Chuyen de Qui nap Cap so

THPT Phong i n- Hu... THPT Phong i n- Hu..[r]

Chuyên : DÃY S - C P S C NG – C P S NHÂN

B c 1: Ki m tra m nh úng v i n= p

B c 2: Gi s m nh úng v i n= p≥ (gi thi t quy n p) 1

B c 3: C n ch ng minh m nh úng v i n k= + 1II- BÀI T P MINH H A:

D ng toán 1: CH NG MINH NG TH C- B T NG TH C

Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i n N∈ *thì ( ) 2

1 3 5 + + + + 2n−1 =n (1) Bài gi i:

D ng toán 2: BÀI TOÁN CHIA H T

Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i n ∈ * thì n3−n chia h t cho 3

=+ (1) Ta ch ng minh công th c (1) b ng ph ng pháp quy n p

k

=+

k

+

+

=+ +

=+ +

∈ và x x1 2 x = Ch ng minh n 1 x1+x2+ +xn ≥nBài gi i:

Bài t p 1: Cho s th c a > − Ch ng minh r ng: 1 ( ) ( *)

1+a n ≥ +1 na ∀ ∈nBài gi i:

n

uu

12

n

n n

12

n

+ +

12

III- BÀI T P T LUY N:

b) Hãy d oán công th c tính S và ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p n

b) Hãy d oán công th c tính S và ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p n

a Dãy s cho b ng công th c c a s h ng t ng quát:

Ví d : Cho dãy ( )u xác nh b i công th c n un =3n+ T công th c s h ng t ng quát ta có 1

th xác nh c m t s h ng b t kì c a dãy s Ch ng h n: u1=4, u5 =16

N u vi t dãy s d i d ng khai tri n ta c ( )u : 4, 7, 10,…, 3n n + , … 1

b Dãy s cho b ng ph ng pháp mô t :

Ví d : Cho dãy ( )u là các s nguyên t bé h n 100 n

c Dãy s cho b ng ph ng pháp truy h i:

II- BÀI T P MINH H A:

Bài t p: Vi t 5 s h ng u c a các dãy s có s h ng t ng quát un c cho b i công th c:

n

=

+e) 22 5

nu

n

n

nn

un

nn

−

=

−+

+

=+a) Hãy vi t 7 s h ng u c a dãy s

b) Tìm n sao cho 1

5

n

u = Bài gi i:

!n

n

=+a) Vi t 5 s h ng u c a dãy s

b) S 27

82là s h ng th m y c a dãy s Bài t p: Cho dãy s ( )u c xác nh b i: n 22

1

n

nu

n

=+a) Vi t 5 s h ng u c a dãy s

u

u = ,

4 3

2

u

u = ,…,

1 2

2

n n

uu

=Bài t p: Xác nh công th c t ng quát c a các dãy s ( )u c xác nh b i: n

a)

1

* 1

312

4

n

b) u100 =24502501

Bài t p: Cho dãy s ( )u v i: n

1 1

Tìm công th c s h ng t ng quát u c a dãy s n ( )u n

Bài t p: Cho dãy s ( )u xác nh b i: n

1 1

n n

+ +

un

= , v i n ∈ *

n n n

u

nu

+ +

n n

( )u là dãy không t&ng, không gi m n

Bài t p: Xét tính t&ng gi m c a các dãy s ( )u sau: n

−

=+ c) u = −n ( )1 n(2n+1) d) 2 1

n

nun

+

=+Bài gi i:

c) Dãy không gi m không t&ng d) Dãy s gi m

Bài t p: Vi t 5 s h ng u và xét tính t&ng gi m c a các dãy s ( )u sau: n

a) Dãy s gi m b) Dãy s t&ng c) Dãy s gi m d) Dãy s t&ng

Bài t p: Xét tính n i u c a các dãy s ( )u sau: n

=+

u

n

2 2

11

b) Tìm công th c truy h"i c a dãy s ( )u n

Bài t p: Xét tính b ch n c a các dãy s ( )u sau: n

a) un =2n2− 1 b)

12

=

− d) un =sinn+cosnBài gi i:

n

nu

nu

=

=+ + c) u = + −n 2 ( 1)n d) un 1 cos1

un

2 2

1

n

anu

n

+

=+ , là:

a) M t dãy s gi m; b) M t dãy s t&ng

2 2

1

n

nvn

+

=+ , là m t dãy b ch n

+

=+ , là m t dãy s t&ng và b ch n

a) Ch ng minh r ng un =un+3 ∀ ≥ n 1b) Hãy tính t ng 17 s h ng u tiên c a dãy s ã cho

b) Ta ch ng minh vn =vn+3 ∀ ≥ (*) b ng qui n p toán h c n 1

a) Khi d =0 : ∀ ∈n N u*: n =u1 : Dãy không i

b) * Khi d >0 :( )un l dãy t&ng

+ V i d = −4 u1 =13

K t lu n: Có 2 c p s c ng ( )u th a yêu c u bài toán là n 1 5

4

ud

=

= và 1 13

4

ud

a) Gi%a các s 7 và 35, hãy t thêm 6 s n%a c m t c p s c ng

b) Gi%a các s 4 và 67, hãy t thêm 20 s n%a c m t c p s c ng

T ây suy ra: B= A d+ =36 ,0 C = A+2d =540 (y.c.b.t)

CHÚ Ý: T ng các góc trong m t a giác l"i có n c nh b ng ( ) 0

2 180

n −Bài t p t ng t :

Bài t p:

a) Ba góc c a m t tam giác vuông l p thành m t c p s c ng Tìm s o các góc ó

b) S o các góc c a m t a giác l"i có 9 c nh l p thành m t c p s c ng có công sai

b ng 30 Tìm s o c a các góc ó

Bài t p 6: Ch ng minh r ng n u 3 s a, b, c l p thành m t c p s c ng thì các s x, y, z c)ng

, ,

a b c l p thành m t c p s c ng thì các s x, y, z c)ng l p thành m t c p s c ng, v i x 1 ; y 1 ; z 1

Rõ ràng : u u1 4−u u2 3 ≤6 ∆ <t 0⇔ f t( )>0 ∀ ⇔ A có ngh a v i m i x t

Bài t p 9: Tìm các nghi m s c a ph ng trình: 3 2

4x −6 6x +14x− 6 = , bi t r ng các 0nghi m s ph n bi t và t o thành m t c p s c ng

6

21

62

12

xx

%

mS

mP

x + x − +m x− −n= Tìm h th c liên h gi%a m và n 3 nghi m phân bi t x x x l p thành m t c p s c ng ? 1, 2, 3Bài gi i: TX : D =

Vì 3 nghi m phân bi t x x x l p thành c p s c ng, nên ta có th t: 1, 2, 3

Bài t p 2: Tìm các giá tr m ph ng trình − − + = có 4 nghi m ph n bi t và

Bài t p 16: Cho tam giác ABC, có ba c nh , ,a b c theo th t ó l p thành m t c p s c ng Hãy ch ng minh r ng: cot cot 3

= Bài gi i:

cos cos sin sin 2 cos cos 2sin sin cos cos 3sin sin

Theo gi thi t tan , tan , tanA B C l p thành c p s c ng thì ta có:

Bài gi i:

Theo u bài ta có :

Bài t p 16: Tam giác ABC có cot , cot , cotA B C theo th t ó l p thành m t c p c ng CMR: a b c theo th t ó c)ng l p thành m t c p s c ng ? 2, 2, 2

sin sin sin

2sin B=sin A+sin C ⇔2b =a +c ( p.c.m)

Bài t p 16: Tam giác ABC có các c nh , ,a b c theo th t ó l p thành m t c p s c ng

Ch ng minh công sai c a c p s c ng ó, c tính b i công th c:

3tan tan

Bài t p 3: C p s -nhân ( )u -+4: n 1 5

2 6

51102

a) /m s -3 ng u tiên 52-công b i + a c p s -nhân

b) 0 i t ng + a bao nhiêu s -3 ng u tiên 67-b ng 3069?

u u u

= h)

a)

4 4

1 1

4 5

6

36

612

1

82

b) dài các c nh c a ∆ABC l p thành m t c p s nhân Ch ng minh r ng:

∆ABC có hai góc không quá 600

Bài t p 9: Tìm b n s h ng liên ti p c a m t c p s nhân, trong ó s h ng th hai nh h n

Bài t p 9: Tìm b n s bi t r ng ba s h ng u l p thành m t c p s nhân, ba s h ng sau l p thành m t c p s c ng T ng c a hai s h ng u và cu i b ng 14, còn t ng c a hai s gi%a

là 12?

Bài gi i:

G i 4 s ph i tìm là a a a a Theo u bài ta có h : 1, 2, 3, 4

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 1 2 2

và tích c a chúng b ng 144 Tìm t ng m !i s h ng u tiên c a dãy s ó ?

Bài gi i:

G i c p s nhân t&ng nghiêm ng t là ( )a Theo u bài ta có n a a là hai nghi m c a ph ng 2, 4trình:

2 3

1 1

2

2 3

66

6

4

2424

q

a q

a qa

Bài t p 16: Ch ng minh r ng n u 3 s d ng , ,a b c theo th t t o thành m t c p s nhân

Theo gi thi t , n u ba s a,b,c l p thành c p s nhân thì : 2 ( )

1

ac b=

L y logarit c s N hai v c a (1) ta có :

Bài gi i:

Bài t p 19: Cho tam giác ABC cân t i A C nh BC, !ng cao AH, c nh bên AB theo th t

ó l p thành m t c p s nhân Hãy tính công b i q c a c p s nhân ó?

Do C là nh n cho nên sinC = 2( 2 1− )

Cho nên công b i c a c p s nhân là :

2

14

k k

n

uu

=

= + ≥ Ch ng minh: ( )u v a là c p s c ng n

v a là c p s nhân