Một số phương pháp giải hệ phương trình

dành cho những bạn muốn giải được câu II trong đề thi ĐH

(lo i)

GI I H PH NG TRÌNH

Tham kh o T p chí THTT 2010

Trong các đ thi đ i h c nh ng n m g n đây, ta g p r t nhi u bài toán v h

ph ng tr ình Nh m giúp các b n ôn thi t t, bài vi t này chúng tôi xin gi i thi u m t s

d ng bài và k n ng gi i

I.H S D NG PH NG PHÁP BI N I T NG NG

c đi m chung c a d ng h này là s d ng các k n ng bi n đ i đ ng nh t đ c

bi t là k n ng phân tích nh m đ a m t PT trong h v d ng đ n gi n ( có th rút theo

ê = ë

Coi PT (2) là ph ng trình n y tham s x ta có D = x t đó ta đ' 9 2 c nghi m

( ) ( )

x

y x y

+

=î

a b x

Û í

x y

H lo i này ta g p nhi u hai d ng f x( )=0(1)và f x( )= f y (2) v i f là hàm đ n ( )

đi u trên t p D và , x y thu c D Nhi u khi ta c n ph i đánh giá n , x y đ , x y thu c t p

mà hàm f đ n đi u

* Lo i th nh t: M t ph ng trình trong h có d ng ( ) f x = f y , ph( ) ng trình còn l i giúp ta gi i h n , x y thu c t p D đ trên đ trên đó hàm f đ n đi u

ïî

y x

ïî

b a

Nên PT (3)Û =a b thay vào PT (1) ta đ c a+ a2+ =1 3a (4)

Theo nh n xét trên thì a+ a2+ >1 0 nên PT (4) ( 2 )

( l y ln hai v )

2 2

2 3

Hy v ng m t s ví d trên s giúp b n ph n nào k n ng gi i h k t thúc bài

2007

17) 8)

x y x y y

e

x

ïïî

12

32

L i gi i: D th y y¹ nên h đã cho t ng đ ng v i 0

2 2

(H vô nghi m)

3

x y x

Tr ng h p này h có hai nghi m ( ; ) 1;1

3

x y æ ö

è ø và (x y =; ) (3;1)

Nh n xét: Qua hai ví d đ thi tuy n sinh nêu trên, chúng ta th y r ng đôi khi ch c n

bi n đ i c b n, d a vào các h ng đ ng th c là có th đ c k t qu Ta xét ti p các ví d đòi h i các phép bi n đ i ph c t p h n

Bài toán 3: Gi i h ph ng trình:

12

312

x y

x y z

y z x

z

ì

=ï

+ï

ï

=í

+ï

ï

=ï

+î

Hi n nhiên h này có nghi m (x y z =; ; ) (0;0;0 ) D i đây ta xét , , x y z¹ 0

M t khác, hàm s g x( )= x- luôn ngh ch bi n khi 1 x³ nên 1 x = là nghi m duy 2

nh t c a PT(4)

V y h có m t nghi m duy nh t (x y =; ) (2;1)

Nh n xét: i v i bài toán trên, dung công c đ o hàm đ gi i quy t là r t hay, tuy nhiên, ta c ng có th tránh đ c đ o hàm b ng cách bi n đ i khéo léo nh sau:

4

è ø Suy ra g x ngh ch bi n trên ( ) 0;3

Hàm s f t( )=t5+ có t f t/( ) 5= t4+ >1 0, " nên hàm s t f t luôn đ ng bi n nên ( )

=ïïí

ï =ïî

ïí-

-ïí-

41

=

-ïí-

ï î

ïî

D ng 2: H g m m t ph ng trình b c hai và m t ph ng trình b c nh t

D ng t ng quát:

00

î3)

ïî5)

ïî7)

y x

ïî

455

î Thay vào h (*), tìm ra , S P + Lúc đó, , X Y là nghi m c a ph ng trình t2-St+P=0 (1)

Các nh n xét:

* Do tính đ i x ng c a , X Y nên n u ph ng trình (1) có các nghi m

1, 2

t t thì h (*) có nghi m (t t1; 2) (, t t 2; 1)

* C ng do tính đ i x ng nên đ h (*) có nghi m duy nh t thì đi u ki n

c n là X =Y (thay vào h tìm tham s , sau đó thay vào h (*) đ tìm đi u ki n đ )

x xy y

x y xy

ìí

x xy y

x x y y

ïí

íï

ï + + =ïî

î

432

x y z

xyz

+ + =ì

x y z

xy yz xz

+ + =ì

ï

-íï

x y z

xy yz xz

+ + =ì

ï

íï

î13)

4 4

2 2

173

x xy y

x y xy

ìí

ì

ïïí+

ïî

x y xy

ïí

7178

íïï

=ïî

=ïî

Ph ng pháp: N u f X Y là ( ; ) đa th c thì thông th ng h (*) đ c gi i nh sau:

( )

( ) ( ) ( )

y

x y

x x

234

ïî

y y x x x y

=ïïí

12

-ïí

3 3

72

x y

xy x y

ïí

ïî13)

x y x y

x y x y

ïí

ïî

y y

x x x

ïî

16) (D- 2006) CMR: " >a 0, h ph ng trình sau có duy nh t nghi m:

y x e

3

2 2

ïí

ïî

2 2

x xy

x y

= ï

-+ï

ïî

G i ý: (1) (2)- Û + = x y 89) Gi i h ph ng trình:

( )

2

126

ïî

G i ý: M i ph ng trình c a h đ u là

ph ng trình đ i s theo n ph 11) Gi i h ph ng trình:

ïî

G i ý: Bi n đ i:

2 2

x x

x x

30

x y x

x y

y x y

x y

+ì

ïí

32

-í+

ï î

-b)

1

32

42

x

x y x

-ï +îc)

-ïí

-ïî

x x

x x

y x

ï - =ïî

-ïî

G i ý: Ph ng pháp th CM pt vô nghi m

-= +

+

4 )

2

1 4 (

3 2 ) 2

1 4 (

y x y

x x y

+

= + +

49 )

1 1 )(

(

5 )

1 1 )(

(

2 2 2

2

y x y

x

xy y

6 (I)80

6 (II)8

êíêï

êï

-ë