Câu 25: Rút gọn biểu thức rồi thay giá trị của biến vào biểu thức đã thu gọn.. Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:.[r]
Trang 1BÀI TẬP PHÂN THỨC Bài 1 Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau:
a)
2 3 7 3 4
x y x y
xy
2 2
2
2 2
x
x x
2 2
d)
x
y xy x
x
Bài 2:Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau.
a)
2 2
2
;
Bài 3:Ba phân thức sau có bằng nhau không?
Bài 1: Rút gọn các phân thức sau:
a)
3
xy x y
x y x y
18 (2 3)
12 (3 2 )
x y x
xy x
2
x x
d)
2 3
2(2 )
a ab
b a
e)
2 2
16 ( 7)
x
f)
3 4
1
x
g)
2 2
6
x x
h)
c
b
a
c
b
a
i) x xy x y
y x xy x
2 2
j)
2
(x 2)(x 3)
(2 4)( 3) ( 2)(3 27)
xy z
y x
2
2 2 2 2
2 2 2
Bài 2:Thực hiện phép tính và rút gọn:
x y x y x y
x
x y xy y ; 3)
2 ( 2)(4 7)
x x x ;
4( 2) 4 8
x
-+
11 13 15 17
6) 2
5 25 5
3 5 5 15
x y x y
2
x y y x ;
10)
5x y 5y x
x y xy
3
x
6 2
6 2
x
6 6
2 2
1 2
x
Bài3: Rút gọn các biểu thức sau:
x x x 3/
2
3 1 1 3
1 ( 1) 1
x
- +
+
4 2 2 3 3 1
1
x
+
- - 6/ x y
x
2
+ x y
x
2
+ 4 2 2
4
x y
xy
1
6 3 2 3
1
x
x
2
x
2
1
x
x
x x x x
x
3 6
4
2 3 3
12/
2x 2x 1 2x 4x
1 x1x1x 1x 1x
Bài 3:Tính và rút gọn các biểu thức đại số sau :
2 2
:
2
:
x xy y x y
x xy y x y
9 :
4
4
15
5
2 2
x x
x x
x
64 :
7 7
48 6
2 2
x x
x x
x
36 :
5 5
24 4
2 2
x x
x x
x
49 :
5 5
21 3
2 2
x x
x x
x
Trang 2:
Bài 4:Rút gọn các biểu thức đại số sau:
A =
2
6x 1 6x 1 x 36
x 1 2x x 1 10 x
x 10 x 2 x 10 x 2
C
:
2
) 1 2 )(
1 (
3 2
x
x x x
1 2 2
x x
x
xy y xy x x y
x
2
2
2
Bài 5:Chứng minh đẳng thức
1/
2
x y xy y xy y
x xy y
x x y xy y x y
x
Bài 6:*CM các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
a)
x y y z z x
xy yz zx
x y y z y z z x z x x y
Bài 7: Tìm ĐKXĐ của phân thức
Cho các phân thức sau:
6
2
x
x
x
9 2 2
x x
x
x
4 3
16 9
2 2
4 4 2
x
x x
2 2 2
x
x x
12 6
3
3
2
x
x
x
G = 2
5
x x
; H =
2
x x x
; I =
2 2
1
x
J =
2 2
2
a) Với đIều kiện nào của x thì giá trị của các phân thức trên xác định
b)Tìm x để giá trị của các pthức trên bằng 0
c)Rút gọn phân thức A,B,C,D,E,F
Tìm số chưa biết
Bài 1:Tìm x, biết:
3
0
4 ( 2)
x
1
1 0
1 x
x x
Bài 2:Với giá trị nào của x thì giá trị các biểu thức sau bằng 0.
Trang 31/
( 5)
5
x x
x
x x x
Bài 3: Với giá trị nào của x thì 2 biểu thức sau có giá tri bằng nhau:
1/
3
x 1 và 2
2 ( 1)
x
3 1
2(x 3)
và 2
2 9
x
Bài 4:
1/ Tìm x để biểu thức
1
x A x
2 4 3( 1) :
B
1 2
Bài 5:Tìm giá trị của x để :
1/ Biểu thức A =
3 2
x có giá trị dương, giá trị âm
2/ Biểu thức B =
5
2x 1
có giá trị dương, giá trị âm 3/ Biểu thức C =
1 2
x x
có giá trị dương, giá trị âm 4/ Biểu thức D =
1
x x
Bài 6:a)Tìm các số a và b sao cho phân thức
2 3
5
x
x x
b)Tìm A, B, C để có :
2
2
1
ax b c
d)Tìm a,b,c sao cho
1
x x x x x x ;
Tính giá trị của biểu thức
Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
4 4
ax a x
a ax x
1
3 2 3
6 4
3
3 5
3 3
x x
1 2
; d)
2 3
2
2
x x
1 2
2 2
ab a
b ab
1
6, b =
1
7
15 8 1
a
a a
0, 2 0,8
x y
2 9 2 1,5 4,5
x 2x y 1 1
:
x y
xy y xy x
1 2
: 2/ Tính giá trị của biểu thức
y y
a
Trang 4a b
a
b)
2a 3b b
c)
2 (a b)
a b
4/ Cho 3y – x = 6.Tính giá trị các biểu thức :
A
5/ Cho 3x – y = 3z và 2x + y = 7z Tớnh giỏ trị của biểu thức :
2
2 2 2
x xy M
x y
( với x0,y0)
Tìm x nguyên để biểu thức có giá trị nguyên
Tìm những giá trị nguyên của x để các biểu thức sau có giá trị nguyên
1/
3
2x 1 2/ 2
5 1
x
3 2
x
3 2 4
a a
2 2
2 4
x x
2 3 6 5
x
7/
2 (x 3)
x
Tìm GTNN,GTLN
Bài 1 :Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :
2
3
4
A
x
2
B
3
6 15
C
Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau :
2
1
3
A
x
1
B
4
C
x 3
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1:Cho phân thức A =
2 3 2 1 (2 3)(2 1)
x
3
2 ; x −
1
2 )
a/ Rút gọn A b/ Tìm x để A = -1
x −5 −
2 x+10
(x +5)(x −5) (x 5; x -5)
a/ Rút gọn A b/ Cho A = -3 Tính giá trị của biểu thức 9x2 – 42x + 49
x −3 −
18
9 − x2 (x 3; x -3)
a/ Rút gọn A b/ Tìm x để A = 4
5 x +25+
2 x − 10
x +
50+5 x
a/ Rút gọn A b/ Tìm x để A = - 4
x2− 3 x +2 −
x+1
x −1 −
x2+5
x2− 3 x +2+
x2+x
x −1
a) Rút gọn A
b) Tìm x Z để A Z
Câu 6:Cho phân thức:
2 2
2
P(x)
x x 9 x 1
a) Tìm tập xác định của phân thức
b) Rút gọn và tính giá trị của P(x) khi x = 0,5
c) Tìm x sao cho P(x) = 0
Trang 5Câu 7:Cho biểu thức :
2
1 4
2 2
1
x
x x
A
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của biểu thức A tại x thoả mãn: 2x2 + x = 0
1
d) Tìm x nguyên để A nguyên dương
3
1 1 : 3
1 3
4 9
21
x x
x x
B
a) Rút gọn B
b) Tính giá trị của biểu thức B tại x thoả mãn: 2x + 1 = 5
3
d) Tìm x để B < 0
Câu 9::Cho phân thức A =
2 2
1
x
-a) Với giá trị nào của x thì giá trị của phân thức A được xác định?
b) Rút gọn phân thức trên
c) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức A là một số nguyên
4 : 4
4 2
8
8
2 3
3
x x
x x
x
x x
x P
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P < 0
x
e) Tính trị nhỏ nhất của P
2
2 2
x xy
y x
b, 2 2
2
x y
x xy y
Câu 12: Quy đồng mẫu thức 2 phân thức sau x 2 1 và
4
2 1
x
x
Câu 13: Biến đổi biểu thức sau thành một phân thức:
Q =
1 1
1 1 1 1
x
:
P
a, Tìm điêu kiện của x để P xác định ?
b, Rút gọn P ?
Câu 14: Tính: (3 đ) a
5
x
x x ; b
1
x
x y y y ;c
3 2 4 3 4
:
Câu 15: Cho phân thức:
1
x
Trang 6a Với điều kiện nào của x thì giá trị của phân thức được xác định?
b Rút gọn rồi tính giá trị của phân thức tại x = 2010
Câu 16:Phát biểu quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức?
10 3
1
x x
x x
x
Câu 17: Rút gọn các phân thức sau:
5
5
x
x
2 9
3
y x
xy x
Câu 18: Rút gọn các phân thức sau rồi quy đồng mẫu thức:
x x
x
3 5 5
4 2 3 2
x
x x
Câu 19: Cho biểu thức:
x x
x
x
1
4 1 1
1 2
a) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức A có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức A
1 1
1 1
1 1
Câu 21: Cho các phân thức sau:
6
2
x
x
x
9 2 2
x x
x
x
4 3
16 9
2 2
4 4 2
x
x x
2 2 2
x
x x
12 6
3
3
2
x
x
x
a) Với đIều kiện nào của x thì giá trị của các phân thức trên xác định
b)Tìm x để giá trị của các pthức trên bằng 0
c)Rút gọn phân thức trên
Câu 22: Thực hiện các phép tính sau:
1
x
x
x
3
3 2 2
b)2 6
3
x
6 2
6 2
c) x y
x
2
x
2
+ 4 2 2
4
x y
xy
1
6 3 2 3
1
x
x
Câu 23:Tính giá trị của biểu thức:
A = (x −2)(2 x+2 x
2)
( x+1 )( 4 x − x3) với x = -1/2 B = x − xy − y+ y
2
y3−3 y2+3 y − 1 với x = -3/4, y = ½
4
−a4x
a2+ax+ x2 với a = 3, x = 1/3
Câu 24:Rút gọn phân thức
a) x −a a− x b)
− x¿5a2
¿
− a¿3
x2
¿
¿
¿
c) (x − y)(2 x +3)
2 +xz − xy − yz
x2+xz+xy+yz
Câu 25: Rút gọn biểu thức rồi thay giá trị của biến vào biểu thức đã thu gọn.
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:
Trang 7A = ax
4
−a4x
a2+ax+ x2 với a = 3, x = 1/3
Câu 26:Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x, y
9 x2−1
1− 3 x +
3 xy −3 x +2 y −2
Câu 27:Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a2x ;
x +b
x2b ;
b+a
x − y¿2
¿
¿
x + y
¿
x2−2 ax+a2;
x +a
2 x2+6 x ;
3 −2 x
x2−9
e) 5 x7 ; 4
x −2 y ;
x − y
8 y2− 2 x2 g) x −1
x3+1;
2 x
x2− x +1 ;
2
x+1
Câu 28:: Thực hiện phép tính:
a) x +24 + 3
x −2+
5 x +2
4 − x2 b) x −3 1+x +1 −2 x
3+x +
x (1− x)
9 − x2 c) 3 x+2
x2−2 x+1+
6
x2−1+
3 x −2
x2+2 x +1
Câu 29:: Thực hiện phép tính:
a) x +24 − 3
x −2 −
5 x +2
4 − x2 b) x −3 1+x − 1 −2 x
3+x −
x (1− x)
9 − x2 c) 3 x+2
x2−2 x+1 −
6
x2−1 −
3 x −2
x2+2 x +1
Câu 30: Rút gọn biểu thức sau:
a) x2−1
x +10.
x
x+2+
x2−1 x+10.
1− x
x +2 b) x
2 +y2
x + y .
( x − y )2
x2 − y
2
x+ y.
( x − y )2
x2
Câu 31:: Cho biểu thức:
A = (x2+2 x
2 x +10+
x −5
x +
50− 5 x
2 x (x+5)) a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A được xác định
b) Tìm x để giá trị của biểu thức A bằng 1
c) Tìm x để giá trị của biểu thức A bằng -1/2
d) Tìm x để giá trị của biểu thức A > 0
Câu 32:Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số:
a) A = (a2 ab2−b2+
a −b
2 a+2b) 2 a
a+b+
b
b − a
b) B = x − y x − x
3− xy2
x2+y2 .[( x − y ) x 2− y
x2− y2]
x −2.(x2x+4− 4)+3 có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất ấy
Câu 34 rút gọn phân thức sau:
Trang 83 2 2 2
Câu 35: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
2x 1
12xy
y 2
9x y
b/
7 6x;
4
x 2y ; 2 2
y x 8y 2x
x x x
x
1
2
; 4 5
5 2 2
2
; ) 1 )(
2
(
5
3
x x
x x
x
x
1
;
1 2 2
x x
x
2
;
1 2
3 x
y x
x
x x
xy
x x
x
x
12 3
; 16
8
3
2 2
5
; 5
3 2
Câu 36: Tính tổng
6x y 12xy 18xy 2/
2
x x 6 x 6x
3x 2 4 9x
4 4 6 3
2
x x
x
3 4
6
2 x x
2 2 2
1 2
x
x x
x
x
6
6 36
6
12
2
x xy
x
y
2
4
x x
x
3
3 2 6 2
1 2
1 2
x
x x
x
2 2
1 1
3
x
6 6
2
3
2
x
2 2
1 4 2 2
a)
2 3x 3x 2
b)
2
x x
2 3 2
2 2 1 2
a a
a a a
a
a a
x
x
x2 2 2 2
f) 2 2 2 2
3 3
y x
y y
x
x
2 15
3
4 5
x
x x
x
2 4
2
4 2
x
x x
x
2 1
2 1
1
1
1
x
x x
1 2
1 )
2 (
1
x x
x
x
2 4
1
2 2
x
x x x
x x
2 2
3
2 10
5
9
x x
x x
x
x
x x
x
x x
1
1
3
1 4 4
6 3
x
x x
x
1 2 2
6 3
x
x x
x
Trang 9o) x x x x
1
1
2
2
p) (9x2 – 1) :
x
1 3 q)
y y
x y
x
3
2 3
2 : 9
4 2 2
b a b a b a
b a
3
1 3
2 2 s) 1
2 2 2
3
2
2
x x
x
x
x
3 1
1 2 1
3
2
x
x x
x x
x
x
6 3
2
1
x x
x
1 : 7
7 49
49 7
2
2
a a
a
a
b
x
) 2 (
) 1 ( 4
x x
x
2 : 3 9
2 3
3
2
x x
x x
x x
2
3
x
a
x
2
1
x
6x y 12xy 18xy 2/
2
x x 6 x 6x
3x 2 4 9x
4 4 6 3
2
x x
x
3 4
6 2
2 2 2
1 2
x
x x
x
x
6
6 36
6
12
2
x xy
x
y
2
4
x x
x
3
3 2 6 2
1 2
1 2
x
x x
x
2 2
1 1
3
x
6 6
2
3
2
x
2 2
1 4 2 2
2 2 2
3 2
2
x x
x x
x
3 1
1 2 1
3
2
x
x x
x x
x
Câu 39: Tìm x:
2
− 3 a
a+4 x=
a2− 9
2
− 2 ab
a2b x=
a2b − 4 b3
Trang 102 2 3 2
2
2
x
Câu 40 rút gọn phân thức sau:
2x 1
12xy
và 2 3
y 2
9x y
b/
7 6x;
4
x 2y ; 2 2
y x 8y 2x
x x x
x
1
2
; 4 5
5 2 2
2
; ) 1 )(
2
(
5
3
x x
x x
x
x
1
;
1 2 2
x x
x
2
;
1 2 3
y x
x
x x
xy
x x
x
x
12 3
; 16
8
3
2 2
5
; 5
3 2
Trang 11
2
2 3
2
7 /
x
2
2
8 /
2
2
x
12/40 a)
b)
2
13/40: b)
2 2
10/40:
2
6/38:
2
VD: a) 2
b)
2
Trang 1225/4 a)
2
)
b
c)
y x y x x y y x y x x y xy x y xy x y xy x y xy x y xy
d)
e)
f)
?4.Tính nhanh:
a)
b)
2
c)
2
a) x +24 − 3
x −2 −
5 x +2
4 − x2 b) x −3 1+x − 1 −2 x
3+x −
x (1− x)
9 − x2 c) 3 x+2
x2−2 x+1 −
6
x2−1 −
3 x −2
x2 +2 x +1
a) x +24 − 3
x −2 −
5 x +2
4 − x2 b) x −3 1+x − 1 −2 x
3+x −
x (1− x)
9 − x2 c) 3 x+2
x2−2 x+1 −
6
x2−1 −
3 x −2
x2+2 x +1
a) x2−1
x +10.
x x+2+
x2−1 x+10.
1− x
x +2 b) x2+y2
x + y .
( x − y )2
x2 −
y2 x+ y.
( x − y )2
x2 a)
a+b
a2− b2
a2 .
a4
(¿)2 b) 3 x −3 y 2 x+2 y 8 x +8 y
15 x −15 y a) 3 − 3 x
(1+ x )2:6 x
2
− 6
x +1 b) (a+b)
2
ab −b2 :[− ab+b
2 (a −b )2]
Trang 13A = (a+77 +
a2 +49
a2−49 −
7
a −7):a+1
2
Cõu 45: Tỡm x, biết
a) a2a+4 − 3 a x= a
2
− 9
a2
b) a2− 2 ab
a2b x=
a2b − 4 b3
2 2
a
5
x
1
x
x y y y
1
x
a Với điều kiện nào của x thỡ giỏ trị của phõn thức được xỏc định?
b Rỳt gọn rồi tớnh giỏ trị của phõn thức tại x = 2010
Cõu 48 : Thực hiện phép tính:
5xy - 4y 3xy + 4y
)
)
x c
2 2
h
)
d
x xyxy y x y
2
3 2
15 2
7
x y e
y x
5 10 4 2
f
2 36 3
2 10 6
x g
i
1
x
Cõu 49: Cho biểu thức: B=[2 x −2 x +1 +
3
x2−1 −
x+3
2 x+2].4 x
2− 4
5
a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức đợc xác định?
b) CMR: khi giá trị của biểu thức đợc xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x?
100 x
10 x
2 x 10 x
2 x
2 2
2
a Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định ?
b Tính giá trị của A tại x = 20040 ?
Cõu 51: Biến đổi mỗi biểu thức sau thành 1 phân thức đại số:
1
1
)
1
x
a
x
x
b)
x2 +4 x+4 −
1
x2− 4 x+4):(
1
x +2+
1
x −2)
c) (
x
x +1+1):(1 −
3 x2
)
d
3
x x e
:
Trang 14Cõu 53: Cho biểu thức:
B
a) Tìm điều kiện xác định của B ?
b) Tìm x để B = 0; B = 1
4
c) Tìm x để B > 0; B < 0?
Cõu 54: Quy đồng mẫu thức cỏc phõn thức sau:
,
,
102x y 34xy ;
,
xy x y
x y x y xy
;
x
x y x y xy
2 ( 3) 3 ( 1)
x x x x
, ( 2) 2 ( 2)
,
3x 12x (2x4)(x3) Cõu 55:Quy đụng mẫu thức cỏc phõn thức sau
,
x x x
,
c)
2
x y
e)
2
x x x x x x ; f) 3 2 2
a ab ad bd a ab ad bd
x xy y z x y yz z x xz y z ;
2 2
2
x y
x y x xy y
l)
2
Cõu 56: Quy đồng mẫu thức cỏc phõn thức:
a x b x b a
axb a xb axb
,
a bc ac ab a bc ac b
Cõu 57: Quy đồng mẫu thức cỏc phõn thức (cú thể đổi dấu để tỡm MTC cho thuọ̃n tiện)
2
x a x ax a x a
x
x xy y x xy y x xy y
Trang 15Câu 58: Rút gọn rồi quy đồng mẫu thức các phân thức sau.
a)
,
,
c)
,
,
2 ,
a) Chia đa thức B lần lượt cho các mẫu của hai phân thức đã cho
b) Quy đồng mẫu thức của hai phân thức đã cho
,
mẫu thức
Câu 61 Cộng các phân thức cùng mẫu thức:
x y x y x y
2
x x x x
c)
2
Câu 62:Cộng các phân thức khác mẫu thức:
x y x y xy
;
3
4
x
g)
2 ( 2)(4 7)
3 ( 3)( 2) ( 2)(4 7)
x x x x x ; Câu 63:Dùng quy tắc đổi dấu để tìm mẫu thức chung rồi thực hiện phép cộng
x
x
x x x x x ; d)
2
x
4
x y x y y x
Câu 64:Cộng các phân thức:
a)
(x y y z )( ) ( y z z x )( ) ( z x x y )( ); b)
(y x z x )( ) ( y x y z )( ) ( y z x z )( );
c)
x x y x z y y x y z z z x z y ; d)
(a x c x )( ) ( a x a c )( ) ( a c x c )( );
e)
a a b a c b b a b c c c a c b
Câu 65:Làm tính cộng các phân thức
a)
11 13 15 17
2
x
x x x x x ;
Trang 16d)
4
1
x
x x x
x
x
x y xy y ; f)
g) 2
5 25 5
4 2
2
1 1 1
x x
x
2
Câu 66:Cho hai biểu thức:
A =
x
3 5
x
Chứng tỏ rằng A = B
Câu 67:Tính giá trị của biểu thức :
x
x x xx x
4
1
x
x x x
x
Câu 68:Tìm các số A, B, C để có :
2
2
Câu 69: Chứng minh hằng đẳng thức :
Câu 70: Làm tính trừ các phân thức:
a)
3 5 5 15
x y x y
2( 1)( 3) 2( 1)( 3)
e)
2
x y y x ; f)
5x y 5y x
x y xy
x
x
4 2 2
2
1
1
x
x
2
3
x
Câu 71:Áp dụng điều này để làm các phép tính sau:
x
x
x x x x x Câu 72:rút gọn các biểu thức :
a)
2
2
1
x
x
x x x x Câu 73:Thực hiện phép tính:
a)
(x1)(x 2) ( x 2)(x 3) ( x 3)(x1) ; b)
A
a a b a c b b a b c a c c b
Câu 74:Tính giá trị của các biểu thức:
a) A =
2
1
x
1
4 Câu 75:Làm tính nhân phân thức :
a)
2
10 121
y x ; b)
5
( 10) ( 2)
Trang 17e)
3
x y x y x y xy
16
( 1)( 1)( 1)
1
x
h)
2
1
5x 10xy20y x y ;j)
2
x ax bx ab x ax a
x ax bx ab x bx b
k)
a ax ba bx a ax bx ab
a ax ab bx a ax bx ab
x ax a x x x ax a
x a ax x x x ax a
Câu 76: Rút gọn biểu thức (chú ý thay đổi dấu để thấy được nhân tử chung)
a)
2 3 2
3 8 12 6
2
1 (1 3 )
Câu 77:Phân tích các tử thức và mẫu thức (nếu cần thì dùng phương pháp thêm bớt cùng một hạng
tử hoặc tách một số thành hai số hạng) rồi rút gọn biểu thức :
a)
2 2
2 2
Câu 78:Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để rút gọn biểu thức:
a)
c)
Câu 79:Rút gọn biểu thức :
a)
c)
2 2
x y
x y x y
Câu 80:Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức :
2 2
1
Câu 81: Cộng các phân thức sau :
)
)
xy z x y z b
c
x y x y x y
)
d
2
)
x e
)
x d
Câu 82: Cộng các phân thức sau :
)
x
a
yz y z yz 2
)
b
)
c
x xyxy y x y
)
e
x y x z y x y z z x z y 2
)
x a
x x x
2
x e
2
)
x b
2
2 )
c
x x x x
2
)
d
)
f
)
x x a
)
b
x x x
Câu 83: Rút gọn các biểu thức sau :