bài giảng và lời giải chi tiết hình học 10

Nội dung mỗi cuốn sách được trình bày theo chương, mỗi chương gồm những bài học. Mỗi bài học bao gồm: A. Bài giảng: Trình bày có trật tự nội dung kiến thức liên quan (trong hầu hết các trường hợp chúng được bắt đầu bằng phương pháp đặt vấn đề) cùng với những thí dụ minh họa ngay sau đó. Trong phần này có mục phương pháp giải các dạng toán thường gặp sẽ giúp học sinh nhận dạng từng loại toán áp dụng phần lí thuyết đã học. Phương pháp giải mỗi dạng toán đó được trình bày theo các bước. B. Bài tập rèn luyện C. Hướng dẫn - đáp số

ThS LÊ HỒNG ĐỨC (Chủ biên) NHÓM CỰ MÔN

Al GIANG LOI GIAI CHI TIET

"Cách biện soạn dựa rên những hiểu biết chuyên mơn và mot trinh ds

sư phạm clđ được rèn luyện quu kinh nghiệm giảng dạy Tốn nhiễu nàn:

ở cấp học THT của các thàph viên trong Nhém Cụ Mơn

tất cả chỉ dể phù họp với những thay đổi trolg cơng cuộc efi eich giáo chục

của nước lu điện nay :

Nhĩm Cự Mơn chúng 16) 1udn mony mudn bo shel) ney đáp ủng cược chủng

một nhủ cấu thực sự hiện tay "Đổi mới phương pháp day hoe thea hướng ie

hạc trỏ làm trung tâm ` và hi yong, rang bệ sách s2 được thay SIÁO, cơ giệc và

cie em hoe sinh dén dee : fi

Nội dung mỗi cuéa ắch được trình bảy theo chương, mỗi chướng gên

những bài bọc Mỗi bài học bao gốn:

A Ba? ating Trinh bay oS brat Lự nội dụng kiển thức lên quan (trong hau het

cáo trường họp chúng được bắt đầu bằng pphưàng phán đặt vấn cl#) củng với

những th cụ mình o3 ngay #au ch

Trong phan này œư tụt Phương nhấp giải các dạng toần thường gúp 8E SÌbP

học sinh nhận cạas tửng loại tốn ap dụng phân |Í thuyết đế Bọc, Dhươas

pháp giải mỗi càng Lậa đĩ được trình bày theo các bước

Bb, Bửi tập tần tuyển

C._ "ướng dấn - Rig số

Dé bd sich ngày cảng hồn hảo hơn Nhĩm Cự Mơn chúng bối rat mong,

nhận dược những ý kiến đĩng gốp quy bau cia ban doc gin xa Moi ý kiến

dong gop xin liên hệ tới

Địa chỉ: Nhĩm tắc giá Cự Mơn do Lê Hồng Đức phụ trách

$8 nha 20 - Ngõ 86 - Dưỡng Tê Ngọc Van - Quận Tây Hồ - Ha Noi

2 Tổng của hai vectơ

3 Hiệu của hai vactœ

4 Tích của một số với mệt vect 3: Truc toạ độ và hệ trục toạ độ

„ Học chương này, các em phải hiểu được veetơ là gì, tế nào là tổng, hiệu

a hai veoto, tích của tột veclơ với một số Những kiến thức này rất quan trọng

nổ là cơ sử để học mơn Hình hạc của cả ba lớp 10 I1, 12

CÁC ĐỊNH NGHĨA

Trong vật lí ta đã gấp những; đại lượng vơ hướng, (cường, độ dịng,

điện, thời gian, ) và những đại lượng cĩ hướng: (vận tốc, lực, ) Để xác định các đại lượng cĩ hướng ta cẩn xác định cường độ vù hướng của

chúng, Từ đĩ nay sinh việc cản xây dựng; một đổi tượng tốn học được

gọi là vecdz để nghiên cửu các đại lượng cĩ hướng vả ở đồ cường độ

được thay thế bằng, đ đài cửa teclet

A BAI GIANG

$l

1, VECTOLA GI?

Định nghĩa: Vectd là một đoạn thẳng cĩ hướng:

“ Mọi dầu được xúc định là gức, cịn ddu kia là ngọm

" Hướng từ gĩc đến oe ah gọi là luưững của véctơ

« Dé dai của đoạn thẳng nại là độ dài của véctz

*— Đường thẳng đi qua điểm gốc và điểm ngọn được gọi là giả của vectơ

Kí hiệu:

1 Vecta co goc A, cipal ine loinc Ss Mies en oo của vectơ AB ký hiệu là LABI hay AB

2 Một vectơ cịn được kí hiệu bởi một chữ cái in thường phía trên cĩ mũi tên

ahi; a, by u, v, , độ đài của a được kí hiệu là Lal

1 Từ hai điểm phân biệt Ä và B cĩ thể tạo được bao nhiêu

vectd ?

Á 1Veeg JB, 2Vecu C đVeeld D 4Vectd

9, Từ n điểm phản biệt và khơng cĩ ba điểm não thẳng hàng

cĩ thể tạo được hao nhiễu veetd ?

2 VECTO KHONG

| Dinh nghia: Veet khơng là vecta cé diém ddu và điển cuối trừng nhan 3§

Như vậy, véct khơng, kí hiệu 0 là wectơ cĩ:

1 Vẽ hình trong trường hụp hai veetd AB và CĐ cùng phương, |

2 Hai veeto cing phuang vi mot veets thi ba khae O thi cá

— cùng phương vấi nhan khơng ?

Oo C

"Chú ý: Hai vectơ cùng phương thì hoặc cứng hướng hoạc ngược hướng

Hai vecld cùng hướng, ngược frướngr:

-Hai vectơ AB, CD gọi là của hướng, kỉ hiệu:

ABINGD co eat

haitiaAB,CD cing hucng

"Hal vects AB, CD goi la ngeae heme, ki higu:

AB +1 CD eo | AB/CD ị

hai tia AB, CDngược hướng

i ft 'Vectơ khơng cĩ phương, hướng tuỳ ý

‘ Cáo khẳng định sau đây cĩ đúng khơng ?

“|1 Hai vecttcùng hướng với một vectd thứ ba thì cĩ cùng hướng,

HAI VECTO BANG NHAU

h nghia: Hai vecta goi là bằng nhiều nếu chúng cùng huding và cùng độ dài ệu: Nếu hai vecto a ya 6 bang nhau ta kí hiệu:

eee

Tức DƯ N aftb

1 Cho điểm O và vectd AB Hãy dựng veetd OM sao cho

Bài tận 1 Cho hình binh hanh ABCD tam ©, Hay chi ra:

a Các vectơ khác vectơ khơng cùng hướng, ngược hướng

b._ Các vcctg khắc vectơ khơng bằng nhau

Bai tap 2 Cho hình chữ nhật ABCD tam O Hãy chỉ ra:

a Các vectd khác vectơ khơng cĩ cùng độ dài

b Các vectơ khác vectơ khơng cùng phương, cùng hướng

c Các vectơ khác veclơ khơng bằng nhau,

Bài tap 3 Cho lục giác déu ABCDEF tm O Hãy chỉ ra:

a Các vectd khác vectơ khơng cĩ cùng độ dài

b Các veetơ khác vectơ khỏng cũng nhương, cùng hướng

c._ Các veetơ khác vectơ khơng bằng nhau,

Bài tập 4 Chứng minh rằng nếu AB = CD thì AC = BD

C HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ

Bài tập 1

a Các vectg khác vectơ khơng cùng hướng là: zt

AB và pe: ‘AD và BC: AO, OA, OC va CO

BO, OB, OD va DO

AC va CA; BD và DB

b Cée vecto khie vecto khong cùng phương là:

AD, DA, BC va CB

AO, OA, OC va CO

AC va CA: BD ya DB

Bai tap 2 Tuong ty bai tap 1 — Ban doe ny Gidi

Bài tập 3 Tương tự bài tập 1 ~ Bạn độc it Giải, Mi i

Bài tập 4 Ta cĩ:

<a an AB=CD

AB = CF 5 a omen

ABTT CD

"Ta xét hải trường hợp: c D

Trường hợp 1: Nếu A B, C, D khơng thẳng hàng thì suy ra

4, TỔNG CỦA HAI VECTƠ

§2 TONG CUA HAI VECTO

Với bái số thực a va b ching ta dã đính nghữa được phén cơng a +b Do vay,

vấn để đạt ra là căn xây dựng được phép cộng cho hai veetơ a và b cùng với

việc xúe định các tính chiất kèn: theo

A BÀI GIẢNG

ngiựa: Trắng của lai tecfø ä và b là một uúctợ đhám: xắc định nhút sau:

_w Tmột điểm tủy ý A trên mặt phẳng dựng vectư AB = a

.* Từ điểm B dung vectơ BẺ = b

-w ` Khi đồ véclt AC gội là veeto tổng của hai vectd a ve B, tử viết

AC =a+b

' ga ae

“Từ định nghữu trên ta dược quy tắc ba điểm:

| AB + BC = AC, với ba điểm A, B, C bất kì,

1 Nếu cũ a+b = & thì cĩ thể suy ra Jal + lol = le] dược

f khơng ?

# 2 Hãy phát biểu bằng lời quy tắc ba điểm

' 8 Dho tứ giác ABCD Hãy xác định các vetd tổng sau:

AB + Cũ, AB + CD, AB + AD

CHẤT CỦA PHÉP CỘNG VÉCTCf

Với mọi véctd a, h và é, tạ cĩ:

Vinh chat 1° (Tinh chat giao hein): a+b = b +a

Tinh chat 2: (Tính chat ket hop): (a + b)+ 6 =a +(b

chất 3: (Tính chất của vectơ khơng): đ+Ũ=Ủ+

+e a=

1, Bử dụng định nghĩa hãy chứng minh tính chất 1)

2 Sit dung định nghĩa kết hợp với quy tắc ba điểm hãy chứng

minh tinh chat 2),

3 Hãy mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm

Thídu L: Cho bốn điểm À,B.C,D Chứng minh ring:

Việc trình bảy thí du trên theo bổn cách chi mang tinh chat minh

hoa cho những ¥ tudng sau:

L Với cách | và cách 2, chúng ta gom hai vectơ cĩ "điểm chối

của vectg thứ nhất trùng với điểm đầu của vecta thit hat" ti dé

sử dụng chiều thuận của quy tắc ba diểm

2, Với cách 3 và cách 4, chúng ta sử dụng chiếu ngược lại của quy tắc ba điểm, cụ thể "uới một xe AB hái Kì chúng ta đều cá thể

xen thêm uào gtfa một điểm tưì ý để nĩ đá phân tích được uectơ

AB thành tổng của hai 0erfd"

Thídu2: Cho hinh binh hinh ABCD Ching minh ring:

AB+AD = AB+ BC=AC

Tir thi du trén ta duge quy tde hink binh hank:

| Afi « AB = AG v6i ABCD fa hinhbinh nan |

L As e H a⁄2 $ Œ 2a D Sa,

; Gọi M là trung điểm cla AB, Chimg minh ring:

Hài tập 2 Cho 4 điểm A, B.C, D Chimg minh rang:

a, BC + AB = DC + AD b CD + BC + AB= AD

Bai tap 3 Cho 6 điểm A, B,C, D, B, F Ching minh rang:

Bài tập 6 Cho AABC đều cĩ cạnh bảng a Tính độ đài vectơ tổng AB + AC

Bài tập 7, Cho AABC vuơng tại Á, biết AB = a và AC = b Tính độ dai vecto

tổng AB + AC,

Bài tập 8 Cho AABC đều nội tiếp đường trịn tam 0

a Ching minh ring OA +OB+O0C=0

b Hãy xác định các điểm M,N, P sao cho:

OM = OA+0B; ON = OB+0C; OP = OC+OA

Bài tập 9 Cho hai vecrơ tuỳ ÿ a và b, Các hệ thức sau đúng hay sai ?

Nhân xét; 1 Để thực hiện chứng mình dẳng thức vectơ đã cho chúng ra lự!

chọn hướng biến đổi VT thành VP và hai cách giải trên đều cĩ

chung mot ý rưởng, cụ thể bằng việc lựa chon vectơ xuất phái

= Trong cach 1 ta ý thức được rằng cẩn tạo ra sự xudt hice

của wectơ AD do đĩ ta xen vào diém D `

" "Trong cách 2, ta ý thức được rằng cẩn tạo ra sự xuất hiện

của vectơ CB do đĩ ta xen vào điểm C :

2 Từ nhận xét trên hẳn các em học sinh thấy được thêm rằng cè!!

* Hai cách với việc lựa chẹn vectơ xuất phát là CT2

= Hai cách theo hướng biến đổi VP thành VT

3 Khi biết thẻm kiến thức về hiệu của hai vectơ chúng ta eồn cĩ thể thực hiện bài tốn bằng việc ' Biến đối đẳng thứa cần e¡ hứng

minh vé một đẳng thúc luận đẳng",

_ Bài tập2 Tương tự bài tận Ì — Bạn dọc: tự Ciiái,

Bài tập4 Ban doc i Giới, tap4 Aan doc uy Gidi

gi Lap 5 Ban đạc tự Giải

Bài Lập 6 Đáp Dap an C

Tự luận: Gọi M là trung điểm BC, lấy điểm A, đổi xứng với A qua M, ta cĩ

ay ABA,C 1a hinh binh hank, suy ra:

Gọi A., H,, C¡ theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, AB A

‘Ding hình bình hành AOBM bằng việc lấy M điểm M đối xứng với Ở qua Cụ ta cĩ được OM

=OA +OB, aoe điểm Đ, P được xác định lương tự B

Trong hài tận trên:

! Câua) thuộc dạng tốn "Chứng minh đẳng thút' wectd'

2 Câu b) thuộc dạng tốn "Tim diém thad mãn một đẳng thúi: uectd"

Phương pháp chung để giải những dạng toấn trên sẽ được trình bày

trong bài học 4 sau khi chứng ta đã xây dựng được ba phép tốn cơ

bản cho vecrơ là:

" Tổng của hai vectơ

" Hiệu của hai vcctơ,

"_ Phép nhân veclơ với mmỘt 56,

§3 MEU CUA MAI VECTO

“Trong bài học trước, chúng 1a đã xây dựng được phép cộng cho hai vecto a

va b © bai hoc mày, chúng ‡a sẽ xây ding phép trừ cho hai veclơ ä và b cùng với việc xác định các tính chất kèm theo

A BAI GIANG

1 VECTƠ BỐI CỦA MOT VECTo Định nghĩa: Nếu tổng của hai vectd a và b là vectg khơng, thì ta nĩi a là vectơ đổi của b, hoặc b là vectơ đối của a

Với vectơ AD cho trước, la cĩ nhận xét:

AB + BA = AA = 6 = BA là vectơ đối của AB

1 Hãy nêu nhận xét về vectd đối của veLd AB

2, Mọi vectơ đều cỏ veetd đối ?

H Đúng

Kí hiệu: Vectd đối của vectữ a ki hiệu là SN, Suyra AB =-BẬ

Nhân xét: 1 Tacha +(-a)=(-3)+& =0

2 Hai vectơ gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và cùng độ dai

"3 Veclơ dối của veetơ 0 là vectơ 0

Haặt đảng

B Sai

Thí dụ 1; Ta dã biết rằng TNết MIà trung điểm đoợn thẳng AB tì MA + MB =

a", từ đĩ suy ra MB là vectơ đối của MA và ngược lại

OM + AB = 0,

Moạt động vertd rùng nhương, cùng hướng, ngược hướng, bằng nhau, đối nhau

2 HIỆU CỦA HAI VECTU

và vectơ đổi của ung b, nghĩa là:

a-b=a +f =bJ

Phản lấy hiệu của hai vert gọi là nhép trừ veciư

Để dung ve V€ctơ a ~ b khi biết các vectơ a và b là lấy điểm A luỳ ý, từ do

I Cho điểm O và vectd AB Hãy dựng vectd ƠM sao cho

2 Cho hinh luc giae déy ABCDEF cé tam © Hay chỉ ra cúc

Dinh nghta: Hiéu ciia hai vécto a va b, ki higu a — b, lã tổng của vectơ 4

[none Hay chitng minh quy tắc trên FT _Tính chát cửa phú trừ tếctữ

a-bee oa= b+e,

“Thí dụ 2: Cho 4 điểm A, B, C D Chứng minh rằng:

_ Cách 3: Bị Biến = tương, đương đảng thức về dang:

=AD ~CD © AB + BC =ÁAD +DC © AC =AC, luơn đứng,

aa Trong bài học trước chúng ta đã cĩ 6 cách để chứng

mình đẳng thức trên và ở day chúng ta ghi nhận thêm

được những cách giải kháe, cụ thể:

" _ Trong cách 1,ta sử dụng quy tắc ba điểm và tổng của

hai vectơ đối nhau,

" Trong cách 2, ta sử dụng quy tắc hiệu của hai vectơ

Bai tap 6 eee abe a as ba Tim tap h hop diém M sao cho: oe = ci goa ata được kết quả là hạ lẫn vectơ a kí Với điểm MI bất kì ta luơn eĩ: A I B — — eines

p hiệu là 34 Trong bài học này chúng ta sẽ xây dựng định nghĩa tích của raệt a ee oN, ees ` opt ding “Trong định 1í trên tại sao phase cĩ điều Kiến xe ï ng,

a MA + MB =Ư c MA — MB = 4B, vedio vei mat sd, MA + MB =(MI + IA)+(MI + IB)=2MI + IA + IB : Chitng minh định lí

b MA —MB=BA, d MA - MB=0 A BAI GIANG =2M1, dpem He gud: Điều kiên can va du dé ba diém A, B,C thang hàng là tổn tại số k xao

Bài tạp 7 Các mệnh de sau đây đúng hay sai?

a NEua-b=ctiìn=b+c.H Đúng, D Sai

b F0 1 điển O Ding O Sai

G a-(h-EjcU D2 yD Ding D Sai

VT=(AB - AC)+ AD = CB ~ CB = Ú, đpem

Bài tập 4 Biến đổi đẳng thúc cần chứng minh về dang:

Ũ =(AD ~ ~ AF) + (BE ~ BD) +(CF - CE)= FD + DE EF

a M la trung diém AB

b Mọi điểm M trong mặt phẳng đều thoả mãn

€ Khơng tổn tại điểm M

d Khơng tồn tại điểm M

tài tập 7 Đúng

'1 ĐỊNH NGHĨA TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ

nghĩa: Tích của veelơ a vái một số thực k là một ueetơ, kí hiệu ka

xác định nh su:

“a a, Veetoka cũng nhượng với vec dỡ ä vớ sẽ ¡

Ệ * Càng hướng với yectơ a nếick >0

x Ngược hướng với veclơa nếuk <0

—_b Cổ độ đi bằng |k|.| s Ì

_ Pháp lấy tích của một veciơ với một số gọi là phép nhân veetơ với số (hoặc

_- nhân số với vecta)

m1: định nghĩa trên ta cĩ ngay các kết quả;

la=a,

(-l).a =-a,

f Cho vectd a va didm M

Mugjđệm | i,

| 3 Hãy nêu cách dựng vectd Ba

=- Cho AABC, gọi M N theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, Ta cĩ

“Cho ABC trong tim G Goi Mla trung diém BƠ Hãy biểu diễn:

1, Veetd AM theo vectd AG

2 Veetd AM theo vectd MG

eas Chứng minh rằng diém [ 1a trung điểm của đoạn thẳng AB khi và

2 TIN] CHAT CUA PHÉP NHẮN VECTƠ VỚI SỐ

Với mọi véctơ a, B và các số thực m, n, ta cĩ:

Tinh chất 1: min a) = (mn) a

Tỉnh chất 2: (m+n) a=m a +na

Tính chất 3: mia + b) =m a+n.b, Tỉnh chất 4: ma=0o40=0 hoac m= 0,

Chú ý: Thơng qua kết quả của cầu bì, ta cĩ thể khẳng định được rằng nếu

MA + MB + MC = 0 thi M JA trong tam AABC, that vay:

Mà + MB + MC = 0 <3MG = đ œ MG = ư ©M=d

‘cho AB =kAC

Thídụ 4: Cho AABC Goi 0, G, H theo thit ur la tâm đường trịn ngoại liếp,

trọng lâm, trực tâm của AABC Chứng minh rằng:

a, AH = 20E, với E là trung điểm BC

b OH=OA + OB + OC

# Chứng mình rằng Ĩ, Œỉ, H thẳng hàng

Giải

$ Gọi A, là điểm đới xứng với A qua O, ta được:

i HCA, ching vudnggée voi AC

CI BA, cing vuơng gĩc với AB

= 5 (22 AP + AC)= AP + s AC Ta Drea one ` Ặ Phượng nhấp: ti hiện a a Từ giả thiết với diém O bat kỳ, ta được:

“3A NR L?ẤN Xe eS: an AN P N a “Le & 2MC =-MB dane chứng minh hai diém A, va A, trùng sai ta lua chon mot trong hai a SS = ag 2 = kt OB — OA 3 (1)

7 =(MA + AB) +2(MA + AC) B “uC Cách 2: Chứng mình OA, = OA, vi Ola điểm tuỳ ý, (ON - OM)-(OD - OA)=k(6C - OB - OD + GA)

5 PHUONG PHAP GIAICAC DANG TOAN THƯỜNG GẶP

| Bài toán 1: Chứng mỉnh một đẳng thức vectơ |

Phương nhấp thực hiện

'Ta lựa chọn một trong các hướng biến đổi sau:

Nướng l; Bién đổi một vế thành vẽ còn lại (VT => VP hoac VP => VT) Khi

Khi thực hiện các phép biển đổi h trì sử dung:

= Quy tac ba điểm: -

w ˆ Các tính chất của phép cộng, trừ vectơ và phép nhân một số với mot vecto

Vi dụ 1: Cho AABC Goi M là một điểm trên đoạn BC, sao cho MB = 2MC

Bh & ‘fim K sao cho KA + KB + KC +3(KD + KE)=0

a Goi M,N, F la rung điểm AB, BC và AC, ta có:

=3MA + AB+2AC

©3AM = AB+2AC > AM = = AB + © AC pom,

Sen ne ene coe es ot Ss Re con 1

mỹ pháp thực hiện

Thien đổi đẳng thức vectơ cho trước vẻ dạng:

OM =6, trong dé diém © cé dinh va vecto ¥ đã biết

: Cho các điểm A, B, C, D, E

8 Tim © sao cho OA +208 +30C = 0

ob Tim Isao cho [A + 1B + 1C + ID = 0,

Giải

0 =0A +20B +30C =(0A + OC)+2(0B + OC) ˆ` =20F +40N =-2F0 +4(IN - FO)

© PG = 2 FN, suy ra điểm O được hoàn toàn xác định

có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày:

Goi P, Q là trung điểm CD, MP, ta có;

0= ]A + TH + IC + ID =2IM +2IP =4IQ œ IQ = Ú

>1=Q, suy ra diém I được hoần toàn xác định

k2: ‘Goi G Ia trọng tâm AABC, tì có:

Ö =IA+IB+IC+ID= =3Iữ + ID =-3GI +(GD - GI) 2G -16, suy ra điểm I được hoàn toàn xúc định

| Bài toán 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng |

Phương phái? thựt: hiện

Muốn chứng mình ba điểm A,, B, C thẳng hàng, ta đi chứng minh:

Để nhận được (1), ta lựa chọn một trong hai hướng:

Hướng Ì- - Sử dụng các quyt tác biến đổi vectơ đã biết

Hướng2: Xácdịnhvectơ AB và AC tháng quamội tổ hợp trung gian

Chú ý: Ta có kết quả:

“ Cho ba diém A, B, C Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là:

MC =aMA +(l —c) MB,

vei diém twp $M vd sd hue oe hát Kỳ `,

Cho tứ giác ABCD Lấy các điểm M, N theo thứ tự thuộc AD và CD

sao cho AM =k.AB và DN =k.DC,

a Chứng mình rằng MN =(I ~k).AÐ +k.BC

b, Goi các điểm E, F.1 theo thứ tự thuộc AI, BC và MN sao cho AE =l.AD,

BE =l BC và MI =I,MN, Chứng minh rằng E, F, I thing hang

<> MN - AD = k(BC — ADB)© MN =(I—k)AD +kBC, đem

a Sử dụng kết quả trong câu a), ta được:

y EF =(1-1).AB +1.De, (3)

BI =(1- NAM +1DN =(1-1),k AB +1k.DC

=kí(I ~l).AB + I.DC ] (4)

“Ti (3) va (4), suy ra: El =k EF 4+ E, F, thẳng hàng,

eee Khe dint đặc tính hức K của đổi tượng 5 khi nó thoả mãn một đẳng

HN sta pis thực hiện

: = tích được định tính xuất phát từ các đẳng thức vectơ của giả thiết,

làm ý tối những hệ thức đã biết về trung điểm của đoạn thang va trong tam

Cho tứ giác ABCD Giả sử tồn tại điểm Õ sao cho:

ta được:

6 = OA + OB + OC + OD =20M +20P @ OM + OP =6

> M, P, O thing hing va O 1a trung diém MP (2)

th sO = OA + OB + OC + OD =20N +209 & ON + 00 = 0 See ee eee Ce

>N, Q, O thang hang va O là trung điểm NQ, (3)

TW (2), (3), suy ra MNPQ là hình bình hành suy ra

_ * A.C, O thẳng hàng và Ö là trung điểm AC

_* B,D, O thang hang và Ö là trung điểm BỊ)

Do dé ABCD [i hinh binh hanh (4)

4 “Từ (1) và (4) suy ra ABCD 1a hinh chit nhat

Ta hua chọn một trong hai hướng:

Plướmg !: — 'Từ giả thiết xác định được tính chất hình học rồi từ đó khai

triển vectơ cần biểu diễn bằng phương pháp xen điểm hoặc

hiệu của hai vectơ cùng gốc

Hướng 3: — 'Từ giả thiết thiết lập được mối liên hệ vectơ giữa các đối trong

rồi từ đó khai triển biểu thức này bằng phương pháp xen điểm

hoặc hiệu của hai vectơ cùng gốc

Vị dụ 6; - Cho AABC trọng tâm G Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CT = 3HI

và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC

Hài tập 1 Cho ÀA,B,C¡ và AA ;B;G, lần lượt có trọng tăm là G,, G, Đẳng thức

vectơ sau là đúng hay sai (Giải thích việc lựa chọn) ?

yecto sau là đứng hay sai (Giải thích việc lựa chọn) ? Ụ

a IA +b IB+c1C = ñ H Đúng o Sai

4ap 4 Cho AAHC Gọi M là trung: điểm của AB và N là một điểm trên

nh AC, sag cho NC = 2NA,

a Xác định điểm K sao cho 3 AB + 2AC ~ 12AK =Ũ (i)

b Xác định điểm D sao cho 3AB +4AC -12KD = 6, (2)

Š Cho tứ giác ABCD, M là điển tuỳ ý Irong mỗi trường hợp hãy tìm điểm cố định I, J, K sao cho các đẳng thức vectơ sau thoả mãn với mọi

7 Cho AABC, M là điểm tuỳ ý trong mật mật phẳng -

‹- Chứng mình rằng vectơ ¥ =3MA -5MB +2MC không đổi

` Tìm tập hợp ni những điể điểm MI thoả mãn:

MA +2MB — 2MCI=IMB — MC

i top 8 Cho hinh binh hanh ABCD tam O, Lay các điểm 1, J sao cho:

3IA +2IC-~ 21D = 0, JA -21B +2IC =6

g minh rằng I, J, O thing hing

Cho AABC, lấy các điểm 1, J thod mãn:

IA =2IB, 31A +21C =Ö

E mình rằng LJ di qua trọng tâm G của AABC

P10 Cho AABC, điểm M trong mặt phẳng thoả mãn:

MN = MA + MB + MC

Chứng minh rằng MN luôn di qua tong tim G cla AABC khi M thay di

+ Goi Ƒ là trung điểm của CN Chứng minh rằng MP luôn di qua một

điểm cố định khi M thay đổi

lài tap 11 Cho AARC, có các cạnh aGA +b.GB +¢,GC = 0 h bằng 2 a, b, ¢ va trong tâm Œ thoả mãn:

femal kL a es Hài tập 12 Cho AABC, có cúc cạnh Ẹ h,c, Gọi Á., Bị, C, theo thứ tự là chân

các đường phân giác trong kẻ từ A, B €:

a Tinh AA, theo AB va AC

b Ching minh ring AABC 1a tam giác đều néu: Ad Ay + BB, 1 CC, =

Bai tap 13 Cho tứ giác ABCD, gọi M, ie P, Q theo thứ tự là trung điểm của

AB, CD, BC, AD thoa man MN + PQ = ; (AB + BC+ CD + DA), Chứng mình

tảng AICD là hình bình hành

Bai tap 14 Cho AABC, có các cạnh a, b, c Goi Aj, By, C, theo thứ tự là chân

các đường cao từ A B, C, Chứng mình rằng AABC là tam giác đều nếu;

AA, + BB, + CC, =0

Bài tập 15 Cho AABC Gọi A,, B„, C, theo thứ tự các tiếp điểm của đường

tron nội tiếp AABC với các cạnh BC, AC, AB Chime minh rang AABC là tam

giác đều nếu AA, + BB, + cE =1

C HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ

Bài tập 1 Voi G, Gy là trong tí tâm các AA,B,C, và AA;B;C;, !a có:

Nhận xét rằng khi quay đa giấc một góc bằng es thì;

= Đa giác vẫn không đổi, nên: 0A, =0A,

, Khi đó các đỉnh Ä;, .À, chia thành hai phần đối xứng qua trục ĐA,, bảng

'eách lận tổng các cập vectơ đối xứng => dpem

Như vậy, để chứng mình OA = 0 ta có thể sử dụng tính chat

“Vectơ kháng là vectở cá phương hướng tu} ý"

Hài tập 3 Lxmg hình bình hành AlB,IC; có AB,VCC, và AC/fBB,, tì được:

“Thay (5) vào (2), ta được:

3AB +4AC —12(AD -G AB nh

AB =2(A AB + AC) ©s D là trung điểm BC

27

Bai tập 5 Y -Bài tạp E0

ạ Dap dnc P : ạ Tat ae đổi (1) về dang: pie th Chú ý: ' ‘ạ Với G là trọng tầm AABC ta luôn có: uP

Tw luận: Vì (1) thoä mãn với mọi tiểm M, do dé đúng với M s Ị khi đó:

21A +IB =kll =Ö (1.1)

= Tir¢1.1), ta duce:

21A +(IA + AB)= Õ - IA vas AB :

=> xác định được điểm 1

s- Tữừ(1,1),ta được: 2MA + MB =(2+ I)MI =3MỊ

'Từ (1) và (1.2), suy ra: 3MI =kMI =k=3

b ĐápánC

Tự luận: V Vì (2) t thoả mãn với mọi điểm M, do đó đúng với M = I, khi đó:

JA +JB +2]C = kW =0 (2.1)

" Gọi Elà trung điểm AB, từ (2.1), ta được:

2JE +2]C = Ũ <> l là trung điểm của CẸ

" Gọi G là trọng tâm AABC, từ (3.1), ta được:

3KG +3KD = 0 «> K là trung điểm của GD

* Từ(11),La được: MA + MB + MC +3MD =6MK, (3.2)

Từ (3) và (3.2), suy ra 6MK =kMK > k=6

Chú ý: Bài toán tìm điểm có thể được mở rộng thành bài toán tìm tập hợp điểm

(quĩ tích) Với các bài toán qui tích ta cần nhớ rằng:

MA =k MC - MB) <> MA =kBC

<=> M thuée đường thang, qua 4 AN \ song song với BC

b, Ta biến đổi (2) vé dang: MA + MB - k( MA + MC hat, (3) Goi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và AC, tà được:

(3)©2ME -2kME = 0 ME =kME

<> M thuộc đường trung bình IÄF của AABC

Bai tap 7

ạ ‘Ta cd:

¥ =3MA -5MB +2MC =3(MA — MB)+2(MC - MB)

j =3BA +2BC, không đổị

‘b, Goi [ là điểm thoả mãn hệ thức

3IA +21 -2I€ = 0 = tổn tại duy nhất điểm Ị

“Ta được:

Mit kitdc, ta cling co MB - MC = CB, (2) Thay (1), (2) vio hé thife cita cau b), ta được:

2 Khi ta ching minh duge ba diém A, B, [thằng hàng và trong đó:

» A, Bthay déi (dn tới đường thẳng AB thay đổi)

" Icốđịnh thì bài toán còn có thể phát biểu dưới dạng "Chứng mình rằug đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cỡ dịnh "

Ta lưu ý các kết quả sau:

a, Cho trước hai điểm A, B và hai số thực œ, B thod man a + B #0, Nếu có

MN =aMA + MB thì đường thẳng MN sẽ cắt đường thẳng AB tại điểm Ï thoả mãn:

TA +ÐIB = Ö,

Đặc biết khi œ = B # 0 thì | là trung điểm của AB

b._ Chotrước ba điểm A, B,C và ba số thực ơ, [3, y thoả mãn œ + 8 +1? # 0 Nếu

có MN =œMA +BMB ++MC thì đường thẳng MN sẽ đi qua điểm

cố định I thoä mãn:

GA + GR + GC = 0

Từ giả thiết ta nhân được:

MN = MA + MB + MC =3MG

Vay MN luén di qua trong tim G cua AABC khi M thay đổị

b, Vì 'P là trung điểm của CN nên;

MP = s(MC + MN) = 5 (MC + MA + MB + MC)

= 5 (MA + MB +2MC),

Gọi J là điểm thea man:

JA +JB+2IC=0 44 a + AR)+2(A + AC)=ö

._ Nău|MA I=[MBI,với ẠB cho trước thì MIhuộc đường trung trực của đoạn AB | Ê?-ẺÓ) £ JĐÁ +20 ảQD na œ]A +B1B +yÏC = x a=0

MC ABI vidi 4 2-301 +30A + 2(- — 2(-OB)= 0 - biệt khi œ = B= illa AABC, ‘Bai tap 12,

kính bảng k.AB : amet <3 OF = “(OA 4.208) oF (3) c Việc mở rộng cho n điểm A„¡ = 1n và bộ n số thực œ„¡ = ln thoả Zee điện BA, oc c BA es BA, _ AA,-AB CÁ ai

ạ Wik e R điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với BC (he hen Wien! } 2B — Of Đa 2(0C - OF)= 0 ia iy) A,C ¢ BA,+A,C BC AC-AB

b, Vai k 6 R7 điểm M thuộc nửa đường thang qua A song song voi BC =-O] + OA -20B +200 =0 bộ "rạ IA —2ïB =0 @) <> AA, -AB= e (AG - Bye AA, - xB + AC

=O] + OA -20B + 2X-OA)= 06 O] =-OA — @ Biến đổi (3) về dạng: 6 c theo hướng BC a a &-O] + OA -20B +2(-OA)= 0 OJ OA -20B (4) Rae 20 a) © Weg STS Be h X -.-

c Với kc R điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với ï 30A - Ï)+2( - l)= ỗ 31A +2I€ =35H (4) rst :

Trừ theo vế (4) cho (3) ta được: ees, =——_ BC + —"_ fa © po * ap,

ngược hướng BC | OI =-+ oj =I, J, O thẳng hàng = ` ey ri vi Eb yee "ca cha cra c+a

mm

es: arb a+b ath §5 TRUC TOA nd WA BE TRUC TOA BO 16 dii dai số của vectg trên trực Thídụ 4: one “a toa độ của vectơ ạ„ biết Ũ PF

Néw hai diém A, B adm trén trac Ox thi toe độ của vecto AB duow kí hiện là ae a=3i—4j bì qg==ị

A ee Lavy) lv Kiến thức về true và hệ trục toa độ Dứ — các vướng géc đã được giá h

0 = AA, + BB, + CC, thiệu trang chương trình toán THCS, Trong bài học này chủng ta sẽ ~ | AB AB god là dé dai dai sé cia yecto AB trên truc OX Giải

b me Bay, ‘ ay hes é b hon ¥é.cae kha: nim nay cling mot số ứng dụng của nỏ : man : ¿¿ ih Ta được ai3, -4)

€ one: T4 Từ định nghĩa trên chúng ta cổ những khẳng định sau: ; xét: Từ định nghĩatog độ của vectg.ta có ngay kết quả:

‘ b = True tog dé (cén goi là truc, hay true số) là „một đường thẳng trên chả ức | 2 AB + BC = AC 2 AB + BC AC ‘SS — a i ae oe i =yỵ

+{ ae 14t ) inh một điểm ( va mội vecte i cd A&B dai bằng 1 | Boal dono Hãy chị ứng minh các khẳng địa định trên "a ss tae t f

b a c Scr : >.n Thí dụ2: Trên trục Õx cho hái điểm A va B Goi 11a trung điểm của AB Tinh St ee 1.1

=t>—.-——t+ -~——)AC- Trục toa độ như vậy được kí hiệu là (O, 7 ) (hoe Ox) trong đó: ce re a : " 5 L

bie eta bho atb bs Điểm Ó oi là gốc tog độ Oe PIN toa độ điểm | thea x Xp ie Neu co hai vecto ăx y,) và b (x,, ya) thì:

AAS Saipan AMS ERE BC A RR s ĐI NA IÐ + “ a @: a+b =(x,+%,y,+y,) via — b =(x,—x, ¥,- 4)

bee cha c#a i = Vecto i goi li vecf đơn vị ca trục toa đ, Tị [x, =OI=OA+Al=x„ +Al (ij; ka (x _" (kx, ky,) ke R

Vì AC và BC là hai vecrơ không cùng phương, nên đẳng thức trên đúng Toa dé của veclơ và của điểm trên trực iF =Ø1I =(QB+ HI = xạ + BỊ ae

khi và chỉ khi: Tạ có nhận xét sau: Nhu Xị (ii): Sb oe ee

See ee ace en eee = Porat vectơ u nằm trên truc (O, ¡ } thìtồn tai duv nhất sốa để u =<ai Kh ; ee 3 Ee

oN phe “al “il SAGE = TT 96 a duce coi Tat đã iB ee tu 2, HETRUC TOA DO Thidus: Với ẵ2 3) và b (3 4), ta có:

Số n TT Tu Ũ trực (O, 1 ) | at pe Ra n0 ben gi 7 F6 Tọp ĐỤC Kết 6E 14” tow da a+b =(1,7) và a — b =(-5,~1)

3 -

| opt tyne

" Với điểm Mi nàm trên trục (O, i ) thì tổn tại duy nhat sé mdé OM =m ị Khi

đó, số m due goi 14 toa dé erie diéim M đối vái tree (O, i) (cing chinh

la toa d6 cla vects OM}

Thí dụ 1; Trên trục Ox cho hai điểm A và H lần lượt có toa độ là a và b

@ Tim toa dé cla vectơ AB và vectơ BẠ

b Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn thing AB

Giiai _ AB =OB - OA =bi -ai =(b-a)i = vet AB có toa độ là b— ạ

g BA=-—AB =-(b-a)i =(a—byi = vecto BA có toa độ là a — h

ˆ Với Ï là trung điểm của AB, ta có:

ol = Loa 3 (OA + OB) ae sal +biy= Lear - oli md

= điểm Ï có toạ độ là 5 (a+b)

| Trên trục Ox cho hai điểm A và B lẫn lượt có toa độ là Ø và -1

Tim toa đã của veetd AB VÀ veer RBA Tim ton dé trune diém | Ó# và Qy tông góc với nhat (kí hiéu lit Oxy hoặc (O: 1, 13)

Vectơ đơn vị trên Ô+ là i, veeter don vi tren Oy la j

= — Điểm O-vai id o¢¢ toa dé Truc Ox et lì trac hod tc Ov vot (a true tunẹ

Chú ý: Khi trong mặt phẳng đã cho một hệ trục toạ độ, ta sẽ gọi đó là mat phẳng toa độ

3, TOA BOCUA VECTO DOI VOI HE TRUC TAA BO

| Định nghĩa: Đổi với hệ trục toạ độ (O: tị j), nêu ä=xi +V] "cặp (x,y) được gọt là taạ đà của vwerizR, kí hiệu = (x, ¥) hay a (x, y) Sở thứ nhất X gọi là

| hoành đó, số thứ hai Y gọi là tung độ của vector a, =

Thí dụ 3; Biểu diễn vecto ủ đưới dạng ä =x i+ vị, biết:

` _ Nếu [ là trung điểm AB thi i mee }

Nếu G là trọng tâm AADC thì GLÊ^ SE) cs : YatYat¥e )

3

H BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài tập 1 Xác định toạ độ của veetơ ¿ từ đồ suy ra độ dài vectơ c, biết:

€=ã +3b, với a(2,—1), b(3, 4)

Bài tập 2 Cho hai điểm Af-1, 1), BOL, 3) ma

a, Mác định toạ độ của các vectơ AB, BA

b, Tìm toa độ điểm M sao cha BM (3, 0)

Bài tập 3 Hãy biểu diễn vectơ c theo các vecto a, b, biết:

ä(2,—l), b(-3, 4) và c(—4, 7), ý

Bài tập 4 Cho bốn điểm A(I, Ù), B2, - 1), C4, 3) và D6, 3) Hãy biểu diễn

vectơ AD theo các vectlơ AB, AC,

Bài tập 5 Cho AABC, biết A(—1.3), B(2,4), C(O,L) Tìm toa độ:

a Trọng tâm G cla AABC,

b, ectơ trung tuyển AA,

c Tam I cha đường trồn ngoại liếp AABC

d Điểm D, sao cho ABCD là lình bình hành

Bài tập 6 Cho ba điểm A(1, L): B3, 3); Œ2, 0)

a Tính diện tích AABC, : `

b Hãy tìm tất cả các điểm M trên trục O sao cho gĩc AMB nhỏ nhất |

Bai tap 7, Cho điểm M(4, L), hai điểm A(a, 0), B(U, b) với a, b > Ø sao cho A, |

B, M thẳng hàng Xác định toa độ của A, B sao cho:

a, Diện tích AOAB nhẻ nhấi

b, OA +OB nhỏ nhất,

sếp ae ~ nhỏ nhất,

OA OB*

Bai tap 8 Cho AABC, biét ACI, -3), B(3, —5), C(2, — 2) Tim toa do:

a Giaodiém E của BC với phân giác trong của gĩc A,

b Giao điểm F của BC với phan giấc ngồi của gĩc A

Bài tập 9 Tim giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

y.taduge AD = 3AB +4 AC

(Qua hai ví dụ trên, ta thấy rằng để giải bài tốn "Hãy biểu didn vecto ¢(c,, ;)

“vecty a (a) ay), b(b, bạ)" 1a thực hiện theo các bước:

il: Giảsửc =œa +b

my TACĨ:

(1)

()

aa +Bb =a(a,, a) + Bld, b,) = (ca, + Bb,„ ứa; + Bb;)

Vậy (1) xảy ra khi và chỉ khi:

= AH” + AC = BC! > AABC vuơng tai A

Vậy, diện tích AABC được cho bởi:

: Ae aos sẽ Agee be OL?

oe + =" dat dug Khi:

I maT

4>

b=17

17 A(—0 G ) B(O,17)

Si B 5 F : eC : sit E(x, y), theo tính chất phân giác

y=Yx)+xtl + JX°-K+1= yours a + \a-3 vỗ

Xét các điểm Af — nh, BS - By va nan, 0), khi dé:

AM= vx? 4x41, BM= vx’ -x+1,

SUY F8:

S=AM+BM>AB=l

Vậy, ta được Su = 1, dat được khi:

A, B, M thẳng hàng © AM//AB = toa độ của M

BÀI TẬP ƠN TẬP CHUONG I Bài tập 1: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh rằng:

AB - CD = AC + DB

Bài tập 2: Cho tứ giác ABCD, Ï và 1 lần lượt là trung điểm của hai duéng chéo

AC va BD Chứng minh:

AB+ CD =2H

Bài tập 3: Cho AABC Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên

cạnh AC, sao cho NC = 2NA Gọi K là trung điểm của MN

a Ching minh ring:

Bài tập 4: Cho AADC Lấy điểm M bất kỳ trong tam giác Chứng minh rằng:

Suuạc MA + SamaceMB + Sivan MC = 0

Kết quả trên cịn đúng khơng khi M ở ngoai tam gidc ?

Bài tập 5: Cho hai điểm A, B Xác định điểm M biết MA - 3MB = 0

Bài tập 6: Cho hai điểm A, B và một vectơ # Xác định điểm M biết:

hãy tìm số k và điểm cố dinh I, J, K sao cho các đẳng thức vectơ sau thoả mãn

ới mọi điểm M

a MA +2MB =kMi,

b 2MA + MB - MC =kMi

Cy MA + MB + MC +3MD =kMK

tập 9: Cho trước hai điểm A, B và hai số thực ơ, thoả mãn œ + B z 0

“a Ching minh rằng tổn tự duy nhất điểm I thoa min a TA + BIB = 6

b Từđĩ suy nà với điểm tất kỳ M,ta luơncĩœMA +RMB =(x+B)MI

Hài lập 10: Bài tốn trên được mở rộng tự nhiên cho ba điểm A, B, C và bộ ba

ực œ, ƒ, y cho trước thoả mãn ơ + J + y # 0, tức là:

Chứng mình rằng tồn tai duy nhất điểm Ï thoả mãn:

N œIA +B1B +yI€ = 0

b Từ đĩ suy ru với điểm bất kỳ M, ta luơn cĩ

ì œMA +RMB +†yÌC =(œ+B++)MI, 11: Cho AABC, tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:

‘a IMA + MB + MCI = 31M + MCI

IMA +3MB -2MCI=2MA - MB - MCI

p12: Cho AABC, tim tap hợp những điểm M thộ mãn:

a kMA + MB =kMC,keR

MA +(1—~K)MB -kMC =0.keR

[tập 13: Cho tứ giác lỏi ABCD Gọi M N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB,

CD, DA Chứng mình rằng bai tam giác ANP va CMQ cĩ cùng trọng tâm

ap 14; Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, § lần lượt là trung điểm

AB, BC, CD, DE, EF, FA Ching minh ring hai tam giác MPR và NQS§ cĩ

trọng tâm

Bp 15; Cho luc giác ABCDEF cĩ AB vuơng gĩc với EF và hai tam giác

Yà BIF cĩ cùng trọng tâm Chứng minh rằng AE? + EF? = CD?

tận 16: Cho AABC Lấy các điểm A,c HC, B,e AC, C,e AB sao cho:

BA CB Aœ

; inh rằng —~ = — + = ——+,

a Ching mini we BE aa AB b Xác định vi trf ca A,, B,, C, dé AA,, BB, và CC, đồng quy

Bài tập 17: Che AABC Lấy các điểm M, N, P sao cho:

Bài tập 19: Cha AABC, trọng tâm G Lấy các điểm 1 J sao cho:

21A +31 = đ, 2IA +5IB +31€ = Ư

a Chứng minh rằng M, N J thắng hàng, với M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và BC

b Ching minh rằng ] là trung điểm của BỊ

¢ Gọi E là điểm thuộc AB thoả mãn AE = kAB, Xác định k để €, E, !

thẳng hàng

Bai tap 20: Cho AABC Lấy các điểm M, N sao cho:

MA - MB + MC =0,

NA + NB-3NC =0

Chimg minh ring M, N, G thẳng hàng, với G là trọng tâm AABC

Bài tạp 21: Cho AABC, điểm M trong mật phẳng thoả mãn:

MN = MA +5MB - MC

a Ching minh ring MN ludn di qua một điểm cố dịnh khi M thay đổi

b Gọi P là trung điểm của CN Chứng minh rằng MP luơn di qua một

điểm cố định khi M thay đổi

Bài tạp 22: Cho tứ giác lồi ABCD, điểm MĨ trong mặt phẳng thoả mãn:

MN = MA +2MB -3MC +4MD

a Chứng minh rằng MN luơn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi

b Gọi P là trọng tâm của AABN, Chứng mỉnh rằng MP luơn đi qua một

điểm cố định khi M thay đổi

Bài tập 23: Cho AABC Giả sử tổn tại điểm O sao cho:

LƯA BI 0BI-1OĨỂ

OA+OB+0C =0

at

hi tập 24: Cho AABC, gợi Œ là trọng tạm tam giấc và E, là điểm đối xứng của

ua G Hay biéu dién cac vecto sau theo AB va AC:

a CB c MB, vi MJa tung diém BC

p AB,- tập 25:Cho AABC, gọi G là trọng tâm tam giác và B, là điểm đối xứng của

qua Cỉ Hãy biểu diễn các vectơ sau theo AG và AB, :

` %, AB b AG

Bài tập 26:Clto hình bình hành ACD tâm Ư Hãy tính các vectơ sau theo AB

a Al, v6i T là trung điểm BO

b._ RG, với G là trọng tâm AOCD

Bài tập 27: Cho lục giác đều ABCDEF Hãy biểu diễn các vectơ sau theo các

Weedu = AB, v = AE

p29: Cho AABC, biết A(I, 0), B(— 3, ~ 5), C(0, 3)

Xác định toạ độ điểm E sao cho AE =2BC

Xác định toa d6 diém F sao cho AF = CF = 5,

Tim tập hợp các điểm M sao cho:

p 30: Cho AABC, biết A(4, 6), Bí1, 4), CỨ, ; }

Chứng minh rằng AABC là tam giác vuơng, Tim toa độ tâm [ của đường trịn ngoại tiếp AA BC

“Tìm tận hợp các điểm M sao cho:

flap 31: Cho AABC, biết A(1, — 2), B(0, 4), C3, 2) Tìm toạ độ của:

-8 Trọng tâm G của AADC

b Vecto trung tuyén AA, Be: Điểm D, sao cho ARCD là hình bình hành

_ đ Tâm 1 của đường trịn ngơại tiếp AABC, ad

e.- Điểm Mbiết CM =2AB -3AC

ƒ._ Điểm Nbiết AN +2BN —4CN =ư

Bai tap 32: Cho điểm MíL + 21, I + 30 Tìm điểm M sao cho x}, +44 mho

nhat

Bài tập 33: Cho ba diém A(0, 4), B(3, 2) va DG, 0)

inh rễ B.C thang hàng, biết rằng C(—6 ~ 3t, 8 + 21)

Bai tap 38: Cho diém M(2, 1), hai diém Afa, 0), B(O, b) với a, b>0 sao cho A

B, M thang hàng Xác định toạ độ của À, B sao cho:

b._ Tìm tỉ số mà điểm B chia đoạn AC

Bài tập 37: Cho hai điểm A(0, 2) và B(4, -3) Tìm toa độ:

a Trung điểm Icủa ÀH

b Diém M, saocho MA +2MB = 90,

Pp

pai tap 38: Cho AABC, bit ACI, 1), Bí2, 4), C16, 1ì Lấy ede diém M,N

ma xả đường thẳng AB, CA, BC sao cho các điểm đĩ lần lượt chỉa các dott

thang theo eet s6—1 == 2

, ƯƠNG II - TÍCH VƠ MƯỚNG CỦA

HAI VECTO VA UNG DUNG

“Chúng ta đã biết về tích của một vectơ với một số để nhận dược một vectr7

(lÀ một đại lượng cĩ hướng) cịn cĩ tích vơ hướng của hai vectơ, tức là phép

nhân vị hướng của hai vectơ với nhau và kết quả của phép nhân nay là một số

thực, vì vậy người ta goi tích đĩ là tích vỏ hướng

_ Chương này trình bày các tính chứt cơ bản của tích vơ hướng và những tng dụng của nĩ đặc hiệt là những hộ thức quan trọng trong tam giác (dịnh lí cðsin, định lí sin, cơng thức trang tuyến, các cơng thức tính điện tích tam Biác ] và trong đường tron,

Chương này gồm ba bài hoc:

| Giá trị lượng giác của một gĩc bất kì

2 Tích vỗ hướng của hai vect+

3 Hệ thức lượng trong tami gide

Các em học sinh cắn biết vận dụng các kiến thức cơ bản này dể giải một

Sổ bài rốn hình học và bài tốn thực tế

§I GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

vi sao cho MOx = ơ Giả sử điểm M cĩ toạ độ (x, y) Khi đĩ:

"_ Tung độ ý của điểm M gọi là sin của gĩc ơ, kí hiệu là sind

" Hồnh độ x của điểm M gọi là cơsiH của gĩc œ, kí hiệu iầ cost

"_ Tỉsớ © (voix £0) gọi là tang của gốc œ, kí hiệu ` : là tana

= Tỉsõ Š (với y #0) gọi là cðfang của gác œ, kí hiệu là oto

[Hơm động | Tìm giá trị lượng giác của các gĩc 00, 4B", 1352, 180"

Giá trị lượng giác của hai gĩc bù nhau

a sin(I80'— ca) =sina 6

b cost 180" — a) =— cosa, d

sing, = V„ C0SGŒ = Ä, lang = a

x

tan(180" - o) =- tana

cot] 80" — ce) = — cote

Hàm số lượng giác của hai gée phu nhau

tập 1 Hãy lập bảng xét dấu các giá trị lượng giác

ập 2 Xét sự biến thiên của các hàm số lượng giác

ấp 3 Tính giá trị của biểu thức:

A =4sin'135° + 4/3 cos'150° — 3cot?120!,

lip 4 Tinh gid tri cila bidu thie:

a= a¥.sin 180° ~ b'2.sin 195° ~ 2ab? cos 150”

a cot £150" — b.cos 0° + 2a tan 60° ‘ p5, Biết tin75° =2 + 3 , tinh giá trị các hàm số lượng giác của:

Bi lập 6, Biết cosg = 2

4 Tinh sina, tana, cota

Tính giá trị của biểu thite A = SAS TEES

S$ =cos10" + cos30" + + cosi$0"+ cosl70"

c HUGNG DAN- DAP SO

Bài tập 1 Ta cĩ ếc kết qua sau:

a Với hầm số y= sinx trên [Ũ, 180'] ta cĩ:

« Ham sé nhan gid trị dương và déng bién trén [0, 90"),

= Ham sé nhan pid tj duong va nghich bién trén [90°, 180°]

b Véi him s6 y =cosx trén (0, 180"), ta cĩ:

» Ham sé nghich bien wen (0, 180")

c Với hàm số y = tanx trén [9, 180h|90°], ta cĩ:

=_ Hàm số nhận giá trị dương và dồng biến trên [U, 90")

a Hàm số nhận piá trị âm và đồng biến trên (90°, 1807],

d Với hàm số y = cotx trên (Ứ, 180°), ta cĩ:

li =b' V2 + ab = ~b*+ah°+/3 i b?(av3 -b) sơ

A ~a/3—b+2a-l3 av3—b ay3—b

ƠI một trong hai cách sau:

lung ket quả trong 4), tả được:

Bài tập 7 'Ta cĩ thể thực hiện theo hai cách sau:

Cách !: Ta biến đổi VT của đẳng thức:

ire {4 —cosa)? -(v1+cosa)? | ủ [

vil + cosa)(1— cosa)

Cách 2: Ta biến đổi VT của đẳng thức:

at 1- cosa ? 1+ cosa 3 {i—cosa [1+ cosa

T+cosa l—cosa Vi+cosa, ÝI—cosœ _ (cosa)? + (1+ cosa)’ -2(1 ~ cos* a)

im L-cos? a

2

_[-2eosơ ]ÏÏ_ 4cœ” ø Ising | :

4cos* a sin’ &

Bài tập 8, Viết lại S dưới dang:

§ =(cos10' + cos170) + (cos30° + cos150”) +

+ (cos50! + cos 30°) + (cos70" + cas110") + cos90

= (¢os10° — cosi0") + (cos30" — cos30") +

+ (cos5Ú' — cos50") + (cos70" — cos70")

'TÍCH Vơ HƯỚNG CỦA HAI VECT@

Bai hoe nay nêu ra định nghĩa của tích võ hướng cùng với các tinh chất cơ bản của nơ Các em học sinh phải biết vận tụng những kiến thức

cơ bản nảy để giải một số bài tốn hình học và bãi tốn thực tế,

A BÀI GIẢNG

“ GIỮA HAI VECTƠ

o lui vecto a và 6 (a, 6 # 0) Tirdiém O nào đĩ, ta vẽ các vectơ OA

OB = b Khi đĩ:

gĩc AOB được gọi là số do của gác giữa hai vectơ ä và b, hoặc Lhạ vectơ ä và b -

ngay việc xác định gĩc gitta hai xectơ khơng phụ thuộc vào việc chọn

đĩ gác giữa hai vectơ i vd b được kí hiệu là (8, b)

„hì= 90° thi ta néi rằng hai 0ectơ ä và b vuơng gác với nhan, kí

Lb

Cho AABC vuơng tại A, biết Đ = 42", Tính các gĩc:

(BA, BC); (AB, BC); (AC, BC); (BA, AC)

Giải

B , BC) = 42"

, BC) = 90" + 42" = 1320:

ẠịÁC, BC) = 90" — 42"= 48", i, aS

(BA, AC)=90!,

1 Khi nào gĩc giữa hai yeets bing 0"?

H Hai veetd cùng hướng F1 Hai veetd ngược hướng 2 Khi nào gĩc giữa hai veetd bằng 180" ?

H Hai vectd cùng hướng F1 Hai vectd ngược hướng

NGHĨA TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

a: Tích võ hướng của hai vectø ä và b kí hiệu là ä.b là một ]

ớt xác định bải:

Lai

ä.B = |ã||b|.cos(ä,b)

Vidi moi vecto a, b, eens

Tính chải i: — (Tính chất giao hoán): = ba

Tinh chdt2: (Tính chấi phân phốïy ñ.(b + c) = 4.b + 4.c

Tính chất 3: m(§).b =m(ñ.b)

[Egdimg —] Hãy chúng mình cóc tính chất của tích vôhướn,

các tính chất của tích vô hướng, ta có thể chứng minh gen ie

thức vẻ tích võ hướng sau:

(a+b) = |äƑ +|BỊ! +2ä.B

(ä —b} = |ãƑ+|bl°~2ã.b

(ã + B)(ã - B) = |ã— |BỆ

Thí dụ 2; Cho AABC đều cạnh a, trọng tâm G

a Tính các tích vô hướng AB.AC và AB.BC

b Gọi [là điểm thoả mãn IA -2IB +4IC = 0 Chứng minh rằng BCIG

là hình bình hành, từ đó tính IA(AB + A€), IB.IC, IA.IB

< Gọi M là trung điểm BC, ta được:

mm TA(AB + AC)=(1G + GA).2AM = 21G.AM +2GA.AM

IB =(IG +GAVXIG + IC)=+1G.IC +GA.1G +GA.IC

=K#+IG.IC + GA.GB = K#+IGICax3f+GAGBoml2f (+8) ava 43 „ nV3 ny3 17a?

etn ốc n6 an Tê

h a.b = a,.b, + a;.b;

Gée œ giữa hai vectơ ä và h xác định bởi:

Ta lựa chọn một trong các cách sau: ig ›

“Cách l: Sử dụng định nghĩa hằng cách đưa hai vectơ ä, b về cùng gốc

Cách 2: Sử dụng các tính chất và các hàng đăng thức của tích vô hướng

của hai vectơ, Cách 3: Sử dụng định lý hình chiếu: với A', là hình chiếu của A, B lên

giá của CD, ta có: AB.CD = A'B.CD

MA.MB +

a,

bai OA LOB, OC LOD va OA + OB + OC + OD =O

b Nhận xét rằng B là hình chiếu vuông gốc của N lên AB, do đó:

NA.AB = BA.AB =—AR.AR =~AR? = ~n”

c Goi K là trung điểm của AB, suy ra MÍ là hình chiếu vuông góc của Ö lên AB,

do đó;

NO.BA = BK.BA = 2 san 2

Chú ý: Với các bài toán có điều kiện, chúng ta cần vận dụng linh hoạt điều kiện

dể nhận được hiểu thức cần dùng, cụ thể giả sử bài toán yêu cầu tính:

A=(œä +jl¡bXơ;a +B;h)

biết rằng |a | = ä,|b|=b và |a + b|=e, khi đồ ta hiểu rằng:

A=g,0y8” + B\B;b + (0,8; + 02B,)a.b

= œa;8” + B,B;b” + (a,B; + oạBị)a.b

Như vậy từ giả thiết ta cần nhận được giá trị của tích a.b, để có được nó ta

': Với sác biểu thưíc về rích võ hướng ta sử dụng định nghĩa hoặc

tính chất của tích vê hướng, cản đặc biệt lưu ý phép phân tích

vectơ để biến đổi,

+ Với các biểu thức về độ dài ta thường sử dụng AB = AB?,

Chu MM, là đường kính bất kỳ của đường tròn tâm O, bin kinh R

m cố định và OA = d Giả sử AM cất (Ö) tại N, _ Chứng minh rằng tích võ hướng AM.AM, cá giá trị không phụ thuộc M _ Chứng mình rằng tích AM AM có giá trị không phụ thuộc M

„` Giải

.AM, =(OM — GA)(OM, - OA)

= OM.OM, -(OM + OM, ).OA + OA?

VS, .AN = AM.AN = AM(AM, + MỊN)

= AM.AM, + AM.M,N =d?-R?

Chứng nủnh nh vuông góc — Thiế lập điểu kiện vuông gốc |

hip thua" hiện

0

0

COS(A, a,b) =0

lÍ r4, ta còn sử dụng các tính chất của tích vô hướng

Nếu ä(a, a,) và b (bị, b,) thì diểu kiện ä.Lb ¢>a,,b, +a,.b, =0

Cho bổn điểm A, B, C, D Ching minh ring ABLCD khi và chỉ khi: AC’ + BD’ = AD’ + BC’ (1)

= (ÁC - R€)(AC + BC) +(BD - AB)(BD + AB)

= AB(AC + BC)+ BA(BD + AD)

= AB(AC + BC - BD - AD)= AB DC

= AB LCD

4: Sit dung tich vo hung gidi các bài toán định lượng, định tính

Phương phán thuc hién

1 Với các bởi toán định lượng, ta sử dụng các kết quả:

a Gọi œ là góc giữa ä và b, ta có:

ab lal.ibl

b._ Để tính độ dài đoạn AB, ta thuc hién AB? = AR?= AB.AB

rồi thực hiện phép phân tích vectơ AB thành tổ hợp các vectơ cơ sở

3 Với các bài taán định tính, ta biến đổi điểu kiện ban đầu thành biểu thú:

của tích võ hướng, rồi từ đó dẫn tới

alb

afb

từ đó đưa ra lời kết luận cho bài toán

Ví dụ 4; Cho ABC vuông, có cạnh huyền BC = 8x3, M R trung điểm BC

Biết rằng AM đế «, „tính độ đài AB và AC

Giải

'Từ giả thiết ta được;

2 ——— —— — —— — ae

os = AM BC = 2 (AB + AC)(A€ - AB)

= (AB AC) = 2 (AB'~ AC)

& AB - AC? =a",

Mặt khác theo Pitago, ta được:

AB? + AC? = BC =( a3 y= 3a’,

Giải hệ phương trình tạo bởi (1), (2), ta duc AB= ay2,AC =a,

'Ta biến đổi biểu thức ban đầu về một trong các dụng sau:

Dang !: AM?=k>0.thìÌM thuộc đường tròn tâm A, bán kính R= vk

MA.MRB =k voi A B cố định và k không đổi Khi đó:

= Gọi Ï là trung điểm AB, ta được:

k= MA MB = (Mi + TA)(Mi + iB)

& =(MI + IA}.(MĨ - IAJ]=ME - iL’

không đổi Khi đó:

* Gọi K là điểm thoa man:

Lay KA, | = 0 :>> tồn lại duy nhất điểm cố định K,

" Từdó;:

3;œ¡MA, = Ša, MK = œMK, với a= Si,

x Khí đồ ta được

MA.MK = —

MA.BC =k, vdi A, B, C c6 dinh Khi dé:

= Goi M,, A, theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M, A lên

BC, ta được:

k= MA.BC = M,A,.BC & Ma, =“,

có giá trị không đổi và do A„ cố định nên M, cố định

"= Vậy điểm M thuộc đường thằng vuông góc với BC tại MỊ, Đặc biệt khi k = Ú thì M thuộc đường thẳng qua A vuông góc với

BC

¬- ba diém A, B, C không thẳng hàng Tìm tập hợp những điểm M

6 MA.MB — MA.MC =¿? - MIB' + MC”, với a = BC

trong đó G là trọng tâm AABC, và goi M,, G, theo thứ tự là hình chiếu vuông

góc của M, G lên BC, tà được:

3M,G, BC —a? <> M,G, =

do G, cố định nên M, cõ định

Vậy điểm M thuộc đường thẳng vuông góc với HC tại Mu,

{ Đài toán 6: Sử dụng biểu thức toa độ của tích vò hướng

Ga -4h)J(2a +Sb}, Giải

Giả sử ä (a,, a;), b Œị, b;), từ giá thiết suy ra:

a+a; =1

= 4b? +53 =1 a,.b, +a,-b, =1

ap t+al=1

bj +b; =1

via, +b,’ +(a, +b,)? =2

Ta có:

(a —4b 2a + 5b) =(3a, — 4b, 3a, — 4b,).(2a, + 5b,, 2a; + 5b,)

= (3a, — 4b, VAN 2401 CHẾT 4b,)(2a, + 5b„)

=6(aƒ +a3)— 20( b? + b3)+ 7(a;b, + a,b,) = 6— 20+ 7 =~7

Cha ý: Bài toán trên cũng có thể giải bằng tích vô hướng thuần tuý, cụ thể:

Từ giải thiết, suy ra: 1 Luii (a+ bBj=4e+a'+bi+2a,b =4e»n.b=

(3a -4b)(2a +5b)=6a2- 2067+ 7a.b =6-204+7=-

B BAI TAP REN LUYEN

Baitap 1, Cho AABC cé cae canh bang a, b, c

a Tah AR AC thena bee

Goi M 1a tung diém BC va G là trọng tâm AABC, tính độ đài AM từ đó

‘guy ta do dai AG

Tinh cosin goc nhon tao boi AG va BC,

ập 2- Cho nửa đường tròn đường kính Al3 Có AC, BD là hai day cung nứa đường trụ tròn, cát nhau tại T:, Chứng mĩnh ring:

AB AC + BE BD = AB’,

Cho AABC vuông tại A, goi M 1a trung diém BC L.ấw các điểm BỊ,

AB va AC sao cho AB.AB, = AC.AC,, Chimg minh rang AM 1 B,C

4, Cho hình thang vuông ABCD, hai đáy AD = a, BC = b, dutng can

- Tìm hé thức liên hệ giữa a, b, h sao cha:

- BDLCT, với Ï là trung điểm của AH

ACLDI

_ BMLLCN, var M,N theo thứ tự là trung điểm cla AC va BD

Cho hinh binh hanh ABCD, biel ring véi moi điểm M luôn có: MA’ + MC’ = MB + MD?,

ứng minh rằng MA” - ME + MC? = MI’ — 2(0B* — OA?),

ä sử MỊ dị động trên đường trồn (dì, xác định vị trí của M để

~ MB + MC đạm giú trị nhỏ nhất

Cho AADC, biết A(1, 2), B(— 1 1), C(% — 1)

C05 xà sin túc A

foa d6 chan duéng cao A, cla AABC

toa dé truc tim H cla AABC,

1 toa độ trọng tâm Ö của AABC

: toa độ tâm 1] cua dutmg tron ngoal tip AABC, ti đó chúng minh

fang I, 11, G thang hang

NHAC = 5 (ABs AC? BC) = 5 (b+ ct), (AB + BẺ + CA)'=0 — me ein ae ae =—BC?1 BẢ.BA + BẺ.CD, =-lth'—hh—a)=-2+l+ab “ Vớil=0 thìM=l

= =a_ Ì —= =~ | AB BC + BC.CA + CA Bea teria Bai tap 5 Goi Ở là giao điểm của hai đường chềo, ta được: ` Ũ iz „ bán kính R = 4/1] , BA.BC = T@ te '—E) và CA CB = ~ (4? + b - c), h : 3 ` MO = MA + MG = MB + MD dỳ n7 Kí hiệu hệ thức giả thiết là (),

Từ đó: = (vế Wxi:piiưởng bại về của (D, tạ được: ‘Goi Ö là tâm đường tròn ngoại tiếp AABC, ta có:

See eR eee Se bs eee ae teat ate ts ees) ae eee = = {AB + ioe SE) => ag: —— — —— ee

AB BC + BC,CÁ + CÁ AB =~BA.BC ai, SRG - CA CB - AB AC oy : "` = AE.AB + AE ee T5 aE BC = AB AB eae a i (MA + MC)*=(MB + MD} a tr a, Ma? = MA?=(MO + OA)'=MO?+0A?+2MO.OA, =i

“T2 0Ẻ + ~M) = 2+ ~đ)~ 2 t + ca) _BE.BD - BE.BD - BE.(BA + AD) TM EME A Gene see ee Mi = MB*=(MO + 0B)

ping te +0? +b}: g then vé (1) vi (2), ta durye: <>(MO + OA) MO + OC)=(MO + OB)(MO + OD) _ MC = MC?=(MO + 0€}

aM =< (AB + AC) 2 = AB? = AB? ++ OA? = OB? ++ OA = OB +> AC= BD ¢ ABCD IA hinh chit nhat _ =MƠ' + ÓC) + 2MO ỌC,

Ts Tit gid thit suy ra AB.AB, = AC.AC, Bài tập 6 Gọi I 1 trung điểm AB, ra biến đổi biểu thức về dạng: y ra (1) được biến đổi vẻ dạng:

"hs nan ay yh k= MA?- MB?=(MA + MB)(MA — MB) 3l =2MO.(30A -20B - 0€)

AM? 7 (AB + AC} ;IAB ) ne, = L(RE + ACYAG, - am) _:=2MI.BA š =2MO.[3OA -2(OA + AH)-

Lae 1 ẻ 2 11T %2 +2” ~ sẽ 2 Gợi Mạ là hình chiếu vuông góc của M lên AB, ta được: Sy a Con

=— ae +b +2, ste = = a= =— 34 + =f ) = +$(AB.AG, -AB AB, +AC.AC, -AC.AB,)=0 SS = yt ea k= MI.BA - M,1.BA = hans ce acre ác Fees Sabai ¢ _=.- a + ÁC)] ra

Suy ra : Vay điểm M thuộc đường thẳng vuông góc với AB tại MỊụ, vecia v = 2AB + AC va gọi Mụ, Ó, theo

2 Bl Perot at ul ee ea oa j Lol? Nhận xét Thông qua ví đụ trên, chúng ta đã biết cách giải bài toán: Hình chiếu vuông góc của M, O lèn đường

Ads SAM megs tee ca ae Lae BD L Cl<> BD.CI =0 * Tìm tập hợp điển M thoả nuãn: Ứa VéCt7 v„ Tả được:

` ——— — —+ — — — — ——+ —— — — 3 3

—— — — |AG.BC | 3 ` eh h A a DCŒ, với A, B có định, ø + 8= Ú và k không đổi, ° |=MO.,v= M,O,.v c M,0, iG

JAG BC| =| AG|.|BC|,cosa <> cosa = —=—— Q) k na h | “Trong trường hop et + 0, ta thuc hién theo cdc bước: đổi i -

Tag sy AS EC, Bias cick: at : pees alA +818 = 6 ati + BA)+B1ïB = ö thuộc đường thẳng qua Mụ vuông góc với v

AG.BC = (AB + ACY AC — AB)= —(AC-AB)= — (—c), (4l CLDIe© AC DI =0 B bp, © Seas Fw eee 2 “Thông qua ví dụ trên, chúng ta đã biết cách giải bài toán:

=| bee 2) eh ha Vậy tồn tại duy nhất một điểm I cố định oMA? + BMB’ + YMC’ =k, (*)

he Oe rea 6Ú VU: ĐI Bese Bước 2: Ta biến đổi (1) về dang: cổ định, œ + /1+ y= 0 và k không đổi *

aac 42h) cata a\Be! +b 9? " k=œMA °+ BMB ` = a(MĨ + TA Ÿ + B(MI + TBƑ ‘thug hop a + B + #0, ta thyc hién theo các bước:

Seo aa as F — me me | = (a+ B)MP’ + alA? + IB’ +2(aiA + PIB) MI Goi 118 diém thoa man

Chú ý: Ta cũng có thé tinh AB.BC + BC.CA + CA AB bằng cách: BM L CN +> BM.CN =04+0 = 2(ñ + BC) (GB + CŨ) : ne BIB) oi sa id xd

Ta có: là HứU S), J(/4 2 <> MP = ——{k - (aA? + BIB*)] = 1, A eae

k<uMA?+BMB'+y1C! eee a) SERRA ý <5 (Vu, §3 HỆ THÚC LƯỢNG TRONG TAM &GIÁC ¿ Cho AADC, biết b =7, = 5, c0xÀ = ` Tính đường cao h, và bá

= a( MI + IA) + Be ae + gửi ney TAG) PABILAGT asa m Mot tain giác hoàn toán được xác định nếu biết bạ cạnh hoặc bái cài|, đường tròn ngoại tiếp R của tam giác,

=(œ+t+y)MŨ + 0lA * peti > ee - sinA = ni —cœ2A =.Jl— be và một góc xen giữa hoặc tiột canh và hai góc kẻ, Như vậy giữa các vé Giải

+2(œIA + PIB +y71C) MI 1 5 JS tố của tam giác có những mỗi one nao - a iyo oe a thie, fa có: ' ; :

ss am pide 13 bài học này các em học sanh s dc làm tiep = iC: ^

3_— -Í_— tv~ @aiA?+pTEP +yICĐ]=L ia 3) We chen dirieg exc ck dink A cha AABC với ớt vài hệ thức đỏ và phải biết van dung ching để giải một số Bài, S= 2 hua= 2 beainA ceh,= ”S ĐÔ, ()

Bước 3: Biện luận: : ¡ điểm M BA, // BC BA, /BC ‘anaes sin A=1-co’A=— @sinA= s _, (2)

s oe fi 1=0, : ah } tổn dài Lise a li “8 og etT uy! See Pe SS =y= Trong AADC có AB =c, BC =a, CÁ = b1a có: " =b bỀ + 2? - 2hc,cosA=49+ 25-275 ; COs = -2.75.—= 32=+a=4v2 (3) a = is

Heo eis i ta sử đụng tích vô hướng biến đổi biểu thức cần 6 -2 a’ =b' +c? — PhecasA ay (2), (3) vào (11, ta được;

ni Ki, s MP +c với c là hằng số và 1 06 dinh Sa điợi H } là trực lũm H của AABC wxm.: ew a? + bŠ—2abcoxC [ 3

Khi do Syip =c đa "` AH.LBC |AH.RC=0 sẽ [Mogi ding | Hãy ————— -_ chứng mình các hệ thúc trên l ee ee Ne fe (2 ri

MI=0< Mal — “| sett động | Hãy chứng mình câchệthứctển ——— i F a R=——=—_~= 2sin A 2 ị

Bai tap 8 BH LCA BH.CA =0 Thí dụ 1: Cho AABC, biết a= v6,b=2„c= v3 + 1 Tinh cde gée A, B.C +

MA+MC=2MO _ NT + MCŸ=(MB + MDŸ ` yer Giải XK ố sac gio

a San me a dite H(2, 5) Trong AABC, la có: “Đà Lee =¢, BC =a CA = b và các đường trung tuyển tương

=MU2— $-MD'+2MA.MC -MB.MD) ( trọng tâm G( , ~ SP SẺ lu oar, Mộ :

0=MA?—MPE+ MC ` 73 casA abe 2 bề+c°=2m2 + Ly ch+a =2m2 VỆ

Ta xét: cục HS AT Tà lâm Ï của đường tròn ngoại tiếp AABC at ech be wale 5

: i

` (DK — ONDE - ðM) ~(68 - 0M)(65 - ĐM) = - 5 3" Lise AI= BI =CL© _ mã AF= Đó 4 oe vê bo mÓa S, te

=-(OA - OM).(OA ta a @ : Be +(y~2)? =(x+l? +(y~U? ni A+B+C= IB0' +>Œ=180°- A—B= 105 Cho AABC có AB = 5 AC =6 BC =1 Gọi rung điểm —

=~ OA?+ 0M? + OB -OM’= (x= 1)? +(y -2)* =(x-5)? +(y +1? y=-3/2 Ta cb: at

bain kính đường tròn ngoại tiếp AABM

?— 2(O0Hˆ—~ , đpcm : Xét | :

ao MC đạt giá tị nhỏ nhất khi và °? Bid Bìa TH(2, =)=1,H,G thần eee pens ụ

„Từ kết qua cau a) suy ra +: : “ĐH(-, — (=,—)=!I.H,G thăng hàng a — oh : ' st

D1 9n gi 3 3 3°3 TƯ xi ba có 8 AABC, ta có:

ảnh chỉ ùn D lên (đ) 75 : \ Cc

M là hình chiếu vuông 82 9% sinA sinB sinC P ' AB + AC = 24M? + x nà

ey BM=2V7 (2) Cho AABC vuong tai A, gC = : và đường cao AH = 6 Tính độ dài

4 DIỆN TÍCH TAM GIÁC Peter oo =tgC= 5 = BH= 2AH=4,

Trong AABC có AR =c, BC = a CÀ =b và các đường cao tương ứng là Ì.,

hị„ h„ ta có: „ hạ 1á AB'= BH.BC = AB= JBM.BC = \/4(4+9) =2V13, iC

s- lạm = th oy sea gee oe AC =CH.BC Š = AC= (CHBC ec = /9(4+9) =313

S= 2 bedinA = 2 seinB = 5 absin€ Ching minh tính chất cửa tam giác : |

S= oe ba độ dài cho tréc Chimg minh ring AABC nhon

Giải

§=pr= 3[P(p—a)(p— b)(p~C) :

với p là nửa chu vị tam giác, r bán kính đường tròn nội tiển)

Thí dụ 4; Cho AABC có AB =3, AC = # và diện tích §= 3/3 Tính BC

Giải

'Ta có: : Chứng minh các hệ thức trong tam giác |

§= : ABACsinA Cho AABC, canh a, b, c va A = 60” Chứng mình ring:

: fa kano! b(bỶ — a?) = cía" ~ €°),

5 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP al

| Bài toán 1: Ciải tam giác i Cho đoạn AB = a cố định Tìm tập hợp các diém M thoa mãn:

Phương pháp thực hiện MA?+ MB? = — ‘, 3u"

Gidi Goi | [a trung điểm AB, ta có:

AB? a?

MAI + MB = 2MỸ + = =2MÏ + a Q)

Thay (2) vào (1) ta được: ể

a Sa

2MI + a <=> MP =a" MI =a

Vậy, tập hợp diém M thude đường tròn tâm I, bán kính R = a

B BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài tập L Cho AABC có AB= 2, AC = 3, BC = 4 Tính:

a Dién tích § của tam giác

b, Các đường cao h„h, h

c Các bán kính R, r

Bài tập 2 Cho AABC cân tại A Đường cao BH =a, ABC =a

a, Tinh cdc cạnh và đường cao còn lại

b Tính ban kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC, Bài tập 3 Cho AADC, biết AB + AC = 13, AB> AC, A = 60” và bán kính đường

tròn nôi tiếp tam giác bảng V3 Tinh dé dai cde cạnh của AABC, Bài tập 4 Cho AABC vuông tại A, AB = 3, AC =4 Gọi M là trung điểm AC

Tính bán kính đường tròn ngoại tiến AMBC

Bal tap 5 Cho AABC, cdc trung tuyén AA, = 3, BB, = 6 và hop với nhau một

góc 60" Tính độ dài các cạnh của AABC

Bài tập 6 Cho AABC, biết AB = 2, BC = 3, CA = 4, đường cao AD, Tính độ

dài đoạn CD

Bai tap 7 Cho hai đường tròn (l,), (I›) có bán kính bằng 2, 8 tiếp xúc trong với nhau tại A Nửa đường thẳng vuông góc với L1, cắt (I,) (,) theo thứ tự tại B, C

Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp AABC

Bài tập 8 Cho ÁABC có AB=3, AC=6, BÁC = 60", Tính bán kính đường tròn

cắt cả 3 cạnh của AADC và chắn trên mỗi cạnh Ì dây có độ dài bằng 2

Bài tạp9 Cho AABC, biét BC = 6, Lay E, F theo thứ tự thuộc AB, ÁC sao cho FP

song song với BC và tiếp xúc với đường tròn nội tiếp AABC, Tính chu AABC, biét EF

=2

Bài tập 10 Trong các tam giác có chu vi không đổi hãy tìm tam giác có chu vi

dường tròn nội tiếp lớn nhất

Bai tap 11 Cha AABC có diện tích 12 Trên các cạnh AB, AC lân lượt lấy các

điểm M, N sao cho:

Suy ra điện tích của tam giác BCD theo §,

oe cúc cạnh AB BC, CA củn AARC lấy lần lượt các điểm M,N

Di —— = BN = cr = nh:

‘cho MB ~ NC 7 PA k, với k > 0, k cho trước

Lˆ Biết 5uauc = 8 Tỉnh 3avng theo 5, và k,

J`ABC cố định Hãy chọn số k sao cho AMINP có diện tích nhỏ nhất

13 Cho AABC c6 a*=b* + c* Chứng minh AABC nhọn

4 Cho AABC nhọn, đường cuo AH va trung tuyén BE thod man Tinh tỉ số điện tích của hai tam giác ACD va BCD; ABD va BCD, |

; =sinA + sinB + sinC

ng minh rằng A.ABC đều

Cho AABC, biết

- Cho AABC, diện tích bằng 5, các đường cao h„ h, h Chứng minh

đều khi và chỉ khi:

S= : {a.h, + b.h, + ¢h,)

Cho AABC đều cạnh bảng a M là điểm bất kỳ trên đường tròn ABC Chứng minh rằng:

MA? + MB’ + MC = 2a’

p19 Chohai AABC vi ADEF cing noi tiep trong đường tròn (C) và có:

sinA + sinB + sinC = sinD + sink + sinF

mình rằng hai AABC và ADEE có cùng chu vi

20 Cho AABC càn tại A, biết B = C = a, AT = m với [ là đường tròn

Bài tạp 21 Từ điểm M tuỳ ý trong AABC, các đường thing MA, MB, MC tan |

lượt cất BC, CA, AB tai Aj, B„ Cụ, Chứng mình rằng:

MA, , MB, ,MC, _Ị,

Bài tập 22 Cho AAHC không cân tại đình Â, trung tuyển BD va CE, cd cac

canh a, b, c Chimg minh rang: cra ;

2p? \(c* +b? -2a°)

a AB.CE'-AC?-BD= TT -

b AB.CE=AC.BD <= b* + c7 = 22’, |

Bai tap 23 Cho AABC vudng tai A; AH là đường cao HE, HE lần lượt là có

đường cao của AAHB, AAHC Ching minh rang:

a BC?=3AlP eee + BE'+ CP —

Bài tập 24 Cho AABC có các canh a, b, ¢ thod min Sc” = a + b+ Ching minh |

= ring AABC cé hai trung tuyén AA, va BB, vuông góc với nhau

: : j Bai tap 25 Cho hai tam giấc vuông AABC và AA,B,C, vuông tại A vb A, vã

Dài tập 26 Cho AABC, cde trung wytn AA), BB, va CC, theo thứ tự cắt đườn¿

tròn ngoại tiếp tam giấc tại Àz, B,, Cạ Chúng minh rang:

khi nào dấu '* = ” xây ra

Bài tập 28 Cho AABC, chứng mình rằng: abe poe 432 _ 84/15

tà 29 Cho AABC có độ đài các đường cao hạ lục hạ độ ou

we m,, My mạ R và r theo thứ tự là bán kính đường by ngoại tiết

b AHBC, ta được: ũ : HH) TH: HH Tre ea, ind BH ng

nội tiếp của AABC, Chimg minh ring ‘ + i + h, < é , đấu

Saasc = Pr F p (AB + BC + CA) 2(1+ cosư}

Bài tập 3 Ta có AB=c, AC = b, khi đó từ giả thiết ta được:

b+c= lầ, (1) Gọi M, N, P là tiếp điểm của đường trồn nội tiếp

với các cạnh AB, AC, BC Ta được:

(2), (3) vao (1), ta được Rayo = = :

5 Vi AA,, BB, hợp với nhau một góc 6°, do đó ta cẩn xét hai trường

sin ACB = sinACH = AE = si Fa (4) S$=pr= Xp( —a)(p~ b)(p — e) = (pr? = pip —ay(p — b)(p = c) a, Ta co: AH

AABE a BA.BC.sinB Ni a <=> CBE = 30"

Từ giả thiết:

g đường cao CF va RE,//CF, trong AE,BE, ta cé:

B,C, = GA; = AB, @ Ol = OF = OK aS gee a

CF AH

Khi đó bán kính R của đường tròn cẩn xúc định Ta có

EB EB EB 2 CHẾ <3W,

HT ‘eal tt a -a=p-b=p-cSa=b=c © tam giác là đều 5 5 PM.BN.sinB BM BM Mã k ề CBE + AÑE =30'+ ABFE <30' +30

= = IB; + OFF Mg c2 eae 3 + ABE =30'+ ABR < 30" +30" = 60°

"Tủ có: : : a3, À HA BN.sinB BA BM+MA BM nt k+l ` n kiện là dau“ =" xay ra tai (1)

Đrz£= Pek là ó1} đã yg30 2 tong ty, ta cũng cố: i b

Sa + + ——— =a+†b+c ()

/ : B+C C+A

2 3 PS AALAN GHA ai ak b Sayxp dat gid ori nhỏ nhất khi

c>AM=AP= 2(b+e=a)=p~e @) Pee Ì bœAK QUY VI mg Ta ao eB +Bb 0 vế (2) (3), (4), ta được: Bb+Ce Cc+Aa

Peet ne => 2AM = AE + AF + BF loca, BL ape A>C A+B Paap ites et (5)

4@+®AM= ÁP =Paur @) Ương tự ta cũng có Sas By c>b'+c—a°>0 + bỀ +c> a2 eo (+ Cÿ > dt eobf+oh+ 2c” > đ 16 Sử dụng công thức Hêrong, ta biến đổi (1) vé dang:

pe 8+ b+c\b+c—a)= (a+b-—c\atc-b)

n

Bài tập 17 Ta biển đổi hệ thức giả thiết về dạng:

loi 5 er a c b e , có AR°CE°— act pp = ae 420% ch — | reat 428= bh g ABC , ta có b= —" :

Sự -(ahy+ bh Heh) = 2 (hy, ted.” + ah ©) ALAB, ta ` 4 4 : Man nã

Sa

Do đó (1) xây ra khí: 'AA,AB, ta có: 3AH? + BF? + CF! = 3AH? + BH? - HE? + CH’ - HP’ Dx A.A; BA.AC=

a) Le sa=b=ce>AABCđệu ( Œ A > 3AH” - EF” + (BH + HC)” - 2NB.HC,

oo TT; 4° Cc : ba is = OBA, = 2AB.cosa = Zm.cotg —; 00801, =2AH?+ BC -2AN? = BC s ee

Bai tap 2 ak điểm N trên MC sao cho: trung điểm AB, trong AMAO, ta có: Ks b Trong AAHB LÀA; = AA,(AAI + AjAjÐ= AA? TAALALA; *

MBA mm TH 4 MAB = NAC) cos | * ae Faas = BE? = aa aaa ae (D AA? (+e - 3

AMB = ANC = 120 2Rsina = m.colg—, dpem k

KnB aS = eet ety

từ đó suy ra: _ 'Kẻ AH.MK 2

Trong AAHC: : A AA,.AA; b°+c” Ib? +67)

khi đó: 4 MK MK 5 ì CA’ CHBE) (BC 2

MC = MN + NC=MA + MB, oe ae “na St, d) k Từ (1) và (2) suy ra: > ee

Như vậy: : n : — AH.BC Aue BH CH BC acu Ya? +c") CC, 2a? +b?)

MA? + MB’ + MC'=MA + MB’ + (MA + MB) ; 2 H Vee? + Vcr eer tye cua Te :

‘

AB? = MA? + MB? — 2MA.MB.cosM o.° (2) ; pet 4 ;

CC, -?2|b +” stc a° +b’ ,

<> a" = MA? + MB’ + MA.MB (2) $ GA°= ( AA, ) = ey eae Se Ay

‘Thay (2) vào (1), taduge: ae = a: (3) B‹- /AJKH C `

bể a 3

E ==

a iy

Bài tập 19, Gọi R là bán kính đường trăn (C) vế (1), (2), (3) ta được: Lá nh 9

“Thay (2), (3) vào (1), ta được: a eye 2 a Trong AABC,,tạ có b = acosa, ¢ = asings, Pg et tee ee

AA, BB, CC, Bae ote

Bài tập 27 Biến đổi VT của bất đẳng thức về dang:

= (Daa +14 See) 4 Suma Ư San +1)+

5 ATC Ssuca Sang

+ (1+ Same 4 Sauce y z

Ế map Ở SabAg

~( A6 4 Some | + Same + Suen y 4 Sauer 4 Saupe:

Smc AHAB Sinica AHAB AHBC Saticn

hic ta lai eé IB = zr (2)

Cong theo vé ba bất đẳng thức, ta được:

Kết hop (*) va (#*) ta duge bai dang thite cẩn chứng minh

Bai tap 31 Goi | la trung điểm AB và H là hình chiếu vuông góc của M lên AB, ta có; M

Ậ Ở Ở + =MAÌ~MB'=2AB

TH => > H là trung điểm BI Ở cé dinh

Vay tap hop diém M thude đường thẳng (đ) qua H và Bae, | đẹ

vuông gốc voi AB td) Bài tap 32 Goi I 1a giao diém cia OC vdi (O), ta có A

ngay AI là phân giác góc A từ đó suy ru ỳ là tâm đường tròn nội tiếp AABC Ể

Vậy tập hop tam T thuộc đường tron (C), ngpại trừ Wa bổn điểm À Á,, Az trong đó Á,A; là đường kắnh B vuông góc với ƠA,

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II

a Tinh cosa, sina

b Tinh gid trị của biểu thúc C= S000 + 20057

cạnh AB, lấy điểm M sao cho AM = 2 trên cạnh AC, lấy điểm N

ho AN = 4 Tinh AM AN

Cho ba veets a, b ằ, thod man Ja| =a, [b| = b, jc] =c va

0 Tắnh A = a.b + b.c +c.a,

ỔCho hai điểm /A và B, Q là trung điểm của AB, M là một điểm tuỳ ý

rằng MA.MB =OM - OA'

ỔCho AABO, H là trực lâm, MI là trung điểm của BC Chứng minh rang:

AM.BẺ + BN.CA + CP.AB =0

¡0 AABC, M và M' là hai điểm tuỳ ý Gọi H và H, K và K, L và L/

chiếu của M và M trên BC, CA, AB Chứng minh rằng:

BC.HH + CA.KK' + AB.LU =0,

Cho tứ giác AHCD, Hai đường chéo cất nhau tại O Gợi H, K lần

im của tam giác ABO và CDO I, J là trung điểm của AD và BC

Bai tap 16: Cho AABC cân đỉnh A đường cao AH Goi D 1A hinh chiếu vuông góc

của H trên AC, MI là trung điểm của HD, Chứng minh rằng AM LBD

Bài tập 17: Cho AABC can đỉnh Á O là tâm đường trồn ngoại tiếp tam giác, M

là rung điểm của AB, E là trọng tam AACM Chứng minh ring OF 1 CM

Bai tap 18: Cho AABC can đỉnh À ỷ là tâm dường trồn ngoại tiếp, gọi HH, vì

CC, là đường cao của tam giác Chimg minh ring OA 1 B,C, {

Bài tập 19: Cho AABC có các cụnh BC = a, CA =b, AB = c ỷ là tâm đường

tròn ngoại liếp tam giác Gọi H là điểm thoả mãn:

OH = OA + OB + OC

a Chứng minh rằng H là trực tâm AABC, f b

b Tim hệ thức liên hệ giữa a, b, c sao cho OH LAM, với M là trung điển

Bài tập 20: Cho AABC vuông cân tại A Tắnh góc giữa 2 trung tuyến BE, CF

Bài tap 21: Cho AABC, có các cạnh BC =a, CA =b, AB =c Gọi AD 18 dudng

phản giác trong của góc A và M là trung điểm BC, Tắnh AB.AC theo a, b, c tir

đó suy ra độ dài các đoạn thắng AM vi AD y

Bai tap 22: Cho hinh thang vuông ABCD, đường cao ; AB Biết rằng:

AB.AC =4, CA CB =9 và CB.CD =6

a Tắnh độ dài các cạnh của hình thang Ổ 1

b._ Gọi EE là đường trung bình của hình thang, tắnh độ dài hình chiếu củ:

Bai tap 23: Cho hình vuông ABCD, trên AB lấy điểm P và dựng hình vuòn:

AMNP ở ngoài ABCD Tắnh góc giữa DP và CN

Bài tập 24: Cho tứ giác ABCD, biết MA.MB - MC.MD # 0, với VM

b (MA + MB - MC\MA - Mi) =0, vi diém IT thoả man ABCI là

] 3U: Cho AABC, góc A nhọn trung tuyến AI Tim tập hợp những điểm động trang góc BAC, sao cho AB.AH + AC.AK = AF trong dé II, K theo

inh chiằu vuông góc của M lèn AB và AC

ỘChứng minh rằng MA BC + MB.CA + MC.AB =0,

ỘChứng mình rừng MA? + MHÊ + MC! = GÀ? + GB) + GC? + âMCZ, từ

suy ra vị trắ của M dé MA? + MB? + MC? dat gid tri nhé nhat, 32: Chủ AABC déu canh bing 6, M là điểm thuộc đường tròn ngoại

Dat $= MAỖ - MBỖ - MCỖ

giá trị thỏ nhất của 5

giá trị lớn nhất của S

33; Cho AABC, G là trong tam va M là điểm tuỳ ý

Ộhững mắnh rằng vectd v = MA + MB Ở2MC khong phụ thuộc vào

Ổ + Cho hai vectơ ả (1, 1) và b (2, 1),

| ỔTinh cos, sin gde gidu hai vecto a và b

THãy xác định toa độ của vectd e, biết rang:

(a +b}e =-140 (a +20).b =1

bp 36: Cho hai diém A(3, 1), Bet, 2), Tim tòa độ điểm M sao cho:

D37: Cho ba diém A(7, 4), BCO, 3), C(4, 0) Tim toa độ hình chiếu

óc LÍ của A lên BC, từ đó suy ra toạ độ điểm A, 1A điểm đối xứng với

Bài tập 38: Trên mật phẳng toa đó cho điểm A(l, 1), Hãy tìm điểm B 6 tung

đõ bảng 3 và điểm Ạ trên Irục hoành sao cho AABC đều

Xác định Ủ để ty số trên nhỏ nhất

50: Qua mot diém ẹ trong tạm giác ABC kẻ các đường thẳng song

¡rác cạnh của tám giác, Các đường tháng này chỉa tam giác thành 6

Bài tập 39: Cho Ế điểm A(0, =1, B(2, 3), Ch ặ0) Eil, 6), FắỞ3, = 4),

a Chứng tò rằng A, B, C thẳng hàng Tìm điểm D sua cha bổn điểm A |,

C, D Lap thành hàng điểm điều hoà

h Tìm điểm M trên AB sao cho vectơ EM + EM có độ dài nhỏ nhất

Bài tập 40: Che AABC biết A(1, 2), Bắ Ở 2, 63, Cá3, 2)

Tinh AB, AC

Tinh cos va sin aac A

ỘTìm toạ độ chân đường cao A, của AABC

Tim toạ độ trực tâm H của AABC

Tim toa dé trong tam G cia AABC

H, G thắng, hàng

Bai tap 41: Cho ba diém A(4, 3): B2, 7); C(Ở 3, Ở 8),

a Tim toa độ trọng lâm G, trực tâm H va tam 'T của đường tròn ngoại tien

Bai tap 43: Cho AABC, cic đường cao AA,, BB, CC)

a, Ching minh rang AA,, BB., CC, la phan gitic cla AA|B,C;,

b, Goi a, b,, ằ ld cfc canh cha AA,B,C, Tinh cosin các gấc và chu ' AABC

Bài tập 44: Qua một điểm ẹ trong tam gitic ABC ké các đường thang son:

song với các cạnh của tam giác, Các đường thẳng này chia tam giác thành ồ phản trong đó có 3 tam giác lần lượt có diện tắch là 4, 9, 1é Tắnh diên tắch cu!

tam giấu ABC

Bài tap 45: Cho AABC vuong tai A, AB=4, AC = 5, Goi M là trung điểm Aub

Tắnh bán kắnh R, của đường tròn ngoại tiếp AMBC,

Bài tập 46: Cho AABC có B = 60, bán kắnh dường tròn ngoại tiếp tam ặ!

ABC bing 3, Tắnh bán kắnh R, của đường tròn qua A, C và lãm ỳ của đường, ran

nội Hiếp AABC

Bai tập 47: Cho AABC có AD= 2, AC = 3, BC = 4 Tìm bán kắnh đường (ồ'Ợ

nội tiếp AABC

Rai tan 48+ Cho AARC cé BC =a BAC =a, ABC = Tinh ban kinh duc?

AN

AC =n với <m,n< l

điện tắch các tam giác ABMC, AABN, AAMN,

h tỉ số điện tắch của hai AACD và ABCD

tỉ số diện tich cia hai AABD vi ABCD

điện tắch của ABRCI2

Cho AABC, có độ đài ba cạnh bắng a, h e và hún kắnh đường tròn

ng ! Chứng mỉnh rằng AABC nhọn khi và chỉ khi ả + lử + Ư` > 8,

Cha AABC, biết:

| 2sin!A + 2sinồB + sinfC = 2(sinA + sinB)sinC,

h ring AABC 1a vudng can

Ching minh ring néu AABC cdc cée canh thea min:

(pỞaltp Ở bi pỞc) = Babc, thì AABC đều

Chứng minh răng nếu AABC thoả mãn:

2Rồ

M:-5= _ {sin'A + sin'B + sin'C) thì AABC đều,

Chứng minh rằng nếu AABC thoả mãn;

Cho AABC cá cạnh a, b, c và các đường trưng tuyển xuất phất từ

CHƯƠNG II - PHƯƠNG PHÁP TOA nộ

TRONG MAT PHANG

Với mặt phẳng toa độ môi vectơ, mỗi điểm déu duge xc dinh bai toa ay

của nó Điểu này giúp chúng ta có thể chuyển nhiều bài toán hình hoo sang

đại số và ngược lại, từ kết quả của đại số suy ra được một số tính chãt và má;

quan hệ giữa các hình hình học Trong chương này chúng ta sẽ quan tâm :ó¡

đường thắng, đường trần và ba đường côníc

Chương này gồm sáu bài học:

'Yêu cầu đật ra đối với các em học sinh khi học chương này lã:

* Biết các phương pháp để lập được phương trình đường thằng, đường trờn st

ba đường côníc khi biết các yếu tổ xác định mới đường

» Từ phương trình của các đường, thấy được các tính chất và quan Ì!*

giữa các dưỡng

+ Lập được phương trình tiếp tuyến cho đường tròn và ba đường côIlÍÝ

cùng với việc chứng mính được cắc tính chất của nó,

® Nhớ và vận dụng được các biểu thức toạ độ vào vide tinh khá¿7?

cách, tinh géc

ĐƯỜNG THẲNG

: A BAL GIANG THƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA BƯỜNG THẲNG

nghia: Mor vecto 1 khác 0 gọi là vectơ phấp tuyến (viết tắt vip) của |

thẳng (d) nếu giá của ñ vuông gúc với (d),

Inh nghĩa, ta có nhận xét:

ấu ï¡ là vtpt của đường thẳng (4) thì mọi vecld kñ với k # 0 đều là

nất ƒ Hiẳng Oxy, đường thẳng (d) có phương trình tổng quát

thẳng có vipL ñ(A, 0) do đó nó vuông góc re a a

Ox tại điểm có hoành độ - =

thân trục Oy có phương trình x =0 y 4

=0, ta dược;

(d): Ax + By =0

thắng có vtpt ï (A, B) và đi qua gốc toa độ O, oO X

ING TRINH THAM SO CUA BUGNG THANG

fa: Mor vecte ä khác 6 gọi là vectơ chỉ phương (viết tắt viep) m

g (d) nếu giá cửa a sóng sang hoặc trùng với (4)

Từ định nghĩa, ta có nhận Xét: Trong maật phẳng (Oxy, đường thẳng [đ) di qua hai diém MIỘ, vị) và

= Néu u là vicn của đường thẳng (d) thi moi vectc kú với k#0 đều lị ` Mite y,) cO phucmg tinh duge xác định như sau:

vipt của (đ)

“- Nếu ä (a,, a,) là wep của đường thẳng (8) thì với a0 ta gọi k= = là lụ

1

số góc của đường, thẳng (d)

" Một đường thẳng được hoàn toàn xác định khi biểt một Ycp của nó „¡ Bs

một điểm mà nó đi qua

«Nếu š là vtcp của đường thẳng (đ)thì ä.L ñ «+ a.ñ =0,

« _ Nữu ñ(A, B) là vipLcủ#(d)thì ä(B, =A) là vicp của (đ) và ngược lại

Phương trình tham sổ của đường thẳng Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng (d) đi qua điểm Mu{X;, Yạ) và có viuy AL

a ae ok

¥=¥ytagt

bằng cách khử t từ phương trình tham số của (d), ta được:

K-Ky dis T~3u ‘

BÍ TƯƠNG: DỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

ho hai đường thăng (d,) và (d;) có phương trình

trường hợp này mọi đường thẳng di qua I déucé dang:

G(Á¡X + Bụy + CỤ) + B(A¿x + Bạy + C;) = 0, voi a? +B? >0

ứng trình trên được gọi là phương rrình của chm đường thẳng, điểm

Tgợi là tâm của chim

Ta thường dùng phương trình của chùm đường thẳng để giải các bài toán

lang "Viet phuwng trình thường thang di qua gino diểm của hai đường

ig đã cho và thoả mãn thêm điểu kiện K "` mà không cần tim toa do EÌao điểm đó

GIA HAT DUONG THANG

Lứ = g((đ,h(4;)), 0 < œ < 90"

€ 3ọi ä a, b theo thứ tự là vicp của (d,), (d;), khi đó:

labl

lảl.Iblˆ

IẬN Xét rằng (d,) L (d,) c> a,b, + a,b, =0

kị, k; theo thứ tự là hệ số góc của (đ,), (đ;) , khi đó:

Khi đồ khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) được cho bi:

|Axu | Byy +CI

6 PHUONG TRINH DUONG PHAN GIAC

Trong mat phang Oxy, cho hai mye thang

(dị): Aix + By + C¡ =

(dị) và (d;) là:

A\xt+By+C,

A? +B; =‡

„ (dạ: A¿K + Bạy + C =O,

Khi đó phương trình hai đường NÓ giác (A,) và (A;) của cúc góc tạo bú:

AjxtBy+C:

Rrg +B;

Chả ý: Nếu (dị) và (dạ) không vuông gốc với nhau thì {d,) tạo với (dạ) hai góc

nhọn và hai góc tù, khí đó ta có thể xác đỉnh phươn

gác nhọn hoặc góc tù nhờ kết quả trong bảng sau:

E trình đường phân giác cu

Dấu của Ì Phương trình đường phân | Phương trình đường phân

N giác góc nhọn lạo bởi | giác góc tà tạo bởi (d,),

C "| (dị), (dạ) ứng với (;) ting với

SẼ L= =1 tị =L;

tông d6;

nA, B)), n „(A›, B;) theo thứ tự là vtpL của (d,} (đ;),

"_ t.ú theo thứ tự là khoảng cách đại số từ Mựx, y) tới (đ,), (đ;)

7 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

[ Bai toán 1: Phương trình đường thẳng

Phương pháp thực hiện

Phương trình:

Ax+By+C=0

là phương trình của một đường thẳng khi và chỉ khi A? + B > 0

Chú ý: Đì kèm với họ đường thẳng (d,,) thường có thêm các câu hỏi phụ:

Cauhdi H; Chứng minh rằng họ dường thẳng (d„) luôn đi qua một điểm cổ dị'

Cau hoi 2: Tìm các điểm mà họ (d„) không đi qua

Khi đỏ:

a Với cản hởi l „ta thực biện theo các bước: :

Giả sử MQG, vụ) là điểm cố định của họ (du), khi đố:

Bước Ï:

Ax, + By, +C=0 Vm

“Bước 2 Nhóm theo bậc của m rồi cho các hệ số bằng 0 = (x, y,)

3; Kếtluận

Xới cần hổi 2 ta tực hiện theo các bước:

Bước Í: - Giả sử M(X, y) là điểm mà họ (d.„) không đi qua, khi đó:

" - Phương trình am* + bm +c=0 (a0) vonghiémm A, <0,

= Phuong trinh acosim + bsinm =c¢ v6 nghiém m €3 8” + bỶ < cỶ

<= (d): ae SAR

Ky hy (9129)

M,(a, 0) va M,(0, b) voi a, b #0 thi ig trình (M,M,) được xác bằng phương trình đoạn chắn (M,M;): ate 2,

ing thing (d) di qua diém My(xp, vy) bếp có a

„ (d}: A(% — Xu) + B(y - Y,) = 0, với A!+B>0

đi qua một điểm và biết vIcp:

ay Qua MuGosyn) ome Red ys

b Phương pháp quỹ tích đổ xác phương trình đường thẳng:

Vidu2: ChoAABC,biếtrung điểm các cạnh là Mí(~], 1) NỊI,?), P9, D

a Lập phương trình các cạnh của AABC

b Lập phương trình các đường oe của AABC

b, Gọi các đường trung trực kẻ từ M, N, P theo thứ tự là (dụ) (dạ), (dp)

“ Phương trình (d„) được xác định bới:

M ua M(-1,-1) (dụ): se —© (du): si (du): x—y =0

(đụ ) LPN vipt PN(8,-5) Tương tự (du): 5X +y ~ 4= 0, (đụ): g+ 5y — 14 = 0

Vidu 3: Cho AABC, biết A(I, 3) và hai trung tuyển có phương trình là:

0 A’ la diém đối xứng với A qua trọng tâm G TP eas

AABC, khi đỏ:

(A'B/@1)

Tu `

iy Ta Điểm B là giao điểm của (A'B) và (d;)

Điểm C là giao điểm của (AC) và (d,),

tạ lần lượt thực hiện theo các hước sau:

G 1a trọng tam AABC, khi dé toa 249 của Œ là nghiệm của hệ: x-2y+l=0

- a 1=0 A‘ la điểm đối ae với A qua G, toa độ của A' được chobởi:

= GL, 1)

“ay AL, = 1)

' ¥ =2¥5-Ya

\ độ điểm l3: Phương trình dường thẳng (A'B) được xác định bởi:

‘ qua A’ qua A'(1,-1)

ee , <= (A'B): — _ B)/(d,) : e CG(2,1)

n1

(Am: =H « (A'B): x=2y—3=0

TBỊ =(A'B) > (d,), toạ độ điểm B là nghiệm hệ:

—2y-3=0

y-1=0 =HB(5 1)

Tự, ta có toa độ điểm C( — 3, — 1),

trình cạnh AC, được xác định be _ Aq

qua C(-3-1) =” lữ ay tao ee H): X + 2y = 7 =0 va (BC): x - 4y-1=0,

Wong trinh ba canh cla AABC Ii:

(AB Ngay (AB 3 2y

» Phương trình cạnh (AB), được cho bởi:

(AC): qua Ă1,3)

Cho hai đường thẳng (d,) và (d;) có phương trình:

ay: x=-2I, cas xelt3t, | R (dp: HN ạ} Wc3rải ho ›

- Xác định giao điểm của (d,) và (d,)

'Tính cosin góc nhọn tạo boi (4,) va (d,)

„ ä; theo thứ rự là viep của (dị) và (4), ta có ã, (~2, ~3), 2, (1, 2)

đó, cosin góc nhọn œ tạo bởi (d,) và (d;) được cho bởi;

Ela tlayt 2+3 Vl+27 V65 Việc xét vị trí tương đối của hai đường thẳng có phương trình tổng quát sẽ chúng ta giải bài toán "Wdy biện luận giá trị nhỏ nhất của biểu thức

F =(Aw + By + C,) + (A + By + CP"

hiện theo các bước sau:

* Xét hai đường thẳng (dj Ax + By +C, =O va dh): AX + By +C, =0

: Vay gid tri nhé ohat cia F my thude vào vị trí tương đối của (d,) vài

(d,) Xét hé phuong trinh tao béi (d,) va (d,) cd dang:

Các trường hợp khác thì bằng việc xét hệ phương trình tạo bởi hai aut

, thẳng (d,) và (d;), khi đó số nghiệm của hệ phương trình cho phép kết luận v¿ `

trí tương đối của hai đường thăng

Xác định các giá trị của D, D„„ D„

Biện luận:

D

ạ Néu D+ 0, he có nghiệm duy nhất x = 2 TH

Khi đó (d,) cắt (d;) do đó minF = 0, đạt được khi

Khi đề thì (4) (dy3 do d6 dit t= A\x + By + C,, ta được: ‘Tan dụng phương trình đường thẳng (d) cho trước,

E=f+ t+ m)°= (k†+ lạt + 2mlt + mẺ>—-CC,

DỊ

Jf: Nếu đường thẳng (d) cho dưới dạng tham số :

A ae fake feek, +4,t Vay TR = 4} See goi “ly =o Fast’

¥iduS: Hãy biện luận theo s giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: Lay diém M e (d), suy ra M(x, + a1, yp + a,t)

ESTE AES Sie vi Tựa vào điều kiện K xác định t

Nếu đường thẳng (d) cho dưới dạng tổng quát;

id): Ax + By + C =0, vai A* + RẺ > 0, Bel; Lay diém M(xy, yy) € (d), suy ra

Xét hai đường thẳng (d,): x + y-—2=0 va (d,): x + ay—3 =Ọ

Vậy giá trị nhỏ nhất của F tuỳ thuộc vào vị trí tương, đổi của (d,) và (d;)

Xét hệ phương trình tạo bởi (d,) và (d;) có đạng:

a, wa Sử dụng điều kiện K thiết lập thêm mệt phương trình cho x, VÀ Vụ,

đc 'Từ đó tìm được toa độ của M,

“Ta có: - đồ cũng có thể chuyển phương trình (d) về dạng tham số để sử dụng

D=| ele bor 2 apt đời

Loa tê E3 sả ra BSS adnan Fi Sirdung diéu kién K khang dinh M thude đường (L), khi dé

đường thang điểm M(x,,, y„) sao cho xây +yjy nhỏ nhất,

WV MEX) ¥y4) € (d), suy ra 2y + l3=0 © Xụ =2yu = l5, E=+(t-I=2U—2t+l> 'YM =(2Wu — L5} + vụ =5yÐ: — 60V + 225 = 5(Vụ — G)ˆ + 45 > 45

XÃ, +Yằ )uạ = 45 đạt được khi:

"_ Vớia#l,minF=0, đạt được khi x = =

= Vda= ~ 4, nin = = dat duce khi x,y tho mẫn 2x + 2y — 5 =0,

Í Bài toán 4: Điểm và đường thẳng “|

Pintong phap thie hién

Dé tim diém M thude đường thẳng (d) thoả mãn điều kién K, ta lua cho!

Tột trong hai hướng sau:

do dé (MA + MB)yj, = AB dat được khí:

‘ẠB, M thang hang = {M) =(d) (AB)

s Phương trình đường thẳng (AB) được cho bởi:

ị qua Ă0,2) (AB): KA

là phương trình của hai đường thẳng `

Bai tap 2 Cho họ dường thẳng (4Q) có phương Bình:

(đ„): (2m + l)x = y— mẺ =6

TỶ os=

Lập phương trình các cạnh của AABC

itap 4 Cho hai diém P(2, 5) va OG,

đạo Sâm P sao cho khoảng cách từ Q tối dường thing đó bằng 3

Bài tập 5 Cho hai đường thẳng:

(d):2x—y+3=0, (d;): 3x + 6y — 1 =0

Lập phương trình đường thẳng quả điểm P(, —1) sao cho đường thẳng a i 6

cùng với hai đường thẳng (d,) và (d,) tao ra mot tam giác cân c

sr của hai đường thẳng (d,) và (d;)

In trên hai trục toạ độ những down bằng nhau,

p7 Cho hình bình hành AIICD, biết tam I(2, 2) và phương trình cạnh:

(AB): 2x — y=0, (AD): 4x — 3y =0

p phương trình các cạnh BC và C1

n8 Cho ba diém Ă2, 3); B(4, — 1); C(4, 5)

Lập phương trình đường phân giác trong của gốc Á của AABC

'Lập phương trình đường phân giấc ngoài của góc à của AABC

9, Cho hai đường thẳng:

: (d:kx-y+k=0, (d2:(1=k)x+2ky—(1+k)=0

ing minh rằng khi k thay đổi (d,) luôn di qua một điểm cố định Tim

độ điểm cố định đó,

đi mỗi giá trị của k, hãy xác định giao điểm của (d,) và (d,)

“Tìm qui tích của giao điểm đó khi k thay đổị

Cho AABC cản tại A, biết phương trình cạnh AB có đạng:

(AB): 3V7x4—y— 3/7 =0,

luộc irục hoành và A thuộc góc phần tư thứ nhất

ác định toạ độ các đỉnh của ẠABC, biết rằng p= 9

m toạ độ điểm M e AB và N e BC sao cho đường thẳng MN đồng Thời chia đôi chủ vỉ và chia đỏi điện tích của AABC

TT làn biết Ă2, ~ 1) và hai đường phân giác trong của góc B,

trìn (d¿): x— 2y + IL=0 và (d¿);xs+y+3=Ô

mình rằng họ đường thẳng (d, luôn tiếp xúc với một Parabal of dinh

BP 14, Cho 5 diém Ă0, -1), B2, 3) Cl 510 EU, 6), F(-3, -4) va đường

#) ¢6 phutong trinh:

(d); 2x -y-1=0

em nghiệm rằng các điểm A, B, C thuộc đường thẳng (d) Tìm trên

đỉnh là g!” (a) điểm D sao cho bốn điểm Ạ B, C D lập thành hàng điểm điểu hoà

M, là điểm đối xứng với M qua (d)

1 = 2mX + y =x =0 vô nghiệm m > A’, <0 & x? + x —y<0

tập hợp các diém M(x, y] thoả min x? + x —y <0 (cdc điểm thuc (P): Y = XỶ + x) không thuộc bất cứ đường thẳng nào của họ (d,) ˆ

‘Ta lan lượt xác dịnh:

iết 4X — =0 va hai dud i r # Trình cạnh (BC}: 'Ta có: 1 Bai tap 16, Cho AABC biết (BC): 4x — y + 3= 0 và hai đường phan giác tron; tr a ho đáo

của góc B,C có phương, trình 3)-L (d,) nên (BC):-3xT—2y+C=0 (1) ( yet

yx-2y+l=0xà (dc): x+y+3=0 J E (BC) nén

Lập phương trình cạnh AB, AC

Bài lập 17 Cho AABC vuông tai C, voi AC = 3 và BC = 4 Điểm A di dény

trên Ox, B di động trên Oỵ Tim lập hợp các đỉnh C

Bài lập 1 Chứng minh rằng họ đường thẳng (đ,) luôn tiếp xúc với một Parah)

cố định, biết:

C= 10 vao (1), ta duge A C): 3x + 2y - l0=d

i cạnh (AC): Điểm [A] = (d,) 9 (d,) = toa độ điểm A là

ạ (d,.): mx —2my +1 =0, voi m #0 TAB i yy

b (d,,): (2m+ Dx-y-m' =0, : ait Bài tập 19 ‘Trong mat phẳng với hệ toa độ Oxy, cho AABC cân tại Á có định trình cạnh (AC) được xác định bởi Ă6: 6), đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình qua Ẵ32) aos x+y —-4=0, Tim toa dé céc dinh B va C, biet diém E(1; —3) nam trén duty lạ a (ACK: Pear ©(AO:3x+7?ỹ5=0, cao đi qua điểm € của tam giác đã chọ AL

Bài tập 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, 66 dint

C(-4; 1), phân giác trong góc A có phương trình x + ÿ - 5 = Ú Viết phương trìih:

đường thẳng BC, biết diện tích AABC bằng 24 và đỉnh À có hoành độ dương,

g Trình cạnh (AB): Gọi M là trung điểm HC, khi đó M =(d,) (BC)

độ điểm M là nghiệm hệ phương trình:

+3y -10=0

Bai tap 21 Trong mat phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A (0; 2) và (A) là đườrg x +3y =0 = M(G, -4) thang di qua Ọ Gọi H là hình chiếu vuông gốc cia A tren (A) Viet phuons (điểm B được xác định bởi:

trình đường thẳng ( À ), biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng ÀH — ác ba to, cha

Bàitập22 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điềm tụ †Xc =ZXu | p= hy Xe =| 8 (6: 2) 18 giao diém ciia hai đường chéo AC vit BD; Biém M(1; 5) thuộc đường thì"; #¥=27y l¥4=2¥u Yo Lye =?

AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng (A): x ® y— 5 =Ú Vẻ trình cạnh (AB) được xác đình bởi:

phương trình đường thẳng AB qua B(8—7) ie L- Bài tập 23 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABC co M(2; 0) lA truns Am ACaa) ABE ag Ey SABE NG lly = điểm của cạnh AB Đường trung tuyến và đường cao qua dinh A lần lượt =

ơng trình ba cạnh của AABC fa:

{AB):9x+lly+5=0: (BC): 3x +2y— IŨ=0;

"_ Với B=Ú,tu dược (d}: x—2=0

" VớiB= ae a được (d;); T4 + 24y— 134 =0

Vay, tơn tại hai đường thẳng (d,) và (d;} thoả mãn điều kiện

Bài tập 5 Gọi kụ, k; theo thứ tự là hsp của (d,) và (d;), ta cố:

Đường thẳng (d) cùng với hai đường thẳng (d,) và {đ;) tạo ra một lam giá,

can cĩ đỉnh là giao điểm của hai dường thẳng (d,) và (dạ)

» Voi A = 3B, thay vio (1) ta duoc dutng thing (d): 3x + y- 5 = 0

» Với ~3A =B, thay vào (1) ta được đường lhẳng (đ): x - 3y—5=0

Vậy, qua P cĩ thể kẻ được hai đường thẳng (d) và (đ) thoả mãn đầu bài

Chú ý Cũng cĩ thể giải bài tốn bằng một trong hai cách sau:

Cách 1: Tam giác căn cĩ đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng (dị) và (đ;)

«> đường thẳng (d) qua P vuơng gĩc với đường phân giắc của cdc gtk

tạo bởi hai đường thẳng (d,) và (d;)

«Phương trình đường phân giác của các gĩc tụo bởi hai đường thang (d,) v!

(d,), được cho bởi:

(A); (20.4 Bx = (a+ 2Biy +a - 3B =Ú (1)

(AyO(Ox), khi dé toa độ ctiém A 1a nghiệm hệ phương trình:

+Đ)x-(#+2)y + - 3B= 0 ena 3đ-œ 0)

0 2œ+B } = (A) > (Oy), khi đĩ toa độ điểm B lì nghiệm hệ phương trình:

2ư + )x—(œ+2[ìy + œ - 3B~ 0 = ROO, œ =3B )

tf-2t-3=0 : «@|t=-l

tẺ~4tL+3 =0 t=-3

=1@a=8, ta duce (Ay): (2x =y + 1) +(x 2y —3) =O (A): 3x - By-2=0,

=-loa= -f, ladug:

(A,): — (2x —y + Í)+(x-2y-3)=0 © ():x+v+4=0

t= 3 œ.= 3B ta được (AJ: 3(2x - y + 1) + (x — 2y — 3) = 0 @ (A): 7x - Sy = 0

Cĩ bạ đường thẳng thoả mãn điều kiện đầu bài

BC đối xứng với AD qua 1, ta lần lượt thực hiện:

ði điểm M(x, y) € (AD) => tồn tại điểm M,(xụ, yị) = (BC) nhận Í làm

b Cạnh CŨ đối xứng với ARqua T, ta lần lượt thực hiện:

Lấy diém O(0, 0) = (AB), goi Ư, là điểm đời xứng với O qual > 0,4 4)

= VIi(CD) 4 (ABY 2x —y =0 => (CD): 2x—y 4+ C=0

» Vi0,e (CD) => C=—4,

Vậy, phương trình đường thắng (CD): 2x - y - 4 =0

Bài tập 8 Trước tiên, ta cĩ:

® _ Phương trình cạnh AB được xác định bởi:

“na, [qua A(2,3) X-2_ y-3

AB): ¢ ABHk ——=-——— = (AB): 2x +y-7=

Lộ Tu Bộ c1 doi các: ðf là et

«® Phương trình cạnh AC được xác định bởi:

qua A(2,3) x-2 y-3 AC): (AC): —— = — (AC) xy +1 = 0,

là ie ge ae gg ee ee a Viết phương trình đường phân giác trong của gốc A của AABC

Goi (d,) là đường phân giác trong của gĩc A của AABC

Khi đĩ, điểm M(®, y)e(di)

M và B cùng phía với (AC)

<5 M và C cùng phía với (AB)

d(M,(AB)) =d(M,(AC))

(x-y+144+1-1)>0 (2x + y-7K24-5-7)>0

Đá chính là phương trình tổng quát của đường thẳng (dị)

b Viet phương trình đường phân giác ngồi của gĩc A của AABC

Gọi (d,) là đường phân giác trong của géc A của AABC, Khi đĩ, điểm M(x, y) e (d;)

thuxAci:lsaAciEMaAwirlcsap, S d(M,(AB)) = d(M,(AC) (x—y—l)(4+1~ I)(3x+ y~7)2.4- Š—7)<0

ot M(x y) là điểm cố dịnh mã đường thẳng (d,) luơn đi qua với %k

ee kx—y+k=0 0k & (x + Dk—y = 0 Vk

Seg SMC ho ly -0

¡) luơn di qua diém cé dinh Mé— 1, 0)

é phuong trinh tao boi {đ,} và (d;) là:

điểm M e AB (tức là phải tìm x = BM, 0 < x < 8) sao cho trên

tại điển N thoả mãn:

© Véix=8—=> M=A(2, 7) 9a NCQ, 0) là trung điểm BC

Bài tập II Nhan xét ring néu lay A,, A, theo thứ tự là điểm đối xứng của A „

(d,) va (d,) thi A,, A, © BC,

Vạy, phương trình đường thẳng (A,A;) cũng chính là phương trình duis,

thing (BC) Ta lắn lượt di xác định A,„ A;:

a Xéc dink A,: Goi (d,) là đường thẳng thoả mãn :

b, Xe dinh Ay Goi (d,) là đường thắng thoả mãn :

_ Jqua A qua A(2,-1)

Tìm đường cong cố định luơn tiếp xúc với họ (d,„) : Đ%, y, m) = 0, ta lựa

# hai cách sau:Cách †: Thực hiện theo hai bước:

“Định dạng cho đồ thị cỡ định, thí dụ:

= Parabol là (P} y=ax” + bx +c

Sử dụng điều kiện tiếp xúc của 2 đồ thị với mọi giá trị của tharn số, _tu xác định được phương trình của đường cong

hiện theo hai hước:

Tim tập hợp các điểm mà họ (d,„) khơng đi qua Tập hợp đĩ được

xác định bởi tất phương trình cĩ dạng: h(x, Vì < g(x, y)

Ta di ching minh ho (d,,) luơn tiếp xúc với đường cung (C) cĩ

phuong trinh: h(x, y)— g(x, vy) =9,

"Ta cĩ thể thực hiện theo các cách sau:

sit parabol (P): y = ax? + bx + c luơn tiếp xúc với (d,.)

Ym m+l=2ax+b

thực hiện theo hai bước:

ng điểm trên mặt nhắng mà khơng thuộc họ (đ,,)

) là điểm khơng thuậc bất cứ đường thẳng nào của họ (d,,)

© phương trình mm” + m(x — l) + x - ý =0 vơ nghiệm m

= A <0 (x— 1) - 4(x—y) <0 o> x? -6x +14 4y <0

Vậy, tập hi

bất cứ đường thẳng nào của họ (d, )

®_ Ta đi chứng minh (d,,) luơn tiếp xúc với Parabol (P}: x? — 6x + Ì +4y =0

That vay, xét hệ phương trình tạo bới (d,„) và (P) dang:

(m+l}.x + mẺ —m==2(% ~6x +1)

m+l= dy Độ

mà, 2

tức là hệ luơn cố nghiệm, nẻn (d„) luơn tiếp xúc với (P)

Vậy, mọi đường thẳng của họ (d,„) luơn tiếp xúc với Parabol (P)

Bài tập 19 Gọi H, I theo thit tu JA trung điểm của BC và AH, ta lần lượt cĩ:

" _ Phương trình đường thẳng (AH) được cho bởi:

Qua A Qua A(6; 6)

(a0): (AH)L(MN) CC “ ‘AYP hae -1) IATD VD hỂ

<> (AH): x =y =0, d

Toạ dộ điểm ï là nghiệm của hệ phương trình: ©)

ah =0 I: 2) > H sả x+y~4=0 Cay) (=2; -2)

` Phương trình đường thẳng (HC) được cho bởi:

=x=l-m,

Qua H Qua H(-2; -2) BC): 1:

0: etek

"VI B thuộc (BC) nén B(-2 ‡ t; ~2 - t) và vì B, C đối xứng qua H nên t2

cĩ ngay C(~2 ~— t; ~2 + 1)

Vì điểm E(1; =3) nằm trên đường cao di qua điểm C của AABC nên:

AB.LCE © AB LCE + AREC =0

©(-8+t:-8~0¬3-t:1+0=0<3(-8+0(-3—10) +(—8—0(1 +0) =Ú

©SỦ—2t—-8=0<«>t= 2 hoặc L= -4

Vậy, ta được B(0 ; —4), C(—4 ; 0) hoặc R(~6; 2), C(2; ~6) c

Bài tập 20 Ta cĩ thể trình bày theo các cách sau: (a)

Cách 2: Ta lần lượ:

" Gọi CÌ(x; y) là điểm đối xứng với C qua (d), ta cĩ:

trung điểm Ï của CC thuc (đ) `” ÏIz¿m C A

các điểm M(x, y) thod man x’ —6x +1 + 4y < 0 khong thu,

c sot Ets => C4; 9) (T) là đường trịn đường kính CC”, ta cĩ;

Tam I(0; 5) Bán kính IC = v32

Vì AABC vuơng tại A nên Ậ là giao điểm của (d) với đường trịn (T)

mg kinh CC’, ta co:

x+y-5=Ù s0 Íx =4 : : = = A(4; 1)

tich AABC bing 24, suy ra:

Suạc =5 ABAC « 24=SAD48 ©+AB=6

<> 36= AB’ = (b-1)? <> ie = B(4; 7) hoặc B(4; ~5)

LỘ là phan giác trong củu gĩc  nên hai vecto AB, AD cing hướng

ss trình đường thẳng (BC) được cho bởi:

Điện tích AABC bằng 24, suy ra:

Suục =2 ÁB.AC es 24= 5 ABS c$AH=6

«>36= AB'=(b - 1 > b=7 = Bi; 7)