Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số C 2.. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C, biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị C đến tiếp tuyến đó là lớn nhất.. PHẦN RIÊNG
Trang 1SỞ GD & ĐT PHÚ THỌ
TRƯỜNG THPT HƯNG HÓA
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2010-2011
Môn thi : TOÁN ; Khối : A
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm):
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y = (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến đó
là lớn nhất
Câu II (2 điểm)
2 3 2(cot 1)
cos
x
x x
x
+
Câu III (1 điểm) Tính tích phân:
3 2 2 1
log
1 3ln
e
x
=
+
Câu IV (1 điểm)
phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB)
4
Câu V (1 điểm)
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3
.
1 a b c ( ) 1 + b c a ( ) 1 + c a b ( ) ≤ abc
II PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B).
A Theo chương trình Chuẩn:
Câu VI.a (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + 1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1) Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
x − = y − = z
và điểm M(0 ; - 2 ; 0) Viết
mặt phẳng (P) bằng 4
Câu VIIa(1 điểm)
2
1 2
+
B Theo chương trình Nâng cao:
Câu VI.b (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0) Hai đỉnh B và C lần lượt nằm
đường thẳng BG
x − = y + = z +
C©u VII.b (1 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( )log2 ( )log2 2 ( )
3 1 + x+ x 3 1 − x = + 1 x x R ∈
……… … ……… Hết……….
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC - NĂM: 2010-2011
Chiều biến thiên
lim ( ) lim ( ) 1
→+∞ = →−∞ = nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
lim ( ) , lim
→ = +∞ → = −∞ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
1 0 ( x 1)
−
0.25
Bảng biến thiên
1 + ∞
- ∞
1
-y
y'
x -∞ 1 + ∞
Hàm số nghịch biến trên ( −∞ ;1) và (1; +∞ )
Hàm số không có cực trị
0.25
Đồ thị
f(x)=x/(x-1) f(x)=1
-8 -6 -4 -2
2 4 6 8
x y
Giao điểm của đồ thị với trục Ox là (0 ;0)
Vẽ đồ thị
Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận I(1 ;1) làm tâm đối xứng
0.25
Giả sử M(x0 ; y0) thuộc (C) 0 0
0 1
x y x
− Khi đó tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M có
1 ( ) ( )
x
0.25
Trang 3-+
f(t) f'(t) x
2 0
1
Ta có d(I ; ∆ ) = 0
4 0
2 1 1 1 ( 1)
x x
− +
−
Xét hàm số f(t) = 2 4 ( 0)
1
t t
t >
+ ta có f’(t) =
2
(1 )(1 )(1 ) (1 ) 1
0.25
f’(t) = 0 khi t = 1
Bảng biến thiên
từ bảng biến thiên ta có
d(I ; ∆ ) lớn nhất khi và
chỉ khi t = 1 hay
0 0
0
2
1 1
0
x x
x
=
0.25
+ Với x0 = 0 ta có tiếp tuyến là y = -x
Đk:
2
x k ≠ π
Phương trình đã cho tương đương với:
2
2
4
sin 2
sin cos
x
+
0.25
⇔
3
3 1
x
π
= − = − + π
= + π
tan
KL: So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm :
x = + π k π
2
x x PT
⇔
0.25
Trang 4
2
3 2 0
5 2( 2)
x x
⇔
0
2
5 2.
x x
x x
x
− ≤ ≤
( ) ( 2 )
x
− ≤ <
⇔ = −x 1
Câu
3
2
3
ln
ln 2
x
x
dx
x
2
3
2 2
2
1 1
1 3ln
t
−
+
2 3
1
9 ln 2 3 t t 27 ln 2
Câu
Hay tam giác ABD đều
Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên
0,25
Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có
a
OK = DH = ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥
(SOK)
cách từ O đến mặt phẳng (SAB)
0,25
2
a SO
đường cao của hình chóp
2
a
SO = Thể tích khối chóp S.ABCD:
3
.
a
0,25
0,25
S
A
B K
H C
O
I D
3a
a
Trang 5Câu V 1.0
=
0,25
1 b c a ( ) ≤ 3 b 1 c a b ( ) ≤ 3 c
Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có:
ab bc ca
+ +
0,25
0,25
Câu
Do B là giao của AB và BD nên toạ độ của B là nghiệm của hệ:
21
;
5
x
B
y
=
0.25
Lại có: Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên góc giữa AC và AB bằng góc giữa AB và BD, kí
thẳng AB, BD, AC Khi đó ta có: c os ( n uuur uuurAB, nBD) = c os ( n uuur uuurAC, nAB)
3
2
7
a
= −
= −
0.25
(3; 2)
A
7
;
2
x
x y
I
y
=
− − =
5 5
0.25
Giả sử ( ; ; ) n a b c r
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + 2b = 0.
Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một vectơ chỉ phương u r = (1;1; 4)
0,25
Trang 6Từ giả thiết ta có
2 2 2
| 5 |
4
P
d A P
∆
+
r r
0,25
Thế b = - a - 4c vào (2) ta có ( a + 5 ) c 2 = (2 a2 + 17 c2 + 8 ) ac ⇔ a2 - 2 ac − 8 c2 = 0
⇔ a 4 v a 2
Với a 4
c = chọn a = 4, c = 1 ⇒ b = - 8 Phương trình mặt phẳng (P): 4x - 8y + z - 16
= 0.
Với a 2
c = − chọn a = 2, c = - 1 ⇒ b = 2 Phương trình mặt phẳng (P): 2x + 2y - z +
4 = 0.
0,25
Câu
Giải pt đã cho ta được các nghiệm: 1 1 3 2 , 2 1 3 2
Suy ra
2 2
= = + ÷÷ = + =
Do đó
2
1 2
11
4
Câu
3 0
+ + =
0.25
0.25
Ta có phương trình tham số của d là:
3 2
2 1
= +
= − +
= − −
⇒ toạ độ điểm M là nghiệm của hệ
3 2 2 1
2 0
x y z
= +
= − +
= − −
+ + + =
(tham số t)
(1; 3;0)
M
0.25
0.25
Trang 7Gọi N(x; y; z) là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn ∆, khi đúMN x uuuur ( − 1; y + 3; ) z
nờn ta cú phương trỡnh: 2x – 3y + z – 11 = 0
2 0
x y z
+ + + =
− + − =
− + + + =
:
−
:
Cõu
Điều kiện : x>0
Đặt ( )log 2
3 1+ x =u, ( )log 2
ta có uv = x ⇒ x2 = u2v2
0,25 phơng trình đã cho trở thành u +uv2 = 1 + u2 v2 ⇔ (uv2-1)(u – 1) = 0 0,25
21 1
u
uv=
