de thi thu dh truong Hung vuong

Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ABCD bằng 60o.. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.[r]

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com

NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn: TOÁN; Khối A, A 1 , B

Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát để

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1

2

x y x

−

=

− (1) có đồ thị (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Cho ba điểm A, B, C phân biệt thuộc (C) lần lượt có hoành độ xA, xB, xC nhỏ hơn 2 Chứng minh rằng tam giác ABC không phải tam giác vuông

Câu II: (2,0 điểm)

1 Giải phương trình: sinx(1 + 2cos2x) = 1

2 Giải hệ phương trình:





− + + =



Câu III: (1 điểm) Tính tích phân I = ln 2 ( )

0

ln 1

x x

∫

Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc

với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bằng 60o

1 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

2 Số đo góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SCD) bằng α Tính sinα

Câu V: (1,0 điểm) Cho hình vuông ABCD Đặt n điểm A1, A2, …, An lần lượt trên các cạnh của hình vuông theo cách: A1∈ AB, A2∈ BC, A3∈ CD, A4∈ DA, A5 ∈ AB… sao cho không điểm nào trùng nhau

và không trùng A, B, C, D Biết rằng số tam giác có 3 đỉnh lấy từ n điểm A1, A2, …, An là 17478, hỏi điểm

An được đặt trên cạnh nào?

PHẦN RIÊNG: (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a: (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1 ; -2), phương trình đường cao BB’ là: 3x – y + 1 = 0 và phương trình đường trung tuyến CM là : 2x +5y - 2 = 0 Tìm phương trình các đường thẳng AC, AB, BC

2 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với C(3; 2; 3), đường cao AH:

2

3 1

3 1

2

−

−

=

−

=

x

,

phân giác trong BM:

1

3 2

4 1

−

−

=

x

Viết phương trình trung tuyến CN của tam giác ABC

Câu VII.a: (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn ( 1 3 )

1

i z

i

−

=

− Tìm môđun của số phức z + i z .

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b: (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh BC: x+2y− =1 0 Hai đỉnh A, B nằm trên

Ox Tìm toạ độ đỉnh C biết diện tích tam giác bằng 10

2 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 8z – 4 = 0 và đường thẳng d có

phương trình: 2 3 1

− (Sửa:

− ) Viết phương trình mặt phẳng

(P) chứa d và cắt mặt cầu bởi giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4

Câu VII.b: (1,0 điểm) Tính tổng S = + + + + + 1 z z2 z3 zn−1 biết rằng 2 2

cos sin

- Hết -

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 Môn: TOÁN; Khối A, A 1 , B

1 (1,0 điểm): Cho hàm số 2 1

2

x y x

−

=

− (1) có đồ thị (C) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

• TXĐ: D = \ 2 R { }

• Chiều biến thiên

( )2

3 '

2

y x

−

=

− ; y ' < 0 ∀ ∈ x D

=> Hàm số luôn nghịch biến trên D

0,25

• lim 2

→−∞ = ; lim 2

→+∞ = ;

• 2

lim

x

y

−

→ = −∞ ;

2

lim

x

y

+

→ = +∞

• Tiệm cận đứng: x = 2 Tiệm cận ngang: y = 2

0,25

Bảng biến thiên

y’ - -

y

0,25

Vẽ đúng đồ thị

10

8

6

4

2

- 2

- 4

- 6

I

O

0,25

2 (1,0 điểm): Cho ba điểm A, B, C phân biệt thuộc (C) lần lượt có hoành độ xA, xB, xC nhỏ hơn Chứng minh rằng tam giác ABC không phải tam giác vuông

Giả sử A ( xA, yA) ( ; B xB, yB) ; C x ( C, yC) và không mất tính tổng quát ta giả

sử xA < xB < xC Do hàm số 2 1

2

x y x

−

=

− nghịch biết trong khoảng ( −∞ ; 2 )

=> y A > y B >y C

0,25

Ta có:

( )( ) ( )( )

AB AC= x −x x −x + y −y y −y >

Câu I

2,0 điểm

( )( ) ( )( )

AB BC= x −x x −x + y −y y −y >






0,25

2

−∞

+∞

2

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com

( )( ) ( )( )

BC AC= x −x x −x + y −y y −y >






Vậy tam giác ABC không phải tam giác vuông

0,25

1 (1 điểm) Giải phương trình: sin (1 2 cos 2 ) x + x =1

(Nếu dùng công thức góc nhân 3 thì trừ 0,5 điểm)

sin (1 2 cos 2 )x + x =1

sinx1 2 1 2 sin x  1

2

3sinx 4 sin x 1

( )( )2

s inx+1 2 sinx 1 0

0,25

1 2 sin 0 sin 1 0

x x



⇔

+ =

Với 1 2 sin− x=0

2 6 5 2 6



= +



⇔

 = +



Với sinx+ =1 0 2

2

⇔ = − +

0,25

Kết luận nghiệm: 2

6 3

k

x= +π π

0,25

2 (1 điểm): Giải hệ phương trình :





− + + =



ĐK: 2 0

0

x y

x y

− ≥



 + ≥

 Tính điểm với phần kết luận nghiệm Phương trình (1) ( ) (2 )

+ Với x−2y= ⇔ =0 x 2y thế vào phương trình (2)

3y 2 3 y 4 x 8

⇒ = ⇔ = ⇒ = ⇒( ) ( )x y; = 8; 4

0,25

+ Với x+ − = ⇔ = −y 4 0 y 4 x thế vào phương trình (2)

( )

3x 8 2 2 3 3x 8 2 3 1

8 3 8 3

3 3

⇒ = − − 

0,25

Câu II

2,0 điểm

Kết luận nghiệm ( ) ( )x y; = 8; 4 hoặc ( ) 3 3

3 3

= − − 

0,25

Tính tích phân I = ln 2 ( )

0

ln 1

x x

∫

ln 2

0

1

ln 1 ( 1) ln 1 1

1

x

e

+

+

Câu III

1,0 điểm

ln 2

0

27 3ln 3 2 ln 2 ln

4

x

e

e

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com

góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bằng 60o

1 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

2 Số đo góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SCD) bằng α Tính sinα

1,0 điểm

1) + Hình vẽ:

+ A là hình chiếu của S trên mp(ABCD)

 SAD 60o

AC=a ⇒SA=a 3

3 2

S.ABCD

a

a a

2) Gọi E, G lần lượt là hình chiếu của A,

B trên mp(SCD) mp(SAD) ⊥ mp(SDC) => E ∈ SD

Do AB //mp(SCD) => BG=AE= 3

2

a

 α=BSG

3 3

2 sin

2.2 4

a

SB a

a

α

0,25

0,25

0,25

0,25

Cho hình vuông ABCD Đặt n điểm A1, A2, …, An lần lượt trên các cạnh của hình vuông theo cách: A1 ∈ AB, A2 ∈ BC, A3 ∈ CD, A4 ∈ DA, A5 ∈ AB… sao cho không điểm nào trùng nhau và không trùng A, B, C, D Biết rằng số tam giác có 3 đỉnh lấy từ n điểm A1, A2,

…, An là 17478, hỏi điểm An được đặt trên cạnh nào?

Gọi Sn là số tam giác thỏa mãn đề bài ứng với n điểm

Nếu n≤12 suy ra S12 < C123 =220 tam giác Vậy n>12 Đặt n=4k+r k r( , ∈Z; 0≤ ≤r 3) ⇒ k≥3

0,25

Xét hàm ( ) 3 3

4k 4 k

Ta có f ( )12 =16416 17478< ; f ( )13 =20956 17478>

Vậy k = 12, r > 0

0,25

Nếu r = 1 ⇒S n =C493 −3C123 −C133 =17478 Nếu r = 2 ⇒S n =C503 −2C123 −2C133 =18588 Nếu r = 3 ⇒S n =C513 −C123 −3C133 =19747

0,25

Câu V:

(1,0 điểm)

Suy ra: k = 12, r = 1 => n = 49 Vậy điểm A49 nằm trên cạnh AB 0,25

PHẦN RIÊNG: (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a:

(2,0 điểm)

1 (1,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1 ; -2), phương trình đường cao BB’ là: 3x – y + 1 = 0 và phương trình đường trung tuyến CM là : 2x +5y - 2 = 0 Tìm phương trình các đường thẳng AC, AB, BC

60

a

G

E

D

B

A

C S

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com

AC ⊥ BB’ Suy ra véc tơ pháp tuyến của AC là nAC =( )1;3 Phương trình AC: (x− +1) (3 y+ =2) 0 ⇔ +x 3y+ =5 0

0,25

Tọa độ C là nghiệm của phương trình: 2 5 2 0

3 5 0

x y

x y

+ − =



 + + =



31 12

x y

=



⇔

= −



( )

C 31;-12

0,25

M(1-5t; 2t) => B(1-10t; 4t+2)

B ∈ CM => 3 1 10( − t) (− 4t+ + =2) 1 0

1 34

t

17 17

0,25

Phương trình AB: 36x+5y−26=0

Phương trình BC: 121x+260y−631=0

0,25

2 (1,0 điểm)

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với C(3; 2; 3), đường cao

AH:

2

3 1

3 1

2

−

−

=

−

=

x

, phân giác trong BM:

1

3 2

4 1

−

−

=

x

Viết phương trình

trung tuyến CN của tam giác ABC

(1;1; 2 ;) (1; 2;1 ;) 1(2;3;3) ; 2(1; 4;3)

1 2

AH BM

 







nên AH cắt BM hay tồn tại mặt phẳng (ABC) + Mặt phẳng ( )α đi qua C và vuông góc với AH nên ( ) : (α x− + − −3) (y 2) 2(z− = ⇔ + −3) 0 x y 2z+ =1 0

Dễ thấy: B=( )α ∩BM Giải hệ:

2 1 0 1

4 2 3

x y z

+ − + =



 = +





= −



 = +



được: t =0; x=1; y =4; z =3

Vậy B(1; 4; 3)

+ Mặt phẳng ( )β đi qua C và vuông góc với BM có phương trình:

( ) : (β x− −3) 2(y− + − = ⇔ −2) (z 3) 0 x 2y+ − =z 2 0 Gọi K =( )β ∩BM Giải hệ:

1

4 2 3

x y z

− + − =



 = +





= −



 = +



được: t =1; x=2; y =2; z =4

Vậy K(2; 2; 4) Suy ra C’(1; 2; 5) là điểm đối xứng với C qua BM

+ Khi đó ta có AB chính là đường thẳng qua B và C’

Suy ra:

1

5

x

=





= −





Khi đó: A=AB∩AH Giải hệ:

1 2 5

x

=





ta được: t = 0; x = 1; y = 2; z = 5 Vậy A(1; 2; 5) Suy ra trung điểm của AB là

N(1; 3; 4) Suy ra: 1 3 4

x− = y− = z−

−

0,25

0,25

0,25

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com

0,25

Câu VII.a:

(1,0 điểm)

Cho số phức z thỏa mãn ( 1 3 )

1

i z

i

−

=

− Tìm môđun của số phức z + i z .

( 1 3 ) ( 1 3 1 ) ( ) ( 1 3 ) ( 1 3 )

i

−

( 1 3 ) ( 1 3 )

= −

1 3 1 3

z+ i z = +1 i ⇒ z+i z = 2

0,25

0,25

0,25

0,25

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b:

(2,0 điểm)

1 (1,0 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh BC: x+2y− =1 0 Hai đỉnh A,

B nằm trên Ox Tìm toạ độ đỉnh C biết diện tích tam giác bằng 10

Tìm được B = (1; 0) Giả sử C = (1-2t; t) => A = (1-2t; 0)

2 ABC

2 AB.AC

S =

t t t

= = =10 10

10

t t

 =



= −



1 2 10; 10

1 2 10; 10

C C

 = −



⇒



0,5

0,5

2 (1,0 điểm): Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 8z – 4 = 0

và đường thẳng d có phương trình: 2 3 1

− Viết phương trình mặt phẳng

(P) chứa d và cắt mặt cầu bởi giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4

www.MATHVN.com - www.DeThiThuDaiHoc.com

Mặt cầu (S) có tâm I = (1;-2;4) bán kính R = 5

Gọi H là tâm đường tròn giao tuyến của mp(P) và mặt cầu (S)

=> IH = 3 Bài toán trở thành: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và tiếp xúc với mặt cầu tâm I bán kính 3

Giả sử mp(P) có phương trình

0

ax by+ + + =cz d

Ta có A(0; 7; 1− ∈) d; B(−1;5; 0)∈d

b c d

a b d

− + =



⇒ 

− + + =



2 5

= +



⇔

= −

 (1) Mặt khác ( ( ) ) 2 2 2 2 2

d I P

Chọn a=1

2

6

3

5 4 2

b

+

+ +

2

6 3 26 22

44 12 9 0

6 3 26 22

b

b

 = − −





 = − +



 Tính c, d và viết được hai phương trình mặt phẳng (P)

(P): 22x− +(6 3 26) (y+ 10 6 26− )z+52 15 26+ =0 Hoặc (P): 22x− −(6 3 26) (y+ 10 6 26+ )z+52 15 26− =0

Đ A sửa:

2x 2 1 0

2 2z 6 0

y z

x y

− + − =

− − − =

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu VII.b:

(1,0 điểm) Tính tổng S = + + + + + 1 z z2 z3 zn−1 biết rằng 2 2

cos sin

cos sin

= + ⇒z n =cos 2π+isin 2π =1

Với n = 1 ⇒S=1 Với n≠ ⇔ ≠1 z 1

( ) ( ) ( 2 1)

S − = −z z + + + +z z z − = −z =0 ⇒S =0

0,5

0,5

Thí sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn chấm theo thang điểm trên

4

5

H I

A