không gian vecto

Phần tử đối xứng của x là duy nhất... Đặt W là tập hợp các véc tơ gốc 0 trên đường thẳng a ∈ R2.Khiđó, KGVT R2có 2 KG con tầm thường và có vô số KG conkhông tầm thường dạng W... Định lý

Toán cao cấp 1

Chương 3 Không gian vectơ

TP Hồ Chí Minh, ngày 29 tháng 11 năm 2011

3.1.3 Tính chất của KGVT

Phần tử trung hòa 0 là duy nhất

Phần tử đối xứng của x là duy nhất

∀x ∈ V, 0x = 0

∀x ∈ V, −x = (−1)x

∀x ∈ V, k ∈ R, kx = 0 ⇒ hoặc k = 0 hoặc x = 0

3.1.4 Kh«ng gian vÐc t¬ con

§Þnh nghÜa

V lµ mét KGVT víi hai phÐp to¸n: céng vÐc t¬ vµ nh©n vÐc t¬ víi mét

sè thùc, W ⊂ V NÕu víi hai phÐp to¸n trªn, W còng lµ mét KGVT th×

W ®gl mét KG con cña V

§Þnh lý

V lµ mét KGVT, ∅ 6= W ⊂ V W lµ KG con cña V

⇔ ∀u, v ∈ W, ∀k ∈ R : u + v ∈ W vµ ku ∈ W

3.1.4 Kh«ng gian vÐc t¬ con

§Þnh nghÜa

V lµ mét KGVT víi hai phÐp to¸n: céng vÐc t¬ vµ nh©n vÐc t¬ víi mét

sè thùc, W ⊂ V NÕu víi hai phÐp to¸n trªn, W còng lµ mét KGVT th×

W ®gl mét KG con cña V

§Þnh lý

V lµ mét KGVT, ∅ 6= W ⊂ V W lµ KG con cña V

⇔ ∀u, v ∈ W, ∀k ∈ R : u + v ∈ W vµ ku ∈ W

nghiÖm cña hÖ th× W lµ mét kh«ng gian con cña Rn.ThËt vËy,

W ⊂ Rn :râ

W 6= ∅v× x = (0, , 0) ∈ W

∀x, y ∈ W, k ∈ R : A(x + y) = Ax + Ay vµ A(kx) = k(Ax) = 0,tøc x + y ∈ W, kx ∈ W

Đặt W là tập hợp các véc tơ gốc 0 trên đường thẳng a ∈ R2.Khi

đó, KGVT R2có 2 KG con tầm thường và có vô số KG conkhông tầm thường dạng W

k = (0, 0, 1)v×

xi + yj + zk = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1) = (x, y, z)

3.1.5 Tæ hîp tuyÕn tÝnh cña mét hä vÐc t¬

§Þnh nghÜa

V lµ mét KGVT, S = {x1, x2, , xn}lµ mét hä vÐc t¬ cña V BiÓuthøc c1x1+ c2x2+ · · · + cnxn ∈ V, ci ∈ R, lµ thtt c¸c vÐc t¬ cña hä S,hay thtt cña hä S

VÝ dô

VÐc t¬ (x, y, z) ∈ R3lµ mét thtt cña i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) vµ

k = (0, 0, 1)v×

xi + yj + zk = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1) = (x, y, z)

H·y biÓu diÔn vÐc t¬ (7, −1) thµnh thtt cña u = (2, 1) vµ

H·y biÓu diÔn vÐc t¬ (7, −1) thµnh thtt cña u = (2, 1) vµ

3.1.6 Không gian con sinh bởi một họ véc tơ

Mệnh đềSpan(S)là không gian con nhỏ nhất chứa được S của V, nghĩa là ∀

KG con W của V thỏa W ⊃ S thì W ⊃ Span(S)

3.1.6 Kh«ng gian con sinh bëi mét hä vÐc t¬

KG con W cña V tháa W ⊃ S th× W ⊃ Span(S)

3.1.6 Không gian con sinh bởi một họ véc tơ

Định nghĩa

V là một KGVT, S = {x1, x2, , xn}là một họ véc tơ của V Tập{x = c1x1+ c2x2+ ã ã ã + cnxn| ci ∈ R} := Span(S) gọi là bao tuyếntính của S

Định lý

Span(S)là một không gian con của V

Mệnh đề

Span(S)là không gian con nhỏ nhất chứa được S của V, nghĩa là ∀

KG con W của V thỏa W ⊃ S thì W ⊃ Span(S)

3.1.7 Hệ sinh của không gian véc tơ

⇒ x2= 2x1:một đường thẳng đi qua gốc tọa độ

Vậy họ S2chỉ sinh ra một đường thẳng đi qua gốc tọa độ màkhông sinh ra cả R2

3.1.7 Hệ sinh của không gian véc tơ

⇒ x2= 2x1:một đường thẳng đi qua gốc tọa độ

Vậy họ S2chỉ sinh ra một đường thẳng đi qua gốc tọa độ màkhông sinh ra cả R2

3.1.7 Hệ sinh của không gian véc tơ

⇒ x2= 2x1:một đường thẳng đi qua gốc tọa độ

Vậy họ S2chỉ sinh ra một đường thẳng đi qua gốc tọa độ màkhông sinh ra cả R2

3.1.7 Hệ sinh của không gian véc tơ

Định nghĩa

V là một KGVT, S = {x1, x2, , xn}là một họ véc tơ của V NếuSpan(S) = V,tức là ∀x ∈ V, x = c1x1+ c2x2+ ã ã ã + cnxn,thì ta nói họ

Ssinh ra V hay S là một hệ sinh của V

⇒ x2= 2x1:một đường thẳng đi qua gốc tọa độ

Vậy họ S2chỉ sinh ra một đường thẳng đi qua gốc tọa độ mà

Họ S3= {(1, 2), (1, 1)}có sinh ra R2không?

Span(S3) = {x = c1(1, 2) + c2(1, 1), ci∈ R} Kiểm tra

Span(S3) = R2?Lấy y = (y1, y2) ∈ R2bất kỳ, tìm c1, c2∈ R để có(y1, y2) = c1(1, 2)+c2(1, 1) = (c1+c2, 2c1+c2) ⇒

1 1

2 1

= −1 6= 0nên luôn có nghiệm

Vậy họ S3sinh ra R2(hay họ S3là một hệ sinh của R2)

Họ S3= {(1, 2), (1, 1)}có sinh ra R không?

Span(S3) = {x = c1(1, 2) + c2(1, 1), ci∈ R} Kiểm tra

Span(S3) = R2?Lấy y = (y1, y2) ∈ R2bất kỳ, tìm c1, c2∈ R để có

(y1, y2) = c1(1, 2)+c2(1, 1) = (c1+c2, 2c1+c2) ⇒

(

c1+ c2= y12c1+ c2= y2

Vậy họ S3sinh ra R2(hay họ S3là một hệ sinh của R2)

3.1.8 Họ véc tơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Định nghĩa

V là một KGVT, S = {α1, α2, , αn} ⊂ V.Xét điều kiện

c1α1+ c2α2+ ã ã ã + cnαn = 0, ci∈ R (1)Nếu (1) chỉ xảy ra khi c1= c2= ã ã ã = cn = 0thì ta nói họ S đltt

Nếu ∃ ci6= 0để (1) thỏa mãn thì ta nói họ S pttt

Ví dụ

Họ S1= {(1, 0), (0, 1)}là đltt trong R2

Họ S2= {(2, 1), (1, 1)}là đltt trong R2

Họ S3= {(4, 8), (3, 6)}là pttt trong R2

3.1.8 Họ véc tơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Định nghĩa

V là một KGVT, S = {α1, α2, , αn} ⊂ V.Xét điều kiện

c1α1+ c2α2+ ã ã ã + cnαn = 0, ci∈ R (1)Nếu (1) chỉ xảy ra khi c1= c2= ã ã ã = cn = 0thì ta nói họ S đltt.Nếu ∃ ci6= 0để (1) thỏa mãn thì ta nói họ S pttt

Ví dụ

Họ S1= {(1, 0), (0, 1)}là đltt trong R2

Họ S2= {(2, 1), (1, 1)}là đltt trong R2

Họ S3= {(4, 8), (3, 6)}là pttt trong R2

Cách nhận diện nhanh tính độc lập tuyến tính

3.2 Kh«ng gian vect¬ h÷u h¹n chiÒu

3.2.1 Kh¸i niÖm vÒ KGVT n chiÒu

C¸c kh«ng gian n chiÒu gäi lµ KG h÷u h¹n chiÒu

NÕu trong V cã thÓ t×m ®­îc mét sè bÊt k× c¸c vÐc t¬ ®ltt th× V lµ KGv« h¹n chiÒu

3.2 Kh«ng gian vect¬ h÷u h¹n chiÒu

3.2.1 Kh¸i niÖm vÒ KGVT n chiÒu

C¸c kh«ng gian n chiÒu gäi lµ KG h÷u h¹n chiÒu

NÕu trong V cã thÓ t×m ®­îc mét sè bÊt k× c¸c vÐc t¬ ®ltt th× V lµ KG

Ví dụ

•KGVT (R, +, ) có số chiều là 1 Chứng minh:

Lấy tùy ý hai số thực

a, bkhác 0 Khi đó họ {a} là đltt và họ {a, b} là pttt trong R Vì pt

ka = 0luôn có nghiệm k = 0, pt k1a + k2b = 0có vô số nghiệm

• dim Rn= n

Ví dụ

•KGVT (R, +, ) có số chiều là 1 Chứng minh: Lấy tùy ý hai số thực

a, bkhác 0 Khi đó họ {a} là đltt và họ {a, b} là pttt trong R Vì pt

ka = 0luôn có nghiệm k = 0, pt k1a + k2b = 0có vô số nghiệm

• dim Rn= n

3.2.2 C¬ së cña KGVT n chiÒu

§Þnh nghÜa

C¬ së cña 1 KGVT V chÝnh lµ tËp sinh ®ltt cña V

Trong KG n chiÒu V mäi hä gåm n vÐc t¬ ®ltt gäi lµ mét c¬ së cña V

NhËn xÐtCho hä S = {α1, α2, , αn}trong Rn Slµ 1 c¬ së cña Rn khi vµ chØkhi S ®ltt

VÝ dô 1

Hä {e1= (1, 0), e2= (0, 1)}lµ 1 c¬ së cña R2

Hä {e1= (1, 0, 0), e2= (0, 1, 0), e3= (0, 0, 1)}lµ 1 c¬ së cña R3

3.2.2 C¬ së cña KGVT n chiÒu

§Þnh nghÜa

C¬ së cña 1 KGVT V chÝnh lµ tËp sinh ®ltt cña V

Trong KG n chiÒu V mäi hä gåm n vÐc t¬ ®ltt gäi lµ mét c¬ së cña V

3.2.2 C¬ së cña KGVT n chiÒu

§Þnh nghÜa

C¬ së cña 1 KGVT V chÝnh lµ tËp sinh ®ltt cña V

Trong KG n chiÒu V mäi hä gåm n vÐc t¬ ®ltt gäi lµ mét c¬ së cña V.NhËn xÐt

Cho hä S = {α1, α2, , αn}trong Rn Slµ 1 c¬ së cña Rn khi vµ chØkhi S ®ltt

VÝ dô 1

Hä {e1= (1, 0), e2= (0, 1)}lµ 1 c¬ së cña R2

Hä {e1= (1, 0, 0), e2= (0, 1, 0), e3= (0, 0, 1)}lµ 1 c¬ së cña R3

3.3 Sè chiÒu vµ c¬ së cña kh«ng gian con sinh bëi mét hä vÐc t¬

3.3 Sè chiÒu vµ c¬ së cña kh«ng gian con sinh bëi mét hä vÐc t¬

VÝ dô

XÐt hä

S = {u1= (1, 3, 0), u2= (0, 2, 4), u3= (1, 5, 4), u4= (1, 1, −4)} ⊂ R3.T×m r(S)

VËy r(S) = 2

3.3.3 Sè chiÒu vµ c¬ së cña kh«ng gian con sinh bëi mét hä vÐc t¬

S = {u1= (1, 3, 0), u2= (0, 2, 4), u3= (1, 5, 4), u4= (1, 1, −4)}

Ta cã r(S) = 2 Theo ®lý trªn th× S sinh ra 1 KG con cña R3cã sèchiÒu b»ng 2 vµ {u1, u2}lµ 1 c¬ së

3.3.3 Số chiều và cơ sở của không gian con sinh bởi một họ véc tơ

Định lý

Cho V là 1 KGVT và họ véc tơ S = {u1, u2, , up} ⊂ V.Khi đóSpan(S)là 1 KG con của V,

3.4 Tích vô hướng

3.4.1 Định nghĩa

V là 1 KGVT và u, v ∈ V Tích vô hướng của u và v là một số thực, kí

hiệu là hu, vi, thỏa mãn các tính chất sau:

1 hu, vixác định với mọi u, v ∈ V

3.4 Tích vô hướng

3.4.1 Định nghĩa

V là 1 KGVT và u, v ∈ V Tích vô hướng của u và v là một số thực, kí

hiệu là hu, vi, thỏa mãn các tính chất sau:

1 hu, vixác định với mọi u, v ∈ V

3.4 Tích vô hướng

3.4.1 Định nghĩa

V là 1 KGVT và u, v ∈ V Tích vô hướng của u và v là một số thực, kíhiệu là hu, vi, thỏa mãn các tính chất sau:

1 hu, vixác định với mọi u, v ∈ V

3.4.2 Độ dài của véc tơ

V là 1 KG có tích vô hướng và u ∈ V Biểu thức

||u|| :=phu, uigọi là độ dài (chuẩn) của véc tơ u

Ví dụ Trong Rn, u = (u1, u2, , un)ta có

||u|| =q

3.4.2 Độ dài của véc tơ

V là 1 KG có tích vô hướng và u ∈ V Biểu thức

||u|| :=phu, uigọi là độ dài (chuẩn) của véc tơ u

Ví dụ Trong Rn, u = (u1, u2, , un)ta có

||u|| =q

u2+ u2+ ã ã ã + u2

n

gọi là độ dài (chuẩn) Euclid của u ∈ Rn

Véc tơ u có ||u|| = 1 gọi là véc tơ đã chuẩn hóa Chẳng hạn

u1= (0, −√1 ,√1 ), u2= (√1 ,√1 ,√1 )là các véc tơ đã chuẩn hóa

3.5 Tọa độ trong không gian n chiều

3.5 Tọa độ trong không gian n chiều

3.5.1 Định nghĩa

V là KG n chiều, S = {v1, v2, , vn} ⊂ V là 1 cơ sở Khi đó

∀ v ∈ V, ∃! (c1, c2, , cn) ∈ Rnsao cho

v = c1v1+ v2c2+ ã ã ã + vncn.Các số c1, c2, , cn gọi là các tọa độ của v đối với cơ sở S

(v)S = (c1, c2, , cn)gọi là véc tơ tọa độ của v đối với cơ sở S

[v]S=



c1

c2

cn



∈ Mnì1gọi là ma trận tọa độ của v đối với cơ sở S

3.5 Tọa độ trong không gian n chiều

3.5.1 Định nghĩa

V là KG n chiều, S = {v1, v2, , vn} ⊂ V là 1 cơ sở Khi đó

∀ v ∈ V, ∃! (c1, c2, , cn) ∈ Rnsao cho

v = c1v1+ v2c2+ ã ã ã + vncn.Các số c1, c2, , cn gọi là các tọa độ của v đối với cơ sở S.(v)S = (c1, c2, , cn)gọi là véc tơ tọa độ của v đối với cơ sở S.[v]S=

3.6 Bài toán đổi cơ sở

Hãy tìm mối liên hệ giữa [v]Bvà [v]B 0

P kh¶ nghÞch,

P−1 lµ ma trËn chuyÓn c¬ së tõ B0sang B : [v]B 0= P−1.[v]B

Hướng dẫn

a Đặt [v1]B=c1

c2

, [v2]B =d1

d2



2

0

.Lập ma trận

P =[v1]B [v2]B =13/10 −1/2



= P (B → B0)

Hướng dẫn

b Đặt [w]B =m

n

, [w]B 0 =k

l



Ta có w = mu1+ nu2, w = kv1+ lv2.Giải hệ pt này ta được

m = −17/10, n = 8/5, k = −4, l = −1

Vậy [w]B =−17

10 8

5

, [w]B 0 =−4

−7



Bài tập chương 3.

Hä S = {u1= (1, 3, 3), u2= (1, 3, 4), u3= (6, 2, 1)}lµ 1 c¬ së cña R C1: KiÓm tra hä S ®ltt.

3.2 Không gian vectơ hữu hạn chiều

3.2.1 Khái niệm KGVT n chiều

Các không gian n chiều gọi KG hữu hạn chiều

Nếu V tìm số... 35

3.2 Không gian vectơ hữu hạn chiều

3.2.1 Khái niệm KGVT n chiều

Các không gian n chiều gọi KG hữu hạn chiều

Nếu V tìm số... data-page="63">

3.5 Tọa độ không gian n chiều

3.5 Tọa độ không gian n chiều

3.5.1 Định