BÀI TẬP THỦY LỰC CHỌN LỌC

Như vậy: pck = - pd- Áp suất dư trên mặt thoáng của chất lỏng tiếp xúc với khí trời thì bằng không.. - Áp suất dư tại một điểm trong chất lòng có mặt thoáng tiếp xúc với khí trời bằne: P

TS PHÙNG VĂN KHƯƠNG - NGƯT.ThS PHẠM VĂN VĨNH

BÀI TẬP

(Tái bản)

NHÀ XUẤT BẢN XÂY DựNG

HÀ N Ộ I- 2 0 1 0

LỜI NÓI ĐẦU

Cơ học chất lỏng ứng dụ n g hay thuỷ lực là m ôn học được g iả n g

d ạ y cho nhiều ngành ở trường k ĩ th u ậ t khác nh a u S in h viên kh i học m ôn này thường gặp nhiều khó kh ă n trong việc ứ ng d ụ n g lí

th u y ết đê g iả i các bài tập, n h ấ t là các bài tập tương đối khó Với

m ụ c đích trang bị cho sinh viên n hữ ng k ĩ năng g iả i các bài tập đó,

ch ú n g tôi tập hợp trong tài liệu này nhiều bài tập có tín h chát chọn lọc P hần lớn sô bài được giải hoặc hướng d ẫ n chi tiết cách giả i Có m ột sô ít bài chí cho đáp sô đ ể sinh viên tự k iể m tra và rèn luyện k ĩ n à n g tín h toán Tài liệu này còn g iú p cho sin h viên nâ n g cao trinh độ đê d ự thi các k ì thi O lym pic toàn quốc được tô chức

h à n g nám , củng n h ư làm tài liệu nghiên cứu cho các học viên cao học.

C húng tôi sắp xếp các bài tập thà n h 5 chương cơ bản, trong m ỗi chương đều có tóm tắt lí thuyết đê sinh viên tiện theo dõi uà

ứ ng dung.

Cuối cùng, xin chăn th à n h cảm ơn P hòng Q uản lí và N g h iên cứu khoa học của Trường đại học Giao thông vận tả i cùng các bạn đồn g nghiệp và N h à xuất bản X ây dự ng đã g iú p đỡ ch ú n g tôi

trong việc x u á t bản cuôìĩ sách này.

C á c tác giả

C hư ơng 1

TĨNH HỌC CHẤT LỞNG

1.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÂN BẰNG CỦA C H Ấ T LỎ N G TĨNH (phương trìn h ơle tĩnh)

Ở đ à y : f = X i + Yj + Zk ;

f - lực khối đơn vị;

p - áp suất thủy tình;

{X, Y, ZỊ - hình chiêu của lực f lên các trục toạ độ Đềcac Oxyz

b) Dạng hình chiếu:

p dx

1.2 PHƯƠ N G TRÌNH c ơ BẢN THỦY TĨN H (trường hợp lực khối là trọng lực: X = 0,

Y = 0, z = - g)

Ỏ đày: h - chiều sâu (khoảng cách từ mặt thoáng đến điểm tính áp suất) Khi p xác

định theo công thức (1.4), thì gọi áp suất tuyệt đối: pt(1 = Po + yh

Gọi p., là áp suất khí trời: pa = 9,81 N /cn r = lat, thì sẽ có hai trường hợp sau:

+ Nếu pU| > pa thì pUỊ - pa = pd ; pd gọi là áp suất dư

+ Nếu pld < p., thì pa - pId = pt k ; ptk gọi là áp suất chân không

p "

( 1 1)

( 1.2)

z - i ^ = o

(1.3)

1.3 ÁP SUẤT TAI M ỘT ĐIẾM t r o n g c h ấ t l ỏ n g

Như vậy: pck = - pd

- Áp suất dư trên mặt thoáng của chất lỏng tiếp xúc với khí trời thì bằng không

- Áp suất dư tại một điểm trong chất lòng có mặt thoáng tiếp xúc với khí trời bằne:

Pd = yh.

Sau đây áp suất dư thường được viết là p.

1.4 ÁP Lực CH ẤT LO N G LÊN TH À NH PHANG (áp lực dư)

p = PCÍ0 = yzt 0)

ơ đây pc - áp suất tại trọng tâm của diện tích chịu lực 03; zc là chiều sâu của trọng JL

tâm c (hình 1.1)

Tàm áp lực D:

(1.5)

( 1.6)

Ớ đày:

c - trục đối xứng di qưa trọng tâm c.

Jc - mômen quán tính eủa diện tích ũ) ứng với trục đi qua trọng tâm c.

Trường hợp thàiah llnảng đứng (« = 90°);

.1,

Hình 1.1

Zn = z, +■

7 .0 1

(1.7)

Ta cung có thê tìm áp lực p và tâm áp lực theo phương pháp biểu đồ (hình 1.2) nếu diện tích chịu lực có dạng hình chữ nhật hoặc hình vuông có chiều rộng b:

( 1 8 ) _ ỵ(za + z ft)ABx b

Điểm đặt đi qua trọng tâm của ABB A'

1.5 ÁP L ự c CH Ấ T LỎ N G LÊN TH À NH CONG

p = ,/P,2 + R?

0) x - hình chiếu của thàBỉh cong lên mặt vuông

/v - toạ độ trọng tâm của diện tích (úx.

P2 = y w (1.11)

w - thể tích của vật thể áp lực, w

inang dấu dương nếu ngay bên trên mặt

chịu lực có chất lỏng (hình 1.3a) còn w

mang dấu âm nếu ngay bên trên mặt chịu

1 ực không có chất lỏng (hình 1.3b)

Đế tìm tâm áp lực ta kết hợp hai điều

kiện:

- Áp lực p đi qua tâm của mặt cầu hoặc

mật trụ;

- Tìm góc giữa Px và Pz:

tgp=ipỊI X I 1.6 ĐỊNH LUẬT A C S IM E T

Một vật ngập từng phần hoặc toàn phán trong chất lỏng sẽ chịu một áp lực thẳng đứng

lừ dưới lên gọi là lực đẩy Acsimet (kí hiêu A), có trị số bằng trọne lượiiíỉ của thể tích chất lỏng mà vật chiếm chỗ và đi qua trọng tâm của khối chất lỏng đó (hình 1.4):

1.7 TĨN H TƯƠNG Đ ố i

a) Vật chứa chất lỏng chuyển động thẳng đểu với gia tốc a không đổi (hình 1.5).

' Phân bố áp suất:

w

V

/

b)

- Mặt đẳng áp:

b) Vật chứa chất lỏng quay x u n s quanh trục đối

b) Vạt chưa cnât long quay x u n s quanh t xứng với vận tốc góc co không đổi (hình 1.6)

- Phân bố áp suất:

p = p o r r 2 (z )

- Mặt thoáng của chất lỏng

< z - z 0 ) = í p r 2

2e

(1.15)

(1.16) Trong đó: r = X 2 + y 2.

1.8 S ự CÂN BẰNG CỬA C H Ấ T K H Í

Phương trình vi phân cân bằng của chấl khí trọng lực nén được (p ^ const):

Phương trình trạng thái khí:

ơ đây T là nhiệt độ tuyệt đối

Hài l l Đường ống dẫn nước có dườne kính trong d - 5()()mm, dài I - lOOOm eliứu đầy nước ở trạng thái tĩnh dưới áp suất p„ = 4at và nhiệt độ ban đầu t„ = 5°c -Hãy xác

định áp suất trong ống khi nhiệt độ tương ứng tăng lên đến t, =15°c Biết hệ số giàn nứ

do nhiệt độ của nước p, = 0,000014 và hệ số nén p p

21000c m 2 / k g Bỏ qua sự biên dạng và nén, giãn nở của thành ốníĩ

B ài giải

Thê tích nước trong đường ống ban đáu, l ú c t„ = 5°c là:

w D = n á 2 3,1 4 x 0 ,52X1000 = 196,2 5 n r

Khi nhiệt độ tăng đến t| = 15°c thì lượng tăng nhiệt độ là:

At = t, - t „ = 1 5 - 5 = 10°c Thể tích nước cũng tăng lèn:

Aw = w0 X At X p , = 196,25 X 10 X 0,000014 = 0,0275m \

Số gia áp suất trong ống Ap khi thế tích nước tăng lên được xác định theo:

Ap = = 0 , 0 2 7 5 X 21,000 * 3, O k G /c m 2 = 3at

Ap = 249.300N/nr

Đ áp số: Ap = 7at

Bai 1.2 Một kiểu áp kê nhạy được cấu tạo như saư: Một bình trụ tròn trục thẳng đứng, bán kính R = lOOmm, dày e = lmm, được treo qua hai ròng rọc với một đối trọng, miệng

của bình nhúng vào nước úp lên một đầu ống dẫn khí với áp suất p cần đo (hình 1.7) Hãy

tính độ di chuyên theo chiều cao của bình khi áp suất của khí tăng lm m cột nước

B ài giải:

Bình dược cân bằng bởi trọng lượng bản thân và vật đối trọng với áp suất từ chất lỏng (nước và khí) Các áp suất đó bao gồm một phần áp suất khí p tác dụng lên toàn bộ bề mặt bên trong của bình sẽ là 7iR:p và áp

suất yz tác dụng lên vành xung quanh

(có chiểu dày là e) của bình là lực đẩy:

2ĩtRey/ Vậy có phương trình:

2nReyz + 7tR:p = trọng lượng bình + đối

trong = const

Láy đạo hàm có:

2nReydz + 7TR2dp = 0

R dp

Vây áp suất nước trong ống là: Ap = p0 + Àp = 7at

- r Ỷ- 1

1mm

= ị

Trong đó — là độ biến thiên của áp suất được biểu thị bằng cột nước và được khuếch

đại tuy thuộc vào ti sô — = — = 50

Vậy nếu áp suất tăng lên Imm nước thì chiều sâu 2 sẽ giảm một lượng tương ứng, tức

là bình sẽ lên cao một trị số là 50mm

Bài 1.3 Càn một bình nước có diện tích đáy là 0), độ sâu nước là hj, cân đã cân bằng (hình 1 Sa) Nếu thả một quả cầu (có thể tích đáng kể) ngập vào bình nước, nhung có tay người thả giữ lấy quả cầu (hình 1.8b) Hỏi cân có cân bằng nữa không?

(O

n ù h ì a)

Hình 1.8

Hinh 1.9

H ư ớ n g dần

Theo điều kiện đã cho, cân sẽ không cân bằng nữa và sẽ lệch về phía bên trái

Bài 1.4 Một đoạn sông cong có bán kính cong của trục dòng là R, vận tốc dòng nước

trung bình là V, chiều rộng mặt nước là B

(hình 1.9) Hãy tìm phương trình mặt thoáng và

độ chênh mực nước giữa hai bờ

B ài giải

Bài này có nhiều quan điểm diễn giải, ở đây giải theo dạng tĩnh tương đối

- Tìm phương trình m ặt thoáng

Đã biết phương trình mặt đẳng áp (vì mặt thoáng cũng là mặt đẳng áp) dp = 0 => Xdx + Ydy + Zdz = 0

V 2

ở đây: x = — ; Y = 0; z = -g

X

Vậy có: — dx - g d z = 0 <=> Phương trình mặt thoáng là v2lnx - gz = c

X

-T ín lì Az

Độ chênh mực nước hai bờ sông là Az tính được như sau:

Az = z2 - z

Az = — ln R + EO- — ln R - -V 2 , f n B )

Vậy:

A z = z , - Z | = — 2 , 3 l e - — - —

Bài 1.5 Xác định độ cao mức thủy ngân tại A khi cho biết áp suất chỉ trong các áp kế là

p, = 0,9at; p2 = 1,86 at và độ cao mức chất lỏng

biểu diễn như hình 1.10 Biết tỉ trọng của dấu

ỗd = 0,8, của thủy ngân ỗ Hg =13,5

H ư ớ n g dẩn

Áp dụng công thức tính áp suất một điểm trong chất lỏng:

ỉ *s *'ỳjí ",

.*•/! , • •/.*•[• i >.*•’*• V p /■*'!'■ /■

h,-Pa = P: + Yn ( M 2 - h A) Mặt khác, pA = pB + yHg (1,06 - hA)

P b = P i + Yd ( 1 , 2 — 1 , 0 6 )

Giải ba phương trình trên ta nhận được:

h A = 0,30m Bài 1.6 Bình hình trụ chiều cao H = 70cm

có hai khoá A và B (hình 1.11) Trước hết đóng

khoá B, m ở khoá A để rót thuỷ ngân vào với áp

suất khí trời tới độ cao h, = 50cm Sau đó đóng

khoá A, m ờ khoá B cho thủy ngân chảy ra Xác

định áp suất chân không trong bình tại thời

điổrn cân bằng, khi mực thuỷ ngân đạt tới trị sô

h2 và tính h 2 Giả thiết rằng quá trình xảy ra là

đẳng nhiệt

Gọi áp suất tuyệt đối trong bình tại thời điểm cân bằng là ptd thì ta có phương trình:

Theo điều kiện quá trình xảy ra là đẳng nhiệt, ta có phưomg trình thứ hai:

P a ( H - h | ) = P , đ ( H - h 2) ( 2 )

9,81 X 104 N/m2, Yh = 133416N/m2, ta nhận

(Hg)

B

s =

Giải hai phương trình trên và thay pa

được phương trình bậc hai đối với h2

Đáp số: h-, = 0,334m

Pck = Pa - Ptd = 0 , 4 5 4 a t

Bài 1.7 Để đo độ sâu của dầu trong bể

chứa hở ta đặt một ống thẳng đứng, đầu

hở của nó gần chạm đáy bể (hình 1.12)

Người ta truyền không khí vàọ ống với

vận tốc nhỏ nên có thể bỏ qua sức cản

thuỷ lực Xác định chiều sâu của dầu có

yd = 8730,9N /m 3, nếu áp suất của không

khí truyền vào bể tương đương với chiều

cao h = 890mmHg

Áp suất của dầu ở gần đáy bể chính bằng áp suất của không khí truyền vào Do vậy, ta

có phương trình:

Chiều sâu H của bể sẽ là:

H =

YdH = Yngh

132886,2

X 0,89 = 13,55m

é

Không khí

T

H ình 1.13

Bài tậ p 1.8 Trong kênh dẫn đến công trình làm sạch nước người ta đặt một thiết

bị đo mực nước tự ghi (xem hình 1.13)

Đ ầu dưới của ống 1 nằm trong nước với

chiểu sâu H 2 Một thể tích không khí

được truyền theo ống 2 vào đầu trên của

ống 1 dưới áp suất đủ để cho không khí

đi theo ống 1 vào cuối ống Xác định

mực nước trong kênh dẫn H, nếu áp suất

không khí trong ống 1 theo số đọc của

m áy tự ghi bằng h| = 80mm cột thúy

ngân và h2 = 29mm cột thuỷ ngân Cho

khoảng cách từ đáy kênh đến đáu dưới của ống 1, H; = (),30m

Dáp sò: Khi h; = 80mm Hg thì H = l,39m

Khi hi = 29mm Hg thì H = 0,6()m Bài 1.9 Một chuông chứa khí có đường kính D = 6,6m

Trọng lượng chuông G = 34,3.10(N (hình 1.14) Xác định độ

chênh mực nước H trong chuông và trona bình 2

H ư ớ n g dẫn:

Từ p0 = ỵH và p0CD = G, ta tĩnh được H

Đáp số: H = 0,102m

Bài 1.10 Sự thay đổi nhiệt độ của khí trời là một hàm bậc nhất so với độ cao v ề mùa hồ sự thay đổi như sau:

Tại z = 0, T0 = 273 + 29 = 293 K;

Po

Hãy xác định khối lượng riêng và áp suất của không khí dưới dạng hàm số của độ cao

0 < z < 10,000m khí hoàn hảo có p = pRT, R = 287Jkg~'K_l

B à i giải:

Vì nhiệt độ T phụ thuộc tuvến tính so với độ cao : nên:

dT

dz = Cị, C| = const.

Tir dó

Như vậy,

Hoặc

Từ

Hay

z = 0, T = T0 —> C2 = T0 ; z = H|, T = T, —> c, =

T = T „ - T() - T| z

T = c , z + C2

T | - T 0 H,

H, T0_-T, z_

—> dt — —T,1T ọ -T ,

T0H,

dz = (T0 - T , ) dz

p = pR T có dp = RTdp + pRdt

dp = RT() T ọ -T ,

dz

d p - p R ( T 0 - T , ) - ^

Chia hai vế cho pg:

I _ ĩ l ^ 7

To H , ,

d p — ^ - ( T 0 - T , ) d z , gH

Vì — = - d z nên

pg

dz

Hay

Vậy

dp [R(T0 - T , ) - g H ,] (

pg [T0HI - (T0 - T| )z ]c 7 _p_

Po

1 T q - T , z

crỊ-Ị,M

R ( T „ - T )

JZ_ = J L X

Hài 1.11 Người ta đậy đường vào hầm ngầm bằng

cua cống vuông (yc = ll,8 k N /n r ) có kích thước

ii X a X o = 3 X 3 X 0 , 0 8 (m ) Clio biết các chiểu sâu

ciui nước: h = l,40m; h| = 4,4m; h2 = l,8m Hệ số

ma sát ỏ' rãnh f = 0,5 (hình 1.15)

Yêu cầu:

1) Tính tống áp lực p của nước lcn cốnc (coi áp

suất uong hầm ngầm là áp suất khí trời)

2) Tìm tâm áp lực D

B ài giải:

1) Tính tổng áp lực p (hình 1.16):

Áp lực từ phía thượng lưu:

p, = yhcC0 = y(h, - a / 2 ) a 2

= 9,81(4,4-1,5)32 =256,041 kN

Áp lực từ phía hầm ngầm:

P2 = Y ^ a = 9,81— 3 = 47,676 kN

Tổng áp lực p bằng:

p = p, - p 2 = 208,364 kN

2) Tính hD:

h clco

1 2 ( h , - V

2,9 +

-1 2 x 2 ,9 = 3,16m

h m = —h, = —x l,8 = l,2m

Từ định lí Varinhông ta có:

pX AD = P| X ADị - P i X ADi, suy ra

AD = PIA D 1 - P2A D 2 = 236, 041(4,4 - 3,16) - 47,678(1,8 - 1 ,2 ) = 1 386

Như vậy h0 = 4,4 - 1,386 = 3,0 lm tính từ phía thượng lưu

3) Tính lực nâng T:

Lực nâng T ban đầu để nâng cửa ông lên sẽ bằng: T = Gc + fP + Pzl,

ở đây: Gc = yca2ơ = 11,8 X 32 X 0,08 = 8,496 kN Lực ma sát = fp = 0,5 X 208,364

= 104,182kN Áp lực nước tác động lên mặt trên của

cống: Pz, = ya ơ h = 9,81 x3x 0,08 X 1.4 = 3,296 kN

Bài 1.12 Xác định trọng lượnc G của vật được giữ ở giá của máy nén thuỷ lưc, nếu trọng

lượng của pittồng G| = 10T, đường kính

D = 500mm, chiều cao đai da h = lOOmm, hệ số

ma sất của da với mặt pittông f = 0,15; áp suất

ms G

H ướng dẩn

Viết phương trình cân bằng lực:

T + P = G + G , d o đ ó G = T + P - G ,

Ở đây: T - lực ma sát: T = ípnDh ; p - áp lực chất lỏng lên đáy pittông: p = pTtD

Đ áp sỏ': G = 42,76 T.

Hài 1.13 Van đĩa đường kính d = 50cm đây kín w

đường vào hầm ngầm và có cơ cấu như hình 1.18 ^

Cho a = lOcm Xác định lực căng của lò xo AB.

H ư ớ n g dẩn

Viết phương trình mômen đối với bản lể o , khi

dó ta có T = — - , ở đây P = yN(h + — ,

( h + ) -

d 7 ĩ d

6 4 (h + )

Bài 1.14 Xác định mômen M = GL để có thể

giữ cánh cống hình tam giác với các kích thước biểu diễn như hình 1.19

H ư ớ n g dẩn

Tính áp lực của nước lên cánh cống:

Ớ đày: p = yhj (1) -> hc = 1 + 1,3 = 2,3m;

co - diện tích cánh công

Lấy mômen ứng với điểm o ta có

M = G L = p (1 +0,7)

Đáp số: M = 57535 Nm

Bài 1.15 Xác định độ cao h đê nưóc có

thể tràn qua cánh cống AB Cánh cống

này có thể quay xung quanh bản lề o

(hình 1.20)

H ư ớ ng dẩn

Tìm điểm đặt D:

AD = — AM = —— - —

Hình 1.19