ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối 1.

Đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối

1 Đối xứng qua trục hoành :

Cho hàm số y = f(x) , có đồ thị (C)

+ Đồ thị hàm số y = f (x) , (C1) được suy ra từ đồ thị (C) như sau :

+ Viết lại y = f (x) = f (x) Khi f(x) 0

f(x) Khi f(x) < 0









 Đồ thị gồm hai nhánh :

 Nhánh 1 là phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành

 Nhánh 2, lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành Chú ý :

+ đồ thị (C1) chỉ là những phần nằm trên trục hoành

+ Tuỳ theo việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối mà có thể gặp các dạng đồ thị khác nhau

Ví dụ1 : a)Vẽ đồ thị hàm số y= x2 4x +3

Suy ra đồ thị hàm số y = 2

x 4x3 Giải : Hàm số : y= x2 4x +3

+TXD : D= R

+ Đạo hàm : y’=2x4

y’=0 <=> x=2

+ Bảng biến thiên : x   2 +

y’  0 +

y + 1 +

CT + Đồ thị : x=1 => y=0

x=3 => y=0 ; x=0 => y=3

 Suy ra đồ thị y = x24x3 (C1)

+ Viết lại y = 2

x 4x3 =







Khi ( < 0 Đồ thị gồm hai nhánh :

 Nhánh 1 là phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành

 Nhánh 2, lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm

phía dưới trục hoành qua trục hoành

Ví dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x3 3x+2

Suy ra đồ thị hàm số y= x33x2

Giải : y = x3 3x + 2

x

y

3

1

2

3

x

y

3

1

2

3

+ TXĐ : D= R

+ Giới hạn:

xlim

(x3 3x+2) = +∞ ;

xlim

(x3 3x+2) = ∞

+ Đạo hàm : y’= 3x2 3

y’= 0 <=> 3x2 3=0 <=> x 1 y(1) =0







hàm số đồng biến (∞ ;1) ; (1;+∞ )

hàm số nghịch biến trên (1;1)

+ y’’ =6x

y’’=0 <=> 6x =0 <=> x =0 => y(0) =2

BXD x ∞ 0 +∞

y’’  0 + Điểm uốn I(0;2)

Đồ thị lồi lõm

+ Bảng biến thiên : x ∞ 1 1 +∞

y’ + 0  0 +

y CĐ 0 +∞

∞ 4 CT

hàm số đạt cực đại tại x =1 ; yCĐ = 4

hàm số đạt cực tiểu tại x =1 ; yCT = 0

+ Đồ thị :

Đồ thị cắt trục Ox tại A(1;0) ; B(2;0)

Đồ thị cắt trục Oy tại I (0;2)

Đồ thị nhận điểm I(0;2) làm tâm đối xứng

Suy ra đồ thị hàm số y= 3

x 3x2 Đồ thị gồm hai nhánh :

 Nhánh 1 là phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành

 Nhánh 2, lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm

phía dưới trục hoành qua trục hoành

Ví dụ 3: Xác định m để phương trình :

x 2x 1=m có 6 nghiệm phân biệt

Giải :  khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

y= x4 2x2 1 , đồ thị (C)

+ TXĐ : D= R

+ Giới hạn :

xlim

(x4 2x2 1) =+∞ ;

xlim

(x4 2x2 1) =+∞

+ Đạo hàm : y’= 4x3 4x =4x(x2 1)

Đ

uốn

4

1

1

2

2

x

y

4

1

1

2

2

x

y

y’= 0 <=> 4x(x21) =0 <=> x 0 y(0) = 1





hàm số đồng biến trên khoảng: (1;0) ;(1;+∞ )

hàm số nghịch biến trên khoảng :(∞;1) ; (0;1 )

+Bảng biến thiên x ∞ 1 0 1 +∞

y’  0 + 0  0 +

y +∞ 2 CĐ 2 +∞

CT 1 CT

Hàm số đạt cực đại tại x =0 ; yCT =1

Hàm số đạt cực tiểu tại x =1 ; yCĐ =2

+ Đồ thị :

Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại

A( 1 2 ;0) ; B( 1 2 ;0)

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại M(0;1)

Nhận trục tung làm trục đối xứng

 Suy ra đồ thị y= 4 2

x 2x 1 , đồ thị (C1) Đồ thị gồm hai phần :

 Phần 1 là phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành

 Phần 2, lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm

phía dưới trục hoành qua trục hoành

 Dựa vào đồ thị (C1) pt : 4 2

x 2x 1=m có 6 nghiệm phân biệt <=> 1 < m <2

Ví dụ 4:a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y= x4 5x2+4

b) Xác định m để pt : 4 2

x 5x 4=m có 8 nghiệm phân biệt Giải :+ TXĐ : D= R

+ Giới hạn :

x

lim

(x4 5x2+4 ) =+∞ ;

x

lim

(x4 5x2+4) =+∞

+ Đạo hàm : y’= 4x3 10x =x(4x2 10)

y’= 0 <=> x(4x210) =0 <=>

x 0 y(0) =4







hàm số đồng biến trên khoảng( 10

2 ;0) ; ( 10

2 ;+∞ ) hàm số nghịch biến trên khoảng (∞; 10

2 ) ;(0; 10

2 ) +Bảng biến thiên : x ∞ 0 +∞

0 1

x

y

1

1

2

0

y

1

1

2

y=m

10 2

y’  0 + 0  0 +

y +∞ 9/4 CĐ 9/4 +∞

CT 4 CT Hàm số đạt cực đại tại x =0 ; yCĐ =4 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 10 2 ; yCT =9 4 + Đồ thị : Nhận trục tung làm trục đối xứng Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại A(2;0) ; B(1;0) Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại M(0;4) b)  suy ra đồ thị hàm số : y= 4 2 x 5x 4

Đồ thị gồm hai phần :  Phần 1 là phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành  Phần 2, lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành Dựa vào đồ thị (C1) Pt : 4 2 x 5x 4 =m có 8 nghiệm phân biệt 0 < m < 9/4 Ví dụ 5: a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y= x 1 x 1   , (C) b) Suy ra đồ thị y= x 1 x 1   , đồ thị (C1) Giải : + TXĐ : D = R\{1} + Tiệm cận: vì xlim(1)   x 1 x 1   = + ; xlim(1)   x 1 x 1   = => x =1 là tiệm cận đứng

vì

xlim  x 1 x 1   = xlim  1 1 x 1 1 x   =1 => y =1 là TCN

+ Đạo hàm : y/ = 2 2 (x 1)   < 0 ,  x D Hàm số nghịch biến trên (∞;1) ; (1;+∞ ) + Bảng biến thiên : x ∞ 1 +∞

y’  

y 1 +∞

∞ 1

+ Đồ thị : Đồ thị cắt Ox tại A(1;0)

y

0

10 2

1

9/4



2



4

y

0

9/4

2

2

4

y=1

2

x

y

O

1

1

1

3

Đồ thị cắt trục Oy tại M(0;1)

Nhận I(1;1) làm tâm đối xứng

b) Suy ra đồ thị y= x 1

x 1



 , đồ thị (C1) Đồ thị gồm hai phần :

 Phần 1 là phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành

 Phần 2, lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm

phía dưới trục hoành qua trục hoành

2 Đối xứng qua trục tung ( hàm số chẵn):

Hai điểm (x;y) và (x;y) đối xứng với nhau qua trục tung

=> đồ thị hàm số y=f(x) và y=f(x) đối xứng nhau qua trục Oy

 Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C)

+ Đồ thị hàm số y = f( x ) , (C2) được suy ra từ đồ thị hàm số (C) như sau : + Vì hàm số y =f( x ) là hàm số chẵn => đồ thị đối xứng nhau qua trục tung + Đồ thị gồm hai nhánh :

 Nhánh 1 là phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục tung ( ứng với x ≥ 0) , bỏ phần còn lại của đồ thị (C)

 Nhánh 2 , lấy đối xứng nhánh 1 qua trục tung

Ví dụ6 : a) Vẽ đồ thị hàm số y=x3 3x2

b) suy ra đồ thị hàm số y= x33x2

Giải: + TXĐ : D= R

+ Giới hạn:

xlim

(x3 3x2) = +∞ ;

xlim

(x3 3x2 ) = ∞

+ Đạo hàm : y’= 3x2 6x

y’= 0 <=> 3x2 6x=0 <=> x 2 y( ) = 4

x 0 y(0) =0



 hàm số đồng biến (∞ ;0) ; (2;+∞ )

hàm số nghịch biến trên (0;2)

+ y’’ =6x 6

y’’=0 <=> 6x6 =0 <=> x =1 => y(1) =2

BXD x ∞ 1 +∞

y’’  0 +

Đồ thị lồi lõm

Điểm uốn I(1;3)

y

y=1

2

x

O 1

1

Đ

uốn

2

0

2

y

4

1

3

+ Bảng biến thiên : x ∞ 0 2 +∞

y’ + 0  0 +

y CĐ 4 +∞

∞ 0 CT

hàm số đạt cực đại tại x =0 ; yCĐ = 0

hàm số đạt cực tiểu tại x =2 ; yCT =4

+ Đồ thị :Đồ thị cắt trục Ox tại M(3;0) và đi qua gốc O

b) y= x33x2 =x33 x2=f( x ) , đồ thị (C2)

+ Đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung

+ Nếu x ≥ 0 : giống đồ thị (C)  gọi là nhánh 1

+ Nếu x <0 : Lấy đối xứng nhánh 1 qua trục tung

Ví dụ 7: a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y= x3 +3x2 +1 , (C)

b) Từ đồ thị ( C) suy ra đồ thị hàm số y= x3+3x2+1 , biện luận theo k số

nghiệm của phương trình :  x33x2+1 +k =0

Giải : + TXĐ : D= R

+ Giới hạn:

xlim

(x3 +3x2 +1 ) = +∞ ;

xlim

(x3 +3x2 +1 ) = ∞

+ Đạo hàm : y’= 3x2 +6x

y’= 0 <=> 3x2 +6x=0 <=> x 2 y( ) =5

x 0 y(0) =1



 hàm số đồng biến (∞ ;2) ; (0;+∞ )

hàm số nghịch biến trên (2;0)

+ y’’ =6x +6

y’’=0 <=> 6x+6 =0 <=> x =1 => y(1) =3

BXD x ∞ 1 +∞

y’’  0 +

Đồ thị lồi lõm

Điểm uốn I(1;3)

+ Bảng biến thiên : x ∞ 2 0 +∞

y’ + 0  0 +

y CĐ 1 +∞

∞ 5 CT

hàm số đạt cực đại tại x =2 ; yCĐ = 5

hàm số đạt cực tiểu tại x =0 ; yCT = 1

+ Đồ thị : Đồ thị cắt trục Oy tại M(0;1)

Đồ thị nhận điểm I(1;3) làm tâm đối xứng

Đ

uốn

5

0

1

2

3

x

y

3

1

2

0

2

y

4

1

3

2

b) y= x +3x2+1= f( x )

+ Đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung

+ Nếu x ≥ 0 : giống đồ thị (C)  gọi là nhánh 1

+ Nếu x <0 : Lấy đối xứng nhánh 1 qua trục tung

Vậy đồ thị (C2) như hình vẽ

 pt : x33x2+1 +k =0 <=> x3+3x2+1 =k+2 (*)

Đặt y = x3+3x2+1 , đồ thị (C1)

y= k+2 , đường thẳng (d)

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của

(C1) và (d) Nhìn vào đồ thị ta có :

 k+2 > 1 <=> k > 1 : pt (*) có hai nghiệm

 k+2 =1 <=> k=1 : pt (*) có một nghiệm

 k+2 < 1 <=> k < 1 : pt (*) vô nghiệm

Ví dụ 8:a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=

2 x

x 1 ; b) Suy ra đồ thị hàm số y =

2 x

x 1 Giải :+ TXĐ : D = R\{1}

+ Tiệm cận: vì

x ( 1)

lim



 

2

x

x 1 =+;

x ( 1)

lim



 

2

x

x 1 = => x =1 là tiệm cận đứng Viết lại hàm số : y = x1 + 1

x 1 ; vì

xlim

[y(x1)]=

xlim



1

x 1 =0

=> y = x1 là tiệm cận xiên

+ Đạo hàm : y/ =

2 2

(x 1)



y’= 0 <=> x2 +2x =0 <=> x 0 y(0) =0



 hàm số đồng biến (∞ ;2) ; (0;+∞ ) ;

hàm số nghịch biến trên (2;1) ; (1;0)

+ Bảng biến thiên : x ∞ 2 1 0 +∞ y’ + 0   0 +

y CĐ +∞ 0 +∞ ∞ 4 ∞ CT

hàm số đạt cực đại tại x =2 ; yCĐ = 4

hàm số đạt cực tiểu tại x =0 ; yCT = 0

5

0

1

x

y

1

1 k+2

+Đồ thị : Đồ thị đi qua gốc tọa độ

Nhận I(1;2) làm tâm đối xứng

b) Suy ra đồ thị hàm số y =

2 x

x 1=f(x ) + Đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung

+ Nếu x ≥ 0 : giống đồ thị (C)  gọi là nhánh 1

+ Nếu x <0 : Lấy đối xứng nhánh 1 qua trục tung

Vậy đồ thị (C2) như hình vẽ

Ví dụ 9: a) Vẽ đồ thị hàm số y = x 1



 ; b) Suy ra đồ thị hàm số y= x 1



 , (C2) Giải : Giải : + TXĐ : D = R\{2}

+ Tiệm cận: vì

x (2)

lim





x 1



 =  ;

x (2)

lim





x 1



 =+ => x =2 là tiệm cận đứng

vì

xlim  x 1 x 2   = xlim  1 1 x 2 1 x   =1 => y =1 là TCN

+ Đạo hàm : y/ = 1 2 (x 2)   < 0 ,  x D Hàm số nghịch biến trên (∞;2) ; (2;+∞ ) + Bảng biến thiên : x ∞ 1 +∞

y’  

y 2 +∞

∞ 2

+ Đồ thị : Đồ thị cắt Ox tại A(1;0)

Đồ thị cắt trục Oy tại M(0;1

2) Nhận I(1;2) làm tâm đối xứng

b) đồ thị hàm số y= x 1



 =f( x ); đồ thị (C2)

4

2

x

y

1

O

2

y

1

O

y=1

2

x

y

O

1

1/2

3

2

+ Đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung

+ Nếu x ≥ 0 : giống đồ thị (C)  gọi là nhánh 1

+ Nếu x <0 : Lấy đối xứng nhánh 1 qua trục tung

Vậy đồ thị (C2) như hình vẽ

Chú ý : + Tiệm cận đứng : x=2

và x=2

Ví dụ 10: a)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số :

y=

2

x 1

 , đồ thị (C)

b) Suy ra đồ thị hàm số y =

2

 , (C2) Giải : + TXĐ : D = R\{1}

+Tiệm cận:vì

x (1)

lim





2

x 1

xlim(1)





2

x 1

 = => x =1 là tiệm cận đứng

Viết lại hàm số : y = x+2 + 4

x 1 ;

vì

xlim

[y(x+2)]=

xlim



4

x 1 =0

=> y = x+2 là tiệm cận xiên

+ Đạo hàm : y/ =

2 2

(x 1)

y’= 0 <=> x2 2x3 =0 <=> x 1 y( 1) = 1

x 3 y(3) =7





hàm số đồng biến (∞ ;1) ; (3;+∞ ) ; hàm số nghịch biến trên (1;1) ; (1;3) + Bảng biến thiên : x ∞ 1 1 3 +∞ y’ + 0   0 +

y CĐ +∞ 7 +∞ ∞ 1 ∞ CT

hàm số đạt cực đại tại x =1 ; yCĐ = 1

hàm số đạt cực tiểu tại x =3 ; yCT = 7

+Đồ thị :Đồ thị cắt trục tung tại điểm A(0;2).Nhận I(1;3) làm tâm đối xứng

y=1

2

x

y

O

1

1 1/2

3

2

3

3

1

x

y

2

7

O

2

2

b) Suy ra đồ thị hàm số y =

2

 =f( x );

đồ thị (C2)

+ Đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung

+ Nếu x ≥ 0 : giống đồ thị (C)  gọi là nhánh 1

+ Nếu x <0 : Lấy đối xứng nhánh 1 qua trục tung

Vậy đồ thị (C2) như hình vẽ

Chú ý : + Tiệm cận đứng : x=1 và x=1

+ Tiệm cận xiên : y= x+2 và y=x+2

3 Cho hàm số y = f(x) , có đồ thị (C)

+ Đồ thị hàm số y = x   g(x) , (C2) với (x).g(x) = f(x)

(C2) được suy ra từ đồ thị (C) như sau :

+ Viết lại y =x   g(x)=f (x)   



Khi x 0 f(x) Khi x < 0 =







Khi x f(x) Khi x <

Đồ thị gồm hai nhánh :

 Nhánh 1 là phần đồ thị (C) với x  

 Nhánh 2, lấy đối xứng phần đồ thị (C) với x <  qua trục hoành

Ví dụ 11: a) Vẽ đồ thị hàm số y= x 1

x 1



 , (C) b) Suy ra đồ thị y= x 1

x 1



 , đồ thị (C1) c) Suy ra đồ thị y = x 1

x 1



 , đồ thị (C2) d) Suy ra đồ thị y = x 1

x 1



 , đồ thị (C3) 2) Vẽ đồ thị hàm số y =

2

x 1

 , (C) Từ đó suy ra đồ thị hàm số y =

2

x 1

 , đồ thị (C1) 4) a) Khảo sát hàm số : y =

2

(x 1)

x 2



 b) Biện luận theo m số nghiệm pt : (x+1)2 m |x+2| = 0

3

1

x

y

2

7

O

3

2 2

2

9) a)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =

2

x 1

 b) Xác định m để phương trình : x2 2x+1 m x 1 =0 có 4 nghiệm phân biệt

