Phân số nào có tử số nhỏ hơn mẫu số thì nhỏ hơn 1; phân số nào có tử số lớn hơn mẫu số thì lớn hơn 1à phân số nào có tử số bằng mẫu số thì bằng 1.. Nếu chia cả tử số và mẫu số của phân s
Trang 1CHUYÊN ĐỀ PHÂN SỐ
Dạng 1: Các bài toán về cấu tạo phân số
A Các kiến thức cần ghi nhớ
B Ví dụ
C Bài tập thực hành
Dạng 2 : Các bài toán về so sánh phân số
A Các kiến thức cần ghi nhớ
B Ví dụ
C Bài tập thực hành
Dạng 3: Thực hành các phép tính trên phân số
A Các kiến thức cần ghi nhớ
B Ví dụ
C Bài tập thực hành
Dạng 4: Các bài toán điển hình về phân số
A Ví dụ
B Bài tập thực hành
Trang 2CHUYÊN ĐỀ PHÂN SỐ
Dạng 1: Các bài toán về cấu tạo phân số :
A Các kiến thức cần ghi nhớ :
1 Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành
phân số, tử số là số bị chia, MS là số chia a : b =
b
a
( với b 0 )
- Mẫu số b chỉ số phần = nhau lấy ra từ 1 đơn vị, tử số a chỉ số phần lấy đi
2 Mỗi số tự nhiên có thể viết thành phân số mẫu số là 1 : a =
1
a
3 Phân số nào có tử số nhỏ hơn mẫu số thì nhỏ hơn 1; phân số nào có tử số lớn hơn mẫu số thì lớn hơn 1à phân số nào có tử số bằng mẫu số thì bằng 1
4 Nếu nhân cả tử số và mẫu số của 1 phân số với một số tự nhiên khác 0 thì được
phân số bằng phân số đã cho : n
b
a n x b
n x a
(
0 )
5 Nếu chia cả tử số và mẫu số của phân số đã cho với 1 số tự nhiên 0 ( gọi là rút gọn phân số ) thì được phân số bằng phân số đã cho
b
a m b
m a
:
:
( m 0 )
6 Nếu cộng cả tử số và mẫu số của phân số với cùng 1 số (hoặc trừ cả tử số và mẫu số ) cùng một số thì hiệu giữa mẫu số và tử số không thay đổi (với phân số <
1 )
B Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Rút gọn các phân số sau :
a
2525
2323
=
25
23 101 25
101 23
x
x
b
345345
123123
=
115
41 345
123 001
345
1001 123
x x
Trang 3Ví dụ 2 : Cho phân số
7
3 , cộng thêm vào tử số và mẫu số của phân số đó với 1 số
tự nhiên ta được phân số bằng
9
7 Tìm số đó
Giải : Hiệu của mẫu số và tử số của phân số
7
3
là :
7 - 3 = 4 ( đơn vị )
Khi cộng vào tử số và mẫu số với cùng 1 số thì hiệu của mẫu số và tử số vẫn không thay đổi Nếu coi tử số của phân số mới là 7 phần thì mẫu số của nó là 9 phần
Ta có sơ đồ :
Số phần bằng nhau của mẫu số hơn số phần bằng nhau của tử số là :
9 - 7 = 2 ( phần )
Tử số của phân số mới là : 4 : 2 x 7 = 14
Số cộng thêm vào là : 14 -3 =11
Đáp số : 11
Ví dụ 3 : Cho phân số
14
11 .Tìm phân số bằng phân số đã cho biết rằng mẫu số của phân số đó lớn hơn tử số của nó là 1995 đơn vị
Giải
Nếu ta coi mẫu số của phân số phải tìm là 14 phần thì tử số của phân số đó là 11 phần như thế
Hiệu số phần bằng nhau là : 14 - 11 = 3 (phần)
Tử số của phân số phải tìm là : 1995 : 3 x 11 = 7315
?
?
4
Tử số
Mẫu số
Trang 4Mẫu số là : 1995 + 7315 = 9310
Vậy phân số phải tìm là :
9310 7315
C Các bài tập luyện tập
Bài 1: Rút gọn các phân số sau :
a
363363
123123
b
47 1947194719
96 1996199619
c
8181818181 1818181818 Bài 2 : Tìm phân số biết tổng của tử số và mẫu số bằng 40 và rút gọn phân số đó
thì được
5
3
Gợi ý
- Coi tử số của phân số phải tìm là 3 phần thì mẫu số là 5 phần
- áp dụng toán tìm 2 số khi biết tổng và tỷ số của 2 số đó để tìm tử số và mẫu số của phân số mới
Đáp số :
25 15
Bài 3 : Cho phân số
313
211 Trừ cả tử số và mẫu số của phân số đó cho cùng 1 số tự
nhiên ta được phân số bằng
5
3 Tìm số đó
Gợi ý : - Khi trừ cả tử số và mẫu số của phân số
313
211
đi cùng 1 số thì hiệu của mẫu
số và tử số không thay đổi
- Tìm hiệu của mẫu số và tử số của phân số
313 211
- Coi tử số của phân số mới là 3 phần thì mẫu số là 5 phần
áp dụng bài toán tìm 2 số khi biết hiệu và tỷ số của 2 số để tìm tử số (hoặc mẫu số) Lấy tử số cũ trừ đi tử số mới ta được số phải tìm
Đáp số : 28
Trang 5Bài 4 : Cho phân số
49
35 Cộng vào tử số 1 số nào đó và mẫu số trừ đi số đó ta được
phân số bằng 43 Tìm số đó ?
Đáp số : 1
Bài 5 : Hãy tìm một số nào đó sao cho khi tử số và mẫu số của phân số
64
29 cùng
trừ đi số đó thì được phân số mới bằng
9
2 Đáp số : 19
Bài 6 : Tìm một số sao cho cả tử số và mẫu số của phân số
49
35 cùng trừ đi số đó thì
được phân số mới bằng
3
1 Đáp số : 28
Bài 7 : Tìm 1 phân số bằng
13
7 sao cho mẫu số của nó lớn hơn tử số 114 đơn vị
(Giải tương tự ví dụ 3) Đáp số :
247
133
13
7 19 : 247
19 : 133
Bài 8 : Tìm 1 phân số bằng
16
9 sao cho tổng của tử số và mẫu số của phân số ấy bằng 1000
(HD tương tự bài 2)
Đáp số :
640
360
16
9 40 : 640
40 : 360
Bài 9 : Tìm 1 phân số bằng
23
21
; biết rằng khi ta cộng thêm vào tử số và mẫu số của
phân số đó với cùng 1 số tự nhiên ta được phân số
72
66
HD : Nhận xét
72
66
là phân số chưa tối giản ta phải rút gọn
12
11 36
33 72
66
Trang 6áp dụng giải như ví dụ 2
Đáp số : 1
Bài 10 : Tìm phân số bằng phân số
19
15 , biết rằng khi ta trừ cả tử và mẫu của phân
số đó đi cùng 1 số tự nhiên ta được phân số bằng
37
21
Gợi ý : Xét hiệu của mẫu số và tử số của phân số
19
15 bằng 4 Xét hiệu số phần bằng nhau giữa mẫu số và tử số của phân số mới là : 37 - 21 =
16 Ta thấy hiệu của mẫu số và tử số của phân số
19
15 nhỏ hơn hiệu số phần số lần là :
16 : 4 = 4 ( lần ) Vậy phân số phải tìm là :
67
60 4
19
4 15
x x
Số trừ đi là : 60 - 21 =39 hoặc 76 - 37 = 39
Dạng 2 : Các bài toán về so sánh phân số
A Kiến thức cần ghi nhớ :
1 Muốn quy đồng mẫu số của 2 phân số, ta nhân cả tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ 2 Nhân cả mẫu số và tử số của phân số thứ hai với mẫu số của phân số thứ nhất
2 Quy đồng tử số: Nhân cả mấu số và tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai Nhân cả mẫu số và tử số của phân số thứ hai với tử số của phân số thứ nhất
3 Khi so sánh 2 phân số :
- Có cùng mẫu số : Ta so sánh 2 tử số, phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn
- Không cùng mẫu số : Trước hết ta qui đồng mẫu số rồi so sánh như trường hợp trên
4 Các phương pháp sử dụng so sánh phân số
- Vận dụng quy tắc so sánh ở phần 3
Trang 7- Nếu 2 phân số có cùng tử số phân số nào có mẫu số nhỏ hơn thì lớn hơn.
- So sánh qua 1 phân số trung gian
b
a
d
c
và
d c f
e
thì
b
a
f e
- So sánh hai phần bù với 1 của mỗi phân số
1-
b
a
1-
d
c
thì
b
a
>
d c
- So sánh " phần hơn " với 1 của 1 phân số
1
b
a
1
d
c
thì
b
a
d c
B Các ví dụ
VD1 : So sánh 2 phân số
7
5
và 9 7 Giải : Cách 1: Quy đồng mẫu 2 phân số
63
45 7
5
;
63
49 9
7
;
63
45
63
49 Vậy :
7
5 <
9 7 Cách 2: Quy đồng tử số 2 phân số:
7
5
=
49
35 ; 9
7 = 45
35 ;
49
35 <
45
35 Vậy :
7
5 <
9
7 Cách 3: Tìm và so sánh phần bù tới 1của hai phân số;
1 -
7
5
= 7
2 ; 1 -
9
7 = 9
2
mà
7
2 >
9
2 nên
7
5 <
9 7
VD 2 :Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ nhỏ đén lớn:
2
1 ; 7
3 ; 4 3
Cách 1: Quy đồng mẫu số:
2
1 = 56
28 ; 7
3 = 56
24 ; 4
3 = 56 42
56
24
<
56
28 <
56
42 nên
7
3 <
2
1 <
4
3
Cách 2: Quy đồng tử số:
2
1 = 18
9
; 7
3 = 21
9
; 4
3 = 12 9
Mà
21
9 <
18
9 <
12
9 nên 7
3 <
2
1 <
4 3
Trang 8Cách 3: 1-
2
1 = 2
1 ; 1-
7
3 = 7
4 ; 1-
4
3 = 4 1
Mà 4
1 <
2
1 <
7
4 nên 7
3 <
2
1 <
4
3
Cách 4: Lấy phân số
2
1 làm phân số trung tâm :
Ta có:
7
3
<
2
1 ;
4
3 >
2
1 nên
7
3 <
2
1 <
4 3
Ví dụ 3: Hãy tìm 5 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số :
a
5
2
và 5
3
b
1997
1995
và 1996 1995
Giải : a Ta có :
5
2 = 30
12 , 5
3 = 30
18
Vậy
5
2 = 30
12 <
30
13 <
30
14 <
30
15 <
30
16 <
30
17 <
30
18 = 5 3
b Ta có :
1997
1995 =
6 1997
6 1995
x
x
= 11982
11970
; 1996
1995 =
6 1996
6 1995
x
x
= 11976 11970 Vậy :
1997
1995
=
11982
11970
<
11981
11970
<
11980
11970
<
11979
11970
<
11978
11970
<
11977
11970
<
11976
11970
= 1996 1995
C Các bài luyện tập:
Bài 1 Hãy so sánh các phân số sau bằng nhiều cách:
a
4
3
và 5
4
b
7
6
và 9
8 Bài 2 Hãy so sánh các phân số sau bằng cách nhanh nhất:
a
27
16
và
29
15 ; b
1996
1995
và 1997
1996 ; c
326
327
và 325 326 Bài 3 Xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần:
a
2
1
;
10
9 ; 3
2 ; 5
4 ; 9
8 ; 6
5 ; 8
7 ; 4
3 ; 8
7
b
1991
1992
; 1992
1993 ; 1993
1994 ; 1994
1995 ; 1995
1996 c
8
7 ; 18
17 ; 58
57 ; 98
97 Bài 4 Xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần:
a
7
5
;
9
6 ; 9
7 b
10
7 ; 100
80 1000 750
Trang 9Bài 5 Hãy chứng tỏ các phân số sau đều bằng nhau:
a
31
23
; 3131
2323 ; 313131
232323
; 31313131 23232323
b
1996
1995
; 19961996
19951995
;
96 1996199619
95 1995199519
; c
5678
1234 ; 11356
2468 ; 39746
8638 Bài 6 Hãy viết 10 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số:
a
101
100
và 102
101
b
1995
1996
và 1992 1993 Bài 7 Hãy tìm 5 phân số có tử số chia hết cho 5 và nằm giữa hai phân số :
a
1001
999
và 1003
1001
b
10
9
và 13 11
Dạng 3: Thực hành các phép tính trên phân số.
A Kiến thức cần ghi nhớ :
1 Phép cộng : Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu số, ta cộng hai tử số với nhau
và giữ nguyên mẫu số
b
a
+
b
c
=
b
c a
Muốn cộng hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số rồi cộng hai phân số đó
b
a
+
d
c
=
d x b
c x b ad
2 Phép trừ (tương tự như phép cộng)
3 Phép nhân: Muốn nhân hai phân số, ta nhân tử số với tử số, mẫu số nhân với mẫu số
b
a
x
d
c
=
d x b
c x a
4 phép chia: Muốn chia một phân số cho một phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược
b
a
:
d
c
=
b
a
x
c
d
=
c x b
d x a
5 Các tính chất của phép tính trên phân số
Trang 10a Tính chất giao hoán
b
a
+
d
c
=
d
c
+
b
a
;
b
a
x
d
c
=
d
c
x
b a
b.Tính chất kết hợp:
d
c
b
a
+
f
e
=
b
a
f
e d
c
f
e x d
c x b
a f
e x d
c x b
a
c Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
b
a
x
f
e d
c
=
b
a
x
d
c
+
b
a
x
f e
B Các ví dụ:
Vd 1.Tính giá trị của các biểu thức sau đây bằng cách nhanh nhất:
a
5
3
+
11
6
+
13
7 + 5
2 + 11
16 + 13
19 ; b
1997
1995
x 1993
1990
x 1994
1997
x 1995
1993
x 995 997
HD : áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng , phép nhân phân số Giải
a
5
3
+
11
6
+
13
7 + 5
2 + 11
16 + 13
19
5
2 5
3
11
16 11
6
13
19 13 7
=
5
5 + 11
22 + 13
26 = 1 + 2 + 2= 5
b
1997
1995
x
1993
1990
x 1994
1997
x
1995
1993
x
995 997
1994
1997 1997
1995
x x
995
997 1995
1993 1993
1990
x
1995 2
997
1997 2
995 995
997 1994
1990 995
997 1995
1990 1994
1995
x x
x x x
x x
Vd 2: Tính nhanh
a/
5
2 4
3 4
1
5
2
x
3
2 : 11
5 3
2 : 11
6
Giải:
a/
5
2 4
3
4
1
5
2
x
x =
5
2 1 5
2 4
3 4
1 5
2
x
Trang 113
2 : 11
5
3
2
:
11
6
2
3 2
3 1 3
2 : 1 5
2 : 11
5 11
6
8
1 7
1 6
1 5
1 4
1 3
1 7
1 6
1 5
1 4
1 3
1 2 1 Giải
8
1 7
1 6
1 5
1 4
1 3
1 7
1 6
1 5
1 4
1 3
1 2
1
=
8
3 8
1 2
1 8
1 7
1 7
1 6
1 6
1 5
1 5
1 4
1 4
1 3
1 3
1
2
1
Vd 4: Điền dấu ( < , = , > ) vào ô trống:
3 2
1 3
1
2
1
x
;
6
1 3
1 2
1
;
4 3
1 12
1 4
1 3
1
x
4
3 4
1 1 4
1 2
1
8
1 1 8
1 4
1 2
1
Giải
3 2
1 3
1
2
1
x
;
6
1 3
1 2
1
;
4 3
1 12
1 4
1 3
1
x
4
3 4
1 1 4
1
2
1
8
1 1 8
1 4
1 2
1
Vd 5: Tính nhanh:
10
1 9
1 9
1 8
1 8
1 7
1 7
1 6
1 6
1 5
1 5
1 4
1 4
1 3
1 3
1
2
1
x x
x x
x x
x
HD giải Phân tích:
3
1 2
1 3 2
1 3
1 2
1
x
4
1 3
1 4 3
1 4
1 3
1
x
Vậy:
10
1 9
1 9
1 8
1 8
1 7
1 7
1 6
1 6
1 5
1 5
1 4
1 4
1 3
1 3
1 2
1
x x
x x
x x
x
=
10
1 9
1 9
1 8
1 8
1 7
1 7
1 6
1 6
1 5
1 5
1 4
1 4
1 3
1 3
1 2
1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Trang 12=
5
2 10
4 10
1 2
1
Vd 6: Tính nhanh tổng sau:
64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2
1
HD: Dựa vào ví dụ 3 để phân tích và giải
Ta thấy:
2
1 1 2
1
;
4
1 1 4
3 4
1 2
1
8
1 1 8
7 8
1 4
1 2
1
Từ các kết quả trên suy ra
64
63 64
1 1 64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2
1
C Các bài luyện tập.
Bài 1: Tính nhanh
a/
48
9 48
8 48
7
48
3 48
2
48
1
b/
100
9 100
7 100
5 100
3 100
1
c/
70
19 70
16 70
13 70
10 70
7 70
4
70
1
Bài 2 Tính nhanh
5
2 : 7
3
7
3
:
5
2
6
5 6
5 : 3
2 2
1
x
8
7 : 6
5 : 5
4 : 3 2 Bài 3 Tính bằng cách thuận tiện nhất
a/
7
2 4
1 4
1 7
5
x
x b/
11
7 3
2 3
2 11
18
x
x
Bài 4 Tính nhanh các dãy tính sau:
a/
10 9
1 9 8
1 8 7
1 6 5
1 4 3
1
3
2
1
x x
x x
x
Trang 13b/
132
1 110
1 90
1 72
1 56
1 42
1
30
1
Gợi ý: phân tích các mẫu số thành tích 2 số tự nhiên liền nhau:
Chẳng hạn: 30 = 5 x 6; 42 = 6 x 7; 56 = 7 x 8…
c/
15 13
2 13
11
2 11
9
2 9
7
2 7 5
2 5
3
2 3
1
2
x x
x x
x x
Gợi ý:
5
1 3
1 5 3
2
; 3
1 1 3
1
2
x x
Dạng 4: Các bài toán điển hình về phân số:
A Ví dụ
Vd 1: Trung bình cộng của 3 phân số =
36
13 Trung bình cộng của phân số thứ nhất
và phân số thứ hai là
12
5 , của phân số thứ hai và phân số thứ ba là
24
7 Tìm 3 phân
số đó
Hd giải: Vận dụng kiến thức về số trung bình cộng để giải
Tổng của 3 phân số là
12
13 36
39 3
36
13
x
Tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai là:
12
10 2 12
5
x
Phân số thứ 3 là:
4
1 12
12 12
13
Tổng của phân số thứ hai và phân số thứ ba là:
12
70 2 22
7
x
Phân số thứ nhất là:
2
1 12
7 12
13
Phân số thứ hai là:
3
1 12
3 12
7
Đáp số:
2
1 , 3
1
và 4 1
Trang 14Vd 2: Một người bán cam lần thứ nhất người đó bán
3
1
số cam Lần thứ hai bán
5 2
số cam thì còn lại 12 quả Hỏi người đó đem bán bao nhiêu quả cam?
Hd giải:
Cả hai lần người đó bán số phần cam là:
15
11 5
2 3
1
(số cam)
12 quả cam ứng với số phần cam là:
15
4 15
11
1 (số cam)
Người đó đem bán số quả cam là: 45
15
4 :
12 (quả cam) Đáp số: 45 quả cam
Vd 3: Người công nhân thứ nhất sửa xong một đoạn đường trong 4 giờ Người công nhân thứ hai có thể sửa xong đoạn đường đó trong 6 giờ Nếu hai công nhân cùng làm thì đoạn đường được sửa xong trong bao lâu?
Hd giải:
- Tìm số phần đường sửa được của mỗi người trong 1 giờ
- Cả hai người sửa trong một giờ được bao nhiêu phần đường?
- Tìm thời gian để hai người sửa xong đoạn đường
Giải: Trong một giờ, công nhân thứ nhất sửa được là:
4
1 4 :
1 (đoạn đường)
Trong một giờ , công nhân thứ hai sửa được là :
6
1 6 :
1 (đoạn đường)
Trong một giờ , cả hai công nhân sửa được là:
12
5 6
1 4
1
(đoạn đường)
Thời gian để hai công nhân cùng sửa xong là: ( )
5
12 12
5 :
5
12
Đáp số: 2 giờ 24 phút
Vd 4: Một cửa hàng bán vải, buổi sáng bán được
11
3 tấm vải, buổi chiều bán được
8
3
số vải còn lại, thì tấm vải còn lại 20m Hỏi tấm vải dài bao nhiêu mét và mỗi lần bán bao nhiêu mét ?