Phương pháp tính
Trang 1Chương 4:
Giải Hệ phương trình
tuyến tính
1 Đặt vấn đề:
Trong chương này ta xét việc giải hệ phương trình đại số n phương trình, n ẩn số
= +
+ +
= +
+ +
= +
+ +
+
+ +
1 2
2 1 1
1 2 2
2 22 1 21
1 1 1
2 12 1 11
nn n nn n
n
n n n
n n n
a x a x
a x a
a x a x
a x a
a x a x
a x a
trong đó aij ( i,j = 1,n ) gọi là hệ số của hệ phương trình
ain+1 ( i = 1,n ) gọi là vế phải của hệ phương trình
xi ( i = 1,n ) là các ẩn số phải tìm
A =
nn n n n
n n
a a a a
a a a a
a a a a
3 2 1
2 23 22 21
1 13 12 11
gọi là ma trận hệ số của hệ phương trình
b =
+
+ +
1
1 2
1 1
nn
n n
a
a a
gọi là vectơ vế phải của hệ phương trình
x =
n
x
x x
2 1
gọi là vectơ ẩn số của hệ phương trình
Hệ phương trình trên được viết gọn dưới dạng: Ax = b
Nếu ma trận A không suy biến, nghĩa là det(A) ≠ 0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Thật vậy, vì det(A) ≠ o nên tồn tại A-1, ta suy ra
Trang 2A-1.A.x = A-1.b ⇒ x = A-1b Phương pháp Cramer, giải đúng hệ phương trình bằng công thức:
xi = i (i=1,n)
∆
∆
trong đó ∆ = det(A)
phải b của hệ phương trình
Khi n lớn, phương pháp Cramer với khối lượng tính toán tăng rất nhanh
Vì vậy, người ta phải xây dựng những phương pháp giải hệ phương trình sao cho khi n lớn, khối lượng tính toán không quá lớn, có thể thực hiện được
2 Phương pháp trực tiếp: ( phương pháp Gauss, phương pháp khử )
Phương pháp Gauss là 1 phương pháp được dùng phổ biến để giải hệ phương trình, đặc biệt người ta dùng phương pháp này khi ma trận hệ số A “đầy” (nghĩa
là những phần tử = 0 ít và cấp của ma trận không quá lớn)
2.1 Nội dung phương pháp:
Để đơn giản việc trình bày, xét hệ thống 4 phương trình, 4 ẩn số:
= +
+ +
= +
+ +
= +
+ +
= +
+ +
) 0 ( 45 4 ) 0 ( 44 3 ) 0 ( 43 2 ) 0 ( 42 1 ) 0 ( 41
) 0 ( 35 4 ) 0 ( 34 3 ) 0 ( 33 2 ) 0 ( 32 1 ) 0 ( 31
) 0 ( 25 4 ) 0 ( 24 3 ) 0 ( 23 2 ) 0 ( 22 1 ) 0 ( 21
) 0 ( 15 4 ) 0 ( 14 3 ) 0 ( 13 2 ) 0 ( 12 1 ) 0 ( 11
a x a x a x a x a
a x a x a x a x a
a x a x a x a x a
a x a x a x a x a
(I)
Nội dung của phương pháp Gauss là khử dần các ẩn số để đưa hệ (I) về hệ tam giác tương đương ( ma trận hệ số của hệ là ma trận tam giác trên)
=
= +
= +
+
= +
+ +
) 4 ( 45 4
) 3 ( 35 4 ) 3 ( 34 3
) 2 ( 25 4 ) 2 ( 24 3 ) 2 ( 23 2
) 1 ( 15 4 ) 1 ( 14 3 ) 1 ( 13 2 ) 1 ( 12 1
a x
a x a x
a x a x a x
a x a x a x a x
(II)
Sau đó giải (II) từ dưới lên
(I) → (II) : Quá trình thuận
Giải (II) gọi là quá trình ngược
a) Quá trình thuận:
* Khử x1: Giả sử ( 0 )
11
a ≠ 0 ( ( 0 )
11
a gọi là trụ thứ nhất) Chia phương trình đầu của (I) cho ( 0 )
11
a , ta được:
) 1 ( 15 4 ) 1 ( 14 3 ) 1 ( 13 2 ) 1 ( 12
x + + + =
Trang 3với (0)
11
) 0 ( 1 ) 1 ( 1
a
a
a j = j (j= 2,3,4,5)
) 1 ( 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( ) 1 (
j i ij
a = − (i=2,3,4 ; j= 2,3,4,5)
*Khử x2: chú ý các công thức:
) 1 ( 22
) 1 ( 2 )
2
(
2
a
a
a j = j ( j= 3,4,5)
) 2 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( )
2
(
j i ij
a = − (i= 3,4; j = 3,4,5)
*Khử x3: chú ý các công thức:
) 2 ( 33
) 2 ( 3 )
3
(
3
a
a
a j = j ( j= 4,5)
) 3 ( 3 ) 2 ( 43 ) 2 ( 4 )
3
(
4j a j a a j
*Khử x4: với (3)
44
) 3 ( 45 ) 4 ( 45
a
a
a =
b) Quá trình ngược:
Giải hệ phương trình (II)
x4 = ( 4 ) 45
a
x3 = a35(3) −a34(3)x4
) 2 ( 24 3 ) 2 ( 23 ) 2 (
a − −
) 1 ( 14 3 ) 1 ( 13 2 ) 1 ( 12 ) 1 (
a − − −
Trang 42.2 Sơ đồ tính và kiểm tra quá trình tính:
Sơ đồ tính :
x4 x3 x2 x1
4
x
3
x
2
x
1
x
Để kiểm tra người ta dùng cột “tổng kiểm tra” (Σ)
∑
=
= 5 1
) 0 ( )
0 ( 6
j ij
a (i= 1,2,3,4)
nó như một vế phải mới của hệ phương trình :
) 0 ( 6 5
1
) 0 (
i j
j
a =
∑
= ( i= 1,2,3,4)
rõ ràng : x j=x j+1
Đối với mỗi phần tử của cột Σ ta đều thực hiện những phép tính giống như đối vớI những phần tử của những cột ở bên trái cột Σ và nằm trong cùng một hàng vớI phần tử của cột Σ, nên nếu không có sai số tính toán thì những phần tử của cột Σ phải bằng tổng những phần tử tương ứng của những cột ở bên trái cột Σ hiện tượng này được dùng để kiểm tra quá trình thuận Quá trình ngược được kiểm tra bằng hệ thức x j=x j+1
2.3 Phương pháp Gauss có tìm trụ lớn nhất:
Phương pháp Gauss sẽ không thực hiện được nếu một trong các trụ bằng
0, hoặc tuy khác 0 nhưng về trị tuyệt đối rất nhỏ so với các phần tử còn lại trong
Trang 5cùng hàng thì khi chia các phần tử ấy cho phần tử trụ, sai số làm tròn sẽ lớn, do
đó giảm nhiều độ chính xác của nghiệm tìm được
Để khắc phục những hạn chế vừa nêu, người ta thường dùng phương pháp Gauss có tìm trụ lớn nhất Chẳng hạn, khi khử x1, người ta chọn số lớn nhất về trị tuyệt đối trong các số hệ số của x1 trong các phương trình làm trụ thứ nhất và hoán vị hàng thứ nhất với hàng có chứa trụ vừa tìm được Cứ thế tương tự khi khử x2, x3,…
2.4 Chuẩn của ma trận và chuẩn của vectơ:
Ba chuẩn thông dụng của ma trận:
- Chuẩn cột :
∑
=
i ij
max
- Chuẩn Euclide:
∑
=
j ij
a A
,
2 2
- Chuẩn hàng:
∑
=
∞
j ij
A max
Vectơ là ma trận chỉ có một cột, ta có 3 chuẩn:
=
= + + +
i i
x x
x x
1 2
1
=
= n
i i
x x
1
2 2
x ∞ =max
3 Phương pháp lặp đơn:
Những phương pháp lặp trong đó có phương pháp lặp đơn là những phương pháp giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính Chúng chỉ cho nghiệm gần đúng của hệ phương trình, dù các phép tính trung gian tính đúng hoàn toàn, nhưng ta
có thể tính nghiệm gần đúng ấy với độ chính xác bất kỳ Người ta dùng những phương pháp lặp khi ma trận hệ số A “thưa” (số phần tử ≠ 0 ít, cấp của ma trận lớn)
3.1 Nội dung phương pháp:
Xét hệ phương trình Ax = b, ta hệ phương trình về dạng tương:
x = β + αx trong đó :
Trang 6
=
=
nn n
n
n n
α α
α
α α α
α
β
β
β
β
2 1
2 22 21
1 12 11 2
Sau đó tự cho 1 vectơ gọi là vectơ xấp xỉ đầu, ký hiệu x(0) ( thường chọn x(0) = β), sau đó tính dần x(k) theo công thức:
Vectơ x(k) gọi là vectơ lặp thứ k
Nếu dãy vectơ lặp x(0), x(1),…, x(k) có giới hạn thì giới hạn đó chính là nghiệm đúng x* của hệ phương trình
3.2 Sự hội tụ của phương pháp:
Quá trình lặp đơn hội tụ nếu:
1
<
p
α
3.3 Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng:
Ta có 2 công thức:
p k k p
p p
x( ) * ( ) ( 1 )
1
−
−
−
≤
−
α α
và
p p
k p p
x( ) * ( 1 ) ( 0 )
1
) (
−
−
≤
−
α α
Thí dụ: Dùng phương pháp lặp đơn tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình:
= +
−
=
− +
=
− +
20 4 08 , 0 04 , 0
9 15 , 0 3 09 , 0
8 08 , 0 24 , 0 4
3 2 1
3 2
1
3 2
1
x x x
x x
x
x x
x