CHUỖI lũy THỪA

CHUỖI LŨY THỪA... và phân kỳ bên ngoài gọi là bán kính >0 hội tụ của chuỗi... 1: chuỗi trở thành phân kỳ... Tính chất của chuỗi lũy thừa... Chú ý 1.Chuỗi lũy thừa liên tục trên miền xác

CHUỖI LŨY THỪA

ĐỊNH NGHĨA Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng:

0 1

( ) ,n

n n

a x x







 a n R là giá trị cho trước

Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là tập hợp:

0 1

Nếu hội tụ tại thì hội tụ tuyệt đối trong

x

n n

a x x

và phân kỳ bên ngoài gọi là bán kính

>0

hội tụ của chuỗi

n n

R R,  gọi là khoảng hội tụ của chu i.ỗ

Vậy nếu đã biết BKHT thì miền hội tụ của

chuỗi chỉ cần xét thêm tại R

Trường hợp chuỗi tổng quát

0 1

( )n

n n

và phân kỳ bên ngoài gọi là bán kính hội tụ của chuỗi

Lưu ý 1.Có thể tính bán kính hội tụ như sau:

1

1lim hay lim n

2 Trường hợp R = 0 hay R = , không được gọi là bán kính hội tụ nhưng có thể gọi tạm cho dễ sử dụng

1: chuỗi trở thành phân kỳ

1

( !)(2 )!

2 / Tìm bán kính hội tụ: n

n

n

x n

n

n a

2 1

( 1)

2

3 / Tìm miền hội tụ n

n n

x n

n n

Điều kiện hội tụ: 3 1 8 2

Tính chất của chuỗi lũy thừa

Chú ý 1.Chuỗi lũy thừa liên tục trên miền xác định

2.Trong khoảng hội tụ, đạo hàm (tích phân) của tổng chuỗi bằng chuỗi đạo hàm (tích

n n

x x



2)





x x



, 1,11

n n

( 1)( )

2 1

n n n

( 1) 13

2 1 3

n n

63



 

   

 

Nhận xét: vì chuỗi đạo hàm của chuỗi lũy thừa

có cùng khoảng htụ với chuỗi ban đầu nên

tổng chuỗi lũy thừa là hàm khả vi vô hạn trong khoảng htụ

0 0 1 0

0 2

( )

0

( ), ( )( )

a f x a f x

f x a

f x a

Định nghĩa

Cho hàm f khả vi vô hạn trong lân cận x0

khi đó, chuỗi Taylor của f trong lân cận này là

( )

0

0 0

f x

x x n

n k

 

( )

0

0 0

n k

Định lý Nếu f khả vi vô hạn trong lân cận x0 và tồn tại

Yêu cầu của 1 bài khai triển chuỗi

1.Vận dụng được chuỗi Maclaurin cơ bản 2.Viết được dạng chuỗi lũy thừa theo (x-x0)n với hàm f cho trước

3.Chỉ ra miền hội tụ của chuỗi tìm được,

đó chính là miền mà hàm f được khai triển thành chuỗi Taylor

Chuỗi Maclaurin cơ bản

x x

n n n

x x

n

x e

2 1

0

2 0

n

n n

n

x x

n

x x

4 / ln(1 ) ( 1) ,

n n

n

x x

6 / arctan ( 1) ,

2 1 1,1

n n

n

D

x x

( 1)

4

n n

n

X n

1 1

( 1)

4

n n

1 1

n

x n

x   

với

2 / Tìm chuoãi Maclaurin : f x( )  ln(1 x 2x )

1( ) ln 2( 1) ln(1 )(1 2 )

( )( 1)

n n

n

x n

n n

n

x n

3 / Tìm chuoãi Maclaurin : f x( )  ex (1 x)

0

( )( ) (1 )

!

n n

( 1) ( 1)(1 )

( 1) ( 1)1

! ( 1)!

n n

n x n







( )

x x

2 1

1.3.5 (2 1)( ) 1 ( 1)

2 !

n n

1.3.5 (2 1)( 1)

2 !(2 1)

n n

Các ví dụ về tính tổng

2 1

2

1( 1)!

n n

e n

2

( 1)!

n n

e n

2

!

n n

e n

1 1

1 1( 1)

3

n n

n n

1 1

( 3

.5

( 2)/

n

n n