Mặt kẻ khả triển trong e3

Mục đích của luận văn này là nghiên cứu vấn đề này một cách có hệ thống để tìm hiểu sâu về định nghĩa cũng như các tính chất của mặt kẻ khả triển và đi sâu hơn nữa vào các dạng riêng của

Lời mở đầu

Trong hình học vi phân, khi đề cập đến mặt trong E3

thì mặt kẻ mà đặc biệt là mặt kẻ khả triển (mặt nón, mặt trụ, mặt tiếp tuyến) được đề cập đến nhiều nhất

Mục đích của luận văn này là nghiên cứu vấn đề này một cách có hệ thống để tìm hiểu sâu về định nghĩa cũng như các tính chất của mặt kẻ khả triển và đi sâu hơn nữa vào các dạng riêng của mặt kẻ khả triển (mặt nón, mặt trụ, mặt tiếp tuyến) Luận văn đã bổ sung các phép chứng minh cần thiết cho một số nhận định mà một số tài liệu khác chưa trình bày và đưa ra một

số chứng minh khác cho một số mệnh đề

Luận văn phân làm 7 mục:

Mục 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị

Mục 2: Nghiên cức các tính chất chung của mặt kẻ

Mục 3: Nghiên cứu các tính chất chung của mặt kẻ khả triển

-Mệnh đề 3.3 khẳng định: Mặt kẻ trong E3 là mặt khả triển khi và chỉ khi nó có độ cong Gauss bằng 0

-Mệnh đề 3.7 khẳng định: Mặt song song với mặt khả triển cũng là mặt khả triển

-Mệnh đề 3.9 khẳng định: Mặt kẻ tạo bởi các pháp tuyến của một mặt dọc cung chính quy trên nó là mặt kẻ khả triển khi và chỉ khi cung đó là đường chính khúc

Mục 4: Nghiên cứu các tính chất của mặt trụ (là một loại mặt kẻ khả triển) Phần này tác giả tìm được một số tính chất:

-Mặt song song với mặt trụ cũng là mặt trụ

-Mặt kẻ tạo bởi các pháp tuyến của mặt phẳng dọc theo một đường bất

kỳ trên nó là mặt trụ và ngươc lại nếu như mặt S các đường bất kỳ trên nó

đều là đường chính khúc và mặt kẻ tạo bởi các pháp tuyến dọc theo mỗi đường bất kỳ trên nó là mặt trụ thì S sẽ là mặt phẳng

Mục 5: Nghiên cứu các tính chất của mặt nón (là một loại mặt kẻ khả triển)

Cũng như phần trên thì tác giả tìm được:

-Mặt song song với mặt nón là một mặt nón

-Mặt kẻ tạo bởi các pháp tuyến của mặt cầu dọc theo đường bất kỳ trên nó là một mặt nón và ngươc lại nếu như mặt S các đường bất kỳ trên nó đều là đường chính khúc và mặt kẻ tạo bởi các pháp tuyến dọc theo mỗi đường bất kỳ trên nó là mặt nón thì S sẽ là mặt cầu

Mục 6: Nghiên cứu các tính chất của mặt tiếp tuyến (là một mặt khả triển) Tác giả cũng tìm được mặt song song với mặt tiếp tuyến cũng là mặt tiếp tuyến với điều kiện cho trước Ngoài ra nghiên cứu một số tính chất riêng của mặt tiếp tuyến

Mục 7: Trình bày vấn đề quan trọng của mặt khả triển đó là mặt khả triển có thể trải địa phương lên mặt phẳng Thông qua tính chất này và thông qua tính bất biến của cung trắc địa qua vi phôi đẳng cự để xây dựng các cung trắc địa trên mặt trụ, mặt nón, mặt tiếp tuyến

Luận văn này đã được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh vào tháng

5 năm 2003 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã tận tình giúp đỡ tác giả trong quá trình hoàn thành luận văn này Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong bộ môn hình học nói riêng và các thầy cô giáo giảng dạy tại khoa toán nói chung đã chỉ bảo và giúp đỡ tác giả trong quá trình tác giả học tập tại trường Xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè

Vinh, tháng 5 năm 2003

Đ1 CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

+ Xác định cung tham số u  r (u,v0) trong E3 (Trong đó u thay đổi

+ Tương tự xác định cung tham số v  r(u0,v) trong E3 (Trong đó v thay đổi một khoảng J  R, v0  J) được gọi là đường toạ độ u = u0

1.1.3 Điểm chính quy- điểm kỳ dị:

Điểm (u0,v0) được gọi là 1 điểm chính quy của mảnh tham số r nếu r dìm tại (u0,v0) tức là hai vectơ r’u(u0,v0) , r’v (u0,v0) (hai vectơ này thuộc không gian tiếp xúc với E3

tại r(u0 , v0 ) ) độc lập tuyến tính

Điểm không chính quy gọi là điểm kì dị

Mảnh tham số r gọi là chính quy nếu mọi điểm của nó là điểm chính quy

1.1.4- Mặt phẳng tiếp xúc, pháp tuyến

Từ điểm chính quy r(u0,v0) của mảnh tham số r, gọi 2-phẳng trong E3

đi qua r(u0,v0) với không gian véctơ chỉ phương  r u(u o,v o), r v(u o,v o)  gọi là mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện trên của r tại (u0 ,v0) (cũng có khi nói tại r(uo , vo)

Đường thẳng đi qua r(u0,v0) và thẳng góc với tiếp diện tại (u0 , v0) gọi

r 

Được gọi là tương đương nếu có một vi phôi  : U U~

Sao cho rr0

Ký hiệu : r  r

Rõ ràng “” lập thành một quan hệ tương đương

r gọi là tham số hoá của mảnh

 gọi là phép đổi tham số Nếu phép đổi tham số là vi phôi bảo tồn hướng thì ta có thể nói đến mảnh định hướng

Mảnh chính quy định hướng thì véctơ đơn vị ,, ,,

v u

v u

r r

r r

được gọi là mảnh hình học trong E3 nếu nó là ảnh

(trong đó U là một khoảng trong

R2)

r gọi là tham số hoá của mảnh hình học S

1.2.2 Đa tạp hai chiều trong E3

S là một tập con trong E3

được gọi là một đa tạp hai chiều (hay

1

2 ofor

r : U1  U2 là khả vi 1.2.4 Ánh xạ tiếp xúc

S1 , S2 là các đa tạp hai chiều trong E3

f : S1  S2 là ánh xạ khả vi với mỗi P  S1

Ta xác định một ánh xạ -ký hiệu TPf : TPS1  Tf (p)S2 được xác định như sau:

Một p  TPS1 , p= (p, ) Giả sử  : J  S1 mà  (to) = p

Cụ thể nếu ta lấy  : J  S  ’ (to) = 

Thì hp() là 1 véctơ buộc tại p

Và h p(  )   (n o )' (to)

Rõ ràng hp là một tư đồng cấu (tuyến tính của TpS )

Mỗi giá trị riêng của hp gọi là độ cong chính tại p của S

Mỗi véctơ riêng của hp gọi là phương chính của S tại p

Định thức của từ đồng cấu hp gọi là độ cong Gauss tại p của S



) (h p Vet

gọi là độ cong trung bình tại p của S

1.3.2 Các dạng cơ bản I và II

Với mỗi p S Đặt Ip : TpS x TpS  R

(,  )  .

IIp : TpS x TpS  R

(,  )  hp().

gọi là dạng cơ bản thứ nhất , thứ hai của S tại p

Người ta ký hiệu :

Chú ý khi tham số hoá r tương thích với hướng của S thì :

E,F,G gọi là các hệ số cơ bản của biểu thức toạ độ của dạng I L,M,N gọi là các hệ số cơ bản của biểu thức toạ độ của dạng II

) ( ) (

gọi là độ cong pháp dạng của S theo phương xác định bới 

*Đường trên mặt S mà phương tiếp xúc tại mọi điểm là một phương chính của S tại điểm đó gọi là một đường chính khúc của S

D( 0 ) song song với  ’

- Cung tham số  : J  S , t   (t ) trên mặt S trong E3 gọi là một cung trắc địa của S nếu

dt

D '

và no song song dọc 

Tức ' (n0 )  0

dt

D

Đ2 MẶT KẺ

2.1 Định nghĩa : Trong E3 cho cung chính quy  : J  E3

Trong đó J là một khoảng trong IR

Hàm véctơ 3

:J E

A  thoả mãn A (u)  0 với u J

Umở trong IR2 sao cho nếu (u,v) U thì u J

và I =  v IR  (u,v) U  là một khoảng trong IR Xác định mảnh trong E3

bởi tham số

r : U  E3 (u,v)  r (u,v)= (u)+ vA (u) được gọi là mặt kẻ + Cung  gọi là đường chuẩn

+Các đường toạ độ u = u0 được gọi là “ đường thẳng sinh”

2.2 Ví dụ : Mảnh trong E3

xác định

r : U  E3

r (u,v)= (u)+ vA (u) Trong đó :

 : J  E3 (J là khoảng bất kỳ của IR)

Thì  ’(/ 2) = ( 0, cos (/2), - 2sin (2 / 2)= 0 Do đó mặt r : U  E3

(u,v) (u)+v A (u)Với  được xác định như trên không phải là một mặt kẻ

2.3 Mệnh đề :

Giả sử r : U  E3 (u,v) (u)+v A (u)Xác định một tham số hoá của mặt kẻ

Lúc này (u0, v0) là điểm kì dị của mặt kẻ  hai hàm Véctơ

) ( ' )

 

Như vậy : r(u,v)   (u) v A(u)

 + r'u(u,v)   ' (u) v A' (u) + r u' (u,v)  A(u)

Như vậy điểm (u0 ,vo) là điểm kỳ dị của mặt kẻ đã cho

r'u (u0,v0) ,r'v(u0,v0) phụ thuộc vào tuyến tính

, ) ( ' )

( ' u o v o A u0

 A(u0) phụ thuộc tuyến tính

2.4 Mệnh đề

Cho r : U  E3

(u,v)  (u)+v A (u)Xác định tham số hoá của mặt kẻ, r không có điểm kỳ dị khi đó các tiếp diện tại mọi điểm của đường thẳng sinh u = uo trùng nhau  3 véctơ

) ( ' ,

A

u o o

Chứng minh:

Dọc theo đường toạ độ u = u0 pháp tuyến của mặt tiếp diện tại (uo,v)

) , ( ' ) , ( ' ) , (u v r u0 v r u0 v

=  ' (u0) v A' (u0)A(u o) = ' (u0) A(u0) v A' (u0) A(u0)

Đặt  = ' (u0) A(u0)

=A' (u0) A(u0)Như vậy:  ,  là các véctơ không đổi



 v v

()   ' (u o) A' (u o) A(u o)   0

 '(u o) ,A(u o) ,A' (u0) phụ thuộc tuyến tính

Bổ đề 1: Cho hàm véctơ khả vi : A : J  E3 (J  IR )

0 ) (t 

A t J Chứng minh : A (t) có phương không phụ thuộc vào t

 A (t)và A ' t( ) phụ thuộc vào tuyến tính với t J Chứng minh :

*Điều kiện cần:

Nếu A (t) có phương không phụ thuộc vào t

 ) ( ) (t f t

A  (f là hàm số xác định trên J)

 A' (t)  f' (t) Hiển nhiên A (t) và A ' t( ) phụ thuộc tuyến tính

*Điều kiện đủ:

Nếu A (t) và A ' t( ) phụ thuộc tuyến tính với tJ

Đặt

) (

) ( )

(

) ( ) (

2 0

t A

t A t

A

t A t

' 2

'

0

'

) (

) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) ( ) (

t A

t A t A

t A t A t A t A t A





) ( ' t

' 2

'

) (

) ( ) ( ) ( )

( ) (

t A

t A t A t A t

A t

) ( ) ( ) (

t A

t A t A t

A (t) và A ' t( ) phụ thuộc tuyến tính

 A(t) A' (t)  0

) ( ' t

A o = 0 )

Chứng minh rằng nếuA (u) , A ' u( )độc lập tuyến tính và các tiếp diện

tại mọi điểm trên đường thẳng sinh u =uo trùng nhau u0J thì có duy nhất f, g xác định trên J để  ' (u)  f(u) A u + (u) A'(u)

Chứng minh :

Theo giả thiết A (u) và A ' u( ) độc lập tuyến tính với u J (*) Theo mệnh đề 2: Điều kiện của tiếp diện tại mọi điểm trên đường thẳng sinh u =u0trùng nhau u0 J  Điều kiện  ' u( ),A (u) , A ' u( ) phụ thuộc tuyến tính với mọi u J (**)

f + g(u) A ' u( ) = f1(u)A(u)+ g1(u) A ' u( ) u J

( f (u) - f1(u))A (t) + (g(u)- g1(u) ) A ' u( ) =0 u J (5)

Lại có A (u) và A ' u( ) độc lập tuyến tính với u J

(5 ) suy ra :

f(u) = f1(u) u J g(u)= g1(u) u J

 f  f1

g  g1

Tức là  duy nhất f, g xác định trên J mà

) ( ) ( ) ( ' u  f u A u

và giả sử A (t), A ' t( )đối lập tuyến tính với (t)J

Điều kiện cần và đủ để A (t) luôn thuộc một khoảng không gian hai chiều

Theo bổ đề (1) và do A (t), A ' t( ) độc lập tuyến tính với (t) J

Suy ra (t)có phương không đổi (luôn vuông góc với không gian đó)

 (t)và ' t( ) phụ thuộc tuyến tính với (t) J

(t) ' t( ) =o

 (A (t) A '' t( )).A ' t( ) .A (t) =0 (t) J

mà A (t)  0 (ngược lại thìA (t),A ' t( )) không độc lập tuyến tính)

(A (t) A '' t( )).A ' t( ) = 0 (t) J Cho ta A (t),A ' t( ), A '' t( ) phụ thuộc tuyến tính

Bổ đề 2 lúc này A (u),A ' u( ) , A '' u( ) phụ thuộc tuyến tính

A (u) luôn thuộc 1không gian con hai chiều cố định v của E3

 tất cả các đường thẳng sinh của mặt kẻ luôn song song với 1 mặt phẳng cố định  Mặt kẻ đã cho là mặt cactăng

Là mặt khả triển  ' u( ) , A (u) , A ' u( ) phụ thuộc tuyến tính với (u) J

3.3 Mệnh đề Chứng minh rằng mặt kẻ trong E3 có độ cong Gauss k triệt tiêu  Nó là mặt khả triển

Chứng minh:

Giả sử mặt kẻ có tham số :

r : U E3 (u,v) (u) + v A (u)

Trong đó  chính quy và A (u)  0 u J Gọi 0 là một điểm cố định bất kỳ trong E3Đặt r(u,v)  0r(u,v)

) ( 0 ) (u  u

E = r' u r' u L = n o r. r '' uu

F= r' u r' v M = n o r.r '' uu

G = r' v r' v N = n o r.r '' vv

v u

v u

r r

r r r n

' '

' ' 0

M LN





Luôn có :

N = n o r. r '' vv = n o r 0

= 0

Do đó : K = 2 2

F EG

' '

v u

v u

r r

r r





uv

r '' = 0

 .

' '

) ( ) ( ' ) ( ' (

v

u r r

u A u A v u

Xác định mặt S * bởi tham số hoá

r* : U E3 (u,v) r(u,v)+ an o r ( v u, )

Trong đó no r là Véctơ pháp tuyến đơn vị trên S

a là hằng số

- Mặt S* như thế được gọi là mặt song song với mặt S

3.5 Mệnh đề

1- n0r cũng là Véctơ pháp tuyến đơn vị của TP * S*

2- Độ cong Gauss K* của S* được xác định bởi công thức

K* =

1 2

2K aH 

a K

3-Độ cong trung bình H* của S* được xác định

H* =

1 2

2  



aH K a

aK H

3.6 Mệnh đề

Nếu hai mặt S và S’ song song với nhau thì nó sẽ biến các đường chính khúc trên S thành đường chính khúc trên S’

Thật vậy :

Giả sử S là một đường chính khúc trên S

n là trường pháp véctơ của S

Khi này ta có  sẽ cho tương ứng với  ~ trên S’

được xác định : ~ u( ) = (u) + n0 (u)

do  là đường chính khúc trên S nên n0 và ’ song song với nhau

lại có :  ~’(u) =  ’(u) + (n0 )' (u)

' u( )(n0 )' (u)= +(n0 )' (u)  ,

0 ) (n  = 0 Tức (n0 )’ song song ' u( )

Tức là  ~’là đường chính khúc trên  ’

3.7 Mệnh đề

Chứng minh một mặt song song với mặt khả triển cũng là mặt khả triển

Trước hết chứng minh bổ đề sau :

Bổ đề 3: Cho mặt khả triển S xác định bởi tham số hoá r : U E3

(u,v) r(u,v)= (u) + vA (u)

S*Là mặt song song của mặt kẻ S.thỉ S* sẽ là một mặt kẻ Thật vậy

Do S là mặt khả triển nên các tiếp diện tại mọi điểm của đường sinh bất kỳ u= u0 trùng nhau

Do đó pháp véctơ đơn vị tại mọi điểm của mặt trên cùng một đường sinh trùng nhau

Vì vậy ta có thể xem n0r(u,v) là một hàm véctơ với u

Mà r*(u,v) = r(u,v) + an0r(u,v)

= (u) + v A (u) + an0r(u,v)

= ((u) + a n0r(u,v) )+ vA (u)

Xác định

* : JE3

u ((u) + a n0r(u,v) ) Vậy : r*

(u,v) = *

(u) + v A (u) xác định một mặt kẻ Chứng minh bài toán :

r(u,v) = (u) + v A (u) (6)

r*(u,v) = *

(u) + v A (u) (7) Mặt phẳng tiếp xúc với mặt kẻ xác định bới (6) tại r(uo,vo) là mặt phẳng đi qua r(uo,vo) có không gian chỉ phương ( r'u(u0,v o), r'v(u0,v o) (8)

Mặt phẳng tiếp xúc với mặt kẻ xác định bưởi (7) tại điểm tương ứng là mặt phẳng

đi qua r*

(uo,vo) có không gian chỉ phương ( r*u (u o,v o), r*v(u o,v o) (9)

Ta sẽ chứng minh cho hai mặt phẳng nói trên có pháp trùng nhau, tức là chúng song song

Thật vậy pháp của mặt phẳng được xác định bởi (8)

Chứng minh điều kiện cần:

Giả sử S là 1 mặt trong E3 có tham số hoá r : U E3

 là 1 cung chính quy trên S

n là trường pháp Véctơ đơn vị của S Vậy ta xác định mặt kẻ S~ tạo bởi các pháp tuyến của mặt dọc cung đó có phương trình tham số là:

r* : UE3(u,v)(u) + v n0 (u) (10)

Ta chứng minh mặt kẻ xác định bởi tham số hoá nói trên là một mặt kẻ khả triển

Do  là cung chính quy trên S

nên (n0 ) ' và  ' song song với nhau (11)

v u

r r

r r

*'

) ( ))

( )' ( ) ( ' ((

*'

0 0

*'

) ( )

( ' (

M LN





= 0 Vậy theo bài toán 1 S~ là mặt kẻ khả triển

Điều kiện đủ : S~ là mặt kẻ khả triển theo bài toán 1 cho ta độ cong Gauss

K* = 2

2

F EG

M LN





= 0 Luôn có N = 0  M=0

*'

) ( )

( ' (

*Nếu ' u( ) và (n0 )' (u)song song cho ta điều cần chứng minh tức  là đường chính khúc trên S

*Nếu' u( ) và (n0 )' (u) không song song cho ta

(n0 )(u) song song với ' u( )(n0 )' (u)

Có (n0 )(u) thẳng góc với ' u( )(n0 )' (u) theo (12)

Vậy xẩy ra điều mâu thuẩn (n0 )(u)  0 u

Vậy ta được điều cần chứng minh

4 –MẶT TRỤ 4.1 Định nghĩa

Mặt kẻ có các đường sinh có phương không đổi thì mặt kẻ đó được gọi là mặt trụ

Phương trình của mặt trụ trong E 3

r : u  E 3 (u,v) (u) +v  ( = Const )

Trong đó S là chính quy

4.2 Ví dụ: Xác định ảnh của mảnh tham số

r(u,v) = (x= v+tgu, y=v+Sinu, z = u+v )

Xác định cung:

 : J  E3

u  (tgu , Sinu, u)

Rõ ràng ' u( )  0 u J do đó  chính quy

lúc này r(u.v) =  (u)+ v là phương trình của mặt trụ trong E3

Như vậy ảnh của mảnh tham số đã cho là mặt trụ

Trong đó :  : J  E 3 là cung chính quy A (u)  0 u

Chứng minh rằng nếu A (u) , A ' u( )  phụ thuộc tuyến tính thì mặt

4.5.Mệnh đề Mặt song song với một mặt trụ cũng là một mặt trụ

Chứng minh:

Giả sử ta có mặt trụ được xác định bởi tham số hoá

r(u,v) = (u) + v

n là truờng pháp Véctơ đơn vị của mặt trụ nói trên

Như vậy ta xác định được mặt song song với mặt nói trên cho bởi phương trình tham số :

r*(u,v)= r(u,v) +a n o r ( v u, ) (a= Const)

Giả sử S(u) là đường chính khúc trên mặt trụ S trong E3

Trường pháp dọc  '

u

r = '

v

r = K = (0, 0, 1)

 n0 (u) =

v u

v u

r r

r r

' '

' '





=

2 1 2 2

1 2

) ( ' ) ( '

) 0 ), ( ' , ) ( ' (

u u

u u

song song (n0)’ suy ra ’

3(u) = 0 3(u) = Const Lại do ' u( ) =1  u  u 2 const

1 2 '

2 ( )  ' ( )



 no(u)’ song song với (2’’(u), -1’’(u), 0)

Vậy để ’

song song (n0)’ thì (1’(u), 2’(u), 0 ) và (2’’(u), -1’’(u), 0)

thời bằng 0 với (u)  J và:

A(u) (1’(u), 2’(u), 0 ) +B(u) (2’’(u), -1’’(u), 0) =(0,0,0)

Tức là lúc này các hàm toạ độ của  là nghiệm của phương trình vi phân: A(u).1’(u) + B(u) 2’’(u) = 0

A(u).2’(u) - B(u) 1’’(u) = 0 3 (u) = 0

Ta chỉ xét trường hợp tồn tại một số thực (  0 )mà :

(1’(u), 2’(u), 0 ) =  (2’’(u), -1’’(u), 0)

 2’’(u) =  1’(u) 1’’(u) =  2’(u) Đặt C1(u) = 1’(u)

C2(u) =2’(u)

 ta có hệ phương trình vi phân C’2(u) =  C1(u)

C’1(u) =  C2(u) Giải hệ phương trình trên dễ dàng tìm được :

C1(u) = a.cos(.u) +b.sin(.u) (a,b là các hằng số)

C2(u) = -b.cos(.u) +a.sin(.u)