SKKN. NHUNG SAI LAM THUONG GAP TRONG GIAI TOAN.DOC

I/Đặt vấn đềTrong chơng trình THPT Bất đẳng thức là một phần kiến thức khá quan trọng.. Bất đẳng thức có nhiều ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toán nh: Chứng minh bất đẳng thức

Trang 1

I/Đặt vấn đề

Trong chơng trình THPT Bất đẳng thức là một phần kiến thức khá quan trọng Bất đẳng thức có nhiều ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toán nh: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phơng trình, giải bất phơng trình, hệ phơng trình…

Bất đẳng thức Cauchy đợc giới thiệu trong sách giáo khoa Đại số lớp 10 ở tất cả các ban và là bất đẳng thức đợc vận dụng chủ yếu trong toàn bộ chơng trình THPT Nói đến bất đẳng thức Cauchy thì những ai đã từng học Toán THPT cũng biết, cũng nhớ nhng để vận dụng đợc một cách có hiệu quả thì lại là cả một vấn đề

Qua quá trình giảng dạy và đặc biệt là bồi dỡng học sinh khá giỏi thì tôi thấy học sinh trong quá trình vận dụng bất đẳng thức Cauchy thờng gặp những sai lầm trong đó nghiêm trọng có thể làm sai đi bản chất của vấn đề

Vì vậy tôi viết sáng kiến này cùng trao đổi thêm về cách dạy, cách học bất

đẳng thức Cauchy sao cho có hiệu quả nhất nhằm khắc phục những sai lầm hay mắc phải cũng nh định hớng để giải quyết một bài toán theo bất đẳng thức Cauchy

Nội dung bài viết gồm:

I/ Đặt vấn đề II/Nội dung III/Biện pháp thực hiện.

IV/Kết quả

V/Kết luận

Tuy bản thân đã hết sức cố gắng song không tránh khỏi những sai sót Tác giả mong đợc sự góp ý chân thành của đọc giả!

Thạch Thành, ngày 20/04/2008

Giáo viên

Đỗ Duy Thành.

II/Nội dung

a

Bình luận và lời giải

 Sai lầm thờng gặp: S = a + 1

a

1

a

 Nguyên nhân sai lầm: Min S = 2 1

1

a a

   mâu thuẫn với giả thiết a 3

Trang 2

 Phân tích và tìm lời giải: Xét bảng biến thiên của a, 1

a và S để dự đoán

Min S



30 1

a

1

3

1 4

1 5

1 6

1 7

1 8

1 9

1 10

1 11

1 12



1 30

1

10 11

1

11 12

1 12



30 1 30 Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy khi a tăng thì S càng lớn và từ đó dẫn đến

dự đoán khi a = 3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất Để dễ hiểu và tạo sự ấn tợng ta sẽ nói rằng

3 đạt tại “Điểm rơi: a = 3”

Do bất đẳng thức Cauchy xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia

phải bằng nhau, nên tại “Điểm rơi: a = 3” ta không thể sử dụng bất đẳng thức

Cauchy trực tiếp cho 2 số a và 1

a vì

1 3 3

 Lúc này ta sẽ giả định sử dụng bất

đẳng thức Cauchy cho cặp số 1

,

a a



  sao cho tại “Điểm rơi: a = 3” thì a 1

a

  tức

là ta có lợc đồ Điểm rơi“ ” sau đây

 Sơ đồ:

3

a









Từ đó ta biến đổi S theo sơ đồ “Điểm rơi” đợc nêu ở trên.

a =

Với a = 3 thì Min S = 10

3

a

3

Trang 3

 Sơ đồ điểm rơi :

2

4

a









 Sai lầm thờng gặp:

S = a + 12

.

8.2

Với a = 2 thì Min S = 9

4

 Nguyên nhân sai lầm:

Mặc dù ta đã biến đổi S theo điểm rơi a = 2 và Min S = 9

4 là đáp án đúng

nh-ng cách giải trên đã mắc sai lầm tronh-ng việc đánh giá mẫu số:

“Nếu a  2 thì 2 2 2

8.2 4

8a   là đánh giá sai”

Để điều chỉnh lời giải sai thành lời giải đúng ta cần phải biến đổi S sao cho khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy sẽ khử hết biến số a ở mẫu số

3 .

a a a

Với a = 2 thì Min S =9

4

a a



 Sơ đồ điểm rơi:

2 36

18 36

6

a









 Lời giải đúng:

S = 2 18

a

2

6

Trang 4

= 1 2 6 6 1 2

a a

a

=36 + 3 6 Với a = 6 thì Min S = 36 + 3 6

0

2

a

  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 2a + 12

a

 Sai lầm thờng gặp: S = 2a + 12

a = a + a + 2

1

3 a a 3 MinS = 3

a

Min S = 3 12

1

a a

a

    mâu thuẫn với giat thiết 1

0

2

a

 Phân tích và tìm tòi lời giải: Xét bảng biến thiên để dự đoán Min S.

10

1 9

1 8

1 7

1 6

1 5

1 4

1 3

1 2 2.a 1

5

2 9

1 4

2 7

1 3

2 5

1 2

2

1

S 100 1

2

1

2

1

2

1

2

Nhìn bảng biến thiên ta thấy khi a càng tăng thì S càng nhỏ từ đó dẫn đến dự

đoán khi 1

2

a  thì S nhận giá trị nhỏ nhất

 Sơ đồ điểm rơi 1:

2

1

2

a a









3

3 7.4

5

Với a = 1

2 thì Min S = 5.

1 2

Trang 5

2

4

a a









8a 8a 14a 3 8 8 a a 14a

2

a

    Với a = 1

2 thì Min S = 5.

1

a b







 

 Tìm giá trị nhỏ nhất của S = ab + 1

ab

 Sai lầm thờng gặp: S = ab + 1

ab

1

2. ab 2

ab

   Min S = 2

a b

ab



 Phân tích và tìm tòi lời giải:

Biểu thức của S chứa biến số a, b nhng nếu đặt t = ab hoặc t = 1

abthì S = t +

1

t là

biểu thức chứa 1 biến số Khi đổi biến số ta cần phải tìm miền xác định cho biến

số mới, cụ thể là:

Đặt t = 1

ab

1

ab t

  và t = 1

ab

4 1

a b



 Bài toán trở thành: Cho t  4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = t + 1

t

4

t









 



 Lời giải tổng hợp:

S = t + 1

t=

2 .

1 2

4

Trang 6

Với t = 4 hay a = b = 1

2thì Min S =

17

4 .

 Lời giải thu gọn: Do t = 4 1

2

a b

   nên biến đổi trực tiếp S nh sau:

2 .

16 2

Với a = b = 1

2thì Min S =

17

4 .

1

a b c







  

 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểi thức S = abc + 1

abc

 Sai lầm thờng gặp: S = abc + 1

abc

1

abc

a b c

abc

 

Biểu thức của S chứa 3 biến sô a, b, c nhng nếu đặt t = abc hoặc t = 1

abc thì

S = t + 1

t là biểu thức chứa 1 biến số Khi đổi biến só ta cần phải tìm miền xác

định cho biến số mới, cụ thể là:

Đặt t = 1

abc

1

abc t

  và t = 1

abc

27 1

a b c

 

 Bài toán trở thành: Cho t  27 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = t + 1

t

27

t









 



27

Trang 7

Lời giải tổng hợp: S = t + 1

t

Với t = 27 hay a = b = c = 1

3 thì Min S =

730

27 .

3 nên biến đổi trực tiếp S nh sau:

S = abc + 1

abc =

27 1 27 27 1 27

Với a = b = c = 1

3 thì Min S =

730

27 .

a b ab



 Sai lầm thờng gặp: S = a b ab

a b ab



 2. a b ab 2

a b ab



 Min S = 2

 Nguyên nhân sai lầm: Min S = 2  a b ab

a b ab



 = 1

ab a b ab

 Phân tích và tìm tòi lời giải: Do S là một biểu thức đối xứng với a, b nên

dự đoán Min S đạt tại a = b >0

2 1

a b a

a ab

ab a

a b a









 



Lời giải đúng:

Trang 8

S = a b ab

a b ab



1

   Với a = b>0 thì Min S = 5

2

Bài 8: Cho

, , 0

3 2

a b c









  



.Tìm giá trị nhỏ nhất của S = a+b+c+1 1 1

a b c 

S = a+b+c+1 1 1

a b c  6

1 1 1

6. a b c 6

a b c

 Nguyên nhân sai lầm: Min S = 6 1 1 1

a b c

3 3 2

a b c

     trái với giả thiết

Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán

Min S đạt tại a = b = c = 1

2

1

2

a b c





  



a b c  =

a b c

a b c a b c

a b c

a b c a b c

=3+9 3 1

.

4 abc

6

a b c a b c

Với a=b=c=1

2 thì Min S =

15 2

1 2

Trang 9

 Sơ đồ điểm rơi 2: 2 2

2

a b c







a b c  =

= 4a 4b 4c 1 1 1 3a b c

a b c

6 4 4 4 a b c

a b c

12 3

Với a=b=c=1

2 thì Min S =

15 2

Bài 9: Cho

, , 0

3 2

a b c









  



.Tìm giá trị nhỏ nhất của S = a2 + b2 + c2 +1 1 1

a b c 

S = a2 + b2 + c2 + 1 1 1

2a2b2c+

2a2b2c

2 2 2

a b c

a b c a b c

4  Min S = 39

4

 Nguyên nhân sai lầm: Min S = 39

4

2 2 2

3

a b c

3

1 2

a b c

3

2 2

a b c

     trái với giả thiết

 Phân tích và tìm tòi lời giải: Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c

nên dự đoán Min S đạt tại a = b = c = 1

2

4

a b c







1 2

Trang 10

Lời giải đúng: S = a2 + b2 + c2 +1 1 1

a b c  =

8a 8b 8c 8a 8b 8c 4 a b c

2 2 2

a b c

a b c a b c a b c

3

a b c abc

 

Với a = b = c =1

2 thì Min S =

27 4

Bài 10: Cho

, , 0

3 2

a b c









  



.Tìm giá trị nhỏ nhất của

6

=3 8 3 2 6   Min S = 3 2

Min S = 3 2  a = b = c = 1 1 1 3

2

a b c

a    b c     trái với giả thiết

 Phân tích và tìm tòi lời giải: Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c

nên dự đoán Min S đạt tại a = b = c =1

2

Trang 11

2 2 2

1

4

a b c







Lời giải 1:

a

8 16 8 16 8 16

17

1

17

2

3

a b c   a b c 

Với a = b = c = 1

2 thì Min S =

3 17 2

Xét dạng đặc biệt nới n = 2:  2 2  2 2

1 2 1 2 1 1 2 2

a a b b a b a b Dấu bằng xảy ra

1 2

0

a a

b b

biểu thức khác ở ngoài căn để nhận đợc một biểu thức linh động hơn

Xét đánh giá giả định với các số   ,

1 2

Trang 12

 

2







2 2

.

a b c



Do S là biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán S = S0 tại điểm rơi

a = b = c = 1

2, khi đó tất cả các bất đẳng thức (1), (2), (3) đồng thời xảy ra dấu bằng tức là ta có sơ đồ điểm rơi sau:

Sơ đồ:

1/

a b

b c a

c a















Kết hợp với biến đổi theo “Điểm rơi” trong Cauchy ta có lời giải sau:

Lời giải 2:





3

1 2

4















Trang 13

1 45 1 1 45

3

a b c

=3 17 2

Với a = b = c = 1

2 thì Min S =

3 17 2

Bài 11: Cho tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

T = sinA + sinB + sinC + 1 1 1

sinAsinBsinC

sinA + sinB + sinC + 1 1 1

sinAsinBsinC 6

sin sin sin

A B C



Mâu thuẫn với A + B + C = 

2



2











 Lời giải đúng:

T = 4sin 4sin 4sin 1 1 1 1sin sin sin 

3 sin sin sin

2

3

 

Trang 14

=12 1sin sin sin 

3

12 1 3 3 21 3 7 3

sin sin sin

2

A B C hay A = B = C =

3

 thì Min T = 7 3

2

Bài 12: Cho a, b, c, d > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 Sai lầm thờng gặp 1: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

a b c d a b c d

b c d a b c d a

c d a b c d a b

d a b c d a b c

a b c d a b c d



 





8

S

   Min S = 8

 Sai lầm thờng gặp 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp cho 8 số:

b c d c d a d a b a b c



        = 8  Min S = 8

a b c d

b c d a

a b c d a b c d

c d a b

d a b c

  





  



   



Vô lý

Để tìm Min S ta cần lu ý S là một biểu thức đối xứng với a, b, c, d do đó Min

S (hoặc Max S) nếu có thờng đạt tại “Điểm rơi tự do” : a = b = c = d > 0

Vậy ta cho trớc a = b= c= d > 0 và dự đoán Min S = 4 1

12 13

Từ đó suy ra các đánh giá của bất đẳng thức bộ phận phải có điều kiện dấu bằng xảy ra là tập con của điều kiện dự đoán: a = b = c = d > 0

 Sơ đồ điểm rơi: Cho a = b = c = d > 0 ta có:

Trang 15

3

b c d c d a a b c











9



Cách 1: Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

8

a b c d b c d S

 

8

a b c d b c d c d a d a b a b c

b c a c d a d a b a b c a b c d



+8

9

a a a b b b c c c d d d

12

Với a = b= c= d > 0 thì Min S = 131

3

 

1

S

12

2

3

a

3 b c d c d a d a b a b c b c d c d a d a b a b c 3

3

Bài 13: Cho a, b, c, d > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S

           

Trang 16

S

           

MinS

2

1

a b c d

b c d a a b c d

  

Do S là biểu thức đối xứng với a, b, c, d nên dự đoán Min S đạt tại

Điểm rơi tự do: a = b = c = d > 0, khi đó

4

1

S    

 Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

2

5 5

2

5 5

2

5 5

3



 

 

2 2

5

.















2 5

S

81

Cách 2:

5 3 2

1

a b a b b b a a b a

b c b c c c b b c b

x

c d c d d d c c d c

d a d a a a d d a d









Trang 17

5 5 5 5 5

S

81

1

a b c







  

 Chứng minh rằng: S = 12 12 12 2 2 2

81

a b c ab bc ca  

Giải

Biến đổi và sử dụng 2 lần bất đẳng thức Cauchy cho 9 số ta có:

S =

9

a b c

b  c  a ab bc ca   a b c ab ab bc bc ca ca  a b c ab ab bc bc ca ca

81

9

a b c ab ab bc bc ca ca a b c

1

a b c







  



Chứng minh rằng: S = 2 2 2 1 1 1

28

a b c

b  c  a ab bc ca  

Giải

Dự đoán S = 1 tại điểm rơi: a = b =c = 1

3 Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

a b c

b  c  a  ab bc ca

2 2 2 84

84 81 53 53 53

84

a b c

  53.3 81 3.53 84 28

84

28 27

1

27

3 53.3

a b c

 

 

III/Biện pháp thực hiện

Trang 18

-Trao đổi thông qua sinh hoạt 15 phút.

-Dạy trong các tiết bài tập

-Thông qua báo bảng với chuyên mục “Sai lầm ở đâu?”

-Ngoại khóa

-Dạy vào tiết tự chọn

IV/kết quả

Trong quá trình giảng dạy tôi đã làm phép đối chứng ở 2 lớp 10C3 và 10C4 Đối với lớp 10C4 tôi đã cho học sinh đọc một số cách giải sai mà học sinh

hay mắc phải và tìm chỗ sai và cách khắc phục nh thế nào Kêt quả 90% học sinh

lớp 10C4 có thể định hớng và vận dụng thành thạo bất đẳng thức Cauchy một cách có hiệu quả Trong khi đó ở lớp đối chứng 10C3 tỉ lệ này chỉ đạt 45%

V/Kết luận

Thông qua bài viết các bạn có thể phần nào thấy đợc những sai lầm thờng gặp trong việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy từ đó rút ra đợc cho bản thân cách dạy, cách học nh thế nào cho hiệu quả nhất

Trong bài viết có sử dụng một số tài liệu

1/500 Bất đẳng thức-GS: Phan Huy Khải.

2/Tuyển tập đề thi từ 1990-2005- TS: Trần Phơng.

3/Đại số 10.

Tiêu đề	Những Sai Lầm Thường Gặp Trong Giải Toán
Tác giả	Đỗ Duy Thành
Trường học	Trường THPT Thạch Thành
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Sáng kiến kinh nghiệm
Năm xuất bản	2008
Thành phố	Thạch Thành

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	770 KB