Hàm lồi và một số bất đẳng thức

Do đó chúng ta cần phải nắm vài kỉ thuật chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp cổ điển, để giải quyết một số bài toán bất đăng thức có liên quan đến chương trình toán phổ thông.. Đề

DAI HOC DA NANG

TRAN QUANG CONG

HAM LOI VA MOT SO BAT DANG THUC

Chuyên ngành : Phương pháp Toán Sơ cấp

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2011

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học:

TS Trương Văn Thương

Phản biện 1: TS CAO VĂN NUOI

Phản biện 2: GS.TSKH NGUYÊN VĂN MẬU

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm

Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học

Đà Nẵng vào ngày 28 tháng 5 năm 2011

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐÈ TÀI

Trong chương trình toán học phổ thông bất đăng thức là một nội

dung khó đối với học sinh kế cả học sinh giỏi trong đội tuyển toán

Trong hầu hết các kì thi học sinh giỏi cấp thành phó, tuyển sinh đại

hoc, các kì thi quốc gia, quốc tế và khu vực, bài toán bất đăng thức

thường xuyên xuất hiện và nó gây không ít khó khăn cho người làm

toán

Điều đặc biệt của các bài toán về bắt dang thức là khó, thậm chí là

rất khó nhưng chúng ta có thể giải nó hoàn toàn bằng phương pháp

sơ cấp, không vượt quá giới hạn của toán phố thông Do đó chúng ta

cần phải nắm vài kỉ thuật chứng minh bất đẳng thức bằng phương

pháp cổ điển, để giải quyết một số bài toán bất đăng thức có liên

quan đến chương trình toán phổ thông

Với những lí do đó tôi chọn đề tài “Hàm lôi và một số bất đẳng

thức” một phần nào đó đáp ứng mong muốn của bản thân về một đề

tài phù hợp với chương trình đang học mà sau này có thể phục vụ

thiết thực cho việc giảng dạy của mình trong nhà trường phổ thông,

đồng thời cũng là tài liệu tham khảo hữu ích cho ai quan tâm đến vấn

đề này

Đề tài quan tâm nhiều đối tượng, trong đó trọng tâm là ứng dụng

của Bất đăng thức Jensen và Bắt đẳng thức Karamata để giải các bài

toán về bất đẳng thức lượng giác, bất đăng thức đại số hoàn toàn phù

hợp với thực tế tại trường phố thông

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục đích của đề tài này là trình bày có hệ thống lý thuyết hàm lỗi

và những bất đăng thức trọng tâm về hàm lỗi Sau đó đưa ra ứng

dụng của các bất đẳng thức này để chứng minh một số bài toán có liên quan

3 ĐÓI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

a Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết tổng quát về hàm lồi để trình bày có hệ thống Nghiên cứu Bát đăng thức Jensen, Bất đẳng thức Karamata và các ứng dụng của nó

b Phạm vỉ nghiên cứu Nghiên cứu từ các tài liệu, các giáo trình về bất đăng thức của các tác giả có liên quan từ đó trình bày phương pháp chứng minh phù hợp

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu các tài liệu từ trang web toán học, các tạp chí toán học

tuổi trẻ và các giáo trình có liên quan đến đề tài để tổng hợp lại Sau

đó trình bày có hệ thống và phát triển phương pháp chứng minh hợp

lí

5 Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIẾN CỦA ĐÈ TÀI

Đề tài hệ thống kiến thức về lý thuyết hàm lỗi và một số bất đăng thức về hàm lỗi, trình bày ứng dụng của Bất đăng thức Jensen, Karamata để chứng minh hàng loạt bài toán bất đăng thức ở trường phổ thông

Đề tài phù hợp cho việc giảng dạy bồi dưỡng học sinh trung học phố thông Đóng góp thiết thực cho việc dạy và học bất đẳng thức trong trường trung học phố thông, đem lại niềm đam mê sáng tạo các bài toán về bất đăng thức

6 CÁU TRÚC LUẬN VĂN Ngoài phân mở đâu và kêt luận, luận văn gôm ba chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình

bày có hệ thống các kiến thức cơ bản về hàm lồi

Chương 2: Một số bất đẳng thức về hàm lồi Trong chương này

chúng tôi trình bày hai bất đăng thức liên quan đến hàm lồi là: Bất

đăng thức Jensen, Bắt đẳng thức Karamata, các định lí và một số áp

dụng

Chương 3: Áp dung bat đẳng thức về hàm lỗi để giải một số bài

toán về bất đẳng thức sơ cấp Trong chương này chúng tôi trình bày

có hệ thống ứng dụng của Bất đăng thức Jensen và Bất đăng thức

Karamata để giải các bài toán về bất đăng thức lượng giác trong tam

giác và bắt đăng thức đại số

Chương l

KIEN THUC CHUAN BỊ

1.1 Định nghĩa hàm lồi Định nghĩa Hàm số ƒ(x) được gọi là hàm lỗi (lỗi dưới) trên tập

[zb)clI nếu với mọi J¡.*ạ€|z,b) va với mọi cặp số dương

a, B céténg a+ B=1 ta déu cd

f (AX, + BX.) S af (4) + BS (x) (1.1)

- Nếu dấu “=” xảy ra trong (1.1) khi va chi khi x, = xạ thi ta nói hàm

số ƒ(+) là hàm lỗi thực sự (chặt) trên [a, b)

- Nếu trong (1.1) bất đăng thức xảy ra ngược chiều thì ƒ(+x) là hàm lõm trên [a, b)

- Ta kí hiệu các tập [a, b), (a, b], (a, b), [a, b] la T(a, b)

Nhận xét 1.]

1 Hàm số ƒ(+) gọi là lõm trên /(ø,b) nếu —ƒ(+) là hàm lồi trên

la, b)

1⁄/ Khi x<x; thì x=øx+/x¿ce(%,x;), VØŒ, ổ8>0:ư+=I

XQ — Xy XQ — X

1.2 Các tính chất hàm lồi

Tính chất 1.1 Néu f(x) là hàm lồi (lõm) trên /(z,b) thì

g(x) =c.f(x) là hàm lõm (đồi) trên /(ø,b) khi e< 0.

Tính chất 1.2 Tông hữu hạn các hàm lỗi trên 7(z, b) là hàm lỗi trên

la, b)

Tính chất 1.3 (Xem [3]) Nếu f(x) là hàm liên tục và lỗi trên

I(a,b) va néu g(x) 1A ham 1éi và đồng biến trên tập giá trị của

f(x) thì g(ƒ(+)) là hàm lồi trên /(ø, b)

Tính chất 1.4 (Xem [3])

i/ Néu ƒ(x) là hàm liên tục và lõm trên 7(z,b) và hàm g(+) lồi và

nghịch biến trên tập giá trị của ƒ(+) thì g(f(x)) 1a hàm lỗi trên

la, b)

ii/ Nếu f(x) là hàm liên tục và lõm trên /(ø,ð) và hàm g(x) lốm

và đồng biến trên tập giá trị của ƒ(+) thì ø(ƒ(+)) là hàm lõm trên

la, b)

ii/ Nếu f(x) là hàm liên tục và lỗi trên 7(z, b) và hàm g(x) 16m va

nghịch biến trên tập giá trị của ƒ(+) thì g(ƒ(+)) là hàm lõm trên

la, b)

Tính chất 1.5 Nếu ƒ(x) là hàm số liên tục và đơn điệu (đồng biến

hoặc nghịch biến) trên /(z,b) và nếu g(+) là hàm ngược cua f(x)

thì ta có kết luận sau:

1 ƒ(x) lõm, đồng bién <— g(x) lỗi, đồng biến

i/ ƒ(x) lõm, nghịch biến © ø(+) lõm, nghịch biến

iii/ f(x) lỗi, nghịch biến < g(x) 16i, nghich bién

Tinh chat 1.6 (Xem [9]) Gia str Ai(®), fo(x), «5 f(x) là các hàm

lỗ trên /(z,b) Cho 4, >0, Wi=l, nm Khi đó hàm số

A f(x) +A fo(x) + +4, f, (x) cing 1a ham 16i trén I(a, b)

1.3 Một số định lí về hàm lỗi Dinh lí 1.1 (Xem [3]) Nếu ƒ(+) là hàm khả vi trên /(ø,b) thì

(+) là hàm lỗi trên 7(ø, b) khi và chỉ khi ƒ (x) là hàm đơn điệu tăng trên !(a, b)

Định lí 12 Nếu f(x) 1a ham kha vi bac hai trên /(z,b) va

f (x)>0, Vxe I(a, b) thì với mọi cặp x, x) € /(ø, Ð) ta đều có

ƒ(Œ)> ƒŒạ)+ ƒ (ạ)Œ—3p) (1.2)

Định lí 1.3 Néu f(x) kha vi bat hai trên /(ø, b) thì f(x) 16i (6m)

trén I(a, b) khi vachikhi f (x)>0 ( (+) <0) trên /(ø, b)

Định lí 1.4 (Xem [3]) Néu f(x) lỗi trên (ø, b) thì tồn tại các đạo

hàm một phía ƒ (+) và ƒ,(x) với Vxe (a,b) và ƒ (x) < ƒ.Œœ)

Hệ quả Các hàm số ƒ (x) và ƒ,(z) là những hàm đơn điệu tăng

trong (2, b)

Định lí 1.5 Nếu ƒ(+x) lồi trên (a, b) thì ƒ(+) liên tục trên (ø, b) Nhận xét 1.2 (Xem [3]) Ham lồi trên [a, b] c6 thé không liên tục

tại đầu mút của đoạn [z, b]

Dinh li 1.6 (Xem [3]) (Bat dang thitc Jensen)

Giả sử ƒ(+) liên tuc trén [a, b] Khi d6 diéu kién can va du dé ham

sé f(x) 16i trên /(ø, b) là

MH +X, f(y) t+ fOr)

f( 5 )< 5

Dinh li 1.7 (Xem [3]) (diéu kién du cho tinh lỗi của hàm sô)

, VXỊ, xạ€ l(a, b) (1.3)

Giả sử ƒ(x) có đạo hàm cấp hai trong (2, 5) Khi đó điều kiện cần

và đủ để hàm số ƒ(+) lỗi (lõm) trên (a, b) 1A

ƒ (x)>0, Œ (x) <0) Vxe (a, b) (1.4) Định lí 1.8 (Xem [3]) Cho hàm số ƒ(x) có ƒ (x)>0 trén I(a, db)

và giả sử xị, xạe !(a, b) với xị < x; Khi đó với mọi dãy số tăng dần

xy 1X4

2

XI TX

{uy} trong (4, ): 4 =Ug <Uy <Uy < <U, < va day sé

giam dan {„} trong ( , Xa)! <W„ <VW„_1< <Vị <Wụ =Xa

thỏa U;+V;) = + 4, "1= 0, ,n Ta đều có

#{wa)+ƒạ)> ƒ(w)3 ƒ0)> ƒ(2)+ƒ›)> > ƒƑ („)+ ƒ (vạ)

Nói cách khác đấy { ƒ@;)+ ƒ(,)} là một dãy giảm

Chương 2

MOT SO BAT DANG THUC VE HAM LOI

2.1 Bat dang thirc Jensen 2.1.1 Bất đẳng thức Jensen dạng cơ bản Giả sử ƒ(+) liên tục trên [a, b] Khi đó điều kiện cần và đủ để hàm

số ƒ(+) lỗi trên /(ø, b) là

/[1r c8 |c CA E66) ›

Vai, xạ € I (a,b)

2.1.2 Bat dang thie Jensen tổng quát (Xem [8]) Gia su f(x) là ham lôi trong (a,b) voi x), X5, ,x,€ (a,b) va

Ơi Øa Œ„ >ÚU: ứ +0; + +ớ„ =L ta có

œƒ(x¡)+ + đ„ ƒ(x„)>3 ƒ ((ixị + + đ„X„)

Nhận xét 2.1 Cho hàm số ƒ(+) liên tục trên (øz,b) Khi đó các mệnh đề sau là tương đương

i/ f(x) la ham 1éi trén (a, b)

› Văn, Xa€ (a, b) :

11⁄/ Với mọi sô nguyên dương n và mọi x, € (a,b), i = 1, ,n ta có

Xy +X, TT Mu) < Fa) A) ++I On)

n

f(

1v/ Với mọi x; € (a, b), Voi moi 24 >0,¡=I, ,m và A, +4, + +4, =1

ta có ƒ(xị + Â5x¿ + + „x„) S 1 ƒŒx)+ fly) + 44,6

(%)-2.1.3 Một số định lí về Bất đăng thức Jensen

Định lí 2.1 Cho hàm số y= ƒ(+x) lỗi và có đạo hàm cấp hai trong

khoảng (z, b) Chứng minh rằng với mọi xị, xạ e (2, b), xị<x; Và

với mọi £ (0<£<x¿ —xị ), ta luôn có bất đắng thức kép sau

mm == _aa

Nhận xét 2.2 Bắt đăng thức trên đã “làm chặt” hơn Bất đẳng thức

Jensen trong ham 1éi

Định lí 2.2 Nếu ƒ(x) là hàm lồi và xị, x;, x„ thuộc miền xác

định của nó thì

ˆ pf ate tan \ nal) (xi + X,1+%, x, +4

Dinh li 2.3 (Xem [9]) Néu f(x) 1a ham 1éi va a, a5, , a, thuộc

miễn xác định của nó thì

@ø—=D[ƒ(b)+ ƒŒ;)+ + ƒŒ„)|<n|[ƒn)+ ƒ()+ + ƒ(a„)— ƒ2]|

, Œ& +da+ +a

Trong đó a=_-L—>—————*

2.2 Bất đẳng thức Karamata

Trước khi phát biểu Bắt đẳng thức Karamata ta phát biểu định nghĩa

và các tính chất của bộ trội như sau

`

2.2.1 Định nghĩa bộ trội Cho hai bộ số a=(ai đa a„) Và

b=(b,, bạ bạ) Ta nói bộ a trội hơn bộ b được kí hiệu là a>b

nêu chúng thỏa mãn các điêu kiện sau:

đi 2 Ay >

bị >by>

> an

2 b,,

ứ +aa + +ay„ >bị tbạ + Tby, Vk =T, ,n—]

A +a) + +a, =b +b + +b

ft

2.2.2 Các tính chất của bộ trội Tính chất 2.1 V6i b6 số (ai, dạ, a„) VA a, 2a) > 2a, ta CÓ

(a), dy , , 4, ) > (a, a, ,a) Trong đó a = FF Fy

n

Tính chất 2.2 (Xem [1]) Cho hai bd sé (a, a), ,4,) Và

(b,, by, ., b,) thỏa điều kiện

b, 2 by 2 2b,

Ata, + +a, 2b +b), + +b, Vi=l ,n-1

a +a, + +a, =b +b) + +b,

Thi (ai dy, " ay) > (bị, bạ, bạ)

Trong đó (ai y2, se, ay) là bộ sô nhận được từ bộ số (øi đ; đ„

bằng cách sắp xếp a, a5, , a, theo thi tự giảm dan

Tính chất 2.3 (Xem [3]) Nếu a, >a, > 2a, >0, b 2b, > 2b, >0

_ a _ b, ¬—-

sao cho đi +aa + +ad„ =bị +bị + + bạ và Tb Vi< 7 thì

JO)

(a, AD 4 v0) a,)> (bị by, .a b„)

2.2.3 Một số định lí về Bắt dẳng thức Karamatfa

Dinh lí 2.4 (Xem [3]) (Bat dang thitc Karamata) Cho hai day số

{Xp> Ye € 1 (a, b), k =1, ,n} thoa man diéu kién:

Xy 2X 2 2X„, Yị 2 Yạ 2 2 Vụ

Xp tX_ + +% ZY +Vote + yj, Vi=l n—-1

Ji Xa + TX„ =y + yo + + Yn

Khi đó với mọi hàm lồi f(x) trén I(a,b) ta déu cé

Sq) + FO) + + £,) 2 FOV + FO) + + £On)-

Nhận xét 2.3

i/ Néu f(x) là hàm lõm và (ai a¿ „)> (bị, bạ b„) thì ta

được bất đăng thức ngược chiều sau

ƒ(m)+ ƒ(a)+ + ƒ(4„)< ƒ(bị)+ ƒŒ¿)+ + 0y)

i/ Trong Định lí 2.4 nếu biết ƒ (x)>0 trén (a,b) thì điều kiện

Xp t +X, =), t ty, duge thay bang x, + +x%,2>y,+ +y,-

iii/ Gid sử at >a;> >a„ Lúc d6 (aq, a, , a,)>(a, a, , a),

ay + ay + Tay

trong đó a= Nếu ƒ(z) là hàm lồi, dựa vào Bất

n

đăng thức Karamata ta được

tat f(aq)t+ + fla,)2 nf (Bat dang thtre Jensen)

Do đó Bắt đăng thức Jensen là trường hợp đặc biệt của Bất đăng thức

Karamata

Định lí 2.5 (Xem [5]) (Bat dang thitc T.Popoviciu) Cho f(x) là

ham 1éi trén I(a, b), Vx, y, ze I(a, b) ta déu c6 bat dang thire

X+y+zZ x+ +Z X+Z

FO+FO)+F@+3f| = ]22F| — ]42¢| — ]+2¢| — 3 2 2 2

Nhan xét 2.4 Dinh lí trên là một mở rộng thật sự của các kết quả

quen biết (Bắt dang thức Jensen) về hàm lồi Thật vậy theo Bat dang

thức Jensen thì

¬

TH nnninnr

Ta không thể cộng hai bất đẳng thức ngược chiều ở trên Do vậy Bắt

đăng thức Jensen không thể chứng minh được Bất đăng thức T.Popoviciu

Hệ quá Cho f(x) 1a ham lỗi trên I(a,b), Vx, y, ze 1 (a,b), O<a<3 tacé bat dang thirc

bà xinsir) 006706)

Định lí 2.6 (Xem [5]) (Bất đẳng thức A.Lupas)

Cho ƒ(+) là hàm lỗi trên /(z,b) Với mọi bộ số dương p, g, r >0

và Vx, y, ze /(a, b) ta có bất đăng thức

g/G)+4f0)1rfG)+(++)f| TT E ,

ptqtr

20a s| P®) g4ns{ BY) sere my{ SEE

ptq qtr r+p

Nhén xét 2.5 Voi p=q=r=1 thi Bat dang thức A.Lupas trở

thành Bắt đẳng thức T.Popoviciu

Định lí 2.7 (Xem [6]) Nếu ƒ(+) là hàm lỗi và ai, a5, ., a, thuộc

miễn xác định của nó thì

f(a) + + f(a,)+n—2) f(a = (n—-D[ fh) + +£O,)]-

aq+at t+a `

H n-l

Trong đó a=

Định lí 2.8 (Xem [6]) Nếu ƒ(+) là hàm lỗi và øi, a›, , a, thuộc

miên xác định của nó thì

H l<i< j<n 2

Nhận xét 2.6 Khi n=3 ta thu được kết quả Bất đăng thức

T.Popoviciu

2.2.4 Độ gần đều và thứ tự sắp được của một dãy các tam giác

Định nghĩa 2 l

- Cho tam giác ABC tức A, B, C là ba góc của tam giác ABC và 4,

B, C có đơn vị là rađian

- Với mọi tam giác ABC kí hiệu O\4pc =max{A, B, C}-min{A, B, C}

và gọi ổaagc là độ gần đều của tam giác ABC

Định nghĩa 2.2 (Xem |3|) Với mỗi cặp tam giác A,B,C; va

AsB;C; thỏa mãn đồng thời các điều kiện:

max{A,, B: C¡}<max{A., b, CŒ›} và min{A,, Bi, C}2min{A,, Bp, C5}

Thi ta nói cặp tam giác A,B,C, va A,B,C, 1A cap sap duoc thir ty va tam gidc A,B,C, gan déu hon tam gidc A,B,C)

Nhận xét 2.7 Tam giác đều gần đều hơn mọi tam giác khác

Nhận xét 2.8 Trong các tam giác không nhọn thì tam giác vuông cân gần đều hơn

Định lí 2.9 Cho tam giác A,B,C, gan déu hon tam giác A,B,C, va

cho hàm số ƒ(x) có ƒ (x)>0 với mọi xe (0, Z) Khi đó

#(A)+ ƒ(B)+ ƒ(C)3 ƒ(A2)+ ƒ(B;)+ ƒ(C;)

Tương tự nếu ƒ (x)<0 thì

#(Á)+ƒ(B)+7(Œ)ŠSƒ(4)+ƒ(B,)+ƒ(G)

2.3 Một số áp dụng về Bắt đẳng thức Jensen và Karamata Sau đây chúng ta sẽ dùng Bất đăng thức Jensen để chứng minh một

số bát đăng thức kinh điển như: Bất đăng thức AM - GM, Cauchy, Bernoully, Bunhiakopski, Holder, Các bất đẳng thức này rất quan trọng vì nó là cơ sở để chứng minh rất nhiều bất đăng thức khác và

đó là những bất đăng thức hay gặp nhất (dưới dạng tường minh hoặc không tường minh) Ta xét các bài toán sau:

Bài toán 2.1 (Bất đẳng thức Bernoully)

Chứng minh rằng Vx >0, œ>1 tacó xŸ +ø_—l>øxz

Bài toán 2.2 (Bắt đẳng thức AM - GM)

Cho n số thực không âm xị, xạ , x„ Chứng minh rằng

AFT An > ify x

Bài toán 2.3 (Xem [2]) (Bát đẳng thức Cauchy)

Cho 2n số thực ai, a›, đ„ bị, bạ, , b„ Chứng mình rằng

(tˆ +aa” + +a„ bị + by” + +b„”)> (aibi +asby + +au bạ)”

Bài toán 2.4 (Xem [2]) (Bắt đẳng thức Minkowski)

Cho hai dãy số không âm «n, a;, , ø„ và bị, b; , b„ Chứng minh

rằng tlaia› d„ +lbiba b„ < aay + b, (ay + bp ) (a, +,,)

Sau đây ta xét một số bài toán áp dụng liên quan đến Bát đẳng thức

Karamata

Bài toán 2.5 Chứng minh răng với mọi tam giác ABC không nhọn

ta luôn có

A B

a/ tan + tan + tan—> 22 =1 b/ sinA + sinB + sinC <1+V2

Bài toán 2.6 (Xem [I]) Xét bộ n số dương ai, ø›, , ø„ thỏa mãn

điêu kiện ứi.aa ø„ = I1 Chứng minh răng

_ _ _ 1 1 1

a'1+a;1+ +ap '2m=2>6=B Le +.eC |

Ga ay ay x2 y z2 ¬ Nhận xét 2.9 Với n=3 và ai =— a› =—., aạ=—— ta có bầt đăng

thire quen biét xo + y° +zP+ 3(xyz)” >2 ype tO 42° y)

Bai todn 2.7 Gia sur a,b,c,d là các sô dương thỏa mãn

ab+be+cd +da=4 Chimg minh rang

t+zlltx2llixS li+f]=e+sxe+e”

b Cc d a

Chuong 3

AP DUNG BAT DANG THUC VE HAM LOI

DE GIAI MOT SO BAI TOAN

VE BAT DANG THUC SO CAP

3.1 Các bài toán về tính chất hàm lôi và bất đẳng thức Jensen 3.1.1 Chứng mình bất đẳng thức lượng gidc dang doi xứng

Tính chất của hàm lỗi được vận dụng có hiệu quả dé chứng minh

các bất đăng thức lượng giác, đặc biệt là các bất đăng thức lượng giác dạng đối xứng trong tam giác Việc chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác chiếm một tỉ lệ không nhỏ trong các bài toán lượng giác ở trường phổ thông Dĩ nhiên ngoài việc sử dụng các kiến thức

về lượng giác để chứng minh bất đăng thức chúng ta còn sử dụng nhiều phương pháp khác, trong số đó không thể không biết đến phương pháp sử dụng tính chất hàm lỗi và Bắt đăng thức Jensen Sau đây là một số bài toán về bất đăng thức lượng giác trong tam giác mà

sử dụng tính chất hàm lỗi và Bất đẳng thức Jensen để chứng minh là hiệu quả nhất

Bài toán 3.1 Cho A, B, C là ba góc của tam giác Chứng minh rằng

tanŠ ^ + tanŠ- + tan®

Bài toán 3.2 Cho n là số nguyên dương

a/ Giả sử Ö< œ <Z, Vi =l, ,n Chứng minh răng

SING, + SINA, + + SING,

n n

b/ Giả sử = <a, <=, Vi=l, n Ching minh rằng

cosa, + COSQ) 1 + COS, <cos Q +O + +ữn

c/ Gia su O< @; <> Vi=l, ,.2 Chtmg minh rang

fan Øi + tana, 1 t+ Lan, + a, Ti Ty,

!†—

> ta

Nhận xét 3.1 Từ bất đăng thức trên ta suy ra một loạt các bất đăng

thức cơ bản sau đây trong tam giác Trong tam giác ABC (A, B, C la

ba góc) ta có

A B a/ sin A sin B+ sin <2 b/ sin sin + sin =

2 2 2 2 2 2 2

e/ cosA+cosB +cosC < š { tan A +tan B + tan C = 3.43

(đối với câu e,f ABC là tam giác nhọn)

Bài toán 3.3

al Cho Ö< x;¡<Z, Ví = L, ,n Chứng minh rằng

SINX, SỮIXa SIH Xụ sing tot Xy

n

b/ Cho 5 <x; <4 Vi =1, ,.n Chtmg minh rang

COSX, CØSX2 COSXy nog 21 +X + FX,

n

c/ Cho 0< x; <Z, Ví =1, ,n Chứng minh rằng

SINH” XỊ SIH” Xa Sin” X,,

9 Xp EX tet x,

n Nhận xét 3.2 Từ bất đăng thức trên ta suy ra một loạt các bất đăng thức cơ bản sau đây trong tam giác Trong tam giác ABC (A, B, € là

ba góc) ta có

! + ! + ! > 2/3 b/ 44 !

snA sinB sinC cosA cosB cosC

sin” A sin’ B sin” C sin’ sin sin? <

Bài toán 3.4 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có

sin— + sin— + sin— + tan—+ tan—+tan—2>V3+-—

Nhận xét 3.3 Nhờ phương pháp hàm lồi ta chứng minh được bất đăng thức đã cho Trong khi ta có hai bất đăng thức ngược chiều sau:

tan— +tan—+tan—2~vV3 va sin—+sin—+ sin—<—

Ta không có phép cộng hai bất đẳng thức ngược chiều này