Một số vấn đề về định lý DAVENPPORT

Trong lý thuyết nửa nhóm một chủ đề tổ hợp rất gần với lý thuyết ngôn ngữ hình thức và ôtômát đó là chủ đề biểu diễn nửa nhóm bởi các nửa nhóm tự do và vị nhóm tự do.. Dựa vào bài báo đ

Bộ giáo dục và đào tạo

Trờng đại học vinh

Trần xuân sum

Luận văn thạc sĩ toán học

Vinh, 2010

Bộ giáo dục và đào tạo

Trờng đại học vinh

Vinh, 2010 Mục lục

Trang

Lời nói đầu 1

Chơng 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Nửa nhóm các từ, nửa nhóm tự do … ……… 3

1.2 Vị nhóm tự do, định lý khuyết ……… 9

Chơng 2 Một số biểu diễn nửa nhóm với số khuyết không âm 15 2.1 Biểu diễn nửa nhóm Định lý Evans ……… 15

2.2 Các biểu diễn nửa nhóm với số khuyết không âm …… ………… 21

Kết luận ……… 29

Tài liệu tham khảo 30

Lời nói đầu

Lý thuyết nửa nhóm ra đời vào những năm đầu thế kỷ 20 nhng nó lại

thực sự phát triển có những bớc tiến nhảy vọt vào những năm giữa thế kỷ đó

Trong lý thuyết nửa nhóm một chủ đề tổ hợp rất gần với lý thuyết ngôn ngữ

hình thức và ôtômát đó là chủ đề biểu diễn nửa nhóm bởi các nửa nhóm tự

do và vị nhóm tự do.

Nh đã biết, nếu một biểu diễn nửa nhóm A R xác định một nhóm,

thế thì R − A ≥ 0 Việc xét các biểu diễn nửa nhóm với số khuyết bằng

không đợc các tác giả H.Ayik, F.Kuyu, và B Vatansever nghiên cứu và trình bày trong bài báo “On semigroup presentations and efficiency” đăng trên tạp chí “Semigroup Forum” số 65 (2002) Dựa vào bài báo đó chúng tôi trình

bày một cách chi tiết về hệ thức xác định trong một biểu diễn nửa nhóm hữu hạn với số khuyết bằng không của một số lớp nhóm Ngoài ra chúng tôi còn xét điều kiện để một nửa nhóm ma trận Rees à[G I; , ; ∧ P] là biểu diễn đợc hữu hạn

Luận văn đợc chia làm 2 chơng

Chơng 1 Kiến thức chuẩn bị.

Trong chơng này chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về nửa nhóm các từ, nửa nhóm tự do, vị nhóm tự do, định lý khuyết

Chơng 2 Một số biểu diễn nửa nhóm với khuyết không âm.

Đây là nội dung chính của luận văn

Tiết 1 Hệ thống các khái niệm và tính chất liên quan đến biểu diễn nửa nhóm

Tiết 2 Trình bày biểu diễn hữu hạn của nửa nhóm với số khuyết bằng không xác định một nhóm

Trình bày biểu diễn hữu hạn của nửa nhóm và nửa nhóm đơn hoàn toàn với số khuyết không âm

Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại Học Vinh Nhân dịp này tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Quốc Hán, ng-

ời đã hớng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả cũng vô cùng biết ơn ban chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa Sau Đại học cũng nh các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số đã tạo điều kiện giúp đỡ

và hớng dẫn tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận đợc những đóng góp quý báu của các thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp Chúng tôi xin chân thành cảm ơn

chữ cái gọi là một từ Tập hợp tất cả các từ trên A đợc ký hiệu là A+. Chúng

ta sẽ viết u v≡ nếu các từ u và v là nh nhau

Tập hợp A+ là một nửa nhóm, đợc gọi là nửa nhóm các từ trên A, khi tích đợc xác định bằng cách ghép các từ liên tiếp vào nhau, nghĩa là tích của các từ w1 ≡a a1 2 a n , w2 ≡b b1 2 b m ( ,a b i j∈A) là từ w1 ≡w w1 2 ≡a a b b1 n 1 m

Khi bổ sung A+ từ rỗng 1 (mà nó không có chữ cái nào), chúng ta nhận

đợc vị nhóm các từ A∗. Rõ ràng A∗ = A+∪{ }1 với 1 A∉ + và 1.w w= 1 =w, với mọi w A∈ +.

1.1.2 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm Một tập con X của S đợc gọi là sinh ra S một cách tự do nếu X là một tập sinh của S (ký hiệu là

[ ]S

S = X ) và mỗi ánh xạ α0: X →P (trong đó P là nửa nhóm bất kỳ) có thể

mở rộng thành một đồng cấu α : S→P sao cho α X=α0. Khi đó chúng ta sẽ nói rằng α là một mở rộng đồng cấu của ánh xạ α0

Nếu S đợc sinh tự do bởi một tập nào đó thì Sđợc gọi là nửa nhóm tự do.

1.1.3 Ví dụ 1 (N∗, ) + là nửa nhóm tự do với X ={ }1 là tập sinh tự do của

nó Nếu α0: X →P là một ánh xạ thì ta định nghĩa α :N∗ →P bởi

phải là mở rộng của α0

1.1.4 Định lý Đối với bảng chữ cái A tuỳ ý, A+ là một nửa nhóm tự do đợc sinh tự do bởi A.

Chứng minh. Rõ ràng A sinh ra A+ vì tất cả các từ đều là một xâu (chuỗi) của các chữ cái thuộc A Giả sử S là một nửa nhóm tuỳ ý và α0: A→S là

một ánh xạ bất kỳ Chúng ta định nghĩa α: A+ →S bởi

α có một mở rộng đồng cấu duy nhất α: S→P.

Chứng minh. Theo định nghĩa, mỗi α0 có một mở rộng Giả sử α : S →P và

β → là các mở rộng đồng cấu của α0. Khi đó với mọi x S x x x∈ , = 1 2 x n

với các phần tử x i∈X nào đó, vì X sinh ra S. Thế thì

1.1.6 Định lý Đối với mỗi nửa nhóm S, tồn tại một bảng chữ cái A và một

: A S.

ψ + → Mở rộng này là toàn ánh, vì A+ =[ ]A A+ ⇒ψ(A+ ) =ψ([ ]A A+ )[ψ ( )A ] [S ψ 0 ( )A ] [ ]S X S S

= = = = do S sinh bởi X. 

1.1.7 Hệ quả Mỗi nửa nhóm là một thơng của nửa nhóm tự do.

Chứng minh Thật vậy, S ; A+ker( )ψ đối với toàn cấu ψ đã nêu trong

Định lý 1.1.6

1.1.8 Định lý Một nửa nhóm tự do nếu và chỉ nếu nó đẳng cấu với nửa

nhóm các từ A+với một bảng chữ cái A nào đó.

Chứng minh Giả sử S đợc sinh tự do bởi tập con X ⊆S và A là một bảng

chữ cái với A = X . Khi đó tồn tại song ánh ψ0: A→ X. Vì A sinh ra A+một cách tự do nên tồn tại một mở rộng toàn cấu ψ : A+ →S theo Định lý 1.1.6 Vì 1

ψ− → cũng là song ánh và S đợc sinh tự do bởi X nên 1

0

ψ− có một mở rộng toàn cấu β :S→ A+ Cái hợp thành βψ : A+ → A+ là một toàn

Đó là một đồng cấu vì ψ− 1 và γ là những đồng cấu Hơn nữa, với mỗi

là một mở rộng đồng cấu của α0 Theo định nghĩa S đợc sinh tự do bởi X.



Từ chứng minh Định lý 1.1.8 trực tiếp suy ra

1.1.9 Hệ quả (i) Nếu S đợc sinh tự do bởi một tập con X thì S ; A+ với

.

A = X

(ii) Nếu S và R là các nửa nhóm đợc sinh tự do tơng ứng bởi X và Y sao cho X = Y thì S ; R.

1.1.10 Hệ quả Mỗi nửa nhóm tự do có luật giản ớc.

Chứng minh Suy ra từ luật giản ớc có trong A+.

Bây giờ ta chuyển sang chứng minh tiêu chuẩn Lévi - Dubreil - Jacotin

về nửa nhóm tự do trên sự nhân tử hoá các phần tử của nó

Giả sử X ⊆S Chúng ta nói rằng x x x= 1 2 x n là một phân tích thành nhân tử phần tử x trên X nếu mỗi x i∈X i, = 1, 2, , n Nếu X sinh ra S thì mỗi phần tử x S∈ có một sự nhân tử hoá trên X. Nói chung sự phân tích đó không duy nhất, nghĩa là có thể xảy ra x x1 2 x k = y y1 2 y m với α0: M →P và

thoả mãn với nửa nhóm A+

Giả sử A là một bảng chữ cái sao cho A = X và α0: X → A là một song ánh

Giả thiết rằng X sinh ra S một cách tự do, thế thì với mỗi x S∈ có một

sự nhân tử hoá trên X vì X sinh ra S. Giả sử

x =x x x =y y y là hai sự nhân tử hoá của x trên X và α là

mở rộng đồng cấu của α0 thì α( )x =α0( ) ( ) ( )y1 α0 y2 α0 y n là hai sự nhân tử hoá của α( )x trên A Vì A+ thoả mãn khẳng định của Định lý, nên ta phải có

0 ( )x i 0 ( )y i

α =α với mọi i= 1, 2, ,n (và m = n) Vì α 0 là song ánh nên x i = y i, với mọi i = 1, 2, ,n và nh vậy S thoả mãn khẳng định của Định lý 1.1.11.Giả thiết rằng S thoả mãn điều kiện duy nhất Ký hiệu 1

β =α− và giả

sử β: A+ →S là mở rộng đồng cấu của β0 Khi đó β là toàn ánh (vì X sinh

ra S) và là đơn ánh (vì nếu β( )u =β( )v với u v A u v, ∈ +, ≠ nào đó thì β( )u

có hai cách nhân tử hoá khác nhau trên X : trái giả thiết) Vậy β là một song

Kết quả sau đây của Lévi - Dubreil - Jacotin

1.1.13 Định lý Một nửa nhóm S tự do nếu và chỉ nếu B S( ) sinh ra S

một cách tự do.

Chứng minh Đặt X =B S( ). Nếu X sinh ra S một cách tự do thì S là nửa nhóm tự do theo Định nghĩa 1.1.2 Giả sử S là nửa nhóm tự do Ta chứng minh X sinh ra S một cách tự do

Trớc hết, ta chú ý rằng X là tập con của S không có ớc nào thuộc

các phần tử a a1 , , 2 a n∈S sao cho a a a a= 1 2 n Nếu a a a= 1 2 a n thì

1, 1 2, , 1 2 n 1

a a a a a a − là các ớc bên trái của a Chúng đều khác nhau cả vì

trong nửa nhóm tự do có luật giản ớc và không có luỹ đẳng Vì n có thể

lớn tuỳ ý nên mâu thuẫn với Định lý 1.1.8 và định nghĩa nửa nhóm các

từ Vậy X sinh ra S.

Giả sử x x1 2 x n = y y1 2 y m trong đó x y i, j ∈X Đặt x2 x n =x và

2 m

y y = y thì x x1 =y y1 nên hoặc x1= y1 hoặc x y1, 1 có ớc Khả năng thứ hai không xảy ra do định nghĩa của X Bây giờ tơng tự ta thu đợc x2 = y2

và tiếp tục quá trình đó không quá max n m{ , } bớc, ta đi tới n m= và

x = y với i= 1, 2, ,n Nh vậy mỗi phần tử thuộc S biểu diễn đợc một cách duy nhất dới dạng tích các phần tử thuộc X. Do đó S đợc sinh tự do bởi X. 

1.1.14 Ví dụ 1 Giả sử A={a b c, , } là một bảng chữ cái Các từ

2 Giả sử A={a b c, , } và T =[aab ab aa, , ]A+ Khi đó T là nửa nhóm

con tự do của A+ Thật vậy, nếu tồn tại hai cách nhân tử hoá

1 2 n 1 2 m

w u u u= =v v v của một từ w thuộc T, thì hoặc u1 =v1 (do tính giản

-ớc, sẽ có một từ ngắn hơn với hai cách nhân tử hoá khác nhau:

1.2.1 Định nghĩa Vị nhóm M gọi là một vị nhóm tự do đợc sinh tự do bởi

một tập con X với 1 X∉ nếu X ∪{ }1 là một tập sinh của M và mỗi ánh xạ

α → (trong đó P là một vị nhóm) mở rộng đợc thành một đồng cấu vị nhóm duy nhất α: M →P, nghĩa là α X=α0 và α(1 ) 1M = p.

Từ định nghĩa trên ta có ngay kết quả

1.2.2 Định lý Nếu S là một nửa nhóm tự do thì S1 là vị nhóm tự do.

1.2.3 Hệ quả Vị nhóm từ A*là một vị nhóm tự do với mọi bảng chữ cái A.

Khẳng định ngợc lại của Định lý 1.2.2 cũng đúng

1.2.4 Định lý Một vị nhóm M là vị nhóm tự do nếu và chỉ nếu M \ 1{ } là nửa nhóm tự do.

Chứng minh Đối với điều kiện ngợc lại, tập con M \ 1{ } là nửa nhóm con của

M Điều đó đợc thoả mãn, vì nếu không 1M sẽ có hai cách nhân tử hoá khác

nhau Phần còn lại của khẳng định suy ra từ định nghĩa của vị nhóm tự do



Những kết quả khác nhau đối với nửa nhóm tự do cũng có thể chuyển sang cho vị nhóm tự do Nói riêng ta có

1.2.5 Định lý (i) Một vị nhóm M đợc sinh ra tự do bởi X nếu và chỉ nếu

mỗi x M∈ \ 1{ } có một sự nhân tử hoá duy nhất trên X.

(ii) Mỗi vị nhóm là một ảnh đồng cấu của một vị nhóm các từ A* với bảng chữ cái A chọn thích hợp nhất.

(iii) Một vị nhóm M là tự do nếu và chỉ nếu M đẳng cấu với một vị nhóm các từ *

A với bảng chữ cái A nào đó.

1.2.6 Định nghĩa Đối với mỗi tập con *

X ⊆ A của các từ chúng ta ký hiệu

[ ]A*

X+ = X là nửa nhóm con mà X sinh ra trong vị nhóm các từ A*, nghĩa là

X+ gồm tất cả các tích của các từ trong X.

Cũng nh vậy, vị nhóm tơng ứng đợc lý hiệu là X* = X+ ∪{ }1 Chú ý rằng nếu

1 X∈ thì *

X = X+

Nếu w A∈ ∗ là một từ thì ta sẽ viết *

w thay cho { }w ∗.Giả sử u v A, ∈ + Thế thì u đợc gọi là một nhân tử của v nếu v w u w≡ 1 2

với các từ w w1 , 2 nào đó thuộc A u∗. đợc gọi là một tiền tố (hậu tố) của v

nếu w uw≡ (hay tơng ứng v wu≡ ) với w A∈ ∗ nào đó

Độ dài w của từ w A∈ ∗ là số chữ cái có trong w; nếu w a a= 1 2 a n với

i

a ∈A thì w =n Độ dài của từ rỗng đợc quy ớc bằng không (zero)

Bổ đề sau đây đợc suy ra trực tiếp từ định nghĩa

1.2.7 Bổ đề Nếu u u1 2 =v v1 2 trong A∗thì hoặc u1 là tiền tố của v1 hoặc v1 là tiền tố của u1, nghĩa là tồn tại một từ w A∈ ∗ sao cho u1 =v w1 hoặc v1=u w1 .

Trớc hết chúng ta chứng minh một tiêu chuẩn khác đối với tính tự do của vị nhóm các từ Đối với một vị nhóm con M của A∗ chúng ta sẽ sử dụng

ký hiệu M+ =M \ 1 { } Khi đó M+ là một nửa nhóm con của A+ , vì từ rỗng không có thể là tích của hai từ khác từ rỗng Cơ sở của M B M, ( ) =M+\M+2 là cơ sở của nửa nhóm M+ Nhớ rằng đơn vị (từ rỗng) là đơn vị của chính vị nhóm con M Cơ sở của một vị nhóm tự do đợc gọi là mã.

Một vị nhóm con của vị nhóm các từ A∗ không nhất thiết tự do Nh một

ví dụ, hãy xét vị nhóm con M ={a ab ba, , }∗ của vị nhóm các từ A∗ ={ }a b, ∗.

1.2.8 Bổ đề Đối với mọi vị nhóm con M của A∗, cơ sở B M( ) là tập sinh tối tiểu duy nhất của M (xét nh một vị nhóm) nghĩa là nếu N là một tập con sinh ra M thì B M( ) ⊆N.

Chứng minh Để chứng tỏ rằng B M( ) sinh ra M, ta giả thiết rằng trái lại có

một từ w M∈ không biểu diễn đợc thành tích các từ thuộc B M( ). Giả thiết rằng w là từ ngắn nhất sao cho w M∈ + nhng w B M∉ ( )+ Vì w B M∉ ( ) nên tồn tại hai từ u v M, ∈ + sao cho cho w uv= Vì u v, ngắn hơn w nên từ cách xác định của w, có u v B M, ∈ ( ) ;+ nhng khi đó uv B M∈ ( )+ hay w B M∈ ( ) :+

Kết quả sau đây của M.P Shỹtzenberger (1955)

1.2.9 Định lý Giả sử M là một vị nhóm con của vị nhóm các từ A∗. Thế thì M tự do nếu và chỉ nếu: u v uw wv M, , , ∈ ⇒ ∈w M.

Chứng minh Giả thiết rằng M tự do w A∈ * là một từ nào đó có u v M, ∈sao cho uw wv M, ∈ Giả sử u u u uw v v wv u= 1 ,k = 1 ,t = k+1 u k r+ và

Giả sử M thoả mãn điều kiện trên Giả sử tồn tại một từ có hai sự nhân

tử hoá khác nhau trên X u u u: 1 2 n =v v v1 2 m ( ,u v i j∈X). Chúng ta có thể giả

thiết rằng u1 ≠v1, vì nếu ngợc lại chúng ta có u u2 n =v v2 m Thế thì hoặc u1

là một tiền tố của v1 hoặc v1 là một tiền tố của u1 Giả sử rằng v1 =u w1 (trong

trờng hợp khác lập luận đợc tiến hành tơng tự do tính đối xứng) Khi đó

1

u w M∈ và u u u2 3 n =wv v v2 3 m (do A∗ có luật giản ớc) Theo giả thiết w M∈

, nhng điều đó mâu thuẫn vì v1 =u w B M1 ∈ ( ). Vậy M tự do 

Để chứng minh định lý khuyết, ta cần đến kết quả sau đây

1.2.10 Định lý Giả sử {M i I i ∈ } là một họ các vị nhóm con tự do của A∗

Giả sử X ⊆ A∗ là một tập con tuỳ ý Thế thì tập hợp ∩{M M là vị

nhóm con tự do của A X∗, ⊆M} là một vị nhóm con của A∗. Rõ ràng nó là

vị nhóm con tự do nhỏ nhất của A∗ chứa X. Cơ sở của tập hợp trên đợc gọi là

bao tự do của X và đợc ký hiệu là f X( ). Nói riêng, X∗ ⊆F X( )∗ vì X∗ là một vị nhóm con và X ⊆F X( ) ∗

1.2.11 Định lý (Định lý khuyết) Giả sử X ⊆ A+ là một tập con hữu hạn các từ, và F X( ) là bao tự do của nó Nếu X không phải là một mã (nghĩa

là X không phải là cơ sở của một vị nhóm tự do nào đó) thì

F X ≤ X −

Chứng minh Vì X ⊆ F X( )∗ nên mỗi từ u X∈ đợc viết một cách duy nhất

d-ới dạng u w w w= 1 2 k, với w i∈F X( ). Giả sử α:X →F X( ) là một ánh xạ sao cho α( )u =w1 , nếu u w F X∈ 1 ( ) ∗ Giả thiết rằng X∗ không tự do, khi đó tồn tại một từ w X∈ ∗ có hai cách nhân tử hoá trên X:

Chúng ta có X ⊆Y∗ nhng Y∗ ⊆F X( ) ,∗ mâu thuẫn với tính cực tiểu của

( )

F X với t cách là cơ sở bé nhất của vị nhóm tự do chứa X. Điều đó kéo theo α toàn ánh Vì α không phải là đơn ánh nên F X( ) = α( )X < X , do

đó F X( ) ≤ X − 1. 

1.2.12 Định nghĩa (i) Một từ w A∈ + đợc gọi là nguyên thuỷ nếu nó không

phải là luỹ thừa của một từ khác, nghĩa là nếu w u= k thì k = 1 và u w= .

(ii) Hai từ u v A, ∈ + đợc gọi là liên hợp với nhau nếu tồn tại các từ

CHƯƠNG 2 MộT Số BIểU DIễN NửA NhóM

VớI Số KHUYếT KHÔNG ÂM

2.1 Biểu diễn nửa nhóm Định lý Evans

2.1.1 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm Khi đó tồn tại một toàn cấu

: A S

ψ + → với một nửa nhóm các từ A+ nào đó Thế thì S ; A+ker( )ψ Khi đó

ψ đợc gọi là một biểu diễn đồng cấu của S. Các chữ cái trong A đợc gọi là

các ký hiệu sinh của S, và nếu ( , )u v ∈ker( )ψ thì u v= đợc gọi là một hệ

thức hay đẳng thức trong S. (Để tránh hiểu nhầm ta viết u v≡ nếu các từ

nếu ker( )ψ là tơng đẳng nhỏ nhất của A+ chứa các hệ thức {( , )u v i I i i ∈ }.

Nói riêng ψ( )u i =ψ( )v i đối với tất cả các u i =v i trong R.