Nhận biết đường bậc hai nhờ các bất biến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2015-2016 NHẬN BI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA

CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

NĂM HỌC 2015-2016

NHẬN BIẾT ĐƯỜNG BẬC HAI NHỜ

CÁC DẤU HIỆU BẤT BIẾN

Thuộc nhóm ngành khoa học : Khoa học Tự nhiên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA

CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

NĂM HỌC 2015-2016

NHẬN BIẾT ĐƯỜNG BẬC HAI NHỜ CÁC

DẤU HIỆU BẤT BIẾN

Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học Tự nhiên

Sinh viên thực hiện: Huỳnh Hương Thảo Nữ

UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

1 Thông tin chung:

- Tên đề tài: Nhận biết đường bậc hai nhờ các bất biến

- Sinh viên thực hiện: Huỳnh Hương Thảo Nữ

- Lớp: C14TO01 Khoa: KHTN Năm thứ: 2 Số năm đào tạo: 3

- Người hướng dẫn: Ths Mai Quang Vinh

2 Mục tiêu đề tài:

- Tìm hiểu về đường bậc hai trong mặt phẳng với phương trình tổng quát, và trìnhbày các bất biến của đa thức bậc hai và cách nhận biết đường bậc hai nhờ các dấuhiệu bất biến Bên cạnh đó, tự đưa ra ít nhất chín ví dụ về đường bậc hai để minhhọa cho các dấu hiệu trên

3 Tính mới và sáng tạo:

- Đây là một đề tài tương đối Nó lôi cuốn các em bởi vì thông thường để nhận biết

các đường bậc, hai chúng ta phải thực hiện qua rất nhiều bước biến đổi thì mới biết được đó là đường gì? Thậm chí đôi khi còn tính toán sai và không biết hướng biến

đổi

- Nhưng với cách nhận biết đường bậc hai nhờ các bất biến, chúng ta có thể tính

toán một cách nhanh hơn, nhận biết đường bậc hai một cách chính xác

4 Kết quả nghiên cứu:

- Trình bày lại một số kiến thức về vectơ và tọa độ.

- Trình bày lại các bất biến của đa thức bậc hai và nhận biết đường bậc hai nhờ cácbất biến

- Tự đưa ra các ví dụ về nhận biết đường bậc hai nhờ các bất biến

5 Đóng góp về mặt kinh tế - xã hội, giáo dục và đào tạo, an ninh, quốc phòng

và khả năng áp dụng của đề tài:

- Đề tài sẽ là một tài liệu tham khảo rất bổ ích cho cho sinh viên ngành sư phạm

Toán trong việc học môn học Hình học giải tích

- Và sẽ là tài liệu thú vị cho những ai muốn tìm hiểu về Hình học giải tích phần nhận biết đường bậc hai một cách nhanh nhất

Ngày tháng năm 2016

Sinh viên chịu trách nhiệm chính

thực hiện đề tài

(ký, họ và tên)

Huỳnh Hương Thảo

Nhận xét của người hướng dẫn về những đóng góp khoa học của sinh viên

thực hiện đề tài (phần này do người hướng dẫn ghi):

UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

THÔNG TIN VỀ SINH VIÊN CHỊU TRÁCH NHIỆM CHÍNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

I SƠ LƯỢC VỀ SINH VIÊN:

Họ và tên: Huỳnh Hương Thảo

Sinh ngày: 01 tháng 06 năm 1996

Nơi sinh: Bình Dương

Lớp: C14TO01 Khóa: 2014 - 2017

Khoa: KHTN

Địa chỉ liên hệ: ấp Tân Lập, xã An Điền, thị xã Bến Cát, tỉnh Bình Dương

Điện thoại: 01634664279 Email: huongthaohuynh1996@gmail.com

Xác nhận của lãnh đạo khoa Sinh viên chịu trách nhiệm chính

(ký, họ và tên)

Huỳnh Hương Thảo

Ảnh 4x6

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Thủ Dầu Một, ngày tháng năm 2016

Kính gửi: Ban tổ chức Giải thưởng “Tài năng khoa học trẻ Đại học Thủ Dầu Một”

Tên chúng em là:

1 Huỳnh Hương Thảo

Sinh ngày 01 tháng 06 năm 1996

Sinh viên năm thứ: 2 Tổng số năm đào tạo: 3

Lớp, khoa : Lớp C14TO01, Khoa KHTN

Ngành học: Sư phạm Toán Học

2 Võ Minh Long

Sinh ngày 16 tháng 05 năm 1996

Sinh viên năm thứ: 2 Tổng số năm đào tạo: 3

Lớp, khoa : Lớp C14TO01, Khoa KHTN

Ngành học: Sư phạm Toán Học

3 Trần Chí Công

Sinh ngày 25 tháng 2 năm 1996

Sinh viên năm thứ: 2 Tổng số năm đào tạo: 3

Lớp, khoa : Lớp C14TO01, Khoa KHTN

Ngành học: Sư phạm Toán Học

Thông tin cá nhân của sinh viên chịu trách nhiệm chính:

Họ và tên: Huỳnh Hương Thảo

Địa chỉ liên hệ: ấp Tân Lập, xã An Điền, thị xã Bến Cát, tỉnh Bình Dương

Điện thoại: 01634664279 Email: huongthaohuynh1996@gmail.com

Chúng em làm đơn này kính đề nghị Ban tổ chức cho chúng em được gửi đề tàinghiên cứu khoa học để tham gia xét Giải thưởng “Tài năng khoa học trẻ Đại họcThủ Dầu Một” năm 2016

Tên đề tài:

Nhận biết đường bậc hai nhờ các bất biến

Em (chúng em) xin cam đoan đây là đề tài do em (chúng em) thực hiện dưới sự hướng

dẫn của Ths Mai Quang Vinh; đề tài này chưa được trao bất kỳ một giải thưởng nào khác tại thời điểm nộp hồ sơ và không phải là luận văn, đồ án tốt nghiệp

Nếu sai, em (chúng em) xin chịu trách nhiệm trước khoa và Nhà trường

Xác nhận của lãnh đạo khoa Người làm đơn

(ký, họ và tên)

Huỳnh Hương Thảo

DANH SÁCH NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI

MỤC LỤC

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài .1

2 Mục tiêu của đề tài 1

3 Phương pháp nghiên cứu 1

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

5 Bố cục của đề tài 1

Chương 1.Một số kiến thức về vectơ và tọa độ 2

1.1 Khái niệm vectơ Các phép toán đối với vectơ 2

1.2 Hệ tọa độ trực chuẩn trong mặt phẳng 4

1.3 Hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian 8

Chương 2.Nhận biết đường bậc hai nhờ các dấu hiệu bất biến 10

2.1 Đường bậc hai trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn 10

2.2 Các bất biến của đa thức bậc hai 14

2.3 Nhận biết đường bậc hai nhờ các bất biến 21

Một số ví dụ 24

Kết luận và kiến nghị 33

Tài liệu tham khảo 33

Nội dung này hầu như người học không được học trong chương trình Hìnhhọc giải tích.

2 Mục tiêu của đề tài

Tìm hiểu về đường bậc hai trong mặt phẳng với phương trình tổng quát, vàtrình bày các bất biến của đa thức bậc hai và cách nhận biết đường bậc hai nhờ cácdấu hiệu bất biến Bên cạnh đó, tự đưa ra ít nhất chín ví dụ về đường bậc hai đểminh họa cho các dấu hiệu trên

3 Phương pháp nghiên cứu

Đọc thật kĩ các tài liệu liên quan và nắm vững các dấu hiệu nhận biết đườngbậc hai Từ đó, có thể tự đưa ra các ví dụ để minh họa

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Đối tượng: Đường bậc hai, các bất biến của đa thức bậc hai, nhận biết đườngbậc hai nhờ các dấu hiệu bất biến

 Phạm vi: Đường bậc hai trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn

5 Bố cục của đề tài

Đề tài được chia làm 2 chương:

Chương 1 Một số kiến thức về vectơ và tọa độ

Chương 2 Nhận biết đường bậc hai nhờ các dấu hiệu bất biến

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ

1.1 Khái niệm vectơ Các phép toán đối với vectơ

1.1.1 Khái niệm vectơ

Định nghĩa 1.1.1 Trong mặt phẳng hoặc trong không gian, cho hai điểm A,B.

Đoạn thẳng AB được sắp thứ tự hai điểm mút được gọi là một vectơ (hay mộtđoạn thẳng có hướng) Một điểm được gọi là điểm đầu, điểm còn lại được gọi làđiểm cuối Đường thẳng (AB) được gọi là giá của vectơ AB

Nếu A là điểm đầu, B là điểm cuối thì vectơ được kí hiệu là ⃗AB.

Độ dài của đoạn thẳng AB được gọi là độ dài hay module của AB và kí hiệu độ dài của AB là |AB| Suy ra hai vectơ ⃗AB và ⃗BA có độ dài bằng nhau.

Định nghĩa 1.1.2 Hai vectơ ⃗AB và ⃗CD được gọi là hai vectơ cùng phương hay

cộng tính nếu các đường thẳng AB và CD song song hoặc trùng nhau

Hai vectơ cùng phương AB và CD được gọi là cùng hướng nếu xảy ra một trong hai trường hợp sau đây (xem hình 1.1)

(i) Nếu hai đường thẳng AB và CD song song và hai điểm B và D nằm cùngphía đối với đường thẳng AC

(ii) Nếu hai đường thẳng AB và CD trùng nhau và một trong hai tia AB (gốc A)

và tia CD (gốc C) chứa tia kia

Hình 1.1: Hai vectơ cùng hướngHai vectơ cùng phương mà không cùng hướng thì được gọi là hai vectơ ngược hướng

B D

Đặc biệt, vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau như: ⃗AA, ⃗MM, được gọi là vectơ - không, kí hiệu ⃗0 Độ dài của vectơ - không bằng 0.

Quy ước: vectơ - không cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ Từ đó suy

ra mọi vectơ - không đều bằng nhau

1.1.2 Các phép toán đối với vectơ

a) Cộng và trừ vectơ

Định nghĩa 1.1.4 Tổng của hai vectơ ⃗a và ⃗blà một vectơ được xác định như sau:

từ một điểm O tùy ý trong không gian, dựng vectơ ⃗OA = ⃗a, rồi từ A dựng vectơ ⃗AB

= ⃗b (xem Hình 1.2) Vectơ ⃗c = ⃗OB được gọi là vectơ tổng của hai vectơ ⃗avà ⃗b Kí

(i) Giao hoán: ⃗a+ ⃗b=⃗b+⃗a

(ii) Kết hợp: (⃗a+ ⃗b)+⃗c=⃗a + ( ⃗b+⃗c)

(iii) Cộng vectơ không: ⃗a+ 0 = ⃗a

(iv)⃗a + (− ⃗a ) = ⃗0

Nhận xét 1.1.6 Vectơ tổng ⃗a + ⃗b là vectơ đường chéo của hình bình hành nênngười ta còn nói phép cộng hai vectơ thực hiện theo quy tắc hình bình hành Địnhnghĩa phép cộng hai vectơ như vậy phù hợp với quy tắc hợp hai lực đồng qui trong

cơ học

Định nghĩa 1.1.7 Hiệu của hai vectơ ⃗a và ⃗b, kí hiệu ⃗a - ⃗b, là một vectơ ⃗x

sao cho ⃗b + ⃗x = ⃗a Người ta gọi vectơ ⃗x là vectơ hiệu và viết ⃗x = ⃗a - ⃗b

b) Nhân một số với một vectơ

Định nghĩa 1.1.8 Tích của một số k với một vectơ ⃗a là một vectơ, kí hiệu k.⃗a ,

có độ dài bằng |k|.|⃗a|, cùng hướng với vectơ ⃗a nếu k > 0, ngược hướng với ⃗a nếu

O

A

B

k < 0 (xem hình 1.3).

Phép nhân một số với một vectơ có các tính chất sau:

Hình 1.3: Nhân một số với vectơ

Mệnh đề 1.1.9

(i) ⃗a = ⃗a

(ii) (−1).⃗a = −⃗a

(iii) k(l⃗a ) = (kl) ⃗a

(iv) k(⃗a+ ⃗b) = k⃗a+ k⃗b

(v) (k + l)⃗a= k⃗a + l⃗a

1.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.2.1 Hệ tọa độ affine (O; ⃗i, ⃗j) có cơ sở vectơ { ⃗i, ⃗j } gồm hai vectơđơn vị trực giao với nhau được gọi là hệ tọa độ trực chuẩn (xem Hình 1.4)

Hình 1.4: Hệ tọa độ trực chuẩn trong mặt phẳng

Hệ tọa độ trực chuẩn còn được gọi là hệ tọa độ Descartes vuông góc

Những tính chất đúng với hệ tọa độ affine cũng đúng với hệ tọa độ trực chuẩn Tuy nhiên, hệ tọa độ trực chuẩn có những tính chất riêng không còn đúng trong một hệ tọa độ affine bất kì

1.2.2 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Đổi hệ tọa độ trực chuẩn

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Mệnh đề 1.2.2 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ ⃗u = (x1, y1),⃗v = (x2, y2) Khi

Từ Mệnh đề 1.2.2 ta có thể thu được một số công thức sau đây.

Mệnh đề 1.2.3 Trong mặt phẳng (Oxy), cho ⃗u = (x1, y1) và ⃗v = (x2, y2) Khi đó,

ta có:

(i) ⃗ u2 = x1 + y1, hay |⃗u| =√x12

+ y1

2.(ii) Nếu ⃗u v à ⃗v khác ⃗0 thì

cos( ⃗u,⃗v) = ¿ ⃗u⃗v

Vì hệ tọa độ trực chuẩn cũng là mục tiêu affine nên ta có công thức đổi tọa độ từ

hệ tọa độ trực chuẩn (O;⃗i, ⃗j) sang hệ tọa độ (O’;⃗i ' , ⃗ j ') như sau

{x =a1x ' +a2y ' +a0

y =b1x ' +b2y ' +b0,

trong đó ⃗i ' = (a 1 , b1), ⃗j' = (a 2, b2) và ⃗OO ' = (a0, b0) đối với hệ tọa độ (O;⃗i, ⃗j)

Do các hệ tọa độ là trực chuẩn nên ⃗i '2 = ⃗j '2 =1 và ⃗i ' ⃗ j '=0

Hay a12 + b12 = 1, a22 + b22 = 1, a 1 a 2 + b1b2 = 0

Do vậy, ta có thể tìm được các góc α, β sao cho a1 = cosα, b1 = sinα và a2 = cosβ,

b2 = sinβ Suy ra cos(β – α) = 0 (a 1 a 2 + b 1 b 2 = 0)

 β = α + π2 + 2kπ hoặc β = α + 3 π

2 + 2kπ

 Nếu β = α + π2 + 2kπ thì

A = (cosα −sinα

sinα cosα ) => detA = 1

Do đó, công thức đổi tọa độ

A = (cosα sinα sinα −cosα) => detA = -1.

Do đó, công thức đổi tọa độ

b) Hãy viết công thức đổi tọa độ từ hệ tọa độ (O’; ⃗i ' , ⃗ j ') sang (O; ⃗i ,⃗j¿

1.2.3 Phép quay hệ tọa độ quanh gốc tọa độ

Đổi hệ tọa độ trực chuẩn (O; ⃗i, ⃗j) sang hệ tọa độ mới (O; ⃗i ' , ⃗ j ') gọi là phép quay

hệ tọa độ một góc α, ở đó α=¿), β=¿)

với β = α + π2 + 2kπ hay β = α + 3 π2 + 2kπ

Áp dụng các công thức (1.5) và (1.6) với a0 = b0 = 0 ta thu được công thức củaphép quay.

Vậy công thức đổi hệ tọa độ cần tìm là { x =x '

⃗k ⃗j = 0 thì được gọi là một mục tiêu trực chuẩn hay hệ tọa độ trực chuẩn (còn gọi

là hệ tọa độ Descartes vuông góc)

1.3.2 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Đổi hệ tọa độ trực chuẩn

Mệnh đề 1.3.2 Trong không gian Oxyz, cho ⃗u= (x1, y1, z1) và ⃗v = (x2, y2, z2) Khi

Từ mệnh đề 1.3.2, ta có thể thu được một số công thức sau

Mệnh đề 1.3.3 Trong không gian Oxyz, cho ⃗u = (x1, y1, z1) và ⃗v = (x2, y2, z2) Khi

đó, ta có

(i) ⃗u2=x12+ y12+ z12, hay |⃗u|= √x12

+ y1 2

+z1

2.(ii) Nếu ⃗u ≠ ⃗0 và ⃗v≠ ⃗0thì

.√x22+ y2

2

+ z2

2

Đổi hệ tọa độ trực chuẩn

Trong không gian cho hai hệ tọa độ trực chuẩn (O ; ⃗i , ⃗j , ⃗k¿ và (O; ⃗i ' , ⃗ j ' , ⃗ k ') và điểm

M Gọi (x, y, z) và (x ' , y ' , z '¿ lần lược là tọa độ của điểm M đối với hai hệ tọa độ (

O ; ⃗i , ⃗j , ⃗k¿ và (O; ⃗i ' , ⃗ j ' , ⃗ k ') tương ứng Sau đây ta sẽ tìm mối liên hệ giữa hai hệ tọa

độ trên của điểm M

Giả sử đối với hệ tọa độ (O ; ⃗i , ⃗j , ⃗k¿, ta có O'

(a o , b o , c o), ⃗i '=(a1, b1, c1),

⃗j' =(a2, b2, c2) và ⃗k ' =(a3, b3, c3).

Vì (O ; ⃗i , ⃗j , ⃗k¿ và (O;⃗i ' , ⃗ j ' , ⃗ k ') cũng là mục tiêu affine nên ta có công thức đổi mục tiêu là

=1

a22

+b2 2

+c2 2

=1

a32

+b3 2

+c3 2

Chương 2 NHẬN BIẾT ĐƯỜNG BẬC HAI NHỜ CÁC DẤU HIỆU BẤT

BIẾN

2.1 Đường bậc hai trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn

Giả sử đối với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy, đường bậc hai (C) có phương trình

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x + 2a 2 y + a 0 = 0.

Khi đó, các vấn đề về giao điểm bậc hai và đường thẳng, tâm, tiếp tuyến, phương tiệmcận, đường tiệm cận và đường kính của đường bậc hai liên hợp với một phương ( khácvới phương tiệm cận) được xét hoàn toàn tương tự như đối với đường bậc hai trong mặtphẳng với trục affine Trong mục này, chỉ xét vấn đề tìm một hệ tọa độ trực chuẩn mớisao cho đối với hệ tọa độ trực chuẩn đó phương trình của (C) đơn giản hơn (dạngchính tắc)

Đổi hệ tọa độ từ Oxy thành Ox’y’ với công thức

{x = x ' cos u − y ' sin u

y =x '

sin u+ y '

cos u

Ta thu được phương trình của (C) đối với hệ tọa độ Ox'y' như sau:

a' 11 x' 2 + 2a' 12 x'y'+ a' 22 y' 2 + 2a' 1 x' + 2a' 2 y' + a' 0 = 0, (2.1)

trong đó

a' 11 = a 11 cos2 u + 2a12 cos u sin u + a22 sin2 u (2.2)

a'12 = - a11sinucosu + a12cos2u – a12sin2u + a22 sinucosu = 0 ( 2.3)

a'22 = a11 sin2 u + 2a12 sin u cos u + a22 cos2 u ( 2.4)

a'1 = a1cosu + a2sinu ( 2.5)

a' 2 = - a1sin u + a2cosu ( 2.6)

a' 0 = a 0 ( 2.7)

Phương trình ( 2.1) không chứa số hạng chữ nhật x'y' khi và chỉ khi a''12 = 0, tức là

a'12 = - a11 sinucosu + a12cos2u – a12sin2u + a22sinucosu = 12(a 22 – a 11 ) sin2u + a12cos2u = 0

các hệ số của phương trình (2.1) Khi đó, phương trình (2.1) có a' 12 = 0, hay ta cóthể viết

a'12 = - ( a11cos u + a12sinu) sinu + (a12cos u + a 22sin u) cosu = 0

Suy ra a11cos u+a12sinu

cosu = a12cos u+a22sinu

Đặt

S = a11cos u+a12sinu

cosu = a12cosu +a22sinu

s1 + s2 = a11+ a22 và s1s2 = a11a22 – a2

12.

Thay vào đẳng thức trên, ta được

tan u1tan u2 = a11a22−a

2

12−a11(a11+a22)+a2

11

a122 =¿-1

Như vậy, hai phương chính là hai phương của hai trục mới Ox và Ox'

 Nếu chọn u1 = (^⃗i , ⃗i '), tức là góc giữa hai vectơ đơn vị thuộc hai trục Ox và Ox', thì a'11= s1 Hơn nữa, ta có

a' 11 + a' 22 = a 11 + a 22 = s 1 + s 2 (định lý Viét)

Vì a'11 = s1 nên a'22 = s2 Trong trường hợp này phương trình của (C) ứng với hệOx'y' là

f' (x', y') = s 1 x' 2 + s 2 y' 2 + 2a' 1 x' + 2a' 2 y' +a 0 = 0. (2.10)

 Nếu chọn u2 = (^⃗i , ⃗i ' ), thì chứng minh tương tự ta được a' 11 = s 2 , a' 22 = s 1

(2) ∆ = 0: tức là (a 11 – a 22 ) 2 + 4a 2

12 = 0 Ta suy ra a 11 = a 22 , a 12 = 0 Lúc này

(C) là đường tròn nên bất kỳ phương nào đều là phương chính của nó

Vì s2, s2 không đồng thời bằng 0 (nếu s1 = s2 = 0 thì (C) không phải là đường bậchai) nên có thể xảy ra hai trường hợp