Về sự tồn tại tập bất biến của toán tử fractal đa trị sinh bởi các họ ánh xạ co kiểu ciric trên không gian mêtric

Trường Đại học Vinhphạm văn hùng Về sự tồn tại tập bất biến của toán tử fractal đa trị sinh bởi các họ ánh xạ co kiểu Ciric trên không gian mêtric luận văn Thạc sỹ Toán học Nghệ An, 2018

Trường Đại học Vinh

phạm văn hùng

Về sự tồn tại tập bất biến của toán tử fractal đa trị sinh bởi các họ ánh xạ co kiểu Ciric trên không gian mêtric

luận văn Thạc sỹ Toán học

Nghệ An, 2018

Trường Đại học Vinh

phạm văn hùng

Về sự tồn tại tập bất biến của toán tử fractal đa trị sinh bởi các họ ánh xạ co kiểu Ciric trên không gian mêtric

luận văn Thạc sỹ Toán họcChuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8460102

Cán bộ hướng dẫn khoa học

TS Vũ Thị Hồng Thanh

Nghệ An, 2018

lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của Cô TS Vũ Thị Hồng Thanh Tôi xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới Cô Xin chân thành cám ơn quý thầy cô ở Bộ môn Giải tích, Viện Sư phạm Tự nhiên, Phòng đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh, TS Nguyễn Văn Đức giáo viên chủ nhiệm lớp cao học Giải Tích khóa 24 tại Trường

Đại học Sư phạm Kỹ thuật Vĩnh Long, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Vĩnh Long, Ban Giám Hiệu Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Vĩnh Long, Ban Giám Hiệu Trường THCS-THPT Hòa Bình đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành Luận văn Nhân đây tôi xin cám ơn các bạn học viên cao học Giải Tích khoá 24 tại Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Vĩnh Long Cuối cùng tôi xin gởi lời cám ơn đến gia đình, bạn bè, đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành nhiệm vụ trong quá trình học tập.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong nghiên cứu, thực hiện luận văn, song luận văn không tránh khỏi những sai sót Tôi mong nhận được những ý kiến

đóng góp của quý Thầy, Cô và bạn đọc để Luận văn được hoàn thiện.

Vĩnh Long, ngày 20 tháng 6 năm 2018

Phạm Văn Hùng

2.1 Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đơn trị và đa trị co kiểu

mở đầu

Năm 1981, J E Hutchison chỉ ra rằng cứ có một họ hữu hạn các ánh xạ co Banach trên Rn thì có một toán tử fractal và tập fractal chính là

điểm bất động của toán tử fractal đó Tập fractal có rất nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của khoa học cũng như trong đời sống Chính vì thế, người ta luôn tìm cách mở rộng việc xây dựng các tập fractal.

Năm 1969, Nadler đã mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach cho ánh xạ đa trị và từ đó lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ đa trị cũng được phát triển nhanh chóng và có nhiều ứng dụng trong Giải tích phi tuyến,

đặc biệt trong kinh tế, lý thuyết tối ưu, lý thuyết trò chơi, Vì thế, một cách rất tự nhiên là người ta nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của toán

tử fractal sinh bởi họ các ánh xạ co đa trị.

Năm 1971, C´iri´c đã đưa ra một loại ánh xạ co mà nó tổng quát của các loại co kinh điển phổ biến, như co Kannan, co Reich, co Rus, co Hardy-Roger và nghiên cứu các định lý điểm bất động cho ánh xạ đơn trị và đa trị co kiểu này Ngay sau đó, có rất nhiều nhà toán học như A Petrusel, I A Rus, N V Dung, P Kumam, , nghiên cứu và thu được nhiều kết quả thú vị về sự tồn tại tập bất biến của toán tử fractal đa trị.

Để tập dượt với nghiên cứu khoa học và tìm hiểu các vấn đề này, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình là "Về sự tồn tạitập bất biến của toán tử fractal đa trị sinh bởi họ các ánh xạ co kiểuC´iri´c

trên không gian mêtric".

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn này là tìm hiểu các kết quả đạt được về sự tồn tại điểm bất động: của ánh xạ đơn trị, đa trị co C´iri´c; của ánh xạ tập sinh bởi ánh xạ đơn trị, đa trị co C´iric´; của toán tử fractal sinh bởi họ các

ánh xạ đơn trị, đa trị co C´iri´c trên không gian mêtric.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng: nghiên cứu sự tồn tại tập bất biến qua toán tử fractal sinh bởi các ánh xạ đa trị co kiểu C´iric´trên không gian mêtric.

Phạm vi: lý thuyết điểm bất động trong không gian mêtric.

4 Những đóng góp của luận văn

- Trình bày cách xây dựng: mêtric Hausdorff, ánh xạ tập sinh bởi một ánh xạ và toán tử fractal sinh bởi họ các ánh xạ đơn trị và đa trị, sự tồn tại tập bất biến của toán tử fractal đơn trị và đa trị.

- Trình bày các kết quả đạt được của các nhà Toán học về sự tồn tại

điểm bất động, tập bất biến của loại ánh xạ co đơn trị do C´iri´c đưa ra (ta gọi là co C´iric´hay tựa co) và của ánh xạ tựa co tổng quát và các ví dụ minh họa.

- Trình bày các kết quả về sự tồn tại tập bất biến của toán tử fractal sinh bởi các ánh xạ co kiểu C´iri´c.

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1 Đọc hiểu một số tài liệu liên quan đến mêtric Hausdorff, hệ hàm lặp đơn trị, đa trị, sự tồn tại tập bất biến qua ánh xạ (đơn trị, đa trị) gồm các ánh xạ co kiểu C´iri´c, hệ hàm lặp đơn trị, đa trị C´iri´c, toán tử fractal

đơn trị và đa trị co kiểu C´iric´và sự tồn tại tập bất biến của các toán tử này.

5.2 Trình bày một cách có hệ thống các kết quả về các vấn đề nói trên, chú trọng các vấn đề về sự tồn tại tập bất biến qua toán tử fractal sinh bởi hệ hàm lặp gồm các ánh xạ co kiểu C´iric´ Trình bày một số ví

dụ minh họa.

5.3 Chứng minh chi tiết các mệnh đề, định lý về sự tồn tại tập bất biến qua toán tử fractal sinh bởi hệ hàm lặp gồm các ánh xạ đa trị co kiểuC´iric´trình bày trong luận văn mà trong các tài liệu tham khảo không chứng minh hoặc chứng minh còn vắn tắt.

6 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Đọc tài liệu, suy diễn lôgic, tương

tự hóa, tổng quát hóa.

1.2 Sự tồn tại tập bất biến của toán tử fractal đa trị.

Chương 2 Về sự tồn tại tập bất biến của toán tử fractal đa trị sinhbởi các ánh xạ đa trị co kiểuC´iri´c.

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kết quả về sự tồn tại điểm bất động của: ánh xạ đơn trị, đa trị co kiểu C´iri´c; ánh xạ tập sinh bởi ánh xạ đơn (đa) trị co C´iri´c; toán tử fractal sinh bởi hệ hàm lặp đơn (đa) trị

co kiểu C´iri´c và trình bày các ví dụ minh họa Nội dung cụ thể gồm: 2.1 Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đơn trị và đa trị co kiểu

´

Ciri´c.

2.2 Về sự tồn tại tập bất biến của toán tử đa trị fractal sinh bởi họ các ánh xạ co kiểu C´iri´c.

chương 1

Kiến thức cơ sở

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở cần dùng trong việc trình bày nội dung chính của luận văn Đó là xây dựng mêtric Hausdorff trên lớp các tập con của không gian mêtric, xây dựng ánh xạ tập và toán tử fractal, đồng thời chỉ ra sự tồn tại tập bất biến của toán tử fractal đơn trị và đa trị.

1.1 Mêtric Hausdorff và sự tồn tại tập bất biến của toán

b∈B{d(a, c) + d(c, b)} với bất kỳ c ∈ C

= d(a, c) + D(c, B) với bất kỳc ∈ C

h : K(X) ì K(X) → [0; +∞)

(A, B) 7→ h(A, B) = max{ρ(A, B), ρ(B, A)}

Khi đó, h là một mêtric trên K(X) Hơn nữa, nếu (X, d) là không gian mêtric đầy đủ thì(K(X), h) cũng là không gian mêtric đầy đủ.

Chứng minh Ta kiểm tra các điều kiện của một mêtric đối với h

i) Từ cách xác định h ta có h(A, B) ≥ 0 với mọi A, B ∈ K(X) và

h(A, B) = 0kéo theo ρ(A, B) = ρ(B, A) = 0 Do đóA = B vìA, B ∈ K(X)

ii) Hiển nhiên ta có h(A, B) = h(B, A) với mọi A, B ∈ K(X)

iii) Ta chứng minh với mọi A, B, C ∈ K(X), ta có

1.1.4 Định nghĩa ([1]) Cho (X, d) là không gian mêtric Khi đó, hàm h đượcxác định như ở Mệnh đề 1.1.3 được gọi là mêtric Hausdorff trên K(X).

Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày các tính chất cơ bản của mêtric Hausdorffcủa hàm D(x, A), ρ(A, B) cần dùng cho trình bày nội dung chính của luận văn

1.1.5 Bổ đề ([1]) Cho(X, d) là không gian mêtric NếuA ⊂ B thì

ρ(C, A) ≥ ρ(C, B)và ρ(A, C) ≤ ρ(B, C) với bất kỳC ⊂ X.

Chứng minh. DoA ⊂ B nên với mỗic ∈ C ta có inf

Chứng minh tương tự, ta thu được ρ(A, C) ≤ ρ(B, C) 

1.1.6 Bổ đề ([1]) Với mọi A, B, C ⊂ X ta luôn có

h(A, B ∪ C) ≤ max{h(A, B), h(A, C)}

Chứng minh. Vì B, C ⊂ B ∪ C nên theo Bổ đề 1.1.5 ta có

ρ(A, B ∪ C) ≤ ρ(A, B) và ρ(A, B ∪ C) ≤ ρ(A, C)

Suy ra ρ(A, B ∪ C) ≤ max{ρ(A, B), ρ(A, C)}

h(A, B ∪ C) = max{ρ(A, B ∪ C), ρ(B ∪ C, A)}

≤ max{ρ(A, B), ρ(B, A), ρ(A, C), ρ(C, A)}

= max{max{ρ(A, B), ρ(B, A)}, max{ρ(A, C), ρ(C, A)}}

= max{h(A, B), h(A, C)} 

ρ(A, C ∪ D) ≤ ρ(A, C) và ρ(C, A ∪ B) ≤ ρ(C, A).

Suy ra max{ρ(A, C ∪ D), ρ(C, A ∪ B)} ≤ max{ρ(A, C), ρ(C, A)} =h(A, C)

Tương tự, ta có max{ρ(B, C ∪ D), ρ(D, A ∪ B)} ≤ h(B, D)

Vậy, ta có h(A ∪ B, C ∪ D) ≤ max{h(A, C), h(B, D)} 

Tổng quát kết quả của Bổ đề 1.1.7, ta có kết quả sau

1.1.8 Mệnh đề ([1]) Cho (X, d) là không gian mêtric và h là mêtric dorff trênK(X) Khi đó, ta có

1.1.9 Định nghĩa ([1]) Cho (X, d) là không gian mêtric và f : X → X.

(i) f được gọi là ánh xạ co Banach nếu tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho với mọi

được gọi làtoán tử fractal sinh bởi họ {Fi}mi=1

1.1.10 Mệnh đề ([1]) Cho không gian mêtric (X, d), {Ti}ni=1 là hệ hàm lặp trên X và ci, i = 1, 2, , n, là hệ số co Banach của ánh xạ co Ti tương ứng.

Khi đó, toán tử fractal sinh bởi hệ hàm lặp{Ti}ni=1 thỏa mãnh(T A, T B) ≤c.h(A, B)với c = max{c1, c2, , cn}và A, B ∈ K(X), tức T cũng là ánh xạ

co Banach.

Chứng minh Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với n = 1, ta có

h(T (A), T (B)) = max{ρ(T (A), T (B)), ρ(T (B), T (A))} ≤ c.h(A, B)

Với n = 2, theo Bổ đề 1.1.7, và Mệnh đề 1.1.9(ii), ta có

h(T (A), T (B)) = h(T1(A) ∪ T2(A), T1(B) ∪ T2(B))

≤ max{h(T1(A), T1(B)), h(T2(A), T2(B))}

≤ max{c1h(A, B), c2h(A, B)}

≤ max{c1, c2}h(A, B) = ch(A, B)

Bằng quy nạp ta có, với mọi A, B ∈ K(X) thì

h(T A, T B) ≤ c.h(A, B), c = max{c1, c2, , cn}

1.1.11 Định lí ([1]) Cho (X, d)là không gian mêtric đầy đủ, T : X → X là

ánh xạ co Banach Khi đó, luôn tồn tại duy nhất x0 ∈ X để T x0 = x0 và

x0 = lim

n→∞Tnx, trong đóx ∈ X tùy ý vàTnx = T (Tn−1x) với mọi n

1.1.12 Định lí ([1]) Giả sử (X, d)là không gian mêtric đầy đủ và{Ti}ni=1là

hệ hàm lặp của ánh xạ co Banach Khi đó, toán tử fractalT sinh bởi hệ hàm lặp{Ti}ni=1 có duy nhất tập bất biến A∗ ∈ K(X)nghĩa là T (A∗) = A∗ Hơn nữa, với bất kỳ dãy(Bn)n≥0trênK(X)được xác định bởiB1 = T (B), Bn+1 =

T (Bn), với mọi n = 1, 2, và B ∈ K(X) luôn hội tụ về A∗ theo mêtric Hausdorff trênK(X).

Chứng minh Theo Mệnh đề 1.1.3, do (X, d) là không gian mêtric đầy đủnên (K(X), h) cũng là không gian mêtric đầy đủ Theo Mệnh đề 1.1.10 thì T là

ánh xạ co Banach Do đó, theo Định lí 1.1.11 thì tồn tại duy nhất A∗ ∈ K(X)

4 ),

với mọix, y ∈ X Khi đó, {f1, f2, f3} là hệ hàm lặp gồm các ánh xạ co Banach

có cùng hệ số coc1 = c2 = c3 = 12 Tập bất biến qua hệ hàm lặp này là tam giácSierpinski với các đỉnh là (0, 0), (1, 0), (1,

√ 3

(i) ánh xạ F : X → K(X) được gọi là ánh xạ đa trị trên X.

(ii)ánh xạ đa trịF : X → K(X)được gọi làco đa trịnếu tồn tạiα ∈ [0, 1)

sao cho h(F a, F b) ≤ αd(a, b), với mọi a, b ∈ X, α được gọi là hằng số co của

F

(iii) x ∈ X được gọi là điểm bất động của ánh xạ đa trị F nếu x ∈ F x

(iv) x ∈ X được gọi là điểm bất động chặt của ánh xạ đa trị F nếu

{x} = F x Kí hiệu

FT = {x ∈ X : x ∈ T x};

SFT = {x ∈ X : T x = {x}}

Ta có SFT ⊂ FT

1.2.2 Bổ đề ([3]) Cho (X, d)là một không gian mêtric NếuT : X → K(X)

là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên thì với mỗiA ∈ K(X)ta cóF A = S

a∈A

F a ∈K(X).

1.2.3 Định nghĩa ([6]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric

(i) Cho F : X → K(X) là ánh xạ đa trị Khi đó, ánh xạ tập

TF : K(X) → K(X)

A 7→ TF(A) = [

a∈A

F a

được gọi làánh xạ tập đa trị kết hợp với F

(ii) Cho F1, F2, , Fm : X → K(X) là các ánh xạ đa trị Khi đó, ánh xạ

được gọi làtoán tử fractal đa trị sinh bởi họ {Fi}mi=1

(iii) Họ {Fi}mi=1 được gọi là hệ hàm lặp đa trịtrên X nếu mỗi Fi : X →K(X) là các ánh xạ co đa trị với i = 1, 2, , m

Tương tự như các định lí của ánh xạ đơn trị ta có kết quả sau đối với trườnghợp đa trị.

1.2.4 Định lí ([6]) NếuF : X → K(X) là các ánh xạ đa trị co với hệ số coα

thì ánh xạ tập kết hợp vớiF làTF cũng là ánh xạ co với hệ số co α, nghĩa là

h(TF(B), TF(C)) ≤ αh(B, C), với mọi B, C ∈ K(X).

Định lí sau là kết quả tương tự như nguyên lí ánh xạ co Banach đối với ánhxạ đa trị Đây là kết quả đầu tiên về ánh xạ đa trị được Nadler chứng minh năm1969([7]).

1.2.5 Định lí ([7]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ Nếu F : X →K(X)là ánh xạ co đa trị thì F có điểm bất động.

Chứng minh. Giả sử α ∈ [0, 1) là hệ số co củaF (ta giả sử rằng α > 0)vàlấyp0 ∈ X Lấy p1 ∈ F (p0) Vì F (p0), F (p1) ∈ K(X) và p1 ∈ F (p0) nên tồntại p2 ∈ F (p1) sao cho

với mọii ≥ 1 Vì thế, với mọi i, j ≥ 1, ta có

d(pi, pi+j) ≤ d(pi, pi+1) + d(pi+1, pi+2) + + d(pi+j−1, pi+j)

≤ αid(p0, p1) + i.αi+ αi+1d(p0, p1) + (i + 1).αi+1+ + αi+j−1d(p0, p1) + (i + j − 1).αi+j−1

pi ∈ F (pi−1) với mọi i, kéo theo x0 ∈ F (x0) Định lí được chứng minh. 

1.2.6 Định lí ([6]) Cho (X, d) là không gian mêtric và F1, , Fm : X →K(X)là các ánh xạ co với cùng hệ số coα Khi đó, toán tử fractal T sinh bởi

hệ hàm lặp đa trị{F1, , Fm}được xác định như trong Định nghĩa 1.2.3(ii)

1.2.7 Định lí ([6]) Nếu (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và F1, , Fm :

X → K(X) là các ánh xạ co đa trị Khi đó, toán tử fractal T sinh bởi hệ

chương 2

Về sự tồn tại tập bất biến của toán tử Fractal

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kết quả về sự tồn tại điểm bất

động của các ánh xạ co kiểu C´iri´c đối với ánh xạ đơn trị và đa trị và sự tồn tạitập bất biến qua toán tử fractal sinh bởi các ánh xạ đa trị, co kiểu C´iric´

2.1 Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đơn trị và đatrị co kiểuC´iriC´

Cho (X, d) là không gian mêtric, ký hiệu

D(A, B) = inf{d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B};

BN (X) = {A : ∅ 6= A ⊂ X, δ(A) < +∞}

2.1.1 Định nghĩa ([2]) Cho (X, d) là không gian mêtric

i)Một ánh xạT : X → X được gọi làtựa co(coC´iri´c) nếu tồn tạiq ∈ [0; 1)

sao cho với mọix, y ∈ X, ta có

d(T x, T y) ≤ q max{d(x, y), d(x, T x), d(y, T y), d(x, T y), d(y, T x)}

ii) Với x ∈ X và T : X → X, ký hiệu

O(x, n) = {x, T x, , Tnx}, n = 1, 2,

O(x, ∞) = {x, T x, }

Một không gian (X, d) được gọi là T- quỹ đạo đầy đủ khi và chỉ khi mọidãy Cauchy trongO(x, ∞) đều hội tụ trong X

iii) Cho F : X → BN (X) là ánh xạ đa trị Khi đó, với x0 ∈ X dãy

{xn : xn ∈ F xn−1, n ∈ N}được gọi là một quỹ đạo của F tại x0

iv) Cho ánh xạ đa trị F : X → BN (X) Không gian (X, d) được gọi là

F-quỹ đạo đầy đủ nếu với mọi dãy Cauchy mà là dãy con của quỹ đạo của F

tại x, với x ∈ X, đều hội tụ trong X

2.1.2 Ví dụ ([5]) Cho (X, d) là không gian mêtric và T : X → X là ánh xạ

được xác định bởiT x = x0 với mọi x ∈ X và vớix0 ∈ X Khi đó(X, d) là mộtlớp các không gian T- quỹ đạo đầy đủ

2.1.3 Bổ đề ([2]) Cho T là ánh xạ tựa co trên không gian mêtric X và n là

số nguyên dương bất kỳ Khi đó với mỗix ∈ X và với mọi số nguyên dương

i, j, với i, j ∈ {1, 2, , n}ta có d(Tix, Tjx) ≤ q.δ[O(x, n)].

Chứng minh Giả sử x ∈ X tùy ý, cho nlà số nguyên dương bất kỳ và cho

i, j ∈ {1, 2, , n} Khi đó Ti−1x, Tix, Tj−1x, Tjx ∈ O(x, n), ở đây ta hiểu là

Chứng minh Với x ∈ X tùy ý, ta luôn có

2.1.5 Định lí ([2]) Cho T là ánh xạ tựa co trên không gian mêtric X và cho

X làT-quỹ đạo đầy đủ Khi đó

i) T có một điểm bất động duy nhấtu trongX,

ii) lim

n→∞Tnx = u, và

iii) d(Tnx, u) ≤ 1−qqn d(x, T x) với mọix ∈ X, n ∈ N.

Chứng minh Chox là một điểm tùy ý củaX Ta sẽ chỉ ra rằng dãy {Tnx}

Theo (?), tồn tại một số nguyên k1, 1 ≤ k1 ≤ m − n + 1, sao cho

n qn = 0, suy ra {Tnx} là dãy Cauchy Lại vì,X là T-quỹ

đạo đầy đủ, nên {Tnx} có giới hạn là u trong X

Để chứng minh rằng T u = u, ta xét các bất đẳng thức sau đây

Vì lim

n→∞Tnx = u, nên d(u, T u) = 0, tức là u là một điểm cố định của T

Tính duy nhất được suy ra từ tính tựa co của T Như vậy, ta đã chứng minh

i) và ii), khi x là tùy ý Cho m tiến đến vô cùng trong (??), ta có được bất đẳng

Định lí sau là mở rộng kết quả về sự tồn tại điểm bất động cho ánh xạ đa trịtựa co trên không gian F-quỹ đạo đầy đủ

2.1.6 Định lí ([2]) Cho F : X → BN (X) là một ánh xạ đa trị trên không gian mêtricX và choX làF-quỹ đạo đầy đủ Nếu F thỏa mãn

(D) ρ(F x, F y) ≤ q max{d(x, y); ρ(x, F x); ρ(y, F y); D(x, F y); D(y, F x)}

vớiq < 1 và với mọi x, y ∈ X thì ta có các khẳng định sau.

(1) F có điểm bất động chặt duy nhất utrongX,

(2) với mỗi x0 ∈ X tồn tại một quỹ đạo {xn} của F tại x0 sao cho

≤ q.q−amax{qad(x, y); qaρ(x, F x); qaρ(y, F y); qaD(x, F y); qaD(y, F x)}

≤ q1−amax{d(x, y); d(x, T x); d(y, T y); d(x, T y); d(y, T x)}

Vậy, T là tựa co Rõ ràng u = T u do đó u ∈ F u Vì F thỏa mãn (D),

và u ∈ F u ta suy ra ρ(F u, F u) < q.ρ(u, F u) Điều này chỉ có thể xảy ra nếu

F u = {u} Vì thế, u ∈ X là một điểm bất động của T khi và chỉ khi u là một

điểm bất động của F Vì với mỗi x ∈ X dãy {Tnx} là một quỹ đạo của F tại

x, nên Định lí 2.1.6 được suy ra từ Định lí 2.1.5

Kết quả của Định lí 2.1.6 trong ([2])được Rus tổng quát như sau.

2.1.7 Định lí ([3]) Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ, T : X →

Từ Định lí 2.1.6 và Định lí 2.1.7, một câu hỏi đặt ra là nếu ta thay D(x, T y)

và D(y, T x) bởi các giá trị δ(x, T y) và δ(y, T x) tương ứng trong các Định lí2.1.6 và 2.1.7 thì các kết quả của C´iric´còn đúng không?

Trả lời cho câu hỏi này, năm 2017, trong ([3]) Nguyễn Văn Dũng đã đưa rahai kết quả sau

2.1.8 Định lí ([3]) Cho(X, d) là một không gian mêtric đầy đủ vàT : X →

Pb(X)là một ánh xạ đa trị sao cho tồn tại q ∈ [0, 1)để

δ(T x, T y) ≤ q max{d(x, y), δ(x, T x), δ(y, T y), δ(x, T y), δ(y, T x)} (2.2)

với mọix, y ∈ X.

Khi đó, ta có các khẳng định sau

(1) FT = SFT = {x∗};