Bài giảng đường tiệm của đồ thị hàm số

+ Nhận biết được các đồ thị của hàm số có tiệm cận + Nắm được tính chất của các đường tiệm cận với đồ thị của hàm số  Kĩ năng + Biết cách xác định phương trình đường tiệm cận của hàm số

TOANMATH.com Trang 1

 Kiến thức

+ Nắm được khái niệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số, khái niệm đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

+ Nhận biết được các đồ thị của hàm số có tiệm cận

+ Nắm được tính chất của các đường tiệm cận với đồ thị của hàm số

 Kĩ năng

+ Biết cách xác định phương trình đường tiệm cận của hàm số cho bởi công thức, cho bởi bảng biến thiên

+ Biện luận số đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số chứa tham số

+ Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ẩn

+ Áp dụng các tính chất của các đường tiệm cận vào các bài toán liên quan

thị hàm số y  f x nếu một trong các điều kiện  

sau được thỏa mãn:

x f x Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là y3 và y 3

B Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là x3 và x 3

C Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang

D Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang

A Đường thẳng x2 là tiệm cận đứng của  C

TOANMATH.com Trang 5

B Đường thẳng y 2 là tiệm cận ngang của C

C Đường thẳng y 1 là tiệm cận ngang của C

D Đường thẳng x2 là tiệm cận ngang của C

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y f x xác  

định phương trình các đường tiệm cận đứng, tiệm

cận ngang, số các đường tiệm cận của đồ thị hàm

số y f x 

Chú ý:

- Ứng với điểm x x0 trong bảng biến thiên thì ở

dòng y phải ghi các kí hiệu -∞ hoặc +∞ (không phải

các giá trị cụ thể) thì đường thẳng x x0 mới là

đường tiệm cận đứng của đồ thị

- Ứng với điểm -∞ hoặc +∞ trong bảng biến thiên

thì ở dòng y phải ghi các giá trị cụ thể y0 (không

phải là -∞ hoặc +∞) thì đường thẳng y y0 mới là

đường tiệm cận ngang của đồ thị

Ví dụ: Cho hàm số y  f x có bảng biến thiên  như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có đường thẳng x x0

là tiệm cận đứng và đường thẳng y y0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x  

Ví dụ 2: Cho hàm số y f x  xác định và có đạo hàm trên \2; 1 và có bảng biến thiên như sau:

Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

TOANMATH.com Trang 7

Chọn C

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới

Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y f x là  

c nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận

Ví dụ: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm

Hướng dẫn giải Tập xác định D\ 1 

Khi đó lim lim 2

x y x y nên đồ thị có đường tiệm cận ngang là y2

cx d có hai đường tiệm cận:

c c là tâm đối xứng của đồ thị

- Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số  



ax by

cx dcùng với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có

 

 f xy

g xĐiều kiện xác định g x 0

Hướng dẫn giải Tập xác định là D\ 1; 3  

- Nếu đường thẳng x x là tiệm cận đứng của đồ 0

thị hàm số thì xx là nghiệm của phương trình 0

 0

g x (ngược lại nghiệm của g x 0 chưa

chắc đã là tiệm cận đứng của đồ thị) Hay nói cách

khác x x0 là các điểm gián đoạn của hàm số

Tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỷ

Đối với hàm số vô tỷ, bước quan trọng nhất để xác







xy

xHướng dẫn giải Tập xác định D  1; 1

Không tồn tại các giới hạn lim ; lim

x y x nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

Mặt khác do hàm số liên tục trên khoảng 1; 1 và

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1

2

xyx

xyx



22

y x

x

  

Ví dụ 5: Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2

2

xyx

2

xy

      nên đường thẳng x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 0

Vậy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận

Chọn D

Ví dụ 11: Đồ thị hàm số 1

1

xyx





 có bao nhiêu đường tiệm cận?

A có tiệm cận đứng và không có tiệm cận ngang

B có tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng

C có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

D không có cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

   Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng y và 2 y  2

B Đồ thị hàm số đã cho không có đường tiệm cận ngang

C Đồ thị hàm số đã cho có đúng một đường tiệm cận ngang

D Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng x và 2 x  2

Câu 2: Hàm số y f x  xác định với mọi x  , có 1  

  Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Đường thẳng y  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 y f x 

B Đồ thị hàm số y f x  không có tiệm cận đứng

C Đường thẳng x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 3 y  f x 

D Đường thẳng x không phải là tiệm cận của đồ thị hàm số 3 y f x 

Câu 4: Cho hàm số f x xác định và liên tục trên   \ 1 có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào sau đây sai?

A Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

B Hàm số không có đạo hàm tại x  1

C Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x 1

D Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

Câu 7: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

Câu 8: Cho hàm số y  f x  có bảng biến thiên như hình vẽ Đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?



11

yx



Câu 14: Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2 5

xy



 có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

x





Câu 18: Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 2 3

xy

xy





21

xyx

xy

x





Câu 29: Gọi n, d lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số





 là

A y 1 B y và 1 y   1 C y 2 D y  và 2 y  2Câu 32: Đồ thị hàm số y2x 1 4x2  có bao nhiêu đường tiệm cận ngang? 4

Câu 33: Đồ thị hàm số

2

21

xy

4

xy

TOANMATH.com Trang 20

Dạng 2: Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa tham số

Bài toán 1: Tiệm cận của đồ thị hàm số y ax b

cx d





 Phương pháp giải

Để tồn tại các đường tiệm cận của đồ thị hàm số





 không có tiệm cận đứng là

3

mm

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là a b  0

Do đồ thị hàm số đi qua điểm A0; 1  nên b  1

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y   (thỏa mãn điều kiện) a a 1

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là a3b 3 a20190

Phương trình các đường tiệm cận là

Ví dụ 7: Cho hàm số 1

2

mxy





 với tham số m Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm 0

số thuộc đường thẳng nào dưới đây?

A x2y  0 B 2x y  0 C x2y  0 D y 2x

Hướng dẫn giải

Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là 2m2    1 0 m 

Phương trình các đường tiệm cận là x2 ;m y nên tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là m

Phương trình đường tiệm cận đứng là x m

Để tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung thì m 0

Vậy điều kiện cần tìm là

054

mm

A m 3

B m 2

Để đường thẳng x là tiệm cận đứng của đồ thị 2hàm số đã cho thì

Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng thì

ax xy

x bx

 



  có đồ thị  C (a, b là các số thực dương và ab ) Biết rằng 4

 C có tiệm cận ngang y c và có đúng một tiệm cận đứng

Giá trị của tổng T 3a b 24c bằng

Hướng dẫn giải

Đồ thị  C có một tiệm cận đứng nên ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Phương trình 4x2bx  có nghiệm kép 9 0 xx0 và không là nghiệm của

1

13

Chú ý: a; b > 0 nên mẫu số (nếu có) hai nghiệm đều âm, tử số hai nghiệm trái dấu

Bài toán 3 Tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỷ

Cho hàm số vô tỷ y f x 

- Tìm tập xác định D của hàm số

- Để tồn tại tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

 

y f x thì trong tập xác định D của hàm số phải

chứa ít nhất một trong hai kí hiệu -∞ hoặc +∞ và

tồn tại ít nhất một trong hai giới hạn lim

 hoặc lim

A m 0

B m  1

C m  2

D m 2Hướng dẫn giải Tập xác định D

Ta có lim 2 1

   nên đồ thị chỉ có một đường tiệm cận ngang là y 2m 1

Để tiệm cận ngang đi qua điểm A1; 3 thì 

2m   1 3 m  2Chọn C

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Biết đồ thị hàm số y2x ax2 bx có tiệm cận ngang 4 y   1

2

m

my

 với tham số m Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm 0

số đã cho thuộc đường thẳng nào dưới đây?

A 2x y  0 B y2x C x2y  0 D x2y  0

Câu 9: Giá trị của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 3

1

xy

1

mxyx





 đi qua điểm M10; 3 là 

2

m 

TOANMATH.com Trang 28

Câu 12: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 1

2

xy

Câu 16: Đồ thị hàm số 2

xyx



 không có tiệm cận đứng Giá trị ab bằng



 có đúng một đường tiệm cận Giá trị lớn nhất của biểu thức log 1

Dạng 3 Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm ẩn

Bài toán 1: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm sốy f x , xác định tiệm cận của đồ thị hàm số

g x

 là số

nghiệm của phương trình g x 0

+ Dựa vào đồ thị, bảng biến thiên của hàm số

 

y f x để xác định số nghiệm của phương trình

  0

g x  để suy ra số đường tiệm cận đứng

- Xác định tiệm cận ngang: dựa vào nhánh vô tận

của đồ thị, bảng biến thiên của hàm số để xác định

Ví dụ: Cho hàm số y f x  liên tục trên  và có

đồ thị như hình vẽ

Chọn B

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hàm số y f x  liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Tổng số đường tiệm cận của hàm số

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị là số nghiệm của phương trình f x   1 0 f x   1

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số

Ví dụ 2 Cho hàm số y f x  xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

13

- Dựa vào đồ thị hàm số y f x  tìm nghiệm

của phương trình g x  và xác định biểu thức 0

Chú ý:

- Điều kiện tồn tại của  x

- Sử dụng tính chất nếu đa thức g x  có nghiệm

  3 2

f x ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ

Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị ta thấy

- Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x 1 1 (loại) và x (nghiệm kép) 2

- Phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt x , 1 x x 2  1; 2 , x x 3 2

12;3

Chú ý: Do f(x) là hàm đa thức bậc 6 nên f’(x) là hàm đa thức bậc 5

Ví dụ 4 Cho hàm số y f x  là hàm đa thức bậc 6 thỏa mãn 3 1f   2 0 và

Vẽ đồ thị hàm số y t 2  vào cùng hệ trục có đồ thị hàm số 4t 3 y f t  ta được hình vẽ sau

Dựa vào đồ thị ta thấy (*) có ba nghiệm là t1;t3;t  a 4

Suy ra phương trình h x  có nghiệm đơn 0 x 1; x1; x a    2 b 2

Ta có bảng biến thiên của h x như sau  

TOANMATH.com Trang 37

Vì h  1 3 1f   và 2 0      3     3 2

h b  f a  a  a  f a a  a a  a  với mọi a  nên phương trình 4 h x  có hai nghiệm phân biệt 0 xx1 1;x x2  1;1

Vậy đồ thị hàm số y g x   có hai tiệm cận đứng

Câu 2: Cho hàm số y f x  liên tục trên từng khoảng xác định và có bảng biến thiên sau

Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số

TOANMATH.com Trang 38

Câu 3: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

TOANMATH.com Trang 39

Câu 6: Cho hàm số bậc ba y f x  có đồ thị như hình vẽ

bên Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

 

20201

TOANMATH.com Trang 41

Câu 11: Cho hàm số bậc bốn y f x  có đồ thị như hình

vẽ bên Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

TOANMATH.com Trang 42

Câu 16: Cho hàm số y  f x  có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 

13

f x

ye

14

xy

Dạng 4 Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài toán 1: Biện luôn số đường tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức  

 

 f xy

Khi đó, do bậc của f x  nhỏ hơn bậc g x  nên

đồ thị có một đường tiệm cận ngang y 0

Điều kiện để đồ thị hàm số  

 

f xy

Trường hợp 2: x là nghiệm bội n của phương x0

trình g x 0, đồng thời là nghiệm bội m của

   đồ thị hàm số luôn có một tiệm cận ngang y 0

Số đường tiệm cận đứng của hàm số đã cho là số nghiệm khác -2 của phương trình

x  x m  m nên để đồ thị hàm số 2 22

xy

Do m nguyên dương nên m 1; 2

Vậy tổng các giá trị của tập S bằng 3

Chọn C

 là nghiệm đơn của tử thức

Để đồ thị không có tiệm cận đứng, ta có các trường hợp sau

Trường hợp 1 Phương trình g x 0 vô nghiệm  m24m20 0   2 2 6   m 2 2 6

TOANMATH.com Trang 46

Thử lại, ta có

2 2

  , khi đó đồ thị hàm số y không có tiệm cận 1  loại

Vậy các giá trị nguyên của m để đồ thị không có tiệm cận đứng là m   6; 5; ;2;3 nên tổng bằng -15

Điều kiện

2 2

2

x là nghiệm của một trong hai phương trình f x  hoặc 0 g x  0

00



TOANMATH.com Trang 47

Khi đó, đồ thị hàm số đã cho có các tiệm cận đứng là 1 2, 1

2

x   x    không thỏa mãn m 1Vậy tập hợp tham số m cần tìm là m 0

1

xy





  Hướng dẫn giải Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2 Xác định các đường tiệm cận

- Tiệm cận ngang

+ Điều kiện cần: Để đồ thị hàm số chứa căn thức có

tiệm cận ngang thì trong tập xác định phải có các

y b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho

* Tiệm cận đứng: Tồn tại giá trị x0 để một trong

Ngoài ra, x là nghiệm của mẫu nhưng không 2

có lân cận trong tập xác định nên không tồn tại

xy

Chú ý: Lân cận của x trong tập xác định là các 0khoảng dạng a x; 0 ; x b0; D

 

Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì m 0

Kết hợp lại ta có 4

9

m Chọn A

Nếu m thì 0 mx2  4 0

Ví dụ 2 Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

2 2

123

mmm

mm





  

Hướng dẫn giải

Điều kiện

2 2

      là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì phải có một đường tiệm cận đứng

  đồ thị không có tiệm cận ngang

Do đó m không phải giá trị cần tìm 0





  có bốn đường tiệm cận phân biệt là

y  nên đồ thị không có đường tiệm cận

Do đó m không phải giá trị cần tìm 0

Trường hợp 2 Với m 0

Phương trình mx23mx  có 2 0  9m2 8m  0, m 0 nên Nếu   thì hàm số 0

có tập xác định là

mx  mx   x x x (với x x1, 2 là hai nghiệm của phương

trình mx23mx  ) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang, chỉ 2 0

có tối đa hai tiệm cận đứng

Để đồ thị hàm số đã cho có bốn đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải

có hai đường tiệm cận đứng

Vì x  là nghiệm của tử 1 f x   nên để đồ thị có hai tiệm cận x 1

đứng thì x  không phải là nghiệm của phương trình 1

mx  mx   m3m  2 0 m 1

Vậy giá trị của m cần tìm là

891

mm

   1   

g x m x x a Khi đó hàm số có dạng

   

1

1

xy

Ví dụ 5 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số

  có tập xác định là D4; nên chỉ có một tiệm cận đứng

Trường hợp 2 f x  có hai nghiệm phân biệt 1 2  1  2 

 có đường tiệm cận đứng thì phương trình f x  phải có nghiệm m

Từ bảng biến thiên của hàm số y  f x  suy ra phương trình f x  có đúng hai nghiệm là 0 x a

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y f x  như sau

Suy ra phương trình y  f x  có nhiều nhất là ba nghiệm phân biệt

h  Hàm số y h x  có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số g x có hai tiệm cận đứng?  

Hướng dẫn giải