Phân thớ tiếp xúc của s1

Với mục đích tập dợt nghiên cứu khoa học, trong khoá luận này tôi hệthống lại các khái niệm và các tính chất về đa tạp khả vi, vectơ tiếp xúc … Và chứng minh mặt cầu Sn - 1 trong Rn là m

Lời nói đầu

Đa tạp khả vi là một bộ phân rất quan trọng trong hình học vi phân nóiriêng cũng nh trong toán học cao cấp chung

Với mục đích tập dợt nghiên cứu khoa học, trong khoá luận này tôi hệthống lại các khái niệm và các tính chất về đa tạp khả vi, vectơ tiếp xúc …

Và chứng minh mặt cầu Sn - 1 trong Rn là một đa tạp khả vi n - 1 chiều,

đồng thời mô tả một cách chi tiết các vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc của

Đ4 Dành cho việc chứng minh S1, Sn - 1 là các đa tạp khả vi và mô tảkhông gian tiếp xúc của S1

Đề tài này hoàn thành đợc là nhờ sự giúp đỡ tận tình của giáo viên hớngdẫn Trơng Chí Trung, các thầy cô giáo trong khoa Toán, các bạn bè sinh viên.Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ tận tình của giáo viên h ớng dẫnTrơng Chí Trung, các thầy cô giáo trong khoa Toán, các bạn bè sinh viên

Đ1.đa tạp khả vi

1.1 Định nghĩa Không gian Tôpô M đợc gọi là không gian ơclít địa phơng n

chiều nếu với mọi x  M đều tồn tại U là lân cận mở của x,lân cận này đồng

phôi với một tập hợp mở trong Rn Mỗi phép đồng phôi đợc gọi là một bản đồhoặc hệ toạ độ địa phơng trên M, kí hiệu (U, ) Giả sử (U, ) là bản đồ trên

M nếu y U thì bộ (y) = (y1,… yn)  Rn gọi là toạ độ điểm y đối với bản đồ(U, ) Họ bản đồ (Ui , i)i  I gọi là tập bản đồ trên M, nếu: M =

I i i

U



1.2 Định nghĩa Không gian Tôpô M đợc gọi là đa tạp tôpô n chiều nếu thoả

mãn hai điều kiện sau:

- M là không gian ơclit địa phơng n chiều

- M là không gian Tôpô hausdoff

1.3 Định nghĩa Cho M là đa tạp tôpô n chiều , (Ui , i)i  I là tập các bản đồtrên nó (Ui , i)i  I đợc gọi là tập bản đồ khả vi (lớp Ck) nếu với hai bản đồbất kỳ (Ui , i) và (Uj , j), trong đó i j ,thì i o  j-1 khả vi(lớp Ck,

k > 0)

1.4 Định nghĩa Hai tập bản đồ khả vi (lớp Ck) trên đa tạp tôpô n chiều

M đợc gọi là tơng đơng với nhau nếu hợp của chúng lại là một tập bản đồtrên M Hợp của tất cả các tập bản đồ (lớp Ck) tơng đơng trên M đợc gọi

là bản đồ cực đại (cấu trúc khả vi lớp Ck) trên M

1.5 Định nghĩa Tập M đợc gọi là đa tạp khả vi n chiều nếu thoả mãn

hai điều kiện sau:

- M là đa tạp tôpô n chiều

- Trên M có cấu trúc khả vi (lớp CK)

2.1 Hàm khả vi.

Cho M là đa tạp khả vi n chiều

đó a,b  R

2.1.2 Định nghĩa Cho tập mở U  R, hàm số : U  R khả vi gọi là

2.2 Véctơ tiếp xúc

2.2.1 Định nghĩa Cho M là đa tạp khả vi n chiều, x là đờng cong trên M thoả

mãn: x(t0) = p  M Véctơ tiếp xúc với đờng cong x tại p là ánh xạ

v: F (p) R

  v() =

dt

)) t ( x (

d 

0

t

v gọi là véctơ tiếp xúc của đa tạp khả vi M tại p

v() gọi là đạo hàm theo hớng của đờng cong x tại p

0 t

f f

)) ( ( ))

( (

t

t dt

t x g d dt

t x f d

dt

)) t ( x ( g d

t x f d

b) Tập hợp Tp(M) tất cả các véctơ tiếp xúc của M tại p là khônggian con của R - không gian tuyến tính nói trong định lý 2.1.3 Nó đ ợcgọi là không gian tiếp xúc với M tại p Không gian này nhận các vectơtiếp xúc

p

1 ) u

t

dt

t x df

Ta chọn đờng cong x :a,b  M mà 0 a,b và (x(t))

t

dt

t x df

=

0

)) ( ( 1

t

dt

t x

df    

=

0

) , , , ,

( 11

t

n i

dt

p t p p

(





(), với  

0 t

dt

)) t (

x

(

df

= i ) p u

i ) u ( , i=1 ,n là cơ sở của TpM +) Giả sử x: a,b  M là đờng cong mà x(t0) = p Khi đó theo định nghĩa

ta có :

v() =

dt

t x f

t

dt

t x

0

)) ( ), , ( ( 1

d

i ) p u

(





 i ) p u

(





Chọn đờng cong x(t) thoả mãn 0 a,b

và x(t0) = p sao cho (x(t)) = (p1+1.t, … , p1+1.t), trong đó (p) = (p1,… ,pn) vàgiả sử v là vectơ tiếp xúc với đờng cong x(t) tại p Khi đó  (x(0)) = (p1, … ,

pn) = (p)  x(0) = p.Theo định nghĩa véctơ tiếp xúc ta có :

v() =

dt

t x f

d ( ( )

0

t =

0 t 1

dt

x(t)) (

df    

=

0 t

dt

.t) p

.t, , (p

p M T

 , TM gọi là phân thớ tiếp xúc của đa tạp

M

2.3.2 Định nghĩa Tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính f : TpM  R lập thành

một không gian vectơ, không gian vectơ này đợc gọi là không gian vectơ đối ngẫu của không gian vectơ TpM, ký hiệu Tp*(M)

2.3.3 Địng nghĩa Tập T*(M) = pMT*M đợc gọi là phân thớ đối tiếp xúctrên đa tạp M Không gian vectơ Tp*(M) thờng đợc gọi là không gian đối tiếpxúc của đa tạp M tại p

Đ3 ánh Xạ khả Vi

3.1 ánh xạ khả vi

3.1.1: Định nghĩa Cho N là đa tạp khả vi ( lớp Ck ,k>0) n chiều, M là đa tạpkhả vi (lớp Ck ,k>0) m chiều.: N M đợc gọi là ánh xạ khả vi liên tục s lần(s  k) tại x nếu thoả mãn hai điều kiện sau :

-  liên tục tại x

- Với hai bản đồ bất kì(Ui, i) trên N và (Vj, j) trên M mà x thuộc

) , , (

) , , (

1 1 1 1

n

m ij

y y g x

y y g x

Ta lại có:

) 2 ( )

x , , x ( y

) x , , x ( y

f m 1 n

ij m

n 1 1 1 ij

 = ( l )

l ij x

f





) ( l

i ij

0

0

1 0

0 0

1

Hạng của ma trận này bằng m còn hạng mỗi ma trận vế phải của (3)

đều  min (m, n) và vì hạng của tích hai ma trận không vợt quá hạng của ma

Nếu ta đặt g =  và xét đối với -1thì ta có n  min (m,n) (5)

Từ (4) và (5) thì Max (m,n )  Min (m,n) Vậy m = n

t x f

Chứng minh

Theo định nghĩa Ta có: v() =

dt

)) t ( x (

d   

0

t = *p (v) ()

3.2.3 Định lý *p là ánh xạ tuyến tính

Chứng minh +)    R,  v  TpM có:

*p ( v) () =

dt

)) t ( x (

là các hàm toạ độ trên Rm, y'j là các hàm toạ độ trên Rn, ui = yi   , u'j = y'j ' Khi đó ta có:

+) Nếu : M  M là vi phôi thì *p là đẳng cấu tuyến tính

p  (p) = p

từ TpM vào T(p) M và ta có -1

*p = -1

*(p).+) Nếu  : M  N , g: N  P là các ánh xạ khả vi thì

(go)*p = g*(P) (p)

Đ4 phân thớ tiếp xúc của S1

4.1 Định lý Đờng tròn S1 = {(x, y)  R2 x2 + y2 = 1} là 1 đa tạp khả vi chiều

1-Chứng minh. Trên S1 ta lấy tập bản đồ gồm hai bản đồ {(U1, 1),(U2, 2)}.Trong

đó:

U1 = S1 {A} với A(0,1), } với A} với A(0,1), (0,1),

U2 = S1 {B} với B(0,-1),} với B} với B(0,-1),(0,-1),

x

(Ta xem trục ox nh R).

1) Rõ ràng S1 là không gian tôpô Hausdoff

2) U1  U2 = S1

3) 1, 2 là các ánh xạ đồng phôi và 1

1 2

1 2

x

.+) Rõ ràng1 là ánh xạ liên tục

+) 1 là ánh xạ đơn ánh Thật vậy, giả sử 1(x1, y1) = 1(x2, y2)

2

2 2

1

1 2

2 1

1

x 1 1

x x

1 1

x y

1

x y

1

1

x 1 1

x x

1 1

1  

 ( x1 - x2 ) =  2 

2 1

2 1

1

2 2

2 1

2 1

2 2 2 1

1

2 2

2

1 x 2 x x 1 x 1 x x

 1- x1.x2 =   2

2

2

1 1 x x

y 1

x y

2 1

1 1

2

2 y x

2

2

2 1

2

2

1

1 x

1

1

= 2 2

3 3

1

2

thì (M) = CVậy với mọi phần tử dạng C(x, 0) ta đều chọn đợc phần tử M  U1 để

x 2

Chứng minh Trớc hết ta gọi mặt phẳng xn = 0 là () và xem () nh Rn - 1 Trên

Sn - 1 ta lấy hệ bản đồ {(U1, 1), (U2, 2)}, trong đó:

U1 = Sn \ { A} với A(0,1), } với A} với A(0,1), (0, 0, … , 0, 1),

U2 = Sn \ { B} với B(0,-1),} với B} với B(0,-1), (0, 0, … , 0, - 1), 1: U1  ()

x , x 1

x

n

1 n

x , x 1

x

n

1 n

n

1

.1) Sn - 1 là không gian tôpô Hausdoff

+) Ta coi tôpô trong Rn là tôpô sinh bởi mêtric

d : Rn x Rn  R.

(x, y)  d(x, y) =    2

n n 2

Tập con W của Sn – 1 gọi là mở nếu W = Sn – 1  U, trong đó U là tập

mở trong Rn Họ các tập mở của Sn – 1 lập thành một tôpô Vậy Sn – 1 là mộtkhông gian tôpô và Sn – 1 là không gian tôpô con của không gian Rn

+) Lấy hai điểm x, y  Sn – 1, giả sử x(x1, … , xn), y(y1, … , yn), x  y

 d(x, y) =    2

n n 2

Gọi U là hình cầu mở tâm x bánkính r, V là hình cầu mở tâm y bán kính r thì U  V = 

Đặt: W1 = U  Sn - 1

W2 = V  Sn – 1Thì W1  W2 = ; W1, W2 lần lợt là các lân cận mở của x, y

Vậy Sn – 1 là không gian tôpô Hausdoff

1 n

n 2 n

2

n 1 n

1

' x 1

' x x

1 x

' x 1

' x x

1 x

' x 1

' x x

1 x

n 2

n 1

n 1

x 1 '

x '

x 1 x

x 1 '

x '

x 1

x

x 1 ' x '

x 1

.

.

.

2 x

1 '

x '

x 1

x

1 x

1 '

x '

x 1

x

2 n 2

1 n 2

n 2

1

n

2 n 2

2 n 2

2 n 2

2 n 2

2 2

2 1

2 n

2 1 n

2 n

2 n

1 1

' x x

.

.

' x x

' x x

 M  M'  1 là đơn ánh

b) 1 là toàn ánh

Ta lấy điểm A} với A(0,1), 1 (a1, … , an - 1, 0)  () Ta cần chứng minh là tìm đợc

phần tử M  U1 để 1(M) = A} với A(0,1), 1

Phơng trình đờng thẳng A} với A(0,1), A} với A(0,1), 1

n 1

n

1 n 2

2

n 1

1

x 1

a x

.

.

.

.

x 1

a x

x 1

a x

Giao của đờng thẳng A} với A(0,1), A} với A(0,1), 1 và Sn - 1 là nghiệm của hệ:

x

x

x 1

a x

.

.

x 1

a x

x 1

a x

2 2

1

n 1

n 1

n

n 2

2

n 1

x

x

x

' 1 n

x 1

a x

.

.

.

' 2 x

1 a

x

' 1 x

1 a

x

2 2

2

2 n

2 1 n 2

1 n

2 n

2 2

2 n

2 2

Lấy từ các phơng trình (1)', (2)', … , (n - 1)', thay vào phơng trình thứ (n)', ta

a

1 a

a

x

1 a

a

1 a

a

x

2 1 n

2

1

2 1 n

2

1

n

2 1 n

2

1

2 1 n

a

1 a

a

1 n

2 1

2 1 n

2 1 n

a

1 a

a

1 a

x

1 a

a

1 a

a

1 a

x

1 a

a

1 a

a

1 a

x

2 1 n 2

2 1 n 2

1 n n

2 1 n 2

2 1 n 2

2 2

2 1 n 2

2 1 n 2

1 1

a

1 a

a , 1 a

a

1 a

a 1 a

, , 1 a

a

1 a

2 1

2 1 n

2 1 2

1 n

2 1

2 1 n

2 1 1

n 2

1 n

2

1

2 1 n

2

1

1

a , 1 a

a

a 2 ,

, 1 a

a

a 2

2 1 n

2 1

2 1 n

2 1 2

1 n

2 1

2 1 n 2

1 n

x , x 1

x

n

1 n n

a , 1 a

a

a 2 ,

, 1 a

2 1

2 1 n

2 1 2

1 n

2 1

2 1 n 2

1 n

x , , x 1

x

n

1 n

B

a 2 , , B

a 2 , B

a 2

Trong đó: B} với B(0,-1), = a12   a2n1 1

xn =

1 a

a

1 a

a

2 1 n

2 1

2 1 n

2 1

a , , a a

a

2 1 n

2 1

1 n 2

1 n

1) Trớc hết ta viết phơng trình của véc tơ tiếp xúc tại các điểm:

A} với A(0,1), (0, 1); B} với B(0,-1), (1, 0); C(0, -1); D (-1, 0)

+) Tại A} với A(0,1), (0, 1)

sin

0 t

cos

0 0

1 = (-1, 0)

Giả sử véc tơ tiếp xúc với S1 tại A} với A(0,1), là AX, trong đó X (x, y)  AX (x, y -1).Khi đó phơng trình của véc tơ tiếp xúc tại A} với A(0,1), là:

0 1

1 y x



 = 0  1 - y = 0  y = 1

Và y = 1 cũng chính là phơng trình tiếp tuyến của S1 tại A} với A(0,1),

1 t

0 1

x 

= 0  x - 1 = 0

Đây cũng là phơng trình tiếp tuyến của S1 tại (1, 0)

Lập luận tơng tự đối với điểm C và điểm D thì ta có

+) Tại C Phơng trình véc tơ tiếp xúc với S1: y + 1 = 0 Đây cũng chính là

ph-ơng trình tiếp tuyến của S1 tại C (0, - 1)

+) Tại D Phơng trình véc tơ tiếp xúc với S1: x + 1 = 0 Đây cũng chính là

ph-ơng trình tiếp tuyến của S1 tại D (- 1, 0)

0 o

y t sin

x t

cos

'(t) = (-sin t, cos t)   ' t o = (- sin t0, cos t0)

Giả sử MX là véc tơ tiếp xúc của S1 tại M Trong đó X (x, y)  MX (x - x0,

y - y0)

 Phơng trình của véc tơ tiếp xúc tại M là

0 0

0 0

t cos

t

sin

y y

Viết phơng trình đờng thẳng đi qua M (x0, y0) có véc tơ pháp tuyến OX khi

đó phơng trình đờng thẳng chính là phơng trình tiếp tuyến tại M

Với OM = (x0 , y0), thì phơng trình của đờng thẳng qua M có vectơpháp tuyến OM là:

Vậy phân thớ tiếp xúc của S1 chính là tập hợp các véc tơ có toạ độ thoảmãn phơng trình

x x0 + y y0 - 1 = 0 với (x0, y0)  S1

(Đây chính là đờng tiếp tuyến của S1 tại (x0, y0))

Kết Luận

Cuốn đề tài này tôi đã chứng minh đợc S1 là một đa tạp khả vi một chiềumột cách tỉ mĩ bằng cách lấy hệ hai bản đồ và chứng minh S n-1 là một đa tạpkhả vi cũng vậy

Ngoài ra đề tài này tôi cũng đã đi sâu vào việc xem xét vectơ tiếp xúctại một điểm của S1 là vectơ có phơng trình nh thế nào? và phơng trình của nó

có phải là phơng trình tiếp tuyến tại điểm đó hay không

Trong quá trình thực hiện đề tài không thể tránh khỏi những sai sót Vìvậy tôi rất mong sự góp ý nhiệt tình của quý bạn đọc

Vinh, tháng 5 năm 2004

Tác giả: Lê Quang B} với B(0,-1),ảo

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Thúc Hào, Hình học vi phân (T 1 ,T 2 ), Nxb giáo dục, Hà Nội 1968

[2] Đoàn Quỳnh, hình học vi phân, Nxb, Hà Nội, 1989

[3] Đoàn Quỳnh -Trần Đình Viên - Trơng Đức Hinh - Nguyễn Hữu Quang,

bài tập hình học vi phân, Nxb giáo dục, Hà nội, 1993

[4] Hoàng Tuỵ- Nguyễn Xuân My- Nguyễn Văn Khuê- Hà Huy Khoái, mở

đầu một số lý thuyết hiện đại của tôpô và đại số (Tập 1, Tập 2), Nxb Đại

học và trung học chuyên nghiệp 1979