Nội dung---III - Tổng và giao của hai không gian con... Tọa độ của véctơ ---Ý nghĩa của toạ độ véctơ.. Tất cả các vectơ của V đều biễu diễn qua E dưới dạng tọa độ.. Theo tính chất của t
Trang 1Trường ĐH Bách khoa tp Hồ Chí Minh
Khoa Khoa học ứng dụng - Bộ mơn Tốn ứng dụng
-Đại số tuyến tính
Chương 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ (tt)
• Giảng viên TS Đặng Văn Vinh
Trang 2Nội dung -
III - Tổng và giao của hai không gian con.
Trang 3I Toạ độ của véctơ -
Cho E ={e 1 , e 2 , …, e n } là cơ sở sắp thứ tự của K-kgvt V
Định nghĩa toạ độ của véctơ
1 1 2 2
x x e x e x e n n
1 2 [ ] E
n
x x x
Trang 4I Tọa độ của véctơ
Trang 5I Tọa độ của véctơ
Trang 6I Tọa độ của véctơ
Trang 7I Tọa độ của véctơ
n
y y y
n
x x x
3 [ ] E
n
x x x
Trang 8I Tọa độ của véctơ
-Ý nghĩa của toạ độ véctơ.
Trong khơng gian n chiều V cho một cơ sở
E ={e 1 , e 2 , …, e n }.
Tất cả các vectơ của V đều biễu diễn qua E dưới dạng tọa độ.
Hai phép tốn cơ bản: cộng hai vectơ và nhân vectơ với một
số, và sự bằng nhau trong V cĩ thể phức tạp.
Theo tính chất của tọa độ, ta thấy các phép tốn này giống hồn tồn trong R n
Suy ra cấu trúc của khơng gian vectơ V hồn tồn giống R n
Chứng minh được V và R n đồng cấu với nhau, vậy nên trong nghiên cứu ta đồng nhất V và R n
Tất cả các khơng gian n chiều đều coi là R n
Trang 9I Tọa độ của véctơ
Trang 11II Khoâng gian con
-Tập con khác rỗng F của K-kgvt V là không gian con của V
khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây thỏa.
1 f g , F : f g F
2 f F , K : f F
Định lý
Trang 12II Khoâng gian con
- ( , 1 2 , 3 ) 3 | 1 2 2 3 0
F x x x R x x x
Ví dụ
1 Chứng tỏ F là không gian con của R 3
2 Tìm cơ sở và chiều của F.
Suy ra E { (1,0,1);(0,1, 2) } là tập sinh của F.
Kiểm tra thấy E độc lập tuyến tính Vậy E là cơ sở của F.
Trang 13II Khoâng gian con
1 Chứng tỏ F là không gian con của P 2 [x].
2 Tìm cơ sở và chiều của F.
Giải câu 2 p x ( ) ax 2 bx c F p (1) 0 & p (2) 0
Suy ra E { x 2 3 x 2 } là tập sinh của F.
Hiển nhiên E độc lập tuyến tính Vậy E là cơ sở của F.
Trang 14II Khoâng gian con
1 Chứng tỏ F là không gian con M 2 [R]
2 Tìm cơ sở và chiều của F.
Trang 15II Khoâng gian con
Trang 16II Không gian con
hạng M = hạng M thêm vectơ x
Kgian con <M>
Chiều kgian con M = hạng M
Trang 17II Khoâng gian con
-Cho F (1,1,1);(2,1,1);(3,1,1)
Tìm cơ sở và chiều của F.
Ví dụ
Trang 18II Khoâng gian con
-Cho F x 2 x 1, 2 x 2 3 x 1, x 2 2 x 2
Tìm cơ sở và chiều của F.
Ví dụ
Trang 19II Khoâng gian con
-Ví dụ
2
, 2
Trang 20II Khoâng gian con
Trang 21II Khoâng gian con
-Cho x (1, 2,3); M {(1,1,1);(2,1, 0);(3, 1,3)}
x có thuộc không gian con sinh ra bởi M?
Ví dụ
Trang 22II Khoâng gian con
Trang 23III Tổng và giao của hai không gian con
-Cho F và G là hai khơng gian con của K-kgvt V.
Giao của hai khơng gian con F và G là tập hợp con của V, ký hiệu bởi
Định nghĩa giao của hai khơng gian con
Trang 24III Tổng và giao của hai không gian con
-2.
Định lý
1 F G & F G là hai khơng gian con của V.
dim( F G ) dim( ) F dim( ) dim( G F G )
Kết quả
F G F F G V
F G G F G V
Trang 25III Tổng và giao của hai không gian con
-Các bước để tìm khơng gian con F+G
1 Tìm tập sinh của F Giả sử là {f 1 , f 2 , …, f n }
3 F G f , f , , f n , g g , , , g n
2 Tìm tập sinh của G Giả sử là {g 1 , g 2 , …, g n }
Trang 26III Tổng và giao của hai không gian con
1 Tìm cơ sở và chiều của
2 Tìm cơ sở và chiều của F G
Trang 27III Tổng và giao của hai không gian con
3 2
x x x
a a a
ï ïï
ïï = ïỵ
Trang 28III Tổng và giao của hai không gian con
Trang 29III Tổng và giao của hai không gian con
1 Tìm cơ sở và chiều của
2 Tìm cơ sở và chiều của F G
Trang 30III Tổng và giao của hai không gian con
x
Þ E = { (1,3, 2) } là tập sinh của F Ç G
vì E độc lập tuyến tính Vậy E là cơ sở
Trang 31III Tổng và giao của hai không gian con
1 Tìm cơ sở và chiều của
2 Tìm cơ sở và chiều của F G
Trang 32III Tổng và giao của hai không gian con
1 Tìm cơ sở và chiều của
2 Tìm cơ sở và chiều của F G
Trang 33III Tổng và giao của hai không gian con
F p x P x p
1 Tìm cơ sở và chiều của
2 Tìm cơ sở và chiều của F G
2 { ( ) [ ] | ( 1) 0}
G p x P x p