Mảtric Hausdorff trản lợp cĂc têp con compact cừa khổng gian
Chữỡng 2 Vã sỹ tỗn tÔi têp bĐt bián cừa hằ h m l°p ỡn trà v a trà kiºu F-co trản khổng gian b-mảtric
Trong chữỡng n y, chúng tổi trẳnh b y cĂc nởi dung, gỗm:
2.1 Sỹ tỗn tÔi têp bĐt bián cừa toĂn tỷ fractal ỡn trà.
2.2 Sỹ tỗn tÔi têp bĐt bián cừa toĂn tỷ fractal a trà.
VII CC KT QU T ×ÌC
1 Trẳnh b y cĂch xƠy dỹng mảtric Hausdorff trản lợp cĂc têp compact cừa khổng gian b-mảtric.
Trình bày một cách có hệ thống về chứng minh chi tiết các kết quả có trong các bài báo liên quan đến chứng minh hay chứng minh còn vững chắc, với sự tập trung vào không gian ma trận Nghiên cứu này đề cập đến sự tồn tại tiếp biên biến của toán tỷ fractal trong không gian ma trận, và phân tích sự tồn tại tiếp biên biến của toán tỷ fractal sinh bới các không gian F-co, nhằm làm rõ các khía cạnh của chứng minh trong b-matrix.
3 Tẳm vẵ dử ch¿ ra sỹ tỗn tÔi duy nhĐt iºm bĐt ởng cừa Ănh xÔ F-co trản khổng gian b-mảtric m khổng phÊi l khổng gian mảtric.
CH×ÌNG 1 KIN THÙC CÌ SÐ
Khổng ngứng mð rởng khÊ nông ựng dửng cụng nhữ phÔm vi phĂt triºn cừa toĂn hồc, nôm 1993 Czerwik  mð rởng lợp khổng gian mảtric th nh lợp khổng gian b-mảtric  cõ rĐt nhiãu kát quÊ vã viằc mð rởng nguyản lỵ Ănh xÔ co Banach cho lợp khổng gian b-mảtric n y.
1.1.1 ành nghắa.([6]) Cho X l têp hủp khĂc rộng v mởt số thỹc s ∈
[1;∞) H m d : X ìX −→ [0;∞) ữủc gồi l b-mảtric trản X náu nõ thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau. i) d(x, y) = 0 náu v ch¿ náu x = y; ii) d(x, y) = d(y, x) vợi ∀x, y ∈ X; iii) d(x, y) ≤ s[d(x, z) +d(z, y)] vợi ∀x, y, z ∈ X.
Khi nói về không gian b-mãtric (X, d) hay (X, d, s), ta hiểu đây là một không gian được định nghĩa bởi các thuộc tính nhất định Trong đó, ràng buộc d là b-mãtric trên X, cho phép xác định các điểm trong không gian này Đặc biệt, khi s = 1, không gian b-mãtric trở thành không gian mãtric, điều này có nghĩa là mọi không gian mãtric đều là không gian b-mãtric.
2) Tỗn tÔi khổng gian b-mảtric (X, d) những khổng phÊi l khổng gian mảtric.
Thêt vêy, lĐy X = {0,1,2} v x²t Ănh xÔ d : X ìX −→ [0;∞) bði d(x, y)
Dạ d ng kiºm tra ữủc d(x, y) ≤ α 2 [d(x, z) +d(z, y)] vợi ∀x, y, z ∈ X Do õ(X, d) l khổng gian b-mảtric vợi s = α 2 > 1v ró r ngd khổng phÊi l mảtric.
3) Náu (X, d) l khổng gian mảtric thẳ d l h m liản tửc, nghắa l d(x n , y n ) → d(x, y) khi n → ∞ náu x n → x, y n → y khi n → ∞ Tuy nhiản, iãu n y khổng úng ối vợi b - mảtric d.
Trong không gian metric (X, d, s), một dãy (x_n) được gọi là hội tụ nếu tồn tại một điểm x ∈ X sao cho với mọi ε > 0, tồn tại k ∈ N sao cho với mọi n ≥ k, ta có d(x_n, x) < ε, tức là lim n→∞ d(x_n, x) = 0 Ngoài ra, dãy (x_n) được gọi là Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại k ∈ N sao cho với mọi m, n ≥ k, ta có d(x_m, x_n) < ε, hay lim n,m→∞ d(x_n, x_m) = 0.
Trong không gian b-metric (X, d, s), tập con Y ⊂ X được gọi là: i) ổng náu nếu mọi dãy x_n trong Y hội tụ về x ∈ Y; ii) compact nếu mọi dãy trong Y luôn tồn tại dãy con hội tụ về một phần tử thuộc Y; iii) bị chặn nếu supd(x, y) < +∞ cho mọi x, y ∈ Y; iv) không gian b-metric (X, d, s) được gọi là hoàn chỉnh nếu mọi dãy Cauchy trong X hội tụ về một phần tử trong X.
Trong không gian b-metric (X, d, s), một dãy (xn) được gọi là dãy Cauchy nếu lim n→∞ d(xn, xn+p) = 0 với mọi p ∈ N Các khái niệm quan trọng trong không gian này bao gồm: i) Một dãy hội tụ là duy nhất; ii) Mỗi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy; iii) Nói chung, không gian b-metric là không gian hoàn toàn; iv) Tập hợp Y = {x ∈ X : tồn tại dãy xn sao cho lim n→∞ xn = x}.
1.2 MTRIC HAUSDORFF TRN LẻP CC TP CON
COMPACT CếA KHặNG GIAN b - MTRIC
Kẵ hiằu d(x, A) = inf{d(x, a) : a ∈ A} v gồi l khoÊng cĂch tứ x án A; δ(A, B) = sup{d(a, B) : a ∈ A} v gồi l khoÊng cĂch tứ A án B;
H(X) = {A: A ⊂ X, A 6= ∅, A compact}; d H (A, B) = max{δ(A, B), δ(B, A)} = max sup a∈A d(a, B), sup b∈B d(b, A)
Nôm 2010, trong [8], cĂc tĂc giÊ Â chựng minh bờ ã sau.
1.2.1 Bờ ã ([8]) GiÊ sỷ (X, d) l khổng gian b-mảtric Vợi bĐt ký
A, B, C, D ∈ H(X), ta luổn cõ i) Náu B ⊆ C thẳ sup a∈A d(a, C) ≤ sup a∈A d(a, B); ii) sup x∈A∪B d(x, C) = max sup a∈A d(a, C), sup b∈B d(b, C)
Chựng minh i) Vẳ B ⊆ C nản vợi mồi a ∈ A, ta cõ d(a, C) = inf{d(a, c) : c ∈ C} ≤ inf{d(a, b) : b ∈ B} = d(a, B).
LĐy sup cÊ hai vá ta cõ sup a∈A d(a, C) ≤sup a∈A d(a, B). ii) Ta câ sup x∈A∪B d(x, C) = sup{d(x, C) : x ∈ A∪ B}
iii) Tứ ii) ta cõ sup x∈A∪B d(x, C ∪D) ≤ max sup x∈A d(x, C ∪ D), sup x∈B d(x, C ∪D)
M°t khĂc, vẳ C ⊂C ∪D v D ⊂ C ∪D nản tứ i) ta cõ sup x∈A d(x, C ∪D) ≤sup x∈A d(x, C) v sup x∈B d(x, C ∪D) ≤ sup x∈B d(x, D).
Do â, sup x∈A d(x, C ∪D) ≤max sup a∈A d(a, C), sup c∈C d(c, A)
= dH(A, C) v sup x∈B d(x, C ∪D) ≤ max sup b∈B d(b, D), sup d∈D d(d, B)
Tứ (1) v (2), ta cõ sup x∈A∪B d(x, C ∪D) ≤max{d H (A, C), d H (B, D)} (3) T÷ìng tü ta câ sup x∈C∪D d(x, A∪B) ≤ max{d H (A, C), dH(B, D)} (4)
Tứ (3) v (4), ta cõ dH(A∪B, C ∪D) = max
1.2.2 Bờ ã ([3]) GiÊ sỷ (X, d) l khổng gian b-mảtric Vợi
1.2.3 Bờ ã ([3]) GiÊ sỷ (X, d) l khổng gian b-mảtric v A, B ∈ H(X). Khi õ vợi > 0 v mồi b∈ B luổn tỗn tÔi a ∈ A sao cho d(a, b) ≤ dH(A, B) +
Để chứng minh rằng \( L(D) > 0 \) với \( b \in B \), cần chỉ ra rằng tồn tại một điểm \( a \in A \) sao cho \( d(a, b) > d_H(A, B) + \epsilon \) Theo định nghĩa của \( d_H \) và tính chất của khoảng cách, ta có \( d_H(A, B) \geq d(a, b) > d_H(A, B) + \epsilon \) Do đó, từ những điều trên, ta có thể kết luận rằng yêu cầu phải chứng minh là đúng.
1.2.4 Bờ ã ([3]) GiÊ sỷ (X, d) l khổng gian b-mảtric Khi õ, náu B ∈ H(X) v d(a, B) = 0 thẳ a ∈ B.
Chựng minh Tứ ành nghắa vã d(a, B), vợi mội n 0 ∈ N tỗn tÔi b n ∈ B sao cho d(a, b n 0 ) ≤ n 1
0 Khi â, ta câ d¢y{b n }trongB sao chod(a, b n ) ≤ 1 n ,∀n∈ N Tiáp theo, ta ch¿ rơng lim n→∞d(a, b n ) = 0.
Thêt vêy, vợi > 0 tỗn tÔi N ∈ N sao cho N 1 < Khi õ, vợi n ∈ N sao cho n ≥ N, ta câ n 1 ≤ N 1 Do â, d(a, b n ) < n 1 ≤ N 1 <
Dăn án lim n→∞d(a, b n ) = 0 Vẳ B l têp õng nản ta cõ a ∈ B.
1.2.5 Mằnh ã Náu (X, d) l khổng gian b-mảtric thẳ (H(X), d H ) cụng l khổng gian b-mảtric vợi cũng hơng số s ≥1 Khi õ dH ữủc gồi l b-mảtric Hausdorff sinh bði b-mảtric d trản H(X).
Chựng minh Ta ch¿ ra vợi bĐt ký A, B, C ∈ H(X) thẳ d H (A, B) = max{δ(A, B), δ(B, A)}
Hàm khoảng cách giữa hai tập hợp A và B được định nghĩa là \( d_H(A, B) = \max\{\sup_{a \in A} \inf_{b \in B} d(a, b), \sup_{b \in B} \inf_{a \in A} d(a, b)\} \) Theo định lý 1.2.2(2), ta có \( d_H(A, B) = 0 \) khi và chỉ khi \( A = B \), và \( d_H(A, B) \geq 0 \) cho mọi tập A và B Hơn nữa, khoảng cách này có tính đối xứng, tức là \( d_H(A, B) = d_H(B, A) \) Cuối cùng, ta cũng cần chứng minh rằng với số lượng hữu hạn của b-metric d trên tập X, có bất đẳng thức \( d_H(A, B) \leq s[d_H(A, C) + d_H(C, B)] \).
Theo Bờ ã 1.2.3 vợi bĐt ký a ∈ A, luổn tỗn tÔi c ∈ C º vợi > 0 b² tũy ỵ ta luổn cõ d(a, c) ≤ d H (A, C) +.
M°t khĂc, theo Bờ ã 1.2.2 (3) ta cõ δ(A, B) = sup a∈A d(a, B)
Do s > 1 cho trữợc v b² tũy ỵ nản ta suy ra δ(A, B) ≤s[d H (A, C) +d H (C, B)].
Vêy d H l mởt b-mảtric trản H(X) iãu phÊi chựng minh.
V Sĩ TầN TI TP BT BIN CếA H HM LP ÌN TRÀ V A TRÀ KIU F -CO TRN KHặNG GIAN
Sỹ tỗn tÔi têp bĐt bián cừa toĂn tỷ fractal a trà
VII CC KT QU T ×ÌC
1 Trẳnh b y cĂch xƠy dỹng mảtric Hausdorff trản lợp cĂc têp compact cừa khổng gian b-mảtric.
2 Trẳnh b y mởt cĂch cõ hằ thống v chựng minh chi tiát cĂc kát quÊ Â cõ trong cĂc b i bĂo những khổng chựng minh hay chựng minh cỏn vưn tưt vã sỹ tỗn tÔi iºm bĐt ởng cừa Ănh xÔ F-co trản khổng gian mảtric Ưy ừ, sỹ tỗn tÔi têp bĐt bián cừa toĂn tỷ fractal ỡn trà sinh bði hồ Ănh xÔ F-co trản khổng gian mảtric v sỹ tỗn tÔi têp bĐt bián cừa toĂn tỷ fractal sinh bði cĂc Ănh xÔ F-co tờng quĂt trản khổng gian b-mảtric v sỹ tỗn tÔi têp fractal cừa toĂn tỷ fractal sinh bði hằ h m l°p cĂc Ănh xÔ ϕ-co a trà trản khổng gian b - mảtric.
3 Tẳm vẵ dử ch¿ ra sỹ tỗn tÔi duy nhĐt iºm bĐt ởng cừa Ănh xÔ F-co trản khổng gian b-mảtric m khổng phÊi l khổng gian mảtric.
CH×ÌNG 1 KIN THÙC CÌ SÐ
Khổng ngứng mð rởng khÊ nông ựng dửng cụng nhữ phÔm vi phĂt triºn cừa toĂn hồc, nôm 1993 Czerwik  mð rởng lợp khổng gian mảtric th nh lợp khổng gian b-mảtric  cõ rĐt nhiãu kát quÊ vã viằc mð rởng nguyản lỵ Ănh xÔ co Banach cho lợp khổng gian b-mảtric n y.
1.1.1 ành nghắa.([6]) Cho X l têp hủp khĂc rộng v mởt số thỹc s ∈
[1;∞) H m d : X ìX −→ [0;∞) ữủc gồi l b-mảtric trản X náu nõ thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau. i) d(x, y) = 0 náu v ch¿ náu x = y; ii) d(x, y) = d(y, x) vợi ∀x, y ∈ X; iii) d(x, y) ≤ s[d(x, z) +d(z, y)] vợi ∀x, y, z ∈ X.
Khi xét không gian b-mãtríc (X, d) hay (X, d, s), đây là khái niệm liên quan đến không gian metric Không gian b-mãtríc được định nghĩa là không gian mà trong đó d là một metric trên X Đặc biệt, khi s = 1, không gian b-mãtríc trở thành không gian metric Điều này có nghĩa là mọi không gian metric đều là không gian b-mãtríc.
2) Tỗn tÔi khổng gian b-mảtric (X, d) những khổng phÊi l khổng gian mảtric.
Thêt vêy, lĐy X = {0,1,2} v x²t Ănh xÔ d : X ìX −→ [0;∞) bði d(x, y)
Dạ d ng kiºm tra ữủc d(x, y) ≤ α 2 [d(x, z) +d(z, y)] vợi ∀x, y, z ∈ X Do õ(X, d) l khổng gian b-mảtric vợi s = α 2 > 1v ró r ngd khổng phÊi l mảtric.
3) Náu (X, d) l khổng gian mảtric thẳ d l h m liản tửc, nghắa l d(x n , y n ) → d(x, y) khi n → ∞ náu x n → x, y n → y khi n → ∞ Tuy nhiản, iãu n y khổng úng ối vợi b - mảtric d.
1.1.3 ành nghắa ([6]) Cho (X, d, s) l khổng gian b - mảtric DÂy (x n ) trong X ữủc gồi l i) hởi tử náu v ch¿ náu vợi mồi > 0 tỗn tÔi k ∈ N sao cho vợi mồi n≥ k ta cõ d(xn, x) < ta viát l lim n→∞d(xn, x) = 0. ii) dÂy Cauchy náu v ch¿ náu vợi mồi > 0 tỗn tÔi k ∈ N sao cho vợi mồi m, n ≥k ta câ d(x m , x n ) < hay lim n,m→∞d(x n , x m ) = 0.
1.1.4 ành nghắa ([6]) Cho (X, d, s)l khổng gianb-mảtric Têp conY ⊂ X ữủc gồi l i) õng náu v ch¿ náu mội dÂy x n trong Y m hởi tử vã x thẳ x ∈ Y. ii) compact náu v ch¿ náu vợi mồi dÂy trong Y luổn tỗn tÔi dÂy con hởi tử vã mởt phƯn tỷ thuởc Y. iii) bà ch°n náu v ch¿ náu {supd(x, y) : x, y ∈ Y} < +∞. iv) Khổng gian b-mảtric (X, d, s) ữủc gồi l Ưy ừ náu v ch¿ náu mồi dÂy Cauchy trong X ãu hởi tử vã phƯn tỷ thuởc X.
1.1.5 Mằnh ã.([9]) Cho (X, d, s) l khổng gian b - mảtric DÂy (xn) l dÂy Cauchy náu v ch¿ náu lim n→∞d(x n , x n+p ) = 0 vợi mồi p ∈ N. 1.1.6 Nhên x²t ([3]) Trong khổng gian b-mảtric (X, d, s) cĂc kh¯ng ành sau l óng. i) Mởt dÂy hởi tử thẳ iºm giợi hÔn l duy nhĐt. ii) Mồi dÂy hởi tử ãu l dÂy Cauchy. iii) Nõi chung, h m b-mảtric d l h m khổng liản tửc. iv) Y = {x ∈ X : tỗn tÔi x n sao cho lim n→∞x n = x}.
1.2 MTRIC HAUSDORFF TRN LẻP CC TP CON
COMPACT CếA KHặNG GIAN b - MTRIC
Kẵ hiằu d(x, A) = inf{d(x, a) : a ∈ A} v gồi l khoÊng cĂch tứ x án A; δ(A, B) = sup{d(a, B) : a ∈ A} v gồi l khoÊng cĂch tứ A án B;
H(X) = {A: A ⊂ X, A 6= ∅, A compact}; d H (A, B) = max{δ(A, B), δ(B, A)} = max sup a∈A d(a, B), sup b∈B d(b, A)
Nôm 2010, trong [8], cĂc tĂc giÊ Â chựng minh bờ ã sau.
1.2.1 Bờ ã ([8]) GiÊ sỷ (X, d) l khổng gian b-mảtric Vợi bĐt ký
A, B, C, D ∈ H(X), ta luổn cõ i) Náu B ⊆ C thẳ sup a∈A d(a, C) ≤ sup a∈A d(a, B); ii) sup x∈A∪B d(x, C) = max sup a∈A d(a, C), sup b∈B d(b, C)
Chựng minh i) Vẳ B ⊆ C nản vợi mồi a ∈ A, ta cõ d(a, C) = inf{d(a, c) : c ∈ C} ≤ inf{d(a, b) : b ∈ B} = d(a, B).
LĐy sup cÊ hai vá ta cõ sup a∈A d(a, C) ≤sup a∈A d(a, B). ii) Ta câ sup x∈A∪B d(x, C) = sup{d(x, C) : x ∈ A∪ B}
iii) Tứ ii) ta cõ sup x∈A∪B d(x, C ∪D) ≤ max sup x∈A d(x, C ∪ D), sup x∈B d(x, C ∪D)
M°t khĂc, vẳ C ⊂C ∪D v D ⊂ C ∪D nản tứ i) ta cõ sup x∈A d(x, C ∪D) ≤sup x∈A d(x, C) v sup x∈B d(x, C ∪D) ≤ sup x∈B d(x, D).
Do â, sup x∈A d(x, C ∪D) ≤max sup a∈A d(a, C), sup c∈C d(c, A)
= dH(A, C) v sup x∈B d(x, C ∪D) ≤ max sup b∈B d(b, D), sup d∈D d(d, B)
Tứ (1) v (2), ta cõ sup x∈A∪B d(x, C ∪D) ≤max{d H (A, C), d H (B, D)} (3) T÷ìng tü ta câ sup x∈C∪D d(x, A∪B) ≤ max{d H (A, C), dH(B, D)} (4)
Tứ (3) v (4), ta cõ dH(A∪B, C ∪D) = max
1.2.2 Bờ ã ([3]) GiÊ sỷ (X, d) l khổng gian b-mảtric Vợi
1.2.3 Bờ ã ([3]) GiÊ sỷ (X, d) l khổng gian b-mảtric v A, B ∈ H(X). Khi õ vợi > 0 v mồi b∈ B luổn tỗn tÔi a ∈ A sao cho d(a, b) ≤ dH(A, B) +
Để chứng minh rằng \( L(D) > 0 \) và \( b \in B \), cần có một điểm \( a \in A \) sao cho \( d(a, b) > d_H(A, B) + \epsilon \) Theo định nghĩa của khoảng cách Hausdorff \( d_H \), ta có \( d_H(A, B) \geq d(a, b) > d_H(A, B) + \epsilon \) Điều này dẫn đến mâu thuẫn, do đó ta cần phải chứng minh điều này.
1.2.4 Bờ ã ([3]) GiÊ sỷ (X, d) l khổng gian b-mảtric Khi õ, náu B ∈ H(X) v d(a, B) = 0 thẳ a ∈ B.
Chựng minh Tứ ành nghắa vã d(a, B), vợi mội n 0 ∈ N tỗn tÔi b n ∈ B sao cho d(a, b n 0 ) ≤ n 1
0 Khi â, ta câ d¢y{b n }trongB sao chod(a, b n ) ≤ 1 n ,∀n∈ N Tiáp theo, ta ch¿ rơng lim n→∞d(a, b n ) = 0.
Thêt vêy, vợi > 0 tỗn tÔi N ∈ N sao cho N 1 < Khi õ, vợi n ∈ N sao cho n ≥ N, ta câ n 1 ≤ N 1 Do â, d(a, b n ) < n 1 ≤ N 1 <
Dăn án lim n→∞d(a, b n ) = 0 Vẳ B l têp õng nản ta cõ a ∈ B.
1.2.5 Mằnh ã Náu (X, d) l khổng gian b-mảtric thẳ (H(X), d H ) cụng l khổng gian b-mảtric vợi cũng hơng số s ≥1 Khi õ dH ữủc gồi l b-mảtric Hausdorff sinh bði b-mảtric d trản H(X).
Chựng minh Ta ch¿ ra vợi bĐt ký A, B, C ∈ H(X) thẳ d H (A, B) = max{δ(A, B), δ(B, A)}
Giá trị tối đa của sup a∈A b∈B inf d(a, b) và sup b∈B a∈A inf d(a, b) xác định khoảng cách giữa hai tập hợp A và B, với dH(A, B) = 0 nếu A = B và dH(A, B) ≥ 0 Khoảng cách dH(A, B) có tính đối xứng, tức là dH(A, B) = dH(B, A) Hơn nữa, khoảng cách này thỏa mãn bất đẳng thức tam giác, cho thấy dH(A, B) ≤ s[dH(A, C) + dH(C, B)].
Theo Bờ ã 1.2.3 vợi bĐt ký a ∈ A, luổn tỗn tÔi c ∈ C º vợi > 0 b² tũy ỵ ta luổn cõ d(a, c) ≤ d H (A, C) +.
M°t khĂc, theo Bờ ã 1.2.2 (3) ta cõ δ(A, B) = sup a∈A d(a, B)
Do s > 1 cho trữợc v b² tũy ỵ nản ta suy ra δ(A, B) ≤s[d H (A, C) +d H (C, B)].
Vêy d H l mởt b-mảtric trản H(X) iãu phÊi chựng minh.
CHìèNG 2 V Sĩ TầN TI TP BT BIN CÕA H HM LP ÌN TRÀ V
A TRÀ KIU F -CO TRN KHặNG GIAN b -MTRIC
Chữướng n y trẳnh b y cĂc chựng minh chi tiát cĂc kát quÊ thu ữủc vã sỹ tỗn tÔi têp bĐt bián cừa hằ h m l°p ỡn trà, a trà gỗm cĂc Ănh xÔ kiºu F-co trản khổng gian b-mảtric.
2.1 Sĩ TầN TI TP BT BIN CếA TON TÛ FRACTAL ÌN TRÀ
Kẵ hiằu F = {F : R + → R} thọa mÂn ba iãu kiằn sau
(F 1 ) : F tông ng°t, nghắa l , vợi α, β ∈ R + m α < β ⇒F(α) < F(β); (F 2 ) : Vợi mồi dÂy {α n } cĂc số thỹc dữỡng thẳ n→∞lim α n = 0 ⇔ lim n→∞F(α n ) =−∞;
2.1.1 ành nghắa ([9]) GiÊ sỷ (X, d) l khổng gian b-mảtric Mởt Ănh xÔ f : X →X ữủc gồi l F −co náu vợi mồi x, y ∈ X, tỗn tÔi F ∈ F v τ > 0 sao cho τ +F(d(f x, f y)) ≤ F(d(x, y)) vợi d(f x, f y) > 0 (1.1)
Tứ (F 1) v (1.1), ta có kát luên sau d(f x, f y) < d(x, y), ∀x, y ∈ X, f x ≠ f y Điều này cho thấy rằng mỗi ánh xạ F đều có tính chất riêng biệt, và mọi ánh xạ F đều là một ánh xạ liên tục Hơn nữa, với các cách chọn khác nhau của h m F ∈ F, ta có thể tìm thấy T: X → X với các loại ánh xạ có khác nhau.
Nôm 2012, trong [2], D Wardowski chựng minh kát quÊ sau.
2.1.2 ành lỵ ([2]) GiÊ sỷ (X, d) l khổng gian mảtric Ưy ừ v f : X → X l F-co Khi õ, f cõ duy nhĐt iºm bĐt ởng x ∗ ∈ X v vợi mội x0 ∈ X dÂy {x 0 , f(x 0 ), f 2 (x 0 ), } hởi tử vã x ∗
Chứng minh rằng hàm f có điểm cố định duy nhất Giả sử x*1, x*2 ∈ X và f(x*1) = x*1 ≠ x*2 = f(x*2) Khi đó, ta có τ ≤ F(d(x*1, x*2)) - F(d(T(x*1), T(x*2))) = 0 Điều này dẫn đến x*1 = x*2, chứng tỏ hàm f có điểm cố định duy nhất Với x0 ∈ X tùy ý, ta xác định dãy (x_n) với x_n+1 = f(x_n), n = 0, 1,
Náu tỗn tÔi n 0 ∈ N sao chox n 0 +1 = x n 0 thẳ f x n 0 = x n 0 , do õ ành lỵ ữủc chùng minh.
GiÊ sỷ x n+1 6= x n vợi mồi n ∈ N Suy ra γ n > 0 vợi mồi n, ta cõ
Do õ, cho n → ∞ ta cõ F(γ n ) → −∞ iãu n y cũng vợi iãu kiằn (F 2 ) ta câ lim n→∞γ n = 0.
Tứ iãu kiằn (F 3 ), tỗn tÔi k ∈ (0,1) sao cho lim n→∞γ n k F(γ n ) = 0.
Tứ (2.1) ta cõ vợi mồi n ∈ N thẳ γ n k F(γ n )−γ n k F(γ 0 ) ≤ γ n k F(γ 0 −nτ)−γ n k F(γ 0 ) = −γ n k nτ ≤0.
Trong bĐt ¯ng thực n y, cho n→ ∞ v sỷ dửng cĂc kát quÊ trản, ta cõ n→∞lim(nγ n k ) = 0 (2.2)
Tứ (2.2) º ỵ rơng tỗn tÔi m ∈ N, sao cho nγ n k ≤ 1 v m ≤ n.
Do â, ta câ γn ≤ 1 n k 1 vợi mồi n ≥n1 (2.3) º ch¿ ra rơng (x n ) l dÂy Cauchy ta lĐy m, n ∈ N sao cho m > n ≥ n 1
Tứ sỹ hởi tử cừa chuội P ∞ i=1
1 i 1 k ta nhên ữủc (x n ) l dÂy Cauchy.
LÔi vẳ (X, d) l khổng gian Ưy ừ nản tỗn tÔi x ∗ ∈ X º lim n→∞x n = x ∗ M°t kh¡c, d(f x ∗ , x ∗ ) = lim n→∞d(f x n , x n ) = lim n→∞d(x n+1 , x n ) = 0. Vêy ta cõ iãu phÊi chựng minh.
2.1.3 ành nghắa ([3]) Cho (X, d) l khổng gian b-mảtric, Ănh xÔ f : X → X ữủc gồi l Ănh xÔ F-co tờng quĂt náu v ch¿ náu mồi x, y ∈ X, tỗn tÔi F ∈ F v T ∈ Υ sao cho
2.1.4 Vẵ dử ([4]) LĐy F : R + → R cho bði F(x) = lnx Khi õ, F thọa mÂn cĂc iãu kiằn F1, F2 v F3 Khi õ, mội Ănh xÔ T : X →X thọa mÂn iãu kiằn F-co thẳ ãu thọa mÂn d(T x, T y) ≤ e −τ d(x, y) vợi mồi x 6= y.
Ró r ng khi x = y thẳ T x = T y nản bĐt ¯ng thực vứa nảu cụng úng.
Do õ, Ănh xÔ F-co trong trữớng hủp n y l Ănh xÔ co Banach vợi hằ số
2.1.5 ành lỵ ([8]) Cho (X, d) l khổng gian mảtric v f : X → X l Ănh x¤ F-co Khi â, ta câ
A 7→F f A= {f x: x ∈ A} ∈ H(X) cụng l Ănh xÔ F-co trản khổng gian (H(X), d H ).
Chựng minh Do f l Ănh xÔ F-co nản f liản tửc Vẳ thá, khi A ∈ H(X) thẳ Ênh qua Ănh xÔ liản tửc f l F f A∈ H(X).
Vợi A, B ∈ H(X) m dH(FfA, FfB) 6= 0, vẳ f l F-co nản ta cõ
Nhữ vêy, ta cõ d(f x, FfB) = inf y∈Bd(f x, f y) < inf y∈Bd(x, y) =d(x, B) v t÷ìng tü d(f y, F f A) < d(y, A).
Vẳ F tông ch°t nản ta cõ F(d H (F f A, F f B)) < F(d H (A, B)) Do õ, tỗn t¤i τ ∗ > 0 º τ ∗ +F(dH(FfA, FfB)) ≤ F(dH(A, B)).
Vêy F f l Ănh xÔ F-co trản khổng gian (H(X), d H ).
2.1.6 ành lỵ ([8]) GiÊ sỷ (X, d) l khổng gian mảtric v {f n } N n=1 l hồ cĂc Ănh xÔ F-co tứ X v o X.
Chùng minh Ta ch¿ c¦n chùng minh khiN = 2 Tùc gi£ sû f 1 , f 2 : X → X l hai Ănh xÔ F −co LĐy A, B ∈ H(X) vợi dH(T A, T B) 6= 0.
Theo Bờ ã 1.2.1 (iii), ta cõ
2.1.7 ành lỵ ([8]) Cho (X, d) l khổng gian mảtric Ưy ừ v {f n } N n=1 l hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ F-co Khi õ, Ănh xÔ
T : H(X) → H(X) xĂc ành nhữ trong ành lỵ 2.1.6 cõ cĂc tẵnh chĐt sau.
1) T cõ duy nhĐt têp bĐt bián U ∈ H(X) nghắa l
2) Vợi bĐt ký A0 ∈ H(X), dÂy cĂc têp compact {A 0 , T A0, T 2 A0, } hởi tử theo mảtric d H vã têp bĐt bián cừa T.
Chứng minh rằng theo ảnh lý 2.1.6, tỷ lệ fractal T là ảnh xô F-co Mặt khác, không gian (X, d) là không gian metric Ưy ừ nản (H(X), dH) cũng là không gian metric Ưy ừ Do đó, theo ảnh lý 2.1.2, tồn tại duy nhất.
2) ữủc suy ra tứ chựng minh ành lỵ 2.1.2.
2.1.8 ành lỵ ([9]) Cho (X, d, s) l khổng gian b-mảtric v f : X → X l ¡nh x¤ F-co têng qu¡t Khi â, ta câ i) F f bián mội A ∈ H(X) th nh F f A = {f a : a ∈ A} l mởt phƯn tỷ cừa H(X). ii) F f cụng l Ănh xÔ F-co tờng quĂt trản (H(X), d H ).
Chựng minh i) Vẳ mội Ănh xÔ F-co tờng quĂt l liản tửc v Ênh qua Ănh xÔ liản tửc cừa mởt têp compact l têp compact Do õ, A ∈ H(X) thẳ
F f A= {f a: a ∈ A} ∈ H(X). ii) LĐy A, B ∈ H(X) vợi d H (F f A, F f B) 6= 0 Vẳ f : X → X l Ănh xÔ F-co tờng quĂt nản
Do â d(f x, F f B) = inf y∈Bd(f x, f y) < inf y∈Bd(x, y) = d(x, B).
Do â dH(FfA, FfB) = max
Do õ, theo tiảu chuân tông ch°t cừa F ta cõ
Nản tỗn tÔi h m τ : R + → R + vợi mồi t ≥0 sao cho τ(dH(A, B) +F(dH(FfA, FfB))) ≤ F(dH(A, B)).
Chựng tọ, F f l Ănh xÔ F-co tờng quĂt.
2.1.9 ành nghắa ([8]) Cho (X, d) l khổng gian mảtric Náu f n : X →
X n = 1,2, , N l cĂc Ănh xÔ F-co thẳ {f 1 , f2 , fN} ữủc gồi l hằ h m l°p
F-co v Ănh xÔ T : H(X) → H(X) ữủc xĂc ành bði T A N
S a∈A f i a ữủc gồi l toĂn tỷ fractal sinh bði hằ h m l°p F- co {f 1 , f 2 , f N }.
S a∈A f i a cõ têp bĐt bián l A ∗ ∈ H(X) thẳ A ∗ ữủc gồi l têp fractal.
Các ảnh lý 2.1.2 và 2.1.7 nêu rõ điều kiện tồn tại của điểm cố định trong không gian F-co, đồng thời mô tả tỷ lệ fractal sinh bởi hồ hình học trong không gian này Các ảnh lý sau đó cung cấp các điều kiện tồn tại của một số loại ảnh cố tràn khổng gian b-ma trận.
2.1.10 ành lỵ ([9]) Cho (X, d, s) l khổng gian b-mảtric v f n :X →X, n = 1,2, , N l c¡c ¡nh x¤ F-co têng qu¡t Khi â, to¡n tû fractal T sinh bði {f n } công l Ănh xÔ F-co tờng quĂt trản H(X).
Chựng minh Ta ch¿ cƯn chựng minh trong trữớng hủp N = 2 GiÊ sỷ f 1 , f 2 : X → X l hai Ănh xÔ F-co tờng quĂt LĐy A, B ∈ H(X) vợi d H (T A, T B) 6= 0 Ta cõ τ(d H (A, B)) +F(d H (T A, T B))
Vêy F l Ănh xÔ F-co tờng quĂt.
2.1.11 ành lỵ ([9]) Cho (X, d, s) l khổng gian b-mảtric v {f 1 , f2, , fN} l hằ h m l°p gỗm cĂc Ănh xÔ F-co tờng quĂt trản X Khi õ, toĂn tỷ fractal
T sinh bði {f 1 , f 2 , , f N } cõ duy nhĐt têp fractal.
Chựng minh LĐy A0 ∈ H(X) tũy ỵ Náu T A0 = A0 thẳ A0 chẵnh l têp fractal cừa T Do õ, ta giÊ sỷ rơng T A 0 6= A 0
GiÊ sỷ rơng A n 6= A m vợi mồi n ∈ N, vẳ náu khổng nhữ vêy thẳ tỗn tÔi k ∈ N, º Ak+1 = Ak tực T Ak = Ak, nghắa l Ak l têp bĐt bián cừa T.
=τ(MT(Am, Am+1)) +F(dH(T Am, T Am+1))
F(d H (A m+1 , A m+2 )) ≤ F(d H (A m+1 , A m+2 ))−τ(d H (A m+1 , A m+2 )). iãu n y mƠu thuăn vợi τ(dH(Am+1, Am+2)) > 0 Chựng tọ
Nhữ vêy, {d H (Am+1, Am+2)} l dÂy giÊm, do õ nõ hởi tử.
BƠy giớ, ta ch¿ ra rơng lim m→∞d H (A m+1 , A m+2 ) = 0 Thêy vêy, theo tiảu chuân cừa τ tỗn tÔi c > 0 v n 0 ∈ N sao cho τ(dH(Am, Am+1)) > c vợi mồi m > n0 º ỵ rơng:
≤ F(d H (A 0 , A 1 )) −n 0 iãu n y dăn án F(d H (A m+1 , A m+2 )) → −∞ khi m → ∞ Kát hủp vợi
(F2), ta câ lim m→∞dH(Am+1, Am+2) = 0
Tứ (F 3 ) suy ra tỗn tÔi h ∈ (0,1) sao cho m→∞lim ([d H (A m+1 , A m+2 )] h F(d H (A m+1 , A m+2 )) = 0.
[dH(Am, Am+1)] h F(dH(Am, Am+1)) −[dH(Am, Am+1)] h F(dH(A0, A1))
Cho n → ∞, ta ữủc m→∞lim (m[dH(Am+1, Am+2)] h ) = 0.
Do â, lim m→∞m h 1 [d H (A m+1 , A m+2 )] = 0 Nhữ vêy, tỗn tÔi m ∈ N sao cho m 1 h [d H (A m+1 , A m+2 )] ≤ 1 vợi mồi m ≥n 1 nản d H (A m+1 , A m+2 ) ≤ 1 m 1 h vợi mồi m ≥n 1
BƠy giớ, vợi m, n ∈ N, m > n ≥ n1, ta cõ d H (A n , A m ) ≤sd H (A n , A n+1 ) +s 2 d H (A n+1 , A n+2 ) + +s m−n−1 d H (A m−1 , A m )
Do chuéi P ∞ i=n s i i h 1 hởi tử nản dH(An, Am) →0 khi n, m → ∞.
Vêy {A n } l dÂy Cauchy trong X Do (H(X), dH) Ưy ừ nản An →U khi n → ∞ vợi U ∈ H(X).
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các trường hợp liên quan đến H((A n+2), A n+1), H((A n+2), U) và H((A n+2), T(U) Đầu tiên, khi (M T (A n , U)) = H(A n , U), ta có giới hạn lim n→∞ τ(H(A n , U)) + F(H(T(U), U)) ≤ F(H(U, U)), với điều kiện lim t→0 τ(t) = 0 cho mọi t ≥ 0 Thứ hai, khi (M T (A n , U)) = H(A n , A n+1), ta cũng có giới hạn lim n→∞ τ(H(A n , A n+1)) + F(H(T(U), U)) ≤ F(H(U, U)) Thứ ba, trong trường hợp (M T (A n , U)) = H(U, T(U)), ta có τ(H(U, T(U))) + F(H(T(U), U)) ≤ F(H(U, T(U))) với điều kiện τ(H(U, T(U))) > 0 Cuối cùng, nếu (M T (A n , U)) = H(A n , T(U)) + H(U, T2b(A n)), thì ta có giới hạn lim n→∞ τ(H(A n , T(U)) + H2b(U, T(A n))) + F(H(T(U), U)) ≤ F(H(U, T(U)) + H(U, U).
Khi (M T (A n , U)) = H(A n+2 , A n+1), thì giới hạn khi n tiến tới vô cùng của τ(H(A n+2 , A n+1)) cộng với F(H(T(U), U)) nhỏ hơn hoặc bằng F(H(U, U)) Tương tự, nếu (M T (A n , U)) = H(A n+2 , U), thì giới hạn khi n tiến tới vô cùng của τ(H(A n+2 , U)) cộng với F(H(T(U), U)) cũng nhỏ hơn hoặc bằng F(H(U, U)) Cuối cùng, khi (M T (A n , U)) = H(A n+2 , T(U)), thì giới hạn khi n tiến tới vô cùng của τ(H(A n+2 , T(U)) cộng với F(H(T(U), U)) vẫn nhỏ hơn hoặc bằng F(H(U, U)).
Do õ, U l iºm bĐt ởng cừa T.