Chương 3 TÍNH ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN I TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM.. Trong nhiều bài toán thực tế ta cần phải tính đạo hàm của hàm số y=fx khi biết giá trị của hàm này tại các mốc xi.. a Đạo hà
Trang 1Chương 3
TÍNH ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM
Trong nhiều bài toán thực tế ta cần phải tính đạo hàm của hàm số y=f(x) khi biết giá trị của hàm này tại các mốc xi t.l biết
Ta có thể dùng công thức nội suy Lagrange để tính đạo hàm:
f’(x) Ln’(x) (3.2) với ước lượng sai số:
) 3 3 ( )
( )!
1 (
) ( )
(
) 1 ( '
x n
c f
dx
d x
n
Vì điểm c phụ thuộc x nên ước lượng (3.3) chỉ đánh giá được khi x là các mốc nội suy x=xi;
Thông thường người ta xét đa thức nội suy với mốc cách đều với h=xi+1 – xi
1.1 Tính đạo hàm cấp 1
a) Đạo hàm tại các điểm biên
Khi x là điểm biên x0 hoặc xn ta dùng công thức nội suy bậc nhất với hai mốc nội suy để tính gần đúng đạo hàm:
y’(x0) = (y1-y0)/h (3.4)
y’(xn) = (yn-yn-1)/h
Vì yn = yn-1 + y’(xn) h + 0(h2) nên sai số của ước lượng (3.4) là O(h2)
b) Đạo hàm tại các điểm trong
Khi x=xi là các điểm trong (i=1,2, ,n-1) ta dùng công thức nội suy bậc 2 có
xi là điểm giữa
) 5 3 ( 2
) 1 ( )
(x y i1 ty i1 t t 2y i1
y
với x = xi-1 +ht
Đạo hàm (3.5) theo x ta được:
Trang 2h y
t y t
y x
2
1 2 )
(
thay x=xi hay t=1 vào công thức trên ta được:
1 1
1
2 1
2
1 ) ( '
1 ) (
2
1 1
2
1 )
(
'
i i i
i i i
i i
i
y y h x
y
h y y y
h y y
x
y
hay
2 )
(
h
y y
x
y i i i
với i=1,2,…,n-1
Để tính ước lượng sai số ta có các công thức:
) ( 2
) ( 2
3 ''
2 ' 1
3 ''
2 ' 1
h O y
h hy y y
h O y
h hy y y
i i
i i
i i
i i
Do vậy:
) ( 2
2 '
1
h
y y
i i
i
hay công thức (3.6) có sai số là O(h2)
1.2 Đạo hàm cấp 2
Để tính đạo hàm cấp 2 ta dùng công thức nội suy cấp 2 để tính y’’(xi) Đạo hàm hai lần liên tiếp biểu thức (3.5) ta có:
2 ( 3 7 ) 1
1 ) (
' i 2 2 i1 2 yi1 yi yi1
h
y h x
y
ta có các công thức sau:
) ( 6
2
) ( 6
2
4 )
3 ( 3 '' 2 ' 1
4 )
3 ( 3 '' 2 ' 1
h O y
h y
h hy y y
h O y
h y
h hy y y
i i
i i i
i i
i i i
từ đó ta có:
Trang 3) 8 3 ( )
( )
2 (
1 1
h i i i i
Vậy sai số có bậc O(h2)
Chú ý:
Chúng ta đã có công thức tính đạo hàm cấp 1 và cấp 2 tại các mốc nội suy Để tính đạo hàm tại các điểm không là mốc ta lại áp dụng phương pháp nội suy Lagrange
Sai số khi tính đạo hàm ngoài sai số của công thức còn phải tính đến sai số làm tròn, và các bước nội suy h phải đủ nhỏ
Ví dụ: Hàm y=f(x) được cho tại các mốc sẽ có đạo hàm cấp 1 và cấp 2 tại các mốc này được tính và cho trong bảng sau:
i xi yi y’i yi’’
0
1
2
3
4
5
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,4
1,266 1,326 1,393 1,469 1,553 1,647
0,6 0,635 0,715 0,8 0,89 0,94
0,7 0,9 0,8 1,0
II.TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
2.1 Công thức hình thang
Giả sử chúng ta biết giá trị của hàm y=f(x) tại các mốc cách đều xi trên đoạn [a,b] Hãy lập công thức tính tích phân hàm f(x) trên [a,b] qua các giá trị tại mốc
Chia [a,b] thành n phần bằng nhau Khí đó ta có:
h= (b-a)/n; x0=a; xn=b; xi= a+ih; yi= f(xi); (3.9) Công thức hình thang dựa trên ý tưởng sau.Trên mỗi đoạn [xi, xi+1] ta thay diện tích hình thang cong bởi diện tích hình thang tương ứng Điều đó có nghĩa là:
2 )
i
i
x x
i
i y h
y dx x f
Trang 4
Lấy tổng trên các đoạn [xi,xi+1] (i=0;n-1) ta có:
h y y
dx x f
n
i
i i
b
a
1
0
1
2 )
(
hay
) 11 3 ( ) 2
2 (
2 )
b
n
a b dx x
Ứớc lượng sai số:
Thực chất của công thức (2.11) là thay hàm f(x) trên đoạn xi bởi công thức nội suy bậc nhất của nó trên đoạn này Với i=0 ta có:
) (
( 2 )
( (
2
) (
| ) (
|
) ( ) (
) (
1 0
2 1
0 ''
0 0
1
0 1 0
x x x x
M x
x x x c f x R
x R x
x x x
y y y x f
với M2 = max | f’’(x)| ; với mọi x[a,b]
Vậy sai số của tích phân trên đoạn x0 là
12 )
( (
2 2
) (
3 2 1
0 2
0
0 1
0
h M dx x x x x
M h
y y dx x
x
x
trên n đoạn ta có sai số toàn phần:
) 12 3 ( 12
) (
12 )
(
2 2
3 2 1
h a b M h
M n n
Ví dụ: Tính 1ex2 dx Ta lập bảng giá trị của hàm x2
e
y
xn =b
x0 =a xi xi+1
yi
yi+1
y=f(x)
Trang 5i xi x2i yi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,00 0,01 0,04 0,09 0,16 0,25 0,36 0,49 0,64 0,81 1,00
1,0000 0,9900 0,9608 0,9139 0,8521 0,7788 0,6977 0,6126 0,5273 0,4449 0,3679
Với
4620 , 7 )
(
2
1
) 1 2
( 2 ) (
''
9
1 10
0
i i
x
y y
y
e x
x
y
Vậy
7462 ,
0
1 0
2
ex dx
| f’’(x) | đạt max tại x=0 là M2 = 2 Vậy
002 , 0 12
) 1 , 0 (
R
Nên sau khi làm tròn ta có:
746 , 0
1 0
2
2.2 Công thức Simson (Công thức parabol)
a) Xây dựng công thức
Chia đoạn [a,b] thành 2n đoạn bằng nhau, khi đó h=(b-a)/2n; Trên mỗi đoạn [x2i, x2(i+1)] thay hàm f(x) bởi công thức nội suy bậc hai và diện tích hình
Trang 6thang cong giới hạn bởi hàm f(x) bởi diện tích hình thang cong giới hạn bởi parabol nội suy
Ta có:
i i
y x
2
) 1 ( )
(
với
h
x x
t 2i
nên
3 )
2
2
2
i
Lấy tổng theo i=0, ,n-1 ta được:
) 14 3 ( ) 4
2 4 2 4 ( 6 )
b
n
a b dx
x
f
c) Ước lượng sai số
Người ta đã chứng minh công thức ước lượng sai số như sau:
) 15 3 ( 180
) (
) 2
trong đó
M4 = max |f(4)(x) | với x [a,b]
x0=a x2i x2i+1 x2i+2
y=f(x)
Trang 7Ví dụ tính 01
2
dx
e x Chia đoạn [0,1] thành 10 phần bằng nhau Khi đó ta
có 2n=10 Các giá trị của hàm
2
x
e
y cho trong bảng sau:
2
i x
e
y
i xi x2i
i=0 và i=10 i lẻ i chẵn
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,00 0,01 0,04 0,09 0,16 0,25 0,36 0,49 0,64 0,81 1,00
1,0000
2,7189
1,0101
1,0942
1,2840
1,6329
2,2479
1,0408
1,1725
1,4333
1,8965
Đạo hàm 4 lần liên tiếp ta được:
2 ) 3 12
4 (
) 4
e x
x
Hàm này đạt giá trị cực đại tại x=1 và M2= 76.e
Vậy:
3,7188 4.7,2685 2.5,4441 1,46268 1,4627 30
1
00012 ,
0 000115 ,
0 1 , 0 180
76
1
0
4 2
2
e R
x