Chuyen de ve day so

Cách giải các dạng toán về dãy số: Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số Trước hết ta cần xác định lại quy luật của dãy số: + Mỗi số hạng kể từ số hạng thứ 2 bằng

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ (Lớp 4, lớp 5)

Hình thành khái niệm dãy số

Sau khi học sinh đã nắm được các chữ số, cách đọc và cách viết số, xếp các

tập hợp thành một dãy theo quan hệ “nhiều hơn”, “ít hơn” giáo viên giúp học sinh viết các “chữ số” tương ứng với “số phần tử” của từng tập hợp thành một hàng,

học sinh nhận được một dãy số Giáo viên cần nhấn mạnh tính chất quan trọng của

dãy số là quan hệ “liền trước”; “liền sau” để củng cố khái niệm dãy số, giáo viên

yêu cầu học sinh tập đếm xuôi, đếm ngược, đếm liên tục, đếm nhảy và định vị các

- Dãy số chia hết hoặc không chia hết cho một số nào đó

+ Dãy số không cách đều

- Dãy Phi bo na xi

- Dãy có tổng (hiệu) giữa hai số liên tiếp là một dãy số

+ Dãy số thập phân, phân số

Phần 2 Hệ thống các bài toán về dãy số

Các dạng cơ bản.

+ Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số

+ Dạng 2: Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không?

+ Dạng 3: Tìm số hạng thứ n của dãy

+ Dạng 4: Tìm tổng các số hạng của dãy số

+ Dạng 5: Dãy chữ

Cách giải các dạng toán về dãy số:

Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số

Trước hết ta cần xác định lại quy luật của dãy số:

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nócộng(hoặc trừ) với một số tự nhiên a

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó nhân(hoặc chia) với một số tự nhiên q khác 0

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng 2 số hạng đứng trướcnó

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng của số hạng đứngtrước nó cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy

+ Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự.+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần

số liền trước

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần

số liền trước trừ đi 1

Vậy dãy số được viết đầy đủ là: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 34, 55, 89, 144…

2 Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27

Ta nhận thấy: 8 = 1 + 3 + 4 27 = 4+ 8 + 15

15 = 3 + 4 + 8

Từ đó ta rút ra được quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ2) bằng tổng của ba số hạng đứng trước nó

Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27, 50, 92, 169

3 Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau :

a…, …, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 : biết rằng mỗi dãy số có 10 số hạng.b , , 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110 : biết rằng mỗi dãy số có 10 số hạng

Vậy số hạng đầu tiên của dãy là : 1 x 11 = 11

4 Tìm các số còn thiếu trong dãy số sau :

9 x 3 = 27Quy luật của dãy số là: Kể từ số thứ 2 trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần sốliền trước.

Vậy các số còn thiếu của dãy số đó là:

Dãy số còn thiếu hai số là: 68 và 203

5 Lúc 7h sáng, một người đi từ A đến B và một người đi từ B đến A ; cả

hai cùng đi đến đích của mình lúc 2h chiều Vì đường đi khó dần từ A đến B ; nênngười đi từ A, giờ đầu đi được 15km, cứ mỗi giờ sau đó lại giảm đi 1km Người đi

từ B giờ cuối cùng đI được 15km, cứ mỗi giờ trước đó lại giảm 1km Tính quãngđường AB

*) Giải:

2 giờ chiều là 14h trong ngày

2 người đi đến đích của mình trong số giờ là:

Theo điều kiện của đề bài ta có:

* Bài tập tự luyện:

1 13, 19, 25,……,

Dãy số kể tiếp thêm 5 số nào?

Số nào suy nghĩ thấp cao?

Số hạng đứng trước gấp 3 sau liền

Đố em tôi, đố bạn hiền Dãy số có số đầu tiên là gì?

Là gì nhanh đáp khó chi!

Đố anh, đố chị cùng nhau thi tài.

4 Điền số thích hợp vào ô trống, sao cho tổng các số ở 3 ô liền nhau bằng:

a n = 14,2

b n = 14,3

Dạng 2: Xác định số A có thuộc dãy đã cho hay không?

Cách giải của dạng toán này:

- Xác định quy luật của dãy;

- Kiểm tra số a có thoả mãn quy luật đó hay không?

Ví dụ:

1 Cho dãy số: 2, 4, 6, 8,……

a Nêu quy tắc viết dãy số?

b Số 93 có phải là số hạng của dãy không? Vì sao?

b Ta nhận thấy các số hạng của dãy là số chẵn, mà số 93 là số lẻ, nên số 93không phải là số hạng của dãy

2 Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, 14, 17,……

- Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số trên?

- Số 2000 có thuộc dãy số trên không? Tại sao?

*) Giải:

- Ta thấy: 8 – 5 = 3; 11 – 8 = 3; ………

Dãy số trên được viết theo quy luật sau: Kể từ số thứ 2 trở đi, mỗi sốhạng bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với 3

Vậy 3 số hạng tiếp theo của dãy số là: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26

- Số 2000 có thuộc dãy số trên, vì kể từ số hạng thứ 2 của dãy và số 2000đều chia cho 3 dư 2

3 Em hãy cho biết:

a Các số 60, 483 có thuộc dãy 80, 85, 90,…… hay không?

b Số 2002 có thuộc dãy 2, 5, 8, 11,…… hay không?

c Số nào trong các số 798, 1000, 9999 có thuộc dãy 3, 6, 12, 24,…… giảithích tại sao?

*) Giải:

a Cả 2 số 60, 483 đều không thuộc dãy đã cho vì:

- Các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 60

- Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5, mà 483 không chia hết cho5.

b Số 2002 không thuộc dãy đã cho vì mọi số hạng của dãy khi chia cho 3đều 2, mà 2002 chia 3 thì dư 1

c Cả 3 số 798, 1000, 9999 đều không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,… vì:

- Mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng liền trước nhậnvới 2; cho nên các số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước là sốchẵn, mà 798 chí cho 2 = 399 là số lẻ

- Các số hạng của dãy đều chia hết cho 3, mà 1000 lại không chia hết cho 3

- Các số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) đều chẵn, mà 9999 là số lẻ

4 Cho dãy số: 1, 2, 2; 3, 4;……; 13; 14, 2.

Nếu viết tiếp thì số 34,6 có thuộc dãy số trên không?

*) Giải:

- Ta nhận xét: 2,2 - 1 = 1,2; 3,4 - 2,2 = 1,2; 14,2 - 13 = 1,2;……Quy luật của dãy số trên là: Từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng sau hơn sốhạng liền trước nó 1,2 đơn vị:

- Mặt khác, các số hạng trong dãy số trừ đi 1 đều chia hết cho 1,2

Ví dụ: (13 - 1) : 1,2

(3,4 - 1) : 1,2(34,6 - 1) : 1,2 = 28 dư 0

Vậy nếu viết tiếp thì số 34,6 cũng thuộc dãy số trên

5 Cho dãy số: 1996, 1993, 1990, 1997,……, 55, 52, 49.

Các số sau đây có phải là số hạng của dãy không?

100, 123, 456, 789, 1900, 1995, 1999?

*) Giải: Nhận xét: Đậy là dẫy số cách đều 3 đơn vị.

Trong dãy số này, số lớn nhất là 1996 và số bé nhất là 49 Do đó, số 1999 không phải là số hạng của dẫy số đã cho

Mỗi số hạng của dãy số đã cho là số chia hết cho 3, dư 1 Do đó, số 100 và

số 1900 là số của dãy số đó

Các số 123, 456, 789 và 1995 đều chia hết cho 3 nên các số đó không phải là

số hạng của các dãy số đã cho

* Bài tập lự luyện:

1 Cho dãy số: 1, 4, 7, 10,…

a Nêu quy luật của dãy

b Số 31 có phải là số hạng của dãy không, nếu phải thì số hạng thứ baonhiêu?

c Số 1995 có thuộc dãy này không? Vì sao?

2 Cho dãy số: 1004, 1010, 1016,…, 3008.

Hỏi số 2004 và 1760 có thuộc dãy số trên hay không?

3 Cho dãy số: 1, 7, 13, 19,…,

a Nêu quy luật của dãy số rồi viết tiếp 3 số hạng tiếp theo

b Trong 2 số 1999 và 2001 thì số nào thuộc dãy số? Vì sao?

4 Cho dãy số: 3, 8, 13, 18,……

Có dãy số tự nhiên nào có chữ số tận cùng là 6 mà thuộc dãy số trên không?

5 Cho dãy số: 1, 3, 6, 10, 15,……, 45, 55,……

a Số 1997 có phải là số hạng của dãy số này hay không?

b Số 561 có phải là số hạng của dãy số này hay không? Nếu số đó đúng là

số hạng của dãy số đã cho thì số đó ở vị trí thứ mấy của dãy số đó?

Dạng 3: Tìm số hạng của dãy

* Cách giải ở dạng này là:

- Sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách (giải toán trồng cây) Ta cócông thức sau:

Số các số hạng của dãy = số khoảng + 1.

- Nếu quy luật dãy là: Số hạng đứng trước ở vị trí thứ bao nhiêu trong dãy sốthì số đó bằng tổng bấy nhiêu, số tự nhiên liên tiếp (bắt đầu từ 1) thì được tính theocông thức: ( 1)

2

nx n 

Ví dụ:

1 Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,……, 1992

a Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?

b Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số thì số hạng thứ 2002 là sốmấy?

Dựa vào công thức trên:

(Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1

Ta có: Số các số hạng của dãy là:

(1999 – 2) : 2 + 1 = 996 (số hạng)

b 4004 số hạng.

2 Cho 1, 3, 5, 7, ……… là dãy số lẻ liên tiếp đầu tiên; hỏi 1981 là số hạng

thứ bao nhiêu trong dãy số này? Giải thích cách tìm?

(Đề thi học sinh giỏi bậc tiểu học 1980 – 1981)

Theo quy luật ở phần a ta có:

Nhận xét: Số 1560 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp 39 và 40 (39 x 40 = 1560)

Vậy, n = 40, số 11703 là số hạng thứ 40 của dãy

4 Trong các số có 3 chữ số chia hết cho 3 là 102 và số lớn nhất có 3 chữ số

Vì < 195 < 477, nen chữ số thứ 195 là chữ số thuộc vào đoạn từ 100 đến

195, vì 195 – 189 = 6, nên đây là chữ số thứ 6 trong đoạn từ 100 đến 195

Ta thấy đó là chữ số 1 (nằm trong số 101)

3 Người ta viết các số chẵn liên tiếp có 2 chữ số liền nhau thành một số lớn

theo quy tắc sau:

a Dãy số này có bao nhiêu số hạng?

b Số hạng thứ 50 của dãy số này là số hạng nào?

Dạng 4: Tìm tổng các số hạng của dãy số

*) Giải:

Nếu số hạng của dãy số cách đều nhau thì tổng của hai số hạng cách đều đầu

và số hạng cuối trong dãy số đó bằng nhau Vì vậy:

Tổng các số hạng của dãy bằng tổng của một cặp hai số hạng cách đầu sốhạng đầu và cuối nhân với số hạng của dãy chia cho 2

Viết thành sơ đồ:

Tổng của dãy số cách đèu = (số đầu + số cuối) x (số hạng : 2)

Từ sơ đồ trên ta suy ra:

Số đầu của dãy = tổng x 2 : số số hạng – số hạng cuối

Số cuối của dãy – tổng x 2 : số số hạng – số đầu

số là 38

Số cặp số là:

19 : 2 = 9 (cặp số) dư một số hạng

Số hạng dư này là số hạng ở chính giữa dãy số và là số 19 Vậy tổng của 19

số lẻ liên tiếp đầu tiên là:

39 x 9 + 19 = 361

Đáp số: 361.

Nhận xét: Khi số số hạng của dãy số lẻ (19) thì khi sắp cặp số sẽ dự lại số

hạng ở chính gữa vì số lẻ không chia hết cho 2, nên dãy số có nhiều số hạng thìviệc tìm số hạng còn lại không sắp sẽ rất khó khăn Vậy ta có thể làm cách 2 nhưsau: 19 – 1 = 18 (số hạng)

1 + 40 x 9 = 361

Chú ý: Khi số hạng là số lẻ, ta để lại một số hạng ở 2 đầu dãy số (số đầu,

hoặc số cuối) để còn lại một số chẵn số hạng rồi sắp cặp; lấy tổng của mỗi cặpnhân với số cặp rồi cộng với số hạng đã để lại thì được tổng của dãy số

- Từ ví dụ trên, ta thấy khi giải toán bằng phương pháp của lý thuyết tổ hợp,phải phân biệt rạch ròi cặp sắp xếp thứ tự với cặp không sắp xếp thứ tự Dưới đay

là 2 ví dụ, trong đó có khái niệm này

45 x 20 = 900Tổng các chữ số hàng chục trong 10 dòng đều bằng tổng các chữ số hàngchục trong 10 dòng sau và bằng:

1 x 10 + 2 x 10 + …… + 9 x 10 = (1 + 2 + …… +) x 10 = 45 x 10 = 450Vậy tổng các chữ số hàng chục là:

450 x 2 = 900

Ngoài ra dễ thấy tổng các chữ số hàng trăm là 100.

Vậy tổng các chữ số của dãy số này là:

Trong Toán học nói riêng và trong khoa học nói chung, chúng ta thường nhờvào suy luận quy nạp không hoàn toàn mà phát hiện ra những kết luận 9gọi là giảthuyết) nào đó Sau đó chúng ta sử dụng duy luận diễn dịch hoặc quy nạp hoàntoàn để kiểm tra sự đúng đắn của kết luận đó Khi dạy học tiểu học, điều nói trêncũng được lưu ý

4 Tính tổng của dãy số sau:

Một học sinh lập luận như sau:

Ta nhận thấy:

2

1

2 1

Học sinh đã sư dụng quy nạp không hoàn thiện để phỏng đoán ra kết quả củatổng Mặc dù kết quả đó đúng và quá trình suy luận là hợp lý, nhưng vẫn không thểxem đó là lời giải chặt chẽ.

Để có lời giải chặt chẽ cần sử dụng suy luận diễn dịch, chẳng hạn, đầu tiên

=

512

1 2 4 8 16 32 64 128

256        

=

512 511

Đáp số:

512 511

Nhân cả vế trái và vế phải với 2, rồi biến đổi, ta được:

S x 2 = 1 + s -

512 1

S x 2 = 1 + s -

512 1

5 Tính tổng tất cả số thập phân có phần nguyên là 9, phần thập phân có 3

2 Tính nhanh tổng của các só trên mặt đồng hồ? Cho ví dụ tương tự rồi suy

ra cách tính của dãy số cách đều?

Đố em, đố chị, đố anh Tìm ra phương pháp tính nhanh mới tài.

b Viết đầy đủ các số hạng và tính nhanh tổng sau:

Dạng 5: Dãy chữ

Khác với các dạng toán khác, toán về dạng dãy chữ không đòi hỏi học sinhphải tính toán phức tạp Ngược lại để giải những bài toán dạng này, đòi hỏi họcsinh phải biết vận dụng sáng tạo những kiến thức toán học đơn giản, những hiểubiết về xã hội, từ đó mà vận dụng dạng toán này vào trong đời sống hàng ngày vàcác môn học khác

Ví dụ:

1 Người ta viết liên tiếp nhóm chữ: học sinh giỏi tỉnh thành một dãy chữ

liên tiếp: (học sinh giỏi tỉnh, học sinh……) hỏi chữ cái thứ 2002 của dãy là chữ cáinào?

a Chữ cái thứ 2002 trong dãy này là chữ gì?

b Nếu người ta đếm được trong dãy số có 50 chữ T thì dãy đó có bao nhiêuchữ A? Bao nhiêu chữ N?

c Bạn Bình đếm được trong dãy có 2001 chữ A Hỏi bạn ấy đếm đúng hayđếm sai? Giải thích tại sao?

d Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự: xanh, đỏ, tím, vàng,

xanh, đỏ, tím,… hỏi chữ cái thứ 2001 trang dãy được tô màu gì?

*) Giải:

a Nhóm chữ THI XA THAI BINH có 13 chữ cái:

2002 ; 13 = 154 (nhóm)Như vậy, kế từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ 2002 trong dãy, người ta đã

viết 154 lần nhóm THI XA THAI BINH, vậy chữ cái thứ 2002 trong dãy là chữ H

của tiếng BINH

b Mỗi nhóm chữ THI XA THAI BINH có 2 chữ T và cũng có 2 chữ A và 1chữ N Vì vậy, nếu người ta đếm được trong dãy số có 50 chữ T thì tức là người đó

đã viết 25 lần nhóm đó nên dãy đó phải có 50 chữ A và 25 chữ N

c Bạn đó đếm sai, vì dố chữ A trong dãy phải là số chẵn

d Ta nhận xét:

+ 2001 chia cho 4 dư 1

+ Những chữ cái trong dãy có số thứ tự là chia hết cho 4 dư 1 thì được

tô màu XANH.

Vậy chữ cái thứ 2001 trong dãy được tô màu XANH

4 Một dãy số gồm các nhóm chữ như sau:

Hãy cố gắng, Hãy cố gắng, Hãy cố gắng…

a Em hãy cho biết chữ cái thứ 273 trong dãy là chữ gì?

b Nếu trong dãy số có 426 chữ A thì dãy số có bao nhiêu chữ N?

*) Giải:

a Ta thấy rằng nhóm chữ Hãy cố gắng có 9 chữ cái và 273 : 9 = 30 (nhóm)

và dư 3 chữ cái Như vậy, kể từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ 273 trong dãy thì

nhóm chữ Hãy cố gắng phải viết được 30 lần nhóm và 3 chữ cái tiếp theo là chữ

HAY

Vậy chữ cái thứ 273 là chữ Y.

b Mỗi nhóm chữ trong dãy trên có hai chữ A và có 1 chữ T Để dãy có 426

chữ A thì chữ Hãy cố gắng phải viết là 426 : 2 = 213 (nhóm)

Nhưng có những khả năng sau đây:

- Nhóm chữ cái thứ 213 chỉ viết là Hãy cố ga, khi đó nhóm chữ cuối này

không có chữ N, nên chữ N trong dãy là: 213 – 1 = 212 (chữ)

- Nhóm chữ 1213 chỉ viết là: Hãy cố gan, khi đó chữ N trong dãy là 213.

- Nhóm chữ 213 được viết trọn vẹn khi đó số chữ N trong dãy là 213

1 Một người viết liên tiếp nhóm nhữ: toán năm thành toan nam toan nam toan……

a Chữ cái thứ 2002 trong dãy là gì?

b Nếu người ta đếm được trong dãy có 50 chữ N thì dãy đó có bao nhiêuchữ A? Bao nhiêu chữ O?

c Một người đếm được trong dãy có 2000 chữ A, hỏi người đó đếm đúnghay sai? Giải thích tại sao?

d Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự xanh, đỏ, tím, vàng,

xanh, đỏ, tím…… hỏi chữ cái thứ 1999 trong dãy được tô màu gì?

2 Một người đánh máy chữ phải đánh liên tiếp nhóm chữ “tiền hải” thành

một dãy chữ TIEN HAI TIEN HAI… hỏi lần gõ vào máy thứ 2001 rơi vào chữ

Hỏi chữ cái thứ 2002 là chữ cái gì? Màu gì?

Nội dung 3: Một số lưu ý khi giải toán về “dãy số”

Trong bài toán về dãy số thường, người ta cho biết cả dãy số (vì dãy số cónhiều số không thể viết ra hết được) vì vậy, phải tìm ra được quy luật của dãy (mà

có rất nhiều quy luật khác nhau) mới tìm được các số mà dãy số khô cho biết Đó

là những quy luật của dãy số cách đều, dãy số không cách đều hoặc dựa vào dấuhiệu chia hết để tìm ra quy luật ở dạng 1, muốn giải bài toán về tìm chữ số cuốicùng của dãy (khi biết dãy đó có tất cả bao nhiêu số hạng) thì ta phải tìm sốkhoảng cách của dãy số bằng cách lấy dãy đó có bao nhiêu số hạng trừ đi 1, sau đótìm hiệu của số cuối cùng của dãy bằng hiệu của số cuối cùng và số đầu bằngkhoảng cách giữa 2 số nhân với số khoảng cách Từ đó tìm được số cuối cùng củadãy bằng hiệu của số cuối và số đầu cộng với số đầu tiên của dãy

Ở dạng 2: Muốn kiểm tra số a có thoả mãn quy luật của dãy đã cho hay

không? Ta cần xem dãy số cho trước và số cần xác định có cùng tính chất haykhông? (Có cùng chia hết cho một số nào đó hoặc có cùng số dư) thf số đó thuộcdãy đã cho

Ở dạng 3: Có các yêu cầu sau:

+ Tìm tất cả các chữ số của dãy

+ Tìm tất cả các số hạng của dãy

Khi giải cũng tính bằng một công thức như ở phần cách giải đã nói.+ Tìm chứ số thứ n của dãy