skkn một số bài TOÁN GIAO điểm của đồ THỊ hàm số bậc BA với một ĐƯỜNG THẲNG

Để góp phần giúp các em có thêm tài liệu tham khảo, hiểu sâu hơn và hệ thống được các dạng bài tập liên quan đến dạng toán này vì thế tôi đã chọn đề tài “MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ

Để góp phần giúp các em có thêm tài liệu tham khảo, hiểu sâu hơn

và hệ thống được các dạng bài tập liên quan đến dạng toán này vì thế tôi

đã chọn đề tài “MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ

và tìm hiểu nghiên cứu loại toán này

- Trong thực tiễn tôi đã vận khá tốt các nội dung củ chuyên

đề Từ đó hình thành cơ sở nghiên cứu chuyên đề này

2 Nội dung , biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

- Nội của đề tài được nghiên cứu trên cơ sở lí thuyết và bài tập mà các em đã được học trong chương trình THPT

- Đề tài cho các em thấy được các dạng bài toán có chứa tham số

về giao điểm của hàm số bậc ba với một đường thẳng.Giúp cho học sinh

tự phát hiện và lĩnh hội kiến thức

Phương pháp 1 Nhẩm một một nghiệm của phương trình hoành

độ giao điểm

Cho hàm số bậc ba ( )C y ax bx cx d a: = 3 + 2 + + ( ≠ 0) và đường thẳng

( )d :y a x b= ' + '

Đồ thị của hai hàm số (C) và (d) cắt nhau tại k điểm khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm của chúng có k nghiệm phân biệt, và nghiệm đó chính là hoành độ của các giao điểm

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d), ta có:

2/ Phương trình (*) có 2 nghiệm ⇔ phương trình (**) có một nghiệm

kép khác x0 hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là

Nhận xét: x= 1 là một nghiệm của phương trình (1)

Nếu ngay từ đầu các em không nhận thay x=1 là một nghiệm của

phương trình (1) thì các em có thể làm như sau:

Cho m nhận một số giá trị cụ thể, thay từng giá trị của m vào PT(1), dung máy tính bỏ túi giải phương trình bậc ba nếu phương trình nào cũng có chung một nghiệm thì đó có thể là một nghiệm cuả PT (1) Chẳng hạn:

Cho m= 0 thì PT(1) trở thành x3− − + =x2 3x 3 0 có nghiệm x=1;x≈ ±1,7Cho m=1 thì PT(1) trở thành x3− 2x2− + =x 2 0có nghiệm x= ±1;x=2

Ta nhận thấy với hai giá trị m khác nhau thì ta được hai phương trình cụ thể đều có nghiệm chung là x =1 Vậy x= 1 có thể là một nghiệm của phương trình (1)

Để chắc chắn x= 1 là nghiệm của (1) hay không ta cần thay x = 1 vào phương trình (1), nếu thoả mãn thì x= 1 là một nghiệm cần tìm của

phương trình (1) Khi đó ta giải bài toán như sau.

a/ Đồ thị (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔Phương trình (1) có 3

nghiệm phân biệt , hay phương trình (1’) có hai nghiệm phân biệt khác 1

⇔

( )

2 2

2 1

Vậy m = -1 ; m = -2 thì (C) cắt Ox tại 2 điểm

c/ Đồ thị (C) cắt Ox tại 1 điểm ⇔Phương trình (1) có đúng 1 nghiệm , hay phương trình (1’) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép là x = 1

( ) ( )

2 2

1 2

m

Vậy với m∈ −∞ − ∪( ; 2) 2; +∞)thì (C) cắt Ox tại 1 điểm

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm

⇔ phương trình (1) có 3 nghiệm âm phân biệt

⇔ phương trình (1’) có 2 nghiệm âm phân biệt khác -2

⇔

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1' 1' 1' 2

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b/ Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x x x1 , , 2 3 thoả mãn điều kiện x12+ +x22 x32< 4

Bài giải:

b/ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (C) và trục hoành là:

Kí hiệu g x( ) =x2 − −x m và x1= 1, ,x x2 3 là các nghiệm của (1’)

Yêu cầu bài toán thoả mãn khi và chỉ khi

dụ ở trên Khi đó ta thử nhẩm nghiệm của PT hoành độ giao điểm theo m,

Chẳng hạn trong ví dụ 4 ta thấy x = m là một nghiệm của phương trình

Suy ra pt(2) luôn có 2 nghiệm phân biệt khác m, khi đó pt(1) luôn có

ba nghiệm phân biệt Vậy (C) luôn cắt (d) tại ba điểm phân biệt (đpcm)

Theo yêu cầu bài toán thì m<0 và PT(2) phải có hai nghiệm phân biệt âm, khác m

2 ( )

nên luôn có 2 nghiệm trái dấu

Do đó hoành độ giao điểm của đồ thị với Ox sẽ là x1 <x0 = < 0 x2

Chú ý: Nếu đa thức y f x= ( ) =ax bx3 + 2 + +cx d a( ≠ 0)có các nghiệm là

Vì x là hoành độ giao điểm nên 2

2 2

Ta thấy các số: -2 ; 1 ; 4 tạo tành cấp số cộng với công sai bằng 3

Vậy m = 1 thoả mãn yêu cầu bài toán

3 + − 5 2 + − 6 5 − 6

cấp số nhân

Định hướng: Đối với bài toán này nếu xét phương trình hoành độ giao điểm thì ta không dễ dàng tìm ra các nghiệm của phương trình, vì vậy ta

có thể sử dụng tính chất của cấp số nhân ,tìm ra m, sau đó thay m cụ thể vào hàm số để kiểm tra lại và nhận giá trị m thoả mãn yêu cầu bài toán.

Ta thấy các số: 1 ; 2 ; 4 tạo tành cấp số nhân với công bội bằng 2

Vậy m = 2 thoả mãn yêu cầu bài toán

Phương pháp 2 Sử dụng đồ thị hàm số bậc 3 và vị trí cực trị.

Nếu trường hợp phương trình hoành độ giao điểm không dễ dàng trong việc nhẩm nghiệm hay bài toán không có các điều kiện phức tạp về toạ độ giao điểm thì ta có thể sử dụng đồ thị hàm số bậc ba để giải quyết bài toán

Giao điểm của đồ thị hàm số bậc ba ( )C y ax bx cx d a: = 3 + 2 + + ( ≠ 0) và

đường thẳng ( )d :y a x b= ' + ' đưa về bài toán xét giao điểm của đồ thị

I

y

x 0

I

0 0

y y

phân biệt có hoành độ dương

A

o

x 2

x (h.3)

y CÑ

x 0 x' 0 B

(C)

y CÑ y

A

x 0 o x

1

B x' 0 (y CT = f(x 0 ) = 0)

x (h.2)

(C)

A x

y

(h.1b) x

1 o x

2

y CT

y CÑ

5/ Đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm

Do đó hàm số luôn có cực đại, cực tiểu

a/ Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt , ta có

Đồ thị hàm số y f x= ( ) =x3−x2+ 18mx− 2m cắt trục hoành tại 3 điểm

Giả sử x x1 ; 2 là hoành độ của các điểm cực trị thì x x1; 2 là nghiệm của

phương trình y’= 0 hay y x'( ) 0; '( ) 0 1 = y x1 =

Suy ra

2 12 9 2 12 9

Vậy m < 0 thoả mãn yêu cầu bài toán

Nhận xét : Trong ví dụ này nếu tính y y cd. ct theo ví dụ 7 thì quá trình tính

toán trở nên phức tạp, vì thế ta sử dụng tính chất của điểm cục trị «Nếu

hàm số có đạo hàm trên khoảng (a;b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại

x thì f x'( ) 00 = » chú ý 3, trang 14 sgk giải tíc12, chương trình chuẩn

xuất bản năm 2008 Nhà xuất bản BGD.

Đồ thị (C m) cắt (d m) tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương khi

đồ thị (C m’) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương ⇔

Nếu phương trình hoành độ giao điểm F x m( , ) = 0 biến đổi được về dạng

Khi đó ta có thể giải bài toán như sau:

Bước 1: Lập bảng biến thiên của hàm số

Bước 2: Dựa vào BBT ⇒ Số giao điểm của (C) và d

VÍ DỤ 13: Biện luận theo tham số m số giao điểm của (C m):

Nhận thấy ta không thể nhẩm được nghiệm của phương trình này Do đó

ta phải dùng phương pháp 2 hoặc phương pháp3 Tuy nhiên ta có thể

nhận xét thấy :

3 3

Vì hàm số ( ) 1 3

3

g x = − x +x

(C) không phụ thuộc vào tham số nên hình

dáng của đồ thị của hai hàm số ở hai vế của phương trình (**) ta đều có thể biết được, từ đó ta suy ra được số giao điểm của chúng.

Ta có thể giải bài toán như sau:

2 3

−

−∞

Số giao điểm của (C m) với trục hoành là số giao điểm của đường cong

(C) với đường thẳng y = m

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành

x +x +mx+ = (1)

Nhận thấy ta không thể nhẩm được nghiệm của phương trình này Do đó

Tuy nhiên ta có thể nhận xét thấy :

x hoàn toàn lập được bảng biến thiên

Và đường thẳng y = - m song song với trục hoành.

Ta có thể giải bài toán như sau:

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm là:

tại ba điểm phân biệt.

Dựa vào bảng biến thiên ta có: - m > 5 ⇔ m < - 5

VÍ DỤ 15: Tìm m để đồ thị hàm số ( )C m

: y f x= ( ) =x3 − 3x2 +(m+ 2)x+ 4

cắt trục hoành Ox tại ba điểm phân biệt thoả mãn: - 2 < x1 < x2 < x3

VÍ DỤ 16: Tìm m để đồ thị hàm số ( )C m

: y f x= ( )=x3−2x2+mx−4 cắt trục hoành Ox tại ba điểm phân biệt thoả mãn: x1 <-3 < x2 < x3

Dựa vào bảng biến thiên ta có: - m > 49/3 ⇔ m < - 49/3

VÍ DỤ 17: Tìm m để đồ thị hàm số ( )C m

: y f x= ( ) =( )m− 1 x3 − 3mx2 + 3mx m− + 4

cắt trục hoành Ox tại một điểm

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm là:

3

4

( 1)

x

x

−

−

Xét hàm số

3 3

4 ( )

−

−

x

y g x

x ( )C m'

TXD : D = D R= \ 1{ }

2 4

'( )

−

=

−

x

g x

x

2

2 4

2 3(4 )

2 ( 1)

=



−

x x

x x

Bảng biến thiên

x - ∞ -2 11 2 + ∞

y’ - 0 + + 0 -y + ∞

4

1 1

4/9

- ∞

m m

a/ Tại 3 điểm phân biệt

b/ Tại hai điểm

Bài 4 Tìm m để đồ thị hàm số ( )C m :y= f x( ) = −x3 3mx2 + 3(m2 − 1)x m− 3 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt , trong đó có đúng hai điểm có hoành độ

Gọi d là đt qua A(3; 2) và có hệ số góc là m Tìm m để dt đó cắt (C ) tại

3 điểm phân biệt

Bài 8: Cho h/s: y x= +3 3x2+ (m+ 2)x+ 2 ( )m C m Tìm m để (C

m) a) Cắt trục hoành tại 3 điểm p/b

b) Cắt trục hoành tại 3 đ p/b có hoành độ âm

c) Cắt trục hoành tại 3 điểm p/b có đúng 2 hoành độ dương

d) Cắt trục hoành tại 3 điểm p/b có đúng 2 hoành độ âm

e) Có hai điềm chung với Ox

f) cắt Ox tại một điểm

Bài 8: Cho h/s: y x= +3 6x2+ (m+ 2)x+ + 9 m C ( )m Tìm m để

a) (C m) cắt trục hoành tại một điểm

b) (C m) cắt Ox tại ba điểm phân biệt Chứng tỏ rằng ba điểm này đề có

Bài 11 Tìm m để đồ thị hàm số ( )C m

: y f x x    2x= ( ) = 3+ 2+ mx 8−

cắt trục hoành Ox tại ba điểm phân biệt thoả mãn: x1 < - 1 < x2 < x3

Bài 12:Tìm m để đồ thị hàm số y f x x = ( ) = 3 − 7x 2 + mx 8 − ( )C m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân

Bài 13:Cho h/s: y x= +3 (2m−3)x2−9x Tìm m để đồ thị của hàm số sau cắt

trục hoành tại 3 điểm phân biệt tạo thành cấp số cộng Tìm cấp số đó

IV KẾT QUẢ

Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi nhận thấy khi học sinh vận dụng được hướng suy nghĩ này, các em sẽ nhanh chóng giải quyết được bài toán giao điểm của đồ thị hàm số bậc ba nói riêng và bài toán giao điểm của hai đồ thị nói chung Giúp các em thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa số giao điểm của hai đồ thị và số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của chúng từ đó mà có thể tự suy nghĩ giải quyết được nhiều dạng bài tập khác

Bài toán giao điểm của hai đồ thị là một bài toán quan trọng trong chương trình toán THPT, nó thường xuyên có mặt trong các đề thi tốt nghiệp cũng như đề thi đại học, cao đẳng Vì vậy với đề tài này, hy vọng

nó sẽ giúp ích nhiều cho chất lượng của các em trong các đợt kiểm tra cuối cấp

V BÀI HỌC KINH NGHIÊM

Để giải các bài toán cụ thể cần rèn luyện cho mình khả năng nhận xét bài trước khi bắt đầu làm bài, từ đó lựa chọn các phương pháp phù hợp để có được kết quả của bài toán một cách nhẹ nhàng hơn, phát huy được tính tích cực sáng tạo trong học tập Từ đó giúp các em hiểu bài một cách sâu sắc, điều đó cũng có nghĩa là các em sẽ nhớ bài lâu hơn!

VI KẾT LUẬN

Đề xuất: Tổ chuyên môn triển khai chuyên đề trong toàn tổ để

phát huy được tình hiệu quả của chuyên đề củng như rút kinh nghiệm đề khắc phục những phần còn hạn chế của chuyên đề này

Học sinh có thể sử dụng chuyên đề này để rèn luyện cho minh kĩ năng giải một số bài toán về giao điểm của đồ thị hàm số bậc ba với đường thẳng và các bài toán liên quan

Trên đây là một vài kinh nghiệm do tôi góp nhặt và tìm tòi thêm Trong quá trình trình bày khó tránh khỏi một số sai sót

Kính mong bạn đọc, đồng nghiệp đóng góp ý kiến nhiệt tình, để chuyên đề của tôi hoàn thiện và hiệu quả hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

NGƯỜI THỰC HIỆN

Phan Thị Tâm

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa giải tích 12- Xuất bản năm 2008, NXB Giáo dục

2 Các bài giảng trọng tâm ôn luyện môn toán- Tập 1 Tác giả Trần phương – NXB Đại học quốc gia Hà Nội

3 Phương pháp giải toán giải tích 12 Tác giả Trần Văn Kỷ – NXd Đại học quốc gia TPHCM