy được m 0 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ của A, B

Sai sót 1 :

HK = HO+OK HO=|x 1 | ; OK=|x 2 |

 HK =|x 1 |+|x 2 |=…

Sai sót 2 :

2

' m

 

 Phương trình có hai nghiệm

1 2

1 1

3 3

2

HK x x m

 



  



Vẽ hình

Dễ dàng tìm thấy được m 0 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ của A, B Cách 1 :

2

' m

 

Không mất tính tổng quát, ta giả sử phương trình có hai nghiệm

1 2

1 1

| 2 | 3 3 2

HK x x m

m

 



  



  

Cách 2: Theo hệ thức Vi ét:

2

1 2

2

HK 3

3

2

x x

x x m

HK x x

x x m

 





  



 



  

Kết luận…

Ví dụ 2: Cho đường thẳng (d): y

= 2x + 3 và parabol (P): y = x2

trong mặt phẳng tọa độ Oxy

a) Tìm tọa độ giao điểm của (P)

Vẽ hình

Dễ dàng tìm thấy được tọa độ giao điểm của (d) cắt (P) tại hai điểm (-1;1) và ( 3;9)

Sai sót 1: C(2;0)

Vẽ hình

Dễ dàng tìm thấy được tọa độ giao điểm của (d) cắt (P) tại hai điểm (-1;1) và ( 3;9)

và (d)

b) Gọi A và B là giao điểm của

(P) và (d) Lấy C thuộc (P) có

hoành độ bằng 2 Tính diện tích

tam giác ABC

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên trục hoành

ABC AHKB AHC BKC

S S S S

Sai sót 2: Vì C thuộc P  C(2;4)

Gọi H, I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, C, B trên trục hoành

6

ABC AHKB AHIC BKIC

ABC

S



Vì C thuộc P  C(2;4) Gọi H, I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, C, B trên trục hoành

Ta có H(-1;0), I(2;0), K(3;0) AH=|y A |=|1|=1

CI = =4 BK=…=9 HI=…=1 HK=…=4

Ta có:

6

ABC AHKB AHIC BKIC

ABC

S



Các bài tập tương tự:

Bài 3:

Cho đường thẳng (d): y = x - m

+ 1 và parabol (P): 1 2

2

y x ( m

Bài 4: Cho đường thẳng (d): y = mx + m

+ 1 và parabol (P): y = x2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy

a) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x1;y1) và B(x2;y2)

b) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên trục hoành Tìm m để độ dài HK = 4

c) Tìm m để |x1| + |x2| = 4

Bài 5: Cho đường thẳng (d) đi qia I(2;0)

có hệ số góc m và parabol (P): 1 2

2

y x

trong mặt phẳng tọa độ Oxy

a) Chứng minh (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x1;y1) và B(x2;y2)

b) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên trục hoành Tìm diện tích tam giác HIK

là tham số) trong mặt phẳng tọa

độ Oxy Tìm m để (d) cắt (P) tại

hai điểm phân biệt A(x1;y1) và

B(x2;y2) sao cho một trong hai

giao điểm có hoành độ lớn hơn 1

và y1 + y2 = 4(x1+x2)