ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 . HÀ NỘI 2020.2021

Qua điểm B, kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng BI, cắt đường thẳng AI tại điểm J.. Gọi P là hình chiếu vuông góc của điểm J trên đường thẳng BC.. Năm điểm phân biệt được đặt tùy ý

Trang 1

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 – HÀ NỘI 2020-2021

BỘ 20 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

HÀ NỘI – 2020-2021

Trang 2

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2021

Q= a b+ + b c+ + c a+

Bài 4 (6.0 điểm) Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác nhọn ABC (AB < AC) Đường tròn

(I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA lần lượt tại điểm D, E Qua điểm B, kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng BI, cắt đường thẳng AI tại điểm J Gọi P là hình chiếu vuông góc của điểm J trên đường thẳng BC.

a) Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn 3x +2y = +1 2 z

b) Cho một hình chữ nhật có diện tích bằng 1 Năm điểm phân biệt được đặt tùy ý vào

hình chữ nhật sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng (mỗi điểm trong năm điểm đó

có thể đặt được đặt trên cạnh hoặc đặt nằm trong hình chữ nhật).

i) Chứng minh rằng mọi tam giác tạo bởi ba điểm trong năm điểm đã cho đều có diện

tích không vượt quá

12

.

Trang 3

ii) Với mỗi cách đặt năm điểm vào hình chữ nhật như trên, gọi n là số tam giác có ba

đỉnh là ba điểm nằm trong năm điểm đó và diện tích không vượt qua

14

Tìm giá trị nhỏ nhất của n.

LỜI GIẢI VÀ BÌNH LUẬN CÁC BÀI TOÁN Bài 1 (5.0 điểm).

Trang 4

Với mọi số nguyên x, ta có x chia 3 dư 0, 1 hoặc 2 nên

6

a b a

a b c= = =

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức Q là

4108

Trang 5

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q Từ giả thiết, ta có

, ta còn có hai cách tiếp cận khác như sau

Cách 1 Không mất tính tổng quát, giả sử a b c≥ ≥

và(c a c b+ ) ( + ) ≥c2

, ta có

2 2

Bài 4 (6.0 điểm) Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác nhọn ABC (AB < AC) Đường tròn

(I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA lần lượt tại điểm D, E Qua điểm B, kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng BI, cắt đường thẳng AI tại điểm J Gọi P là hình chiếu vuông góc của điểm J trên đường thẳng BC.

a) Chứng minh rằng BD = CP.

Trang 6

b) Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng AJ và BC Chứng minh rằng:

Hoặc lấy trung điểm M của IJ, khi đó MB = MC, MD = MP nên BD = CP.

b) Tính chất của hàng điểm điều hòa (kiến thức lớp 10)

Có : BI, BJ là phân giác trong, ngoài tam giác ABN suy ra

Trang 7

a) Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn 3x +2y = +1 2 z

b) Cho một hình chữ nhật có diện tích bằng 1 Năm điểm phân biệt được đặt tùy ý vào

hình chữ nhật sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng (mỗi điểm trong năm điểm đó

có thể đặt được đặt trên cạnh hoặc đặt nằm trong hình chữ nhật).

i) Chứng minh rằng mọi tam giác tạo bởi ba điểm trong năm điểm đã cho đều có diện

tích không vượt quá

12

.

ii) Với mỗi cách đặt năm điểm vào hình chữ nhật như trên, gọi n là số tam giác có ba

đỉnh là ba điểm nằm trong năm điểm đó và diện tích không vượt qua

14

Tìm giá trị nhỏ nhất của n.

Trang 8

với l nguyên dương.

Thử lại, ta thấy thỏa mãn

Vậy có hai bộ số (x, y, z) thỏa mãn yêu cầu là (1, 1, 2) và (2, 3, 4)

Trang 9

b) i) Trước hết, ta chứng minh kết quả sau: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích

S Xét ba điểm E, F, G không thẳng hàng thuộc miền mặt phẳng giới hạn bởi hình

chữ nhật ABCD Khi đó

12

EFG

S ≤ S

Qua ba điểm E, F, G kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB Trong cácđường thẳng này, có một đường thẳng nằm giữa hoặc trùng với một trong hai đường thẳng kia Không mất tính tổng quát, giả sử đó là đường thẳng d qua điểm

F Khi đó, đường thẳng d sẽ cắt đoạn thẳng EG tại điểm P nào đó Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của đường thẳng d và hai đường thẳng AB, CD Khi đó, ta có

Trong đó d(X, ZT) được ký hiệu là khoảng cách từ điểm X đến đường thẳng ZT

Từ kết quả vừa chứng minh trên, ta dễ dàng suy ra điều phải chứng minh

ii) Trước hết, ta sẽ chứng minh n≥2

Thật vậy, giả sử n≤1

Gọi hình chữ nhật đã cho là hình chữ nhật ABCD Chia hình chữ nhật ABCD thành bốn hình chữ nhật nhỏ bằng nhau AMRQ, BMRP, CPRN, DQRN như hình vẽ bên dưới

Xét hai hình chữ nhật AMND và BMNC Ta thấy mỗi điểm trong năm điểm đã cho thuộc một trong hai miền mặt phẳng giới hạn bởi hai hình chữ nhật này Do đó, có

ba điểm thuộc cùng một hình chữ nhật Không mất tính tổng quát, giả sử ba điểm

đó là H, K, S và chúng cùng thuộc hình chữ nhật AMND

Xét hai hình chữ nhật AMRQ và DQRN Ta thấy mỗi điểm trong ba điểm H, K, S sẽ thuộc một trong hai miền mặt phẳng giới hạn bởi hai hình chữ nhật này Do đó, cóhai điểm thuộc cùng một hình chữ nhật Không mất tính tổng quát, giả sử hai điểm đó là H, K và chúng cùng thuộc hình chữ nhật AMRQ

Trang 10

S ≤

Suy ra n≥2

, mâu thuẫn Do đó, cả hai điểm V và W phải nằm trong hình chữ nhật CPRN

Nếu S thuộc một trong hai hình chữ nhật DQRN và BMRP thì bằng cách sử dụng

kết quả đã chứng minh ở phần i) ta có

14

mâu thuẫn Vậy ta phải có n≥2

Mặt khác, ta có n = 2 được thỏa mãn trong trường hợp sau:

Trang 11

Vậy giá trị nhỏ nhất của n là 2.

Bình luận: Bài 5a) là một sự tương tự hóa của bài số học trong đề chọn đội tuyển Việt

Nam dự thi IMO 2019: Tìm tất cả số nguyên dương x, y, z thỏa mãn 7x +2y = +1 2 z

Trường hợp đặc biệt của bài toán cũng đã được sử dụng làm đề chọn đội tuyển

Đại học Vinh tham dự kì thi học sinh giỏi Quốc gia 2019: Tìm tất cả các số nguyên

dương x, y, z thỏa mãn: 1 2 3 2.4

+ = +

Trang 12

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN ĐỐNG ĐA

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi: 14/11/2020

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn abc=1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

, dựng hai hình vuông AMCD và BMEF

Gọi giao điểm của đường thẳng

AE

và BC là điểm N , giao điểm của đường thẳng AC và BE

là P

.a) Chứng minh bốn điểm A N P B, , , cùng thuộc một đường tròn

Trang 13

thì tổng diện tích của 5 mặt nhìn thấy được là

Trang 14

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ HSG TOÁN 9 QUẬN ĐỐNG ĐA

Trang 15

2 2

2( 1)(6 ) 2( 1)(6 ) 4

Trang 17

(x y x y) ( )

chia hết cho 4, mà 8 10

z+

không chia hết cho 4 Nên z≥1

không thể xảy ra

Vậy bộ số nguyên (x, y, z)

là (6,5,0 ; 6, 5, 0 ; 12, 1,0 ;) ( − ) (− − ) (−12,11,0)

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn abc=1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Dấu “ =” xảy ra khi a b c= = =1

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là

12 khi a b c= = =1

, dựng hai hình vuông AMCD và BMEF

Gọi giao điểm của đường thẳng

AE

và BC là điểm N , giao điểm của đường thẳng AC và BE

là P

.a) Chứng minh bốn điểm A N P B, , , cùng thuộc một đường tròn

Trang 18

a) Chứng minh bốn điểm A N P B, , , cùng thuộc một đường tròn.

Hình vuông AMCD có đường chéo AC, suy ra

vuông cân ở P

, suy ra AP⊥BE.

Xét tam giác EAB

có AP EM, là các đường cao và cắt nhau tại C,suy ra C là trực tâm tam giác EAB

MNF MEF= =

hay MN⊥DF

.Xét tam giác DMF

Trang 19

Ta có tứ giác ENCP nội tiếp vì

Mặt khác tứ giác MNEF nội tiếp, suy ra

MNF MEF= =

hay MN ⊥DF

.Xét tam giác DMF

thì tổng diện tích của 5 mặt nhìn thấy được là

2

( )

a cm

Trang 20

(minh họa bằng hình vẽ bên) Tìm giá trị nhỏ nhất của a

Lời giải

Gọi các kích thước của hình hộp chữ nhật đó là x y z, ,

Từ giả thiết, ta có a=xyz=2z x y( + )+xy⇔xy z( − =1) 2z x y( + )⇒ ≥z 2

Ta có xy z( − =1) 2z x y( + ≥) 4z xy ( )

3 2

16

108

1

z xyz

Trang 21

UBND HUYỆN GIA LÂM

ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2020-2021

x

x x

là một điểm nằm trong hình chữ nhật ABCD sao cho PA=3cm,

4 , 5

PD= cm PC= cm

Tính độ dài đoạn thẳng PB

bệnh nhân Biết rằng nhiệt độ trung bình của các bác sĩ khác với nhiệt độ trung bình của các bệnh nhân, nhưng trung bình của hai số này bằng nhiệt độ trung bình của tất cả các bệnh nhân và các bác sĩ trong khu điều trị Hỏi bác sĩ nhiều hơn hay số bệnh nhân nhiều hơn

2 2

2tanx ab

Trang 22

Câu 9 (2.0 điểm) Cho các số dương a b c, , thỏa mãn điều kiện a b c+ + =2020

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1 (2.0 điểm) Cho đa thức f x( ) =x3+ax2+bx c+

Trang 23

x

x x

.b) ĐK: x≠1

x

x x

Trang 24

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = ∅

Trang 25

Trang 26

Câu 6 (2.0 điểm) Cho P

là một điểm nằm trong hình chữ nhật ABCD sao cho3cm, 4cm, 5cm

bệnh nhân Biết rằng nhiệt độ trung bình của các bác sĩ khác với nhiệt độ trung bình của các bệnh nhân, nhưng trung bình của hai số này bằng nhiệt độ trung bình của tất cả các bệnh nhân và các bác sĩ trong khu điều trị Hỏi bác sĩ nhiều hơn hay số bệnh nhân nhiều hơn

Trang 27

Nhiệt độ trung bình của bệnh nhân là y

Vậy số bác sỹ và số bệnh nhân bằng nhau

2 2

2tanx ab

Câu 9 (2.0 điểm) Cho các số dương a b c, , thỏa mãn điều kiện a b c+ + =2020

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 28

a b c= = =

Vậy

2020min 2020 5

Lời giải

Ta đã biết số chính phương hoặc chia hết cho 4

hoặc chia cho 4

dư 1.Xét tập S ={ , , }a b c

thỏa yêu cầu

Trang 29

Suy ra b

là số chẵn (mâu thuẫn với b

lẻ)

Trang 30

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẬN LONG BIÊN

KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 2

P= +a b b c c a+ + abc

chia hết cho 12

2) Có tồn tại hay không 3 số nguyên x y z, , thỏa mãn điều kiện:

Tìm GTNN của biểu thức:

20212

2

BC

Trang 31

2) Chứng minh BH = AC

.cot·ABC

3) Gọi M là trung điểm của BC Đường thẳng qua A

hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số mới

QUẬN LONG BIÊN

KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 2

Chứng minh rằng:

x + + =y z xyz

.3) Cho các số nguyên a b c, , thoả mãn điều kiện:

(a b− ) + −(b c) + −(c a) =378

.Tính giá trị của biểu thức A= − + − + −|a b| |b c| |c a|

t= x − x+ t≥ ⇒x − x+ =t

ĐKXD: x∈¡

.Phương trình trờ thành:

2

2t=3t −1

Trang 32

P= +a b b c c a+ + abc

chia hết cho 12

, ,

x y z

Trang 33

Biến đổi phương trình thành: (x3− +x) ( y3− +y) (z3− =z) 2020

Mà 2020 3M /

.Vậy không tồn tại ba số nguyên x y z, ,

thỏa mãn điều kiện:

Trang 34

436(2 ) 24

2

BC

Trang 35

2) Chứng minh BH = AC

.cot·ABC

3) Gọi M là trung điểm của BC Đường thẳng qua A

vuông góc với AM

cắt đường thẳng BD

2

BC

Xét tam giác: ∆BHK

Trang 36

Câu 5. (1,0 điểm).Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 sau đó thực

hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số mới

Lúc đầu tồng S =5050

sau 99 bước số còn lai sẽ là 5050 2.99 4852− =

 HẾT 

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP QUẬN

QUẬN NAM TỪ LIÊM MÔN TOÁN 9 - NĂM HỌC: 2020 - 2021

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Trang 37

1 Cho m+5;n−2;p+2020

là các số nguyên cùng chia hết cho 6 Chứng minh rằng:

4q 3

m n p+ + + +

cũng chia hết cho 6 (q là số tự nhiên)

2 Cho a b c d, , , là các số nguyên thỏa mãn

Bài 5 (1,0 điểm) Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một

trong 3 màu xanh, đỏ, tím Chứng minh khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân có 3đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó có cùng một màu hoặcđôi một khác màu

HẾT

ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP QUẬN

QUẬN NAM TỪ LIÊM MÔN TOÁN 9 - NĂM HỌC: 2020 - 2021 Bài 1 (5,0 điểm)

Trang 39

Trang 40

2 Cho a b c d, , , là các số nguyên thỏa mãn

Trang 41

2 2

217

( )5

≥)

Trang 42

4 3 4 3

05

2( )73( )4

Lời giải

Trang 43

Trang 45

32

Lời giải

Xét ngũ giác đều ABCDE, ta nhận thấy ba đỉnh bất kì của ngũ giác luôn tạo thành một tamgiác cân

Do đó khi tô 5 đỉnh bởi đủ 3 loại màu đã cho thì tồn tại 2 khả năng:

- Nếu tô 5 đỉnh bởi đủ ba loại màu đã cho thì tồn tại 3 đỉnh có màu khác nhau và tạo thành một tam giác cân

- Nếu tô 5 đỉnh bởi nhiều nhất 2 màu thì có ít nhất 3 đỉnh cùng màu và tạo thành một tam giác cân

Vậy, luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3đỉnh của tam giác đó có cùng một màu hoặc đôi một khác nhau

Trang 46

PHÒNG GD VÀ ĐT QUẬN BA ĐÌNH

ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2019-2020 MÔN: TOÁN 9

Đề số 6

Câu 16.

a) Cho

11

c) Chứng minh CF ⊥BE.

Trang 47

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác OMBN .

1

a) Cho

11

Trang 48

x≥) (2 1 1) 2 1 2 1

Trang 49

TH2: 2x− = ⇒ =1 1 x 1 ( Thỏa mãn điều kiện)

Vậy x=1 là nghiệm của phương trình

Trang 51

Ta có: MON· =MOB BON· +· =·NOC BON+· =BOC· = °90

Suy ra ∆MON vuông cân tại O.

b) AN cắt DC tại E, ON bắt BE tại F Tìm vị trí M N, để các tứ giác ABEC MBFN, là hình bình hành.

* Tứ giác ABEC là hình bình hành ⇔NB NC NA NE= ; = .

Trang 52

+) Khi NB NC= thì ∆ABN = ∆CNE g c g( − − ) ⇒NA NE=

+) Khi NB NC= thì ON là đường trung bình của ∆BCD

là trung điểm của AB.

Vậy khi M N, lần lượt là trung điểm của AB BC, thì tứ giác ABEC

là trung điểm của AB (chứng minh trên)

+) Khi N là trung điểm của BC, mà ON DE// hay OF DE//

F

⇒

là trung điểm của BE

12

Trang 53

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác OMBN .

Ta có: chu vi tứ giác OMBN bằng: C OMBN =OM ON BM BN+ + +

mà ON OM BN= ; =MA ⇒C OMBN =2OM +AB≥2OH AB AB AB+ = + =2AB

(không đổi).

Dấu “=” xảy ra ⇔M là trung điểm của AB.

Vậy chu vi tứ giác OMBN nhỏ nhất bằng 2AB khi M là trung điểm của AB.

2

63

Trang 55

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN HAI BÀ TRƯNG

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài 150 phút

3) Cho a b c, , là các số nguyên dương phân biệt và p

là số nguyên tố lẻ sao cho

Câu 9. (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB AC<

và đường cao AH Gọi E F, làchân các đường vuông góc hạ từ H lên AC AB, Gọi I là giao điểm của AH và EF , BIcắt AC tại điểm P. Đường thẳng qua A song song với BIcắt BC tại Q

1) Chứng minh B là trung điểm QH

Trang 56

2)CIcắt AB tại L Chứng minh:

2 2

Trang 57

Biến đổi phương trình về dạng

3) Cho a b c, , là các số nguyên dương phân biệt và p

là số nguyên tố lẻ sao cho

Vậy đa thức dư là - +x 3

2) Biến đổi phương trình về dạng ( ) (2 )2 2 2

Trang 58

đều chia hết cho p

suy ra a b c, , đều không chia hết cho p

b a p− M

, Tương tự ta cũng có:

x x

=



 =



Trang 59

Vậy P

đạt giá trị nhỏ nhất là 2 khi

2.4

x x

 ⇒ − ≤ ≤1 a 3

Chú ý: Nếu học sinh chứng minh được a≤3

cho nửa số điểm

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB AC<

và đường cao AH Gọi E F, là chân các đường vuông góc hạ từ H lên AC AB, Gọi I là giao điểm của AH và EF , BIcắt ACtại điểm P. Đường thẳng qua A song song với BIcắt BC tại Q

1) Chứng minh B là trung điểm QH

2)CIcắt AB tại L Chứng minh:

2 2

Trang 60

3) Gọi M là giao điểm của FE và CB Kẻ HT vuông góc với AM. Chứng minh rằng

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC

ta có: 2

Trang 61

với HE⊥AC HF, ⊥AB

ta có 2

nên tam giác BTC vuông tại T.

ABCO CDEO EFAO

Theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại một hình bình hành chứa ít nhất 3điểm và theo bổ đề 3 điểm này tạo tam giác có diện tích nhỏ hơn nửa diện tích hình bình hành, hay diện tích không lớn hơn

2

337cm

HẾT

Định dạng
Số trang	169
Dung lượng	6,09 MB