Phương pháp tính Chương 2

Phương pháp tính

Chương 2 : Lý thuyết nội suy

1 Đa thức nội suy:

Trong thực hành ta thường gặp những hàm số y = f(x) mà không biết biểu thức giải tích cụ thể f của chúng Thông thường, ta chỉ biết các giá trị y0,

y1, …, yn của hàm số tại các điểm khác nhau x0, x1, …, xn của [ a, b ] Các giá trị này có thể nhận được thông qua thí nghiệm, đo đạc Khi sử dụng những hàm số trên, nhiều khi ta cần biết các giá trị của chúng tại các điểm không trùng với xi (i=0,1,2,…n)

Muốn thế, ta tìm cách xây dựng một da thức:

Pn (x) = a0xn + a1xn-1 +…+ an-1x + an

thoả mãn : Pn (xi) = f(xi) = yi (i = 0, 1, 2…, n)

Pn(x) gọi là đa thức nội suy của hàm f(x)

Các điểm xi (i = 0, 1, 2…, n) gọi là các nút nội suy

Về mặt hình học, có nghĩa là tìm đường cong

y = Pn (x) = a0xn + a1xn-1 +…+ an-1x + an đi qua các điểm Mi(xi,yi) (i = 0, 1, 2…, n) của đường cong y = f(x).Sau đó ta dùng đa thức Pn(x) thay cho hàm số f(x)

để tính gần đúng giá trị của hàm số f(x) tại các điểm x  xi (i = 0, 1, 2…, n)

Sở dĩ ta chọn đa thức Pn(x) vì trong tính toán, đa thức là hàm số dễ tính nhất.

Nhằm giảm bớt khối lượng tính toán, người ta cũng dùng đa thức nội suy Pn(x) thay cho hàm số f(x) để tính gần đúng giá trị của hàm số f(x) tại các điểm x  xi

(i = 0, 1, 2…, n) trong trường hợp biểu thức giải tích cụ thể của hàm số f(x) đã biết nhưng tương đối phức tạp.

Đa thức nội suy Pn(x) cuả hàm số f(x) nếu có, thì chỉ có một mà thôi (Chứng minh sự duy nhất của đa thức nội suy xem như bài tập)

2 Tính giá trị của đa thức: sơ đồ Horner:

Cho đa thức bậc n :

Pn (x) = a0xn + a1xn-1 +…+ an-1x + an

v ới hệ số thực ak (k = 0,1, 2…, n), cần tính giá trị đa thức tại x = c

Pn (c) = a0cn + a1cn-1 +…+ an-1c + an

Cách tính Pn(c) tiết kiệm nhất về số phép tính như sau: ta viết dưới dạng:

Pn(c) = (…((((a0c + a1)c + a2)c + a3)c +…an-1)c + an )

Vậy để tính Pn(c), chỉ cần lần lượt tính:

b0 = a0

b1 = a1 + b0c

b2 = a2 + b1c

b3 = a3 + b2c

bn = an + bn-1c = Pn(c)

Để tiện tính toán, Ta dùng sơ đồ Horner

a0 a1 a2 ………… an

b0c b1c ……… bn-1c

b0 b1 b2 …………. bn = Pn(c)

Thí dụ: Dùng sơ đồ Horner, tính giá trị:

P3(x) = 3x3 + 2x2 -5x + 7 tại x = 3

3 11 28 91 = P3(3)

3 Đa thức nội suy Lagrange:

Giả sử trên [a, b] cho n + 1 giá trị khác nhau của đối số: x0, x1, …, xn và biết đối với hàm số y = f(x) những giá trị tương ứng f(xi) = yi ( i = 0,1,2, ,n) Bây giờ ta xây dựng đa thức nội suy Ln(x) bậc không cao hơn n, thoả mãn điều kiện:

Ln(xi) = yi ( i = 0,1,2, ,n) Theo cách của Lagrange, trước hết ta xây dựng đa thức li(x) thoả điều kiện:

li(x) 



 0 1

Vì đa thức li(x) phải tìm triệt tiêu tại n điểm x0, x1, …,xi-1, xi+1,… xn nên li(x) có thể được viết dưới dạng:

li(x) = ci(x – x0)(x – x1)…(x – xi-1)(x – xi+1)…(x – xn) trong đó ci là hằng

số phải tìm

Đặt x = xi trong hệ thức trên ta được:

ci = 1/[(xi – x0)(xi – x1)…(xi – xi-1)(xi – xi+1)…(xi – xn) ]

Suy ra li(x) = [(x – x0)(x – x1)…(x – xi-1)(x – xi+1)…(x – xn)]/[(xi – x0)(xi – x1)… (xi – xi-1)(xi – xi+1)…(xi – xn)]

li(x) : đa thức Lagrange cơ bản

Bây giờ ta xét

nếu j = i nếu j  i





n i

0 i i

y ) ( l ) ( L

Dễ thấy rằng Ln(x) bậc không cao hơn n và







n

i

j j

0

i

i( )y l

)

(

L = lj(xj)yi = yi ( j=0,1,2,…,n)

Suy ra Ln(x) là đa thức nội suy phải tìm

Ta có công thức:

i n i

i i i i

i

n i

x x x

x x x x x x x

x x x

x x x x x x x x

) ) (

)(

) (

)(

(

) ) (

)(

) (

)(

( ) (

L

1 1

1 0

1 1

1 0

n































Ln(x) : đa thức nội suy Lagrange

Ta xét hai trường hợp hay sử dụng của đa thức nội suy Lagrange

 Nội suy bậc nhất hay nội suy tuyến tính:

Khi n = 1, ta có 2 nút nội suy x0, x1

1 0 1

0 0

1 0

1

1 ( )

x x

x x y x x

x x x













Phương trình L1(x) chính là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

M0(x0,y0) và M1(x1,y1)

 Nội suy bậc hai:

Khi n = 2, ta có 3 nút nội suy x0, x1, x2

2 1 2 0 2

1 0

1 2 1 0 1

2 0

0 2 0 1 0

2 1

2

) )(

(

) )(

( )

)(

(

) )(

( )

)(

(

) )(

(

)

(

x x x x

x x x x y

x x x x

x x x x y

x x x x

x x x x x































Phương trình L2(x) chính là phương trình đường parabol đi qua 3 điểm

M0(x0,y0), M1(x1,y1) và M2(x2,y2)

Thí dụ: Hãy xây dựng đa thức nội suy Lagrange của hàm số y = sinx,

chọn các nút nội suy là:

x0 = 0 ; x1 = 1/6 ; x2 = 1/2

Thí dụ: Cho bảng giá trị hàm số y = lgx

Tính giá trị gần đúng lg301 bằng đa thức nội suy Lagrange

 Đánh giá sai số:

Nếu y = f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp n+1 trên [a, b] chứa tất cả các nút nội suy xi ( i = 0,1,2,…,n) thì sai số nội suy cho bởi công thức:

) ( 1)!

(n

M ) ( L ) ( ) (

n

n x f x x  n x









trong đó Mn1 max f (n 1 ) (x)

b x a







n+1(x) = (x – x0)(x – x1)…(x – xn)

Thí dụ: Cho bảng giá trị của hàm số y = sinx

Tính gần đúng sin (/3) bằng đa thức nội suy Lagrange và đánh giá sai số của giá trị gần đúng nhận được

4 Đa thức nội suy Newton:

A/ Trường hợp các nút nội suy không cách đều:

 Tỷ hiệu:

Giả sử hàm số y = f(x) được cho dưới dạng bảng

trong đó yi = f(xi) (i = 0, 1, 2,…, n) và xi = xi+1 – xi  0 (i = 0, 1, 2,…, n) không bằng nhau

Tỷ số :

f[xi, xi+1] =

i i

i i i

i

i i

x x

y y x

x

x f x

f



















1

1 1

1 ) ( ) (

(i = 0, 1, 2,…, n)

gọi là tỷ hiệu cấp một của hàm số f(x) Tương tự, ta định nghĩa tỷ hiệu cấp hai của hàm số f(x)

f[xi, xi+1, xi+2 ] =    

i

i i i

i

x

x x f x

x f













2 i

1 2

1

x

, ,

(i = 0, 1, 2,…, n)

Tổng quát, ta định nghĩa tỷ hiệu cấp n của hàm số f(x) nhận được từ tỷ

hiệu cấp n-1

i n i

n i i n

i i

n i i

i

x x

x x f x

x f x

x x f





    





1 1

1

, , , ,

, , ,

với n = 1,2, … và i = 0,1,2,

Chú ý:

- Tỷ hiệu cấp n của 1 đa thức bậc n bằng hằng số

- Tỷ hiệu cấp lớn hơn n của 1 đa thức bậc n thì bằng 0

 Đa thức nội suy Newton: trường hợp các nút nội suy không cách đều:

Giả sử trên (a, b) chọn n+1 giá trị khác nhau của đốI số x0, x1, …, xn (các

xi không cách đều) và biết f(xi) = yi (i= 0,1, ,n)

Ta xây dựng được đa thức:

Pn(x) = y0 + (x – x0)f[x0, x1 ] +…+ (x- x0)(x – x1)…(x- xn-1)f[x0,x1,…,xn ]

Đa thức Pn(x) gọi là đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x0 của hàm số f(x) với sai số nội suy là:

Rn(x) = ( x – x0 )(x – x1)…(x – xn)f[x, x0, …, xn ]

Tương tự, ta xây dựng được đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ xn của hàm số f(x)

Pn(x) = yn + (x – xn)f[xn, xn-1 ] +…+ (x- xn)(x – xn-1) (x- x1)f[xn,xn-1,…,x0 ] với sai số nội suy là:

Rn(x) = ( x – xn )(x – xn-1)…(x – x1)(x – x0)f[x, xn, …, x0 ]

Thí dụ: Cho bảng giá trị của hàm số y = f(x)

- Xây dựng đa thức nội suy tiến xuất phát từ x0 = 0 của hàm số y =f(x)

- Dùng đa thức nội suy nhận được tính gần đúng f(1,25)

B/ Trường hợp các nút nội suy cách đều:

 Hiệu hữu hạn: Giả sử hàm số f(x) được cho dưới dạng bảng:

trong đó yi = f(xi) (i = 0,1,2…) là các nút xi cách đều, nghĩa là:

xi = x0 + ih ( h hằng số >0, i = 0,1,2…)

khi đó

yi= yi+1 – yi gọi là hiệu hữu hạn tiến cấp một của hàm số f(x) tại điểm xi

2yi = (yi) = yi+1 - yi gọi là hiệu hữu hạn tiến cấp hai của hàm số

f(x) tại điểm xi

Tổng quát, ta định nghĩa hiệu hữu hạn tiến cấp n của hàm số f(x) tại

điểm xi

nyi = (n-1yi) = n-1yi+1 - n-1yi

Bây giờ ta định nghĩa hiệu hữu hạn lùi

yi = yi – yi+1 gọi là hiệu hữu hạn lùi cấp một của hàm số f(x) tại điểm xi

2yi = (yi) = yi – yi+1 gọi là hiệu hữu hạn lùi cấp hai của hàm

số f(x) tại điểm xi

Tổng quát :

nyi = (n-1yi) = n-1yi – n-1yi+1 gọi là hiệu hữu hạn lùi cấp n của

hàm số tại điểm xi

 Đa thức nội suy Newton: trường hợp các nút nội suy cách đều:

Vì các nút nội suy cách đều chỉ là trường hợp đặc biệt của các nút nội suy không cách đều, do đó để xây dựng đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x0 của hàm số f(x) trong trường hợp các nút nội suy cách đều xi = x0 + ih (i= 0,1, n) ta thay các tỷ hiệu bằng các hiệu hữu hạn tương ứng trong Pn(x) và đặt x = x0 + ht, ta có công thức:

Pn(x) = Pn(x0 + ht) =

0 0

2 0

0

!

) 1 ) (

2 )(

1 (

! 2

) 1 (

y n

n t t

t t y

t t y t

























Đó là đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x0 của f(x) trong trường hợp các nút nội suy cách đều

Tương tự ta nhận được công thức của đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ nút xn trong trường hợp các nút nội suy cách đều

Pn(x) = Pn(x0 + ht) =

n

n n

n n

n

n t t

t t y

t t y t

y            

!

) 1 ) (

2 )(

1 (

! 2

) 1 (

 Sai số của đa thức nội suy Newton trong trường hợp các nút nội suy cách đều:

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp n +1 trên (a, b) chứa tất cả các nút nội suy cách đều xi : xi = x0 + ih ( i= 0,1,2, n) Sai số của đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x0 của f(x) :

) ) (

1 ( )!

1 (

) ( )

(

) 1 ( 1

n t t

t n

c f

h x R

n n









trong đó c là giá trị trung gian của các nút nội suy và điểm x, t = (x – x0)/h

Sai số của đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ nút xn của f(x) :

) ) (

1 ( )!

1 (

) ( )

(

) 1 ( 1

n t t

t n

c f

h x R

n n









trong đó c là giá trị trung gian của các nút nội suy và điểm x, t = (x – xn)/h

Thí dụ:

Cho bảng giá trị của hàm số y = f(x)

- Dùng đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0 = 150 để tính gần đúng sin160

- Đánh giá sai số của giá trị gần đúng nhận được

5 Phương pháp bình phương bé nhất:

Phương pháp bình phương bé nhất thường dùng để lập công thức thực nghiệm Giả sử cần tìm quan hệ hàm số giữa hai đại lượng x và y Muốn thế,

ta tiến hành thí nghiệm, rồi quan sát, đo đạc ta nhận được bảng các giá trị tương ứng sau:

Việc từ bảng trên tìm ra quan hệ hàm số y = f(x) cụ thể gọi là lập công thức thực nghiệm Nói chung không có khả năng hàm số f(x) đúng hoàn

toàn Ngay việc tìm hàm số xấp xỉ của hàm số f(x) bằng phương pháp bình phương bé nhất cũng rất phức tạp nếu không biết trước dạng của hàm số xấp

xỉ Ở đây, để đơn giản, ta chỉ xét trường hợp dạng của hàm số xấp xỉ đã biết,

đó là nhiững dạng sau:

a) y = ax + b

b) y = a + bx + cx2

c) y = a + bcosx + csinx

d) y = aebx (a.> 0)

e) y = axb ( a > 0)

Trong đó a, b, c là những hằng số được xác định bằng phương pháp bình phương bé nhất

Xét các trường hợp:

a) y = ax + b:

Vì các cặp số (x1, y1); (x2, y2),…(xn, yn) nhận được từ thí nghiệm chỉ

là những giá trị xấp xỉ của x, y nên chúng không hoàn toàn nghiệm đúng phương trình y = a + bx, nghĩa là:

y1 – a – bx1 = 1

y2 – a – bx2 = 2

yn – a – bxn = n

trong đó 1, 2, 3,…, n là các sai số , phương pháp bình phương

bé nhất nhằm xác định a, b sao cho tổng các bình phương các sai số

nói trên là bé nhất, nghĩa là:











n

i

i

y

S

1

2

bé nhất Như vậy a, b phải thoả mãn:



















0 0

b

S

a

S

Tính toán và rút gọn, ta được:















n

i

n i i i n

i

i i

n

i

n

i i i

y x x

b

x

a

y x

b

na

2

Đây là 1 hệ phương trình hai ẩn số a và b Giải hệ phương trình này

ta nhận được a và b phải tìm

b) y = a + bx + cx2

Làm tương tự, ta được hệ phương trình:

































n

i

n

i i i n

i i n

i i i

n

i

n

i i i n

i i n

i i i

n i

n i

i n

i

i i

y x x

c x

b x

a

y x x

c x

b x

a

y x

c x

b

na

2 1

4 1

3 2

3 1

2

2

Đây là 1 hệ phương trình ba ẩn số a,b và c Giải hệ phương trình

này ta nhận được a, b và c phải tìm

c) y = a + bcosx + csinx

Làm tương tự, ta được hệ phương trình:

































n

i

i n

i

i n

i

i n

i

i i

i

n

n

i i n

n

i

n i

n i

i n

i

i i

x y

x c

x x

b x

a

x y

x x

c x

b x

a

y x

c x

b

na

2 1

2

si n

si n

si n cos

s in

co s

si n cos

cos cos

s in

co s

Đây là 1 hệ phương trình ba ẩn số a,b và c Giải hệ phương trình

này ta nhận được a, b và c phải tìm

d) y = aebx ( a>0)

Lấy logarit hai vế, ta có:

lgy = lg(aebx) = lga + lgebx = lga + (blge)x

Đặt lgy = Y, lga = A, blge = B

Ta suy ra : Y = A + BX

Ta đưa về trường hợp a), tìm được A, B và tính ra a, b

e) y = ax (a>0)b

Lấy logarit 2 vế, ta được:

lgy = lga + lgxb = lga + blgx

Đặt Y = lgy, lga = A, b = B, lgx = X

Ta suy ra Y = A + BX

Ta đưa về trường hợp a), tìm được A, B và tính ra a, b

Thí dụ: Cho bảng các giá trị

x 0,56 0,84 1,14 2,44 3,16

y -0,80 -0,97 -0,98 1,07 3,66

Hãy tìm công thức thực nghiệm có dạng: y = a + bx + cx2

Thí dụ: Cho bảng các giá trị

y 1.06 1,33 1,52 1,68 1,81 1,91 2,01 2,11 Hãy tìm công thức thực nghiệm có dạng: y = axb