Ứng dụng của đa diện newton vào việc nghiên cứu các bất đẳng thức lojasiewicz và một số vấn đề của lý thuyết tối ưu

Ti¶u chu©n n y cung c§p mët ph÷ìng ph¡p cho tr÷íng hñphai bi¸n, kiºm tra sü tçn t¤i cõa b§t ¯ng thùc Lojasiewicz to n cöc.. Trong tr÷íng hñp hai bi¸n, t½nh to¡n mët c¡ch t÷íng minh sè mô

VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CÆNG NGH› VI›T NAM

LÞ THUY˜T TÈI ×U

LUŠN •N TI˜N Sž TO•N HÅC

H Nëi - 2018

VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CÆNG NGH› VI›T NAM

LÞ THUY˜T TÈI ×U

LUŠN •N TI˜N Sž TO•N HÅC

Chuy¶n ng nh: Gi£i t½chM¢ sè: 9 46 01 02

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: PGS.TSKH H Huy Vui

PGS.TS Ph¤m Ti¸n Sìn

H Nëi - 2018

Tâm t-t

Trong nhi·u v§n · cõa lþ thuy¸t ký dà v h¼nh håc ¤i sè, a di»nNewton âng vai trá r§t quan trång, nâ chùa nhi·u thæng tin h¼nhhåc, ¤i sè, tê hñp v gi£i t½ch cõa h» ph÷ìng tr¼nh a thùc V¼ vªy,vîi kh¡i ni»m a di»n Newton, nhi·u k¸t qu£ quan trång cõa lþ thuy¸t

ký dà, h¼nh håc ¤i sè, lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ¢

÷ñc thi¸t lªp

Trong luªn ¡n n y, chóng tæi ¡p döng a di»n Newton º nghi¶ncùu mët sè v§n · cõa tèi ÷u v gi£i t½ch Luªn ¡n ¢ nhªn ÷ñc c¡c k¸tqu£ sau:

1) ÷a ra mët i·u ki»n õ º mët a thùc khæng ¥m l têng b¼nhph÷ìng cõa c¡c a thùc i·u ki»n n y ÷ñc ph¡t biºu thæng qua a di»nNewton cõa a thùc

2) Chùng minh r¬ng tçn t¤i mët tªp nûa ¤i sè mð, trò mªt trongkhæng gian t§t c£ c¡c a thùc câ còng mët a di»n Newton cho tr÷îc,sao cho vîi méi a thùc thuëc tªp n y v bà ch°n d÷îi, b i to¡n t¼minfimum to n cöc l °t ch¿nh

3) ÷a ra mët ti¶u chu©n cõa sü tçn t¤i b§t ¯ng thùc Lojasiewicz

to n cöc Ti¶u chu©n n y cung c§p mët ph÷ìng ph¡p cho tr÷íng hñphai bi¸n, kiºm tra sü tçn t¤i cõa b§t ¯ng thùc Lojasiewicz to n cöc

4) Cho mët ¡nh gi¡ c¡c sè mô Lojasiewicz thæng qua bªc cõa a thùc v c¡c sè mô kh¡c d¹ t½nh to¡n hìn

Trong tr÷íng hñp hai bi¸n, t½nh to¡n mët c¡ch t÷íng minh sè mô

Lojasiewicz cõa mët a thùc °c bi»t, khi a thùc hai bi¸n khæng suybi¸n theo ph¦n ch½nh Newton t¤i væ h¤n, chóng tæi công t½nh to¡n

÷ñc sè mô Lojasiewicz theo ph¦n ch½nh Newton t¤i væ h¤n cõa nâ.Hìn núa, ÷a ra mët d¤ng t÷íng minh cõa b§t ¯ng thùc kiºuHormander, trong â c¡c sè mô xu§t hi»n vîi nhúng gi¡ trà cö thº

In many problems of singularity theory and algebraic geometry,Newton polyhedra play a very important role Newton polyhedracon-tain many geometric, algebraic, combinatorial and analyticinforma-tion of polynomial systems Using Newton polyhedra,many impor-tant results of singularity theory, algebraic geometry,and differential equation theory have been established

In this thesis, we apply Newton polyhedra to study some of lems of optimization and analysis We obtain the following results:

prob-1) A sufficient condition for a non-negative polynomial to be thesum of squares is given This condition is expressed in terms ofthe Newton polyhedron of the polynomial

2) Well-posedness of almost every uncontrain polynomial tion problem is proved: exists an open and dense semialgebraic set in the space of all polynomials having the same Newton polyhedron, such that if f is a polynomial from this set and if f is bounded from below, then the problem of finding the global infimum of f is well-posed.

optimiza-3) A new criterion of the existence of the global Lojasiewicz equality is given This criterion provides a method, for the case of two variables, examining the existence of the global Lojasiewicz inequality 4) It is shown that the Lojasiewicz exponents of a polynomialcan be estimated via the degree and some exponents, which aremuch easier to compute

in-In the case of two variables, the Lojasiewicz exponents of anarbi-trary polynomial are computed explicitly; the Lojasiewiczexponents of non-degenerate polynomials are expressed in terms

of Newton poly-hedra; explicite values of some exponients in one

of Hormander in-equality are given

Líi cam oan

Tæi xin cam oan ¥y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæi d÷îi süh÷îng d¨n cõa th¦y H Huy Vui v th¦y Ph¤m Ti¸n Sìn C¡c k¸t qu£ vi¸tchung vîi c¡c t¡c gi£ kh¡c ¢ ÷ñc sü nh§t tr½ cõa çng t¡c gi£ ÷a v oluªn ¡n C¡c k¸t qu£ n¶u trong luªn ¡n l trung thüc v ch÷a ÷ñc aicæng bè trong b§t ký mët cæng tr¼nh n o kh¡c

T¡c gi£

°ng V«n o¤t

Líi c¡m ìn

Luªn ¡n ÷ñc thüc hi»n v ho n th nh t¤i Vi»n To¡n håc - Vi»n H nl¥m Khoa håc v Cæng ngh» Vi»t nam Tr÷îc h¸t, tæi xin b y tä lángbi¸t ìn s¥u s-c ¸n PGS.TSKH H Huy Vui, PGS.TS Ph¤m Ti¸n Sìn,nhúng ng÷íi th¦y ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, d¼u d-t, ch¿ b£o tæi trongsuèt thíi gian håc tªp, nghi¶n cùu º thüc hi»n luªn ¡n

Tæi xin c£m ìn Ban Gi¡m èc Vi»n To¡n håc, c¡c c¡n bë nghi¶ncùu cõa Vi»n To¡n håc, °c bi»t c¡c c¡n bë pháng H¼nh håc v Tæ

pæ, c¡c c¡n bë Trung t¥m o t¤o sau ¤i håc - Vi»n To¡n håc, ¢ t¤onhi·u i·u ki»n thuªn lñi cho tæi håc tªp v nghi¶n cùu Xin c£m ìnQuÿ Ph¡t triºn khoa håc v cæng ngh» Quèc gia ¢ hé trñ mët ph¦nkinh ph½ cho tæi trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n · t i Tæi xin c£m ìnVi»n Nghi¶n cùu cao c§p v· To¡n ¢ ëng vi¶n, trao gi£i th÷ðngcæng tr¼nh cõa Ch÷ìng tr¼nh trång iºm quèc gia ph¡t triºn to¡nhåc giai o¤n 2010-2020 cho hai b i b¡o

Tæi xin c£m ìn l¢nh ¤o Sð Gi¡o döc v o t¤o t¿nh L¥m çng, l¢nh

¤o v tªp thº gi¡o vi¶n tr÷íng THPT Chuy¶n Th«ng Long L¤t ¢ t¤oi·u ki»n v· thíi gian, hé trñ mët ph¦n kinh ph½ º tæi ho n th nhnhi»m vö

Tæi xin c£m ìn c¡c b¤n b±, çng nghi»p, c¡c b¤n nghi¶n cùu sinhtrong Vi»n To¡n håc luæn gióp ï, cê vô, ëng vi¶n trong suètqu¡ tr¼nh håc tªp v nghi¶n cùu

°c bi»t, tæi c£m ìn gia ¼nh, nhúng ng÷íi th¥n y¶u nh§t cõatæi luæn luæn ëng vi¶n, chia s´, gióp ï måi m°t v· vªt ch§t v tinhth¦n trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v nghi¶n cùu º tæi thüc hi»n ÷îc

mì cõa m¼nh Quyºn luªn ¡n n y tæi d nh t°ng cho c¡c bè mµ, vñ vhai con trai y¶u quþ

T¡c gi£

°ng V«n o¤t

C¡c kþ hi»u sû döng trong luªn ¡n

inf A infimum cõa tªp hñp A

sup A supermum cõa tªp hñp A

min A Gi¡ trà nhä nh§t cõa tªp hñp A

max A Gi¡ trà lîn nh§t cõa tªp hñp A

dist(x; A) Kho£ng c¡ch Euclide tø iºm x ¸n tªp hñp Alimx!a f(x) Giîi h¤n cõa h m sè f(x) khi x ti¸n tîi a

rankA H¤ng cõa mët ma trªn A

fd(t) ¤o h m c§p d cõa h m sè f theo bi¸n t

@d' ¤o h m ri¶ng c§p d cõa h m ' theo bi¸n xi

xd

i

a di»n(f) a di»n Newton cõa a thùc f

1

(f) a di»n Newton t¤i væ h¤n cõa a thùc f

L0(V1) Sè mô Lojasiewicz g¦n tªp cõa h m f tr¶n tªp V1

L1(V1) Sè mô Lojasiewicz xa tªp cõa h m f tr¶n tªp V1

L0(f) Sè mô Lojasiewicz g¦n tªp cõa h m f tr¶n Rn

L1(f) Sè mô Lojasiewicz xa tªp cõa h m f tr¶n Rn

Möc löc

1 i·u ki»n õ º mët a thùc thüc l têng b¼nh ph÷ìng

1.1 Giîi thi»u b i to¡n 7

1.2 K¸t qu£ v chùng minh 10

2 T½nh °t ch¿nh cõa b i to¡n tèi ÷u a thùc 16 2.1 Giîi thi»u b i to¡n 18

2.2 K¸t qu£ v chùng minh 20

3 B§t ¯ng thùc Lojasiewicz to n cöc cõa h m a thùc 31 3.1 Giîi thi»u b i to¡n 33

3.2 B§t ¯ng thùc Lojasiewicz tr¶n tªp V1 36

3.3 B§t ¯ng thùc Lojasiewicz to n cöc 42

3.4 Sè mô cõa b§t ¯ng thùc Lojasiewicz 47

4 B§t ¯ng thùc Lojasiewicz cõa h m a thùc tr¶n R2 56 4.1 Ph÷ìng ph¡p kiºm tra sü tçn t¤i b§t ¯ng thùc Lojasiewicz 57 4.1.1 Khai triºn Puiseux 57

4.1.2 Ph÷ìng ph¡p kiºm tra 59

4.2 T½nh sè mô Lojasiewicz 61

4.2.1 T½nh sè mô L0(V1) 61

4.2.2 T½nh sè mô L1(V1) 68

1

4.2.3 T½nh sè mô L0(f) 68

4.2.4 T½nh sè mô L1(f) 71

4.3 a thùc khæng suy bi¸n t¤i væ h¤n 72

4.4 Mët d¤ng b§t ¯ng thùc Hormander 78

Mð ¦u

a di»n Newton cõa mët a thùc nhi·u bi¸n l bao lçi cõa tªp c¡c

sè mô cõa c¡c ìn thùc xu§t hi»n trong a thùc vîi h» sè kh¡c khæng.Trong nhi·u v§n · cõa lþ thuy¸t ký dà v h¼nh håc ¤i sè, a di»nNewton âng vai trá nh÷ mët mð rëng cõa kh¡i ni»m bªc cõa a thùc,

v chùa r§t nhi·u thæng tin h¼nh håc, ¤i sè, tê hñp v gi£i t½ch cõah» ph÷ìng tr¼nh a thùc Ch½nh v¼ vªy, vîi kh¡i ni»m a di»nNewton, nhi·u k¸t qu£ quan trång cõa lþ thuy¸t ký dà, h¼nh håc ¤i

sè, lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ¢ ÷ñc thi¸t lªp (xem[AGV] v· c¡c ùng döng cõa a di»n Newton trong lþ thuy¸t ký dà,[Ko], [Kh] v· ùng döng cõa a di»n Newton trong h¼nh håc ¤i sè v[GV] v· ùng döng cõa a di»n Newton trong ph÷ìng tr¼nh ¤o h mri¶ng)

a di»n Newton ÷ñc ành ngh¾a khæng ch¿ cho c¡c a thùc ºnghi¶n cùu c¡c v§n · mang t½nh to n cöc, nâ cán ÷ñc x¡c ành choc¡c m¦m h m gi£i t½ch º nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t tæ pæ cõa h mgi£i t½ch t¤i l¥n cªn iºm ký dà Nhi·u b§t bi¸n tæ pæ cõa iºm ký dành÷ sè Milnor, sè mô ti»m cªn cõa t½ch ph¥n dao ëng ÷ñct½nh thæng qua a di»n Newton cõa h m gi£i t½ch (xem [Ko] v[AGV] v danh möc c¡c tr½ch d¨n ð c¡c t i li»u n y)

B£n luªn ¡n sû döng kh¡i ni»m a di»n Newton º nghi¶n cùu c¡cv§n · sau ¥y:

1) T¼m i·u ki»n º mët a thùc n bi¸n thüc khæng ¥m tr¶n to n bë

Rn; biºu di¹n ÷ñc d÷îi d¤ng têng b¼nh ph÷ìng cõa c¡c a thùc;

2) Nghi¶n cùu t½nh °t ch¿nh cõa b i to¡n tèi ÷u a thùc khæng r

ng buëc;

3) Nghi¶n cùu i·u ki»n tçn t¤i b§t ¯ng thùc Lojasiewicz to n cöc

3

cõa mët a thùc n bi¸n thüc v t½nh to¡n c¡c sè mô Lojasiewicz cho tr÷íng hñp n = 2:

C¡c v§n · 1) v 2) ang l nhúng v§n · thíi sü cõa Tèi ÷u a thùc C¡cb§t ¯ng thùc Lojasiewicz to n cöc ( èi t÷ñng nghi¶n cùu cõa v§n ·3)) ÷ñc nghi¶n cùu l¦n ¦u ti¶n trong cæng tr¼nh cõa [DHT]

v ang ÷ñc ph¡t triºn theo nhi·u kh½a c¤nh kh¡c nhau, c£ v· m°t

lþ thuy¸t [HNS], [DKL], [OR], l¨n ùng döng [Ha2], [DHP2]

B¬ng vi»c sû döng a di»n Newton, luªn ¡n ¢ ÷a ra mët c¡ch ti¸pcªn húu hi»u º nghi¶n cùu c¡c v§n · tr¶n, v ¤t ÷ñc nhúng v§n · mîim´

Luªn ¡n gçm 4 ch÷ìng Trong Ch÷ìng 1, a di»n Newton ÷ñc sûdöng º cho mët i·u ki»n õ º mët a thùc l têng b¼nh ph÷ìng cõa c¡c

a thùc kh¡c K¸t qu£ n y mð rëng mët c¡ch ¡ng kº mët k¸t qu£ g¦n

¥y cõa J.B.Lasserre

Trong ch÷ìng 2, sû döng a di»n Newton v t½nh khæng suy bi¸ncõa mët a thùc èi vîi a di»n Newton cõa A.G.Kouchnirenko [Ko],chóng tæi chùng minh ÷ñc r¬ng, trong khæng gian t§t c£ c¡c a thùc

câ a di»n Newton l tªp con cõa mët a di»n cho tr÷îc, tçn t¤imët tªp nûa ¤i sè U ; mð v trò mªt, sao cho n¸u f l mët a thùc bà ch°n d÷îi v f 2 U th¼ b i to¡n

T½nh inf f(x)x2 Rn

l °t ch¿nh theo ngh¾a cõa Zolezzi.

C¡c Ch÷ìng 3 v 4 nghi¶n cùu b§t ¯ng thùc Lojasiewicz to n cöccõa mët a thùc

Trong Ch÷ìng 3, chóng tæi ÷a ra mët ti¶u chu©n mîi cõa sü tçnt¤i b§t ¯ng thùc Lojasiewicz to n cöc Kh¡c vîi ti¶u chu©n ¢ bi¸t[DHT], ð ¥y, vi»c kiºm tra trong Rn sü tçn t¤i cõa b§t ¯ng thùc

Lojasiewicz to n cöc ÷ñc ÷a v· vi»c kiºm tra sü tçn t¤i cõa nâ tr¶nmët tªp con ¤i sè, x¡c ành mët c¡ch ìn gi£n v tü nhi¶n Ti¶u

chu©n mîi n y mð ÷íng cho vi»c ùng döng c¡c k¸t qu£ cê iºn v· adi»n Newton (thuªt to¡n t¼m khai triºn Newton-Puiseux cõa c¡c

÷íng cong ¤i sè) v c¡c k¸t qu£ t÷ìng èi g¦n ¥y ( i·u ki»n khæng suybi¸n èi vîi a di»n Newton cõa A.G.Kouchnirenko) º t½nh to¡n, ¡nhgi¡ sè mô Lojasiewicz

Ch÷ìng 4 x²t tr÷íng hñp n = 2: Ð ¥y, c¡c sè mô Lojasiewicz cõab§t ¯ng thùc Lojasiewicz to n cöc công nh÷ c¡c sè mô li¶n quan,

÷ñc t½nh to¡n b¬ng thuªt to¡n Newton-Puiseux °c bi»t, n¸u a thùchai bi¸n l khæng suy bi¸n theo l÷ñc ç Newton, th¼ c¡c sè mô trongb§t ¯ng thùc Lojasiewicz to n cöc ÷ñc biºu di¹n thæng qua c¡ct½nh ch§t h¼nh håc cõa l÷ñc ç Newton

5

b i to¡n quy ho¤ch nûa x¡c ành ([La], [La1], [La2], ) Tuy nhi¶n,c¡c i·u ki»n ìn gi£n º nhªn bi¸t mët a thùc câ l mët têng c¡c b¼nhph÷ìng hay khæng v¨n ch÷a câ nhi·u Trong [La3], J.B.Lasserre ¢

÷a ra mët i·u ki»n õ º mët a thùc l têng b¼nh ph÷ìng cõa c¡c athùc kh¡c N¸u ta phi¶n dàch i·u ki»n cõa J.B.Lasserre sang ngæn

tø cõa a di»n Newton, th¼ ta th§y r¬ng, c¡c a thùc m J.B.Lasserrenghi¶n cùu câ a di»n Newton l nhúng ìn h¼nh cì b£n Möc ½chcõa ch÷ìng n y l mð rëng k¸t qu£ cõa J.B.Lasserre cho lîp a thùcvîi a di»n Newton b§t ký Chóng tæi s³ ch¿ ra r¬ng, èi vîi b i to¡nbiºu di¹n têng b¼nh ph÷ìng, tªp c¡c ¿nh h¼nh håc cõa a

6

di»n Newton l ch÷a õ º nghi¶n cùu b i to¡n Do â chóng tæi ¢ mðrëng tªp c¡c ¿nh h¼nh håc th nh tªp c¡c " ¿nh sè håc" Nâi v-n t-t,k¸t qu£ cõa chóng tæi ch¿ ra r¬ng, n¸u vi¸t a thùc f d÷îi d¤ng

f(x) = 2V(f) a x + g(x);

X

trong â, têng 2V (f) a x gçm t§t c£ c¡c ìn thùc ùng vîi c¡c ¿nh

sè håc V(f) cõa a di»n Newton, th¼ f l têng b¼nh ph÷ìng n¸u c¡c

Ph» sè cõa g(x) l õ nhä so vîi c¡c h» sè a ; 2 V(f):

Nëi dung ch½nh cõa Ch÷ìng n y ÷ñc vi¸t düa tr¶n cæng tr¼nhcõa Van Doat Dang and Thi Thao Nguyen, Sufficient Conditionsfor a real Polynomial to be a Sum of Squares of Polynomials.Kodai J Math., 39(2016), 253 275

Kþ hi»u N l tªp c¡c sè tü nhi¶n v R l tªp c¡c sè thüc Kþ hi»u R[x]:= R[x1; x2; : : : ; xn] l v nh c¡c a thùc thüc n bi¸n Vîi

x = (x1; x2; : : : ; xn) 2 Rn v = ( 1; 2; : : : ; n) 2 Nn, ta vi¸t x =

x 1 1 xnn v j j = 1 + + n; quy ÷îc 00 = 1 Sû döng c¡c kþ hi»u tr¶n, måi

a thùc f 2 R[x] câ thº vi¸t d÷îi d¤ng f = P

2N n f x , trong â f 2 R vch¿ câ mët sè húu h¤n f 6= 0

ành ngh¾a 1.1.1 a thùc f 2 R[x] bªc d; theo n bi¸n ÷ñc gåi l khæng ¥m (vi¸t t-t PSD) n¸u

f(x) 0; 8x 2 Rn:Hiºn nhi¶n, n¸u a thùc f khæng ¥m th¼ d l sè nguy¶n d÷ìng ch®n

Tªp c¡c a thùc PSD bªc d; theo n bi¸n kþ hi»u l Pd;n:

ành ngh¾a 1.1.2 a thùc f 2 R[x] theo n bi¸n ÷ñc gåi l biºu di¹n têng b¼nh ph÷ìng (vi¸t t-t SOS) n¸u tçn t¤i húu h¤n a thùc

7

D¹ th§y, n¸u f l SOS th¼ f l PSD, i·u ng÷ñc l¤i khæng óng.

P

N«m 1888, D Hilbert chùng minh ÷ñc d;n = Pd;n khi n = 1 ho°c

d = 2 ho°c (n; d) = (2; 4) [Hi] N«m 1891, trong [Hu], A Hurwitzcông ch¿ chùng minh ÷ñc r¬ng a thùc

1969 R M Robinson [Ro], n«m 1977 M D Choi and T Y Lam

[CL2], n«m 1979 K Schmudgen [Sch], : : : : Tø â c¥u häi ÷ñc ÷a

ra: Vîi a thùc khæng ¥m thäa m¢n nhúng i·u ki»n n o th¼ nâ câ thº

biºu di¹n têng b¼nh ph÷ìng?

C¥u häi thu hót ÷ñc sü quan t¥m cõa mët sè nh to¡n håc,ch¯ng h¤n nh÷ A Hurwitz [Hu]; B Reznick [Re1], [Re2]; T S.Motzkin [Mo]; R M Robinson [Ro]; J B Lasserre [La3]; M.Marshall [Ma2], [Ma3], [Ma4]; : : : Hå t¼m c¡c i·u ki»n tr¶n c¡c h»

sè cõa a thùc khæng ¥m º a thùc â l biºu di¹n têng b¼nh ph÷ìng.Gi£ sû f(x) = P 2Nn f x 2R[x]l a thùc kh¡c h¬ng v câ

:= f 2 : f < 0 ho°c tçn t¤i i l´ vîi i 2 f1; : : : ; ngg:

N«m 2007, trong b i [La3, ành lþ 3], J B Lasserre ¢ chùng minh r¬ng, n¸u

Tuy nhi¶n, trong c¡c i·u ki»n õ tr¶n, mët i·u d¹ th§y, n¸u f0 = 0

ho°c f2dei = 0 vîi i n o â, th¼ k²o theo = ; v nh÷ vªy f hiºn nhi¶n lSOS V¼ vªy, k¸t qu£ n y v¨n cán h¤n ch¸ K¸t qu£ cõa chóng tæitrong ch÷ìng n y s³ kh-c phöc h¤n ch¸ tr¶n Tr÷îc h¸t chóng tæi ÷a ramët v i kh¡i ni»m v kþ hi»u

Kþ hi»u V (f) l tªp c¡c ¿nh cõa (f) D¹ th§y r¬ng, n¸u f l SOS th¼

V (f) chùa trong (2Z)n Hìn núa, V (f) = f0; 2de1; : : : ; 2deng n¸u

v ch¿ n¸u f0:f2de1 : : : f2den 6= 0:

Cho f(x1; : : : ; xn) 2 R[x] l a thùc theo n bi¸n, bªc 2d °t

9

M»nh · 1.1.5 ([Ma1],M»nh · 1.2.4) Cho f l a thùc bªc 2d.Khi â, f l PSD n¸u v ch¿ n¸u f l PSD; v f l SOS n¸u v ch¿n¸u f l SOS.

Düa v o M»nh · 1.1.5, tø nay ta ch¿ x²t tr÷íng hñp f l a thùcthu¦n nh§t

Phi¶n dàch k¸t qu£ cõa J B Lasserre trong ([La3, ành lþ 3])d÷îi d¤ng a thùc thu¦n nh§t, ta câ thº ph¡t biºu l¤i mët c¡ch v-n t-tnh÷ sau: Cho f l a thùc thu¦n nh§t n bi¸n, bªc 2d câ d¤ng

n

X

f(x) =aix2id + Q(x);

i=1trong â ai 6= 0; i = 1; : : : ; n; v måi ìn thùc x2id; i = 1; : : : ; n;khæng xu§t hi»n trong Q(x) vîi h» sè kh¡c khæng Khi â, f l SOSn¸u c¡c ai > 0 v " õ lîn" so vîi c¡c h» sè cõa Q(x):

Chó þ r¬ng, trong tr÷íng hñp n y, (f) l mët ìn h¼nh vîi c¡c ¿nh ei

= (0; : : : ; 1; : : : ; 0); i = 1; : : : ; n:

Trong tr÷íng hñp têng qu¡t, a di»n Newton cõa mët a thùc thu¦nnh§t khæng nh§t thi¸t l mët ìn h¼nh V¼ vªy, º thi¸t lªp k¸t qu£t÷ìng tü cõa J.B.Lasserre cho a thùc thu¦n nh§t b§t ký, chóng tæithay tªp c¡c ¿nh cõa a di»n b¬ng tªp c¡c " ¿nh sè håc"

V(f) := A(f) n n 1

(s + t) : s 6= t; s; t 2 (f) \ (2Z)no

;2

:= f 2 supp(f) : ho°c f < 0 ho°c tçn t¤i il´ vîi i 2 f1; : : : ; ngg:

Nh÷ vªy, ta luæn câ

V(f) A(f) C(f):

Tø ([HP1], ành lþ 3.1) suy ra r¬ng, n¸u f l PSD th¼ tªp V (f) chùa trong (2Z)n, v do vªy V (f) V(f)

ành ngh¾a 1.2.1 ([Re2]) Tªp hñp U = fu1; : : : ; umg ÷ñc gåi lkhuæn (framework) n¸u ui = (ui1; : : : ; uin) 2 (2Z)n vîi uij 0 v

P

jn=1 uji = 2d; vîi måi i = 1; :::; m v sè nguy¶n d÷ìng d:

n

ành ngh¾a 1.2.2 ([Re2]) Cho U l mët khuæn Tªp húu h¤n L Z

÷ñc gåi l U-trung b¼nh n¸u L chùa U v vîi måi v 2 LnU; v ltrung b¼nh cëng cõa hai iºm ch®n ph¥n bi»t trong L

Cho U l khuæn, kþ hi»u C(U) l tªp c¡c iºm nguy¶n trong baolçi cõa U:

ành lþ 1.2.3 ([Re2], ành lþ 2.2) Cho U l 1 khuæn, khi â tçn t¤itªp U l U -trung b¼nh thäa m¢n (A U ) := f (s + t) : s; t2 2 Ug

U C(U) v U chùa måi tªp U-trung b¼nh

Vîi c¡c kþ hi»u nh÷ tr¶n, k¸t qu£ d÷îi ¥y cõa chóng tæi cho mëti·u ki»n õ º mët a thùc l biºu di¹n têng b¼nh ph÷ìng

Gi£ sû c¡c i·u sau thäa m¢n:

(i) 2 U ; vîi måi 2 ;

11

(ii) minu2U fu P

2 jf j

P

Khi â f l SOS Tr÷íng hñp = ;; ta °t 2 jf j := 0:

Kþ hi»u R[x]2d l khæng gian v²c tì c¡c a thùc thüc bªc khæng v÷ñt qu¡ 2d, vîi cì sð ch½nh t-c (x ) = fx : 2 Nn; j j 2dg:

Cho d¢y sè thüc y = (y ) câ ch¿ sè ÷ñc ¡nh sè theo cì sð ch½nht-c (x ), ta x¡c ành ¡nh x¤ tuy¸n t½nh Ly : R[x]2d ! R

Do vªy, chùng minh ành lþ 1.2.4 ÷ñc ho n th nh b¬ng c¡ch sûdöng Nhªn x²t 2.2 [La3] v Bê · sau

Bê · 1.2.5 Cho U d

¢y y = (y ) sao cho

l mët khuæn v L l tªp U-trung b¼nh Gi£ sû

Md(y) 0 Khi â

jLy( x )j max L (xu); vîi måi :

2UChùng minh Tr÷îc h¸t, ta chùng minh n¸u 2 LnU, th¼ tçn t¤i k 1 v mët d¢y

V¼ X ÷ñc chùa trong L, tªp X l húu h¤n, v do vªy bao lçi cõa X câ c¡c ¿nh thuëc U.

°t := max 2L jLy(x )j Khi â tçn t¤i 2 L sao cho

k 1 = 1

2( k + k); k 6= k 2 L \ (2Z)n;trong â k 2 U: V¼ Md(y) 0, ta câ

Chùng minh ành lþ 1.2.4 Theo (2.2 [La3]), ta ch¿ c¦n chùng minh r¬ng Ly(f) 0; vîi måi y = (y ) sao cho Md(y) 0

L§y y = (y ) sao cho Md(y) 0 °t := maxfLy(xu) j u 2 Ug Khi â, theo Bê · 1.2.5, ta câ

jLy(x )j vîi måi 2 U :

13

i·u n y còng vîi c¡c i·u ki»n (i) - (ii) suy ra

v²c tì ìn và trong Rn:

Chùng minh Vîi gi£ thi¸t tr¶n, c¡c iºm 2de1; : : : ; 2den thuëc supp(f);

do vªy(f) l ìn h¼nh vîi tªp ¿nh V (f) = f2de1; : : : ; 2deng: Khi â A(f)

= (f) Zn:

Ta th§y, måi iºm 2 (f) n f2de1; : : : ; 2deng ·u câ thº vi¸t

d÷îi d¤ng = +; trong â 6= v ; 2 (f) \ (2Z)n; n¶n

2V(f) = f2de1; : : : ; 2deng:

Theo gi£ thi¸t trong ành lþ 1.2.4, V (f) U V(f) = V (f) n¶n U = V(f): Tø â 1.2.6 l H» qu£ cõa ành lþ 1.2.4

Chó þ 1.2.7.Trong i·u ki»n (ii) cõa ành lþ 1.2.4, n¸u fu = 0 vîi u 2 U

n o â, suy ra = ; v fu 0 vîi måi u 2 U; trong tr÷íng hñp n y, fhiºn nhi¶n l SOS

C¡c iºm cõa tªp U nV (f) thäa m¢n i·u ki»n cõa ành lþ 1.2.4

câ thº xem nh÷ l c¡c ¿nh sè håc cõa (f):

15

ành ngh¾a 2.0.8 ([Ty]) Cho X l khæng gian metric, x²t f : X ! R lmët h m li¶n töc B i to¡n

T½nhinfx2X f(x)

÷ñc gåi l °t ch¿nh theo Tykhonov n¸u

H m f ¤t cüc tiºu t¤i iºm x0; iºm

cüc tiºu x0 l duy nh§t;

Vîi måi d¢y xn 2 X; thäa m¢n f(xn) ! f(x0); ta câ xn ! x0:

¸n n«m 1993, Zolezzi ÷a ra kh¡i ni»m °t ch¿nh, mët d¤ng m¤nh hìn cõa Tykhonov

ành ngh¾a 2.0.9 ([Zo]) Cho X; A l c¡c khæng gian metric Vîiméi a 2 A cè ành, fa : X ! R l mët h m li¶n töc B i to¡n

T½nh infx2X fa(x)

÷ñc gåi l °t ch¿nh theo Zolezzi n¸u

(i) Gi¡ trà fa : = infx2X fa(x) l húu h¤n v ¤t t¤i iºm xa duynh§t cõa X;

(ii) Vîi méi d¢y a n 2 A ; an ! a; gi¡ trà f : = inf x2X f a n (x) l húu

b i to¡n tèi ÷u, sao cho måi b i to¡n thuëc tªp n y l °t ch¿nh Mëttrong c¡c h» qu£ cõa k¸t qu£ n y l , h¦u h¸t c¡c b i to¡n qui ho¤ch to

n ph÷ìng ·u °t ch¿nh

Trong ch÷ìng n y, b¬ng c¡ch sû döng a di»n Newton v i·u ki»nkhæng suy bi¸n theo ngh¾a Kouchnirenko, chóng tæi chùng minh ÷ñcr¬ng, n¸u l mët a di»n thuªn ti»n trong Rn; v A l khæng gian c¡c athùc câ a di»n Newton l tªp con cõa ; luæn tçn t¤i mët tªp nûa ¤i

sè, mð v trò mªt U trong A ; sao cho måi a thùc f

bà ch°n d÷îi v f thuëc U th¼ b i to¡n

T½nh inf f(x)x2 Rn

l °t ch¿nh theo ngh¾a Zolezzi Ð ¥y, sè bi¸n v bªc cõa a thùc l tòyþ

Nëi dung ch½nh cõa Ch÷ìng n y ÷ñc vi¸t düa tr¶n cæng tr¼nhcõa Van Doat Dang, Huy Vui Ha and Tien Son Pham, Well-posedness in unconstrained Polynomial Optimization Problems.SIAM J Optim., 26(3)(2016), 1411 1428

17

2.1 Giîi thi»u b i to¡n

Nh-c l¤i r¬ng, N l tªp c¡c sè tü nhi¶n, R l tªp c¡c sè thüc v

R+ l tªp c¡c sè thüc khæng ¥m Kþ hi»u R[x] := R[x1; x2; : : : ; xn]

l v nh c¡c a thùc thüc n bi¸n Vîi x = (x1; : : : ; xn) 2 Rn v

= ( 1; : : : ; n) 2 Nn, ta vi¸t x = x1 1 xnn v j j = 1 + + n;quy ÷îc 00 = 1

Cho a thùc f : Rn ! R v gi£ sû f = 2Nn f x ;vîif 2Rv

ta c¦n th¶m kh¡i ni»m sau

ành ngh¾a 2.1.1 Bao lçi cõa tªp supp(f)[f0g ÷ñc gåi l a di»nNewton t¤i væ h¤n cõa f v kþ hi»u 1(f):

ành ngh¾a 2.1.2 [Ko, Kh] a thùc f ÷ñc gåi l khæng suy bi¸n t¤i

væ h¤n theo Kouchnirenko (nâi t-t l khæng suy bi¸n t¤i væ h¤n)n¸u v ch¿ n¸u vîi måi m°t cõa 1(f); h» ph÷ìng tr¼nh

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi luæn kþ hi»uR+n l mët a di»nvîi tªp ¿nh l c¡c iºm câ tåa ë nguy¶n trong Z+n: V luæn gi£ sû

l thuªn ti»n, ngh¾a l nâ c-t måi tröc tåa ë t¤i c¡c iºm kh¡c gèc Vîi méi a di»n Rn+ thuªn ti»n, °t

A := ff 2 R[x] : 1(f) g;

V := tªp c¡c ¿nh cõa ;

C := \ Zn+ = tªp c¡c iºm nguy¶n trong ;

N := #C = sè c¡c iºm nguy¶n cõa tªp C:

B¬ng c¡ch sû döng thù tü tø iºn tr¶n tªp c¡c ìn thùc x ; 2 C; vîiméi x 2 Rn ta ành ngh¾a v²c tì t÷ìng ùng vec(x) := (x ) 2C 2 RN : ºthuªn ti»n, ta çng nh§t méi a thùc f(x) = P

2C f x 2 A ùng vîi mëtv²c tì c¡c h» sè cõa nâ f := (f ) 2C 2 RN ; nh÷ vªy f(x) = hf ; vec(x)i:

Khi â, A ÷ñc çng nh§t vîi khæng gian Euclid

RN :

K¸t qu£ ch½nh cõa ch÷ìng n y l nh÷ sau:

Cho a di»n thuªn ti»n Khi â tçn t¤i tªp nûa ¤i sè, mð v trò mªt U

A ( RN ) sao cho vîi måi f 2 U v f bà ch°n d÷îi tr¶n Rn; b i to¡n

T½nh inf f(x)x2 Rn

°t ch¿nh theo ngh¾a Zolezzi

K¸t qu£ cõa chóng tæi câ ÷ñc tø nhúng quan s¡t sau:

Méi a thùc f 2 A ; ch¿ câ c¡c iºm tîi h¤n khæng suy bi¸n vîi c¡cgi¡ trà tîi h¤n ph¥n bi»t

Vîi a thùc f 2 A ; n¸u f khæng suy bi¸n t¤i væ h¤n v bà ch°nd÷îi, khi â tçn t¤i c¡c h¬ng sè d÷ìng c1; c2 sao cho

c1 jx j f(x) c2 jx j; vîi måi kxk 1: (2.1)

19

Chó þ 2.1.3 Cho a di»n Rn l bao lçi cõa gèc tåa ë v c¡c iºm (m;0; : : : ; 0); : : : ; (0; 0; : : : ; m) 2 Rn, vîi sè nguy¶n ch®n m 2: Theotr¶n, khi â A = R[x]m-khæng gian v²c tì cõa t§t c£ c¡c a thùc câ bªckhæng v÷ñt qu¡ m: Hìn núa, ta câ:

N¸u f 2 A l bà ch°n d÷îi, th¼ th nh ph¦n thu¦n nh§t bªc cao nh§t cõa f; kþ hi»u bði fm; l mët a thùc thu¦n nh§t khæng ¥m tr¶n Rn:

Vîi a thùc f 2 A ; n¸u f khæng suy bi¸n t¤i væ h¤n v bà ch°nd÷îi th¼ th nh ph¦n thu¦n nh§t bªc cao nh§t fm(x) > 0; vîi måi

ành lþ 2.2.1 Cho a di»n thuªn ti»n Khi â tçn t¤i tªp nûa ¤i sè,

mð v trò mªt U A ( RN ) sao cho vîi måi f = P

2C f x 2 U v f bà ch°nd÷îi tr¶nRn; c¡c i·u sau thäa m¢n:

(i) f câ duy nh§t mët iºm cüc tiºu x 2 Rn;

(ii) Tçn t¤i > 0 sao cho vîi måi u := (u ) 2 RN ; kuk < ; c¡c i·u ki»n sau luæn thäa m¢n:

(ii1) a thùc fu := f + P

2C u x 2 A câ duy nh§t iºm cüc tiºu xu 2

Rn;

(ii2) a thùc fu ch¿ câ c¡c iºm tîi h¤n khæng suy bi¸n v c¡cgi¡ trà tîi h¤n l ph¥n bi»t; hìn núa, Hessian r2fu(xu) cõa fu

l °t ch¿nh theo ngh¾a Zolezzi.

Nhªn x²t 2.2.2 Trong k¸t qu£ tr¶n, Rn âng vai trá tªp X v A (' RN )

âng vai trá khæng gian tham sè A trong ành ngh¾a 2.0.9 v· t½nh °tch¿nh cõa Zolezzi

Chùng minh ành lþ 2.2.1 s³ ÷ñc chia th nh c¡c Bê ·

Bê · 2.2.3 ([HP]) Cho F : X P ! Y l ¡nh x¤ nûa ¤i sè lîp C1 giúa c¡c

a t¤p nûa ¤i sè N¸u y 2 Y l gi¡ trà ch½nh quy cõa F; th¼ tçn t¤i tªpnûa ¤i sè trong P câ chi·u lîn nh§t b¬ng dim P 1 sao cho, vîi méi p

2 P n ; y l gi¡ trà ch½nh quy cõa ¡nhx¤ Fp X Y; x 7!F (x; p):

Bê· 2.2.4 Gi£ sû a di»n l thuªn ti»n Khi â tçn t¤i tªp nûa ¤i sè mð

v trò mªt B A ; sao cho vîi måi f 2 B ; f ch¿ câ c¡c iºm tîi h¤nkhæng suy bi¸n

Chùng minh Nh-c l¤i r¬ng, ta luæn çng nh§t A vîi RN : X²t ¡nh x¤nûa ¤i sè

: Rn A ! Rn; (x; f) 7 ! rf(x);

trong â rf l gradient cõa f:

21

l ma trªn ìn và c§p n; v rankD (x; f) = n vîi måi (x; f) 2

Rn A : °c bi»t, 0 2 Rn l gi¡ trà ch½nh quy cõa : Theo Bê

· 2.2.3, tçn t¤i tªp nûa ¤i sè trong A câ chi·u lîn nh§t b¬ng dim A

1 sao cho vîi méi f 2 A n ; 0 l gi¡ trà ch½nh quy cõa

¡nh x¤

f : Rn ! Rn; x 7 ! rf(x):

i·u n y suy ra tªp B := A n câ t½nh ch§t kh¯ng ành nh÷ tr¶n

Bê· 2.2.5 Gi£ sû a di»n l thuªn ti»n Khi â tçn t¤i tªp nûa ¤i sè mð

v trò mªt C A ; sao cho vîi måi f 2 C ; f ch¿ câ c¡c iºm tîi h¤nkhæng suy bi¸n v c¡c gi¡ trà tîi h¤n l ph¥n bi»t

Chùng minh L§y B A RN l tªp nûa ¤i sè mð v trò mªt x¡c ành nh÷trong Bê · 2.2.4 X²t ¡nh x¤ nûa ¤i sè

: ((Rn Rn) n 4) B ! R Rn Rn;

(x; y; f) 7 !(f(x) f(y); rf(x); rf(y)) ;trong â

L§y (x; y) 2 (Rn Rn)n4 v f 2 B sao cho rf(x) = rf(y) = 0:

Khi â

vec(x) vec(y) 6= 0 v rankr2f(x) = rankr2f(y) = n;nh÷ vªy rankD (x; y; f) = 2n + 1: H» qu£, 0 2 R Rn Rn l gi¡trà ch½nh quy cõa : Theo Bê · 2.2.3, tçn t¤i tªp nûa ¤i sè trong B

câ chi·u lîn nh§t b¬ng dim B 1 sao cho, vîi méi f 2 B n ; 0 l gi¡ tràch½nh quy cõa ¡nh x¤

Khi â Ae l tªp nûa ¤i sè, mð v trò mªt trong A :

Nâi c¡ch kh¡c, theo ành ngh¾a, vîi méi m°t 2 1(f); tªp

Bê · 2.2.7 Cho f 2 D m°t

cõa 1(f); ta câ f

l a thùc bà ch°n d÷îi Khi â, vîi méi 0

tr¶n Rn v f > 0 tr¶n (R n 0)n:Chùng minh L§y l m°t b§t ký cõa 1(f): Tr÷îc h¸t, ta ch¿ ra r¬ng f 0tr¶n Rn: Thªt vªy, v¼ f l li¶n töc, n¶n ta ch¿ c¦n chùng minh f 0 tr¶n(R n 0)n:

B¬ng ph£n chùng, gi£ sû r¬ng tçn t¤i iºm x0 2 (R n 0)n sao cho

f (x0) < 0: L§y J l tªp con nhä nh§t cõa tªp f1; : : : ; ng sao cho

1(f) \ RJ : Khi â, tçn t¤i v²c tì kh¡c khæng a 2 Rn; vîi minj2J aj < 0; sao cho

= f 2 1 ( f ) \ R J :ha; i = 2 1 (f)\ RJ ha; ig :

minL§y l sè thüc d÷ìng õ nhä v x¡c ành ÷íng cong (t) : (0; ") !

Rn; t 7!( 1(t); : : : ; n(t)); trong â

j ( ) = ( 0 n¸u j = J:

t xj0taj n¸u j 2 J;

224

°t d := min 2 1 (f)\R J ha; i; rã r ng th§y r¬ng d < 0: Hìn núa, ta câ thºvi¸t

f( (t)) = f (x0)td + c¡c sè h¤ng câ bªc cao hìn theo bi¸n t:

V¼ f (x0) < 0; suy ra

lim f( (t)) = 1;

t!0+m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t

Ti¸p theo, ta chùng minh f > 0 tr¶n (R n 0)n: Thªt vªy, gi£ sû

tçn t¤i iºm x0 2 (R n f0g)n sao cho f (x0) = 0: Tø â suy ra x0 l

iºm cüc tiºu to n cöc cõa f tr¶n Rn: H» qu£, x 0 l iºm tîi h¤ncõa f , tùc l , @f

(x0) = 0 vîi j = 1; : : : ; n;i·u n y m¥u thu¨n @xjvîi gi£ thi¸t f 2 D(tùc l , f khæng suy bi¸n t¤i væ h¤n) Vªy, Bê · ÷ñcchùng minh

X²t h m nûa ¤i sè P : Rn ! R x¡c ành bði

X

P (x) := jx j:

2VChó þ 2.2.8 Gi£ sû tçn t¤i a thùc f bà ch°n d÷îi sao cho = (f): Khi

â t§t c£ c¡c ¿nh cõa câ tåa ë l sè nguy¶n ch®n khæng ¥m, do â P

i·u n y chùng minh b§t ¯ng thùc v¸ tr¡i.

°t v1; : : : ; vk l c¡c ¿nh cõa a di»n ; tùc l V = fv1; : : : ; vkg: L§y

2 C b§t ký, khi â tçn t¤i c¡c sè thüc khæng ¥m 1; : : : ; k; vîi 1 + + k

= 1; sao cho

=1v1 + + kvk:Vîi måi x 2 Rn; ta câ

vîi måi x 2 Rn; kxk r: Nâi ri¶ng, f l coercive tr¶n Rn:

Chùng minh B§t¯ng thùc v¸ tr¡i ÷ñc suy ra trüc ti¸p tø Bê · 2.2.7 v[Gi, ành lþ 1.5]

Ti¸p theo, ta vi¸t f(x) = P

°t U := C \D ; trong â C v D l c¡c tªp nûa ¤i sè, mð v trò mªttrong A ÷ñc x¡c ành nh÷ trong c¡c Bê · 2.2.5 v 2.2.6, t÷ìng ùng.Khi â U l tªp nûa ¤i sè, mð v trò mªt trong A :

Bê · 2.2.11 Cho l mët a di»n thuªn ti»n, cho f l mët a

thùc b§t ký thuëc U : Khi â, n¸u f bà ch°n d÷îi th¼ f ¤t cüc tiºu tr¶n

Rn t¤i iºm duy nh§t x :

Chùng minh Theo Bê · 2.2.10, a thùc f l coercive °c bi»t, f câ cüctiºu to n cöc K¸t hñp i·u n y còng vîi Bê · 2.2.5, ta câ i·u chùngminh

Bê · 2.2.12 Cho a di»n l thuªn ti»n v f 2 U l a thùc bà ch°n d÷îi Vîiméi u := (u ) 2C 2 RN ; °t fu := f + P

2C u x 2R[x]:

Khi â, tçn t¤i > 0 sao cho vîi måi kuk < ; ta câ fu 2 U : Hìn núa,c¡c kh¯ng ành sau l óng:

(i) Tçn t¤i c¡c h¬ng sè d÷ìng c1; c2; v r sao cho

c1P (x) fu(x) c2P (x); vîi måi x 2 Rn; kxk r;(ii) fu l coercive;

(iii) fu câ iºm cüc tiºu to n cöc duy nh§t xu 2 Rn;

(iv) fu ch¿ câ c¡c iºm tîi h¤n khæng suy bi¸n v

ph¥n bi»t; hìn núa, Hessian r2fu(xu) cõa

V¼ tªp U mð v trò mªt, n¶n tçn t¤i 2 (0; c01=N) sao cho vîi måi

u := (u ) 2C 2 RN ; vîi kuk < ; ta luæn câ

(ii) i·u n y l h» qu£ trüc ti¸p cõa (i) v Bê · 2.2.9

(iii) i·u n y ÷ñc suy trüc ti¸p tø (ii) v Bê · 2.2.11

(iv) V¼ xu l iºm cüc tiºu to n cöc cõa fu; Hessian r2fu(xu) cõa

fu t¤i xu l nûa x¡c ành d÷ìng i·u n y còng vîi Bê · 2.2.5, suy ra i·u ph£i chùng minh

(v) Tr÷îc h¸t ta chùng minh r¬ng limu!0 xu = x : Thªt vªy, n¸u

kxuk r; th¼

c1P (xu) fu(xu) fu(x ) = f(x ) + u (x )

2L X

f(x ) + j(x ) j:

2Li·u n y k¸t hñp vîi t½nh coercivity cõa a thùc P (xem Bê · 2.2.9), suy ra r¬ng tªp fxu : kuk < g l bà ch°n Chó þ

H» qu£, ta câ f(x ) = limu!0 fu(x ): B¥y gií, k½ hi»u y liºm hëi u

( ) = u!0 u u u!0 " u u #

u (x )lim f(x ) +

2C

= lim f(xu) = f(y );

u!0suy ra y = x ; bði v¼ x l iºm cüc tiºu duy nh§t cõa f: Do â, limu!0 xu

rankD (x ; 0) = rankr2f(x ) = n:

Theo ành lþ h m ©n v c¡ch chån nhä tòy þ n¸u c¦n, tçn t¤i duy nh§t

¡nh x¤ gi£i t½ch

s: fu 2 RN : kuk < g ! Rn; u 7!s(u);

sao cho s(0) = x v (s(u); u) = 0 vîi kuk < : Nâi c¡ch kh¡c, v¼

xu l iºm cüc tiºu to n cöc cõa fu; (xu; u) = rfu(xu) = 0 vîi måi

kuk < : Theo t½nh duy nh§t nghi»m s cõa h» (x; u) = 0 trong l¥n

cªn cõa iºm (x ; 0); ta câ s(u) = x vîi måi kuk < :

u

B¥y gií chóng ta s³ ho n th nh chùng minh cõa ành lþ 2.2.1.

Chùng minh ành lþ 2.2.1 Gi£ sû r¬ng a di»n l thuªn ti»n Theo Bê

· 2.2.4, 2.2.5, v 2.2.6, U := B \ C \ D l tªp nûa ¤i sè, mð

v trò mªt trong A :

L§y b§t ký f 2 U v gi£ sû r¬ng f l bà ch°n d÷îi, tùc l ,

infx2Rn f(x) > 1: Theo Bê · 2.2.11, f câ duy nh§t cüc tiºu to n cöc x2

Rn:

29

f xlim f (x ) = lim f(x ) + u (x ) = lim f(x ) = f(y );

2Csuy ra y = x bði v¼ x l iºm cüc tiºu duy nh§t cõa f: Do â,limu!0 xu = x : Chùng minh ành lþ ÷ñc ho n th nh

x2R

30

Ch֓ng 3

B§t ¯ng thùc Lojasiewicz to n cöc

cõa h m a thùc

Cho f(x1; x2; : : : ; xn) l mët h m gi£i t½ch tr¶n tªp compact U

Rn; 0 2 U, vîi f(0) = 0: Khi â b§t ¯ng thùc Lojasiewicz cê iºn [Lo]kh¯ng ành r¬ng, tçn t¤i h¬ng sè > 0 v c > 0 sao cho

jf(x)j cdist(x; f 1(0)) ; vîi måi x 2 U; (3.1)trong â dist(x; f 1(0)) l kho£ng c¡ch Euclid thæng th÷íng trong