Tìm số tự nhiên có 5 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 7 vào đằng trớc số đó thì đợc một số lớn gấp 4 lần so với số có đợc bằng cách viết thêm chữ số 7 vào sau số đó Bµi 3.. Nếu ta [r]
Trang 1ễN TẬP TẬP HỢP VÀ NHỮNG DẠNG TOÁN LIấN QUAN
S ph n t c a m t t p h p.T p h p conố phần tử của một tập hợp.Tập hợp con ần tử của một tập hợp.Tập hợp con ử của một tập hợp.Tập hợp con ủa một tập hợp.Tập hợp con ột tập hợp.Tập hợp con ập hợp.Tập hợp con ợp.Tập hợp con ập hợp.Tập hợp con ợp.Tập hợp con
1.Một tập hợp cú thể cú một ,cú nhiều phần tử, cú vụ số phần tử,cũng cú thể khụng cú phần tử nào.
2.Tập hợp khụng cú phần tử nào gọi là tập rỗng.tập rỗng kớ hiệu là : ỉ.
3.Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thỡ tập hợp A gọi là tập hợp con của tập hợp B, kớ hiệu là AB hay BA.
Nếu AB và BA thỡ ta núi hai tập hợp bằng nhau,kớ hiệu A=B.
*.Dạng 1: Rèn kĩ năng viết tập hợp, viết tập hợp con, sử dụng kí hiệu
Bài 1: Cho tập hợp A là các chữ cái trong cụm từ “Thành phố Hồ Chí Minh”
a Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A
b Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông
b A c A h A
Bài 2: Cho tập hợp các chữ cái X = {A, C, O}
a/ Tìm chụm chữ tạo thành từ các chữ của tập hợp X
b/ Viết tập hợp X bằng cách chỉ ra các tính chất đặc trng cho các phần tử của X
Bài 3: Cho các tập hợp
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ; B = {1; 3; 5; 7; 9}
a/ Viết tập hợp C các phần tử thuộc A và không thuộc B
b/ Viết tập hợp D các phần tử thuộc B và không thuộc A
c/ Viết tập hợp E các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B
d/ Viết tập hợp F các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B
Bài 4: Cho tập hợp A = {1; 2; a; b}
a/ Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 1 phần tử
b/ Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 2 phần tử
c/ Tập hợp B = {a, b, c} có phải là tập hợp con của A không?
Bài 5: Cho tập hợp B = {x, y, z} Hỏi tập hợp B có tất cả bao nhiêu tập hợp con?
Trang 2Bài 3: Cha mua cho em một quyển số tay dày 256 trang Để tiện theo dõi em đánh số trang từ 1
đến 256 Hỏi em đã phải viết bao nhiêu chữ số để đánh hết cuốn sổ tay?
d, D là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ khác nhau và và có chữ số tận cùng bằng 5
Bài 2 Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông
Bài 5 Tìm số phần tử của các tập hợp sau đây
Tìm tất cả các tập hợp con của tập hợp A
Bài 8 Ta gọi A là tập hợp con thực sự của B nếu A B và A ≠ B
Hãy viết các tập hợp con thực sự của tập hợp B = {1 ;2;3 ; 4}
Bài 9 Cho tập hợp A = {a, b, c, d, e }
a Viết các tập con của A có một phần tử
b Viết các tập con của A có hai phần tử
c Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử
d Có bao nhiêu tập hợp con của A có bốn phần tử
e Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con
Bài 11 Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số, B là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số
, C là tập hợp các số tự nhiên lẻ có ba chữ số , D là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số tận cùng bằng 5 Dùng kí hiệu và sơ đồ để biểu thị quan hệ giữa các tập hợp ở trên
Trang 3Bài 12 Cho tập hợp A = {4 ;5 ;7} , hãy lập tập hợp B gồm các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau
từ các phần tử của tập hợp A Bảo rằng tập hợp A là tập hợp con của tập hợp B đúng hay sai? Tìmtập hợp con chung của hai tập hợp A và B
Bài 13 Tìm các tập hợp bằng nhau trong các tập hợp sau
a A = {9 ;5 ;3 ;1;7}
b B là tập hợp các số tự nhiên x mà 5 x = 0
c C là tập hợp các số lẻ nhỏ hơn 10
d D là tập hợp các số tự nhiên x mà x : 3 = 0
Bài 17 Trong một lớp học , mỗi học sinh đều học tiếng Anh hoặc tiếng Pháp Có 25 ngời học
tiếng Anh , 27 ngời học tiếng Pháp, còn 18 ngời học cả hai thứ tiếng Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh
Bài 18 Kết quả điều tra ở một lớp học cho thấy : có 20 học sinh thích bóng đá ; 17 học sinh thích
bơi; 36 học sinh thích bóng chuyền; 14 học sinh thích bóng đá và bơi;13 học sinh thích bơi và bóng chuyền; 15 học sinh thích bóng đá và bóng chuyền; 10 học sinh thích cả ba môn ;12 học sinh không thích một môn nào.Tìm xem lớp học đó có bao nhiêu học sinh
Bài 19 Trong số 100 học sinh có 75 học sinh thích toán , 60 học sinh thích văn.
a Nếu có 5 học sinh không thích cả toán và văn thì có bao nhiêu học sinh thích cả hai môn văn vàtoán
b Có nhiều nhất bao nhiêu học sinh thích cả hai môn văn và toán
c Có ít nhất bao nhiêu học sinh thích cả hai môn văn và toán
Bài toán 1: Cho tập hợp Aa b c d e, , , ,
.a) Viết các tập hợp con của A có một phần tử b) Viết các tập hợp con của A có hai phần tử.c) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử ? có bốn phần tử ?
d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con ?
Bài toán 2: Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong các trờng hợp sau.
a) A 1;3;5
; B 1;3;7
b) Ax y,
; Bx y z, , c) A là tập hợp các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, B là tập hợp các số tự nhiên chẵn
Bài toán 3: Ta gọi A là tập con thực sự của B nếu AB A B; Hãy viết các tập con thực sự của tập hợp B 1; 2;3
Bài toán 4: Cho các tập hợp A 1; 2;3; 4
; B 3; 4;5Viết các tập hợp vừa là tập hợp con của A, vừa là tập hợp con của B
Bài toán 5: Cho tập hợp A 1; 2;3; 4
a) Viết các tập hợp con của A mà mọi phần tử của nó đều là số chẵn
b) Viết tất cả các tập hợp con của tập hợp A
Bài toán 6: Cho 2 tập hợp A 1;3;6;8;9;12
và B = x N * / 2 x 12
a)Tìm tập hợp C của các phần tử vừ thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B Tìm tập hợp D của
các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A Hoặc tập hợp B
Bài toán 10: Cho tập hợp M 30; 4; 2005; 2;9
Hãy nêu tập hợp con của tập M gồm những số:a) Có một chữ số b) có hai chữ số c) Là số chẵn
Bài toán 11: Cho Ax N x 2; 4;x x 100
; Bx N x 8;x 100a) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A ; tập hợp B
b) Hai tập hợp A, B có bằng nahu không ? Vì sao ?
Bài toán 13: Cho A là tập hợp 5 số tự nhiên đầu tiên, B là tập hợp 3 số chẵn đầu tiên.
a) CMR: BA b) Viết tập hợp M sao cho BM M, A Có bao nhiêu tập hợp M nh vậy
Bài toán 14: Cho Ax N x 7.q 3;q N x ; 150
a) Xác định A bằng cách liệt kê các phần tử ? b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A
Bài toán 15: Cho M 1;13; 21; 29;52
Tìm x y M; biết 30 x y 40
Trang 4Bài toán 10: Cho a) A 1; 2
; B 1;3;5
b) A x y,
; Bx y z t, , , Hãy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó một phần tử thuộc A, một phần tử thuộc B
Các phép toán trong N
1 Tớnh chất giao hoỏn của phộp cộng và phộp nhõn.
a + b = b + a ; a.b = b.a
Khi đổi chỗ cỏc số hạng trong một tổng thỡ tổng khụng đổi
Khi đổi chừ cỏc thừa số trong một tớch thỡ tớch khụng đổi.
1 Tớnh chất kết hợp của phộp cộng và phộp nhõn:
(a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c);
2 Tớnh chất phõn phối của phộp nhõn đối với phộp cộng.: a(b+ c) = ab + ac
4 Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b N ; b ≠ 0) là cú số tự nhiờn p sao cho a= b.p.
5 Trong phộp chia cú dư
số bị chia = số chia x thương + số dư ( a = b.p + r)
số dư bao giờ cũng khỏc 0 và nhỏ hơn số chia.
Nếu a b= 0 thì a = 0 hoặc b = 0
II Bài tập
*.Dạng 1: Các bài toán tính nhanh
Bài 1: Tính tổng sau đây một cách hợp lý nhất.
Trang 5*Chú ý: Muốn nhân 1 số có 2 chữ số với 11 ta
cộng 2 chữ số đó rồi ghi kết quả váo giữa 2 chữ
số đó Nếu tổng lớn hơn 9 thì ghi hàng đơn vị
váo giữa rồi cộng 1 vào chữ số hàng chục.
số số hạng là: (100-2):2+1 = 49B=(100 +2).49 :2 = 551 49 = 2499c) C = 4 + 7 + 10 + 13 + + 301 d) D = 5 + 9 + 13 + 17 + .+ 201
Trang 6Bµi 5:TÝnh tæng cña tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn x, biÕt x lµ sè cã hai ch÷ sè vµ 12 < x < 91
Bµi 6: TÝnh tæng cña c¸c sè tù nhiªn a , biÕt a cã ba ch÷ sè vµ 119 < a < 501
H·y t×m c«ng thøc biÓu diÔn c¸c d·y sè trªn
Ghi chó: C¸c sè tù nhiªn lÎ lµ nh÷ng sè kh«ng chia hÕt cho 2, biÓu diÔn lµ 2k 1, k N
C¸c sè tù nhiªn ch½n lµ nh÷ng sè chia hÕt cho 2, c«ng thøc biÓu diÔn lµ 2k, k N)
66.50 72.125 38.5 15.16.125
c TÝnh nhÈm b»ng c¸ch nh©n c¶ sè bÞ chia
vµ sè chia víi cïng mét sè kh¸c kh«ng
2000 : 25 7300 : 50 4970 : 5 81000 : 125
Trang 8Luü thõa víi sè mị tù nhiªn
6 Lũy thừa tầng: a m n a(m n)
7 Số chính phương là số mà bằng bình phương của một số tự nhiên
Ví dụ: các số 0; 1; 4; 9; 16; 25;… là các số chính phương
a) 3200 với 23000 ; b) 1255 với 257 ; c)920 với 2713 d)354 với 281;
3.Viết các tích sau đướ dạng lũy thừa:
SO SÁNH HAI LŨY THỪA
A) KIẾN THƯ C CƠ BẢN:ÙC CƠ BẢN:
1) Để so sánh hai lũy thừa, ta thường đưa chúng về dạng hai lũy thừa
có cùng cơ số (lớn hơn 1) hoặc cùng số mũ (lớn hơn 0) rồi mới so sánh
Nếu am = an thì m = n, hoặc nếu an = b n thì a = b
Nếu m > n thì am > an (a> 1)Nếu a > b thì an > b n (n > 0)
2) Tính chất đơn điệu của phép nhân: Nếu a < b thì a.c < b.c (với c > 0)
i 274 8110 d 103 1005 10004
Trang 94 3 9
6 d,
2 3
21 14.125
35 6 e,
3 4 2 5
72 54 108
45 20 18 180
Bµi 1: T×m c¸c sè mò n sao cho luü thõa
3n th¶o m·n ®iÒu kiÖn: 25 < 3n < 250
Bµi 2 T×m sè tù nhiªn n biÕt
l) 49.7x 2041 m) 64.4x 45 n) 3x 243
p) 3 34 n 37
Bµi 6: T×m n N biÕt:
a) 9 3 n 81 b) 25 5 n 125 a) 50 < 2n < 100 b) 50<7n < 2500
Bµi 7 T×m x biÕt
a) (x 1)3 125 b) 2x2 2x 96 c) (2x 1)3 343
d) 720 : 41 (2 x 5) 2 5 3
a) 2x 7 = 224 b) (3x + 5)2
= 289c) x (x2)3 = x5 d) 32x+1 11 = 2673
Trang 10
n n
i) 64.4n 45
k) 27.3n 243
Bài 9: Tìm x N biếta) 16x 128
chuyên đề: Các bài toán so sánh hai luỹ thừa
1 Để so sánh hai luỹ thừa, ta thờng đa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ.+ Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn
2 Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân
(a<b thì a.c<b.c với c>0)
a) Đa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 522
b) Đa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 213
c) Đa hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số là 7 và 3
Trang 12c) Ta cã:
Trang 13A = 1+ 5+52+ +59
1+ 5+52+ +58=
1+(5+5 2 + +5 9
) 1+5+52+ +58 =
1+5(1+5+5 2 + +5 8
) 1+5+52+ +58 =
1 1+5+52+ .+58+5>5(1) T¬ng tù B = 1
Trang 14Bµi 6 Cho A 1 2 22 23 2 200 H·y viÕt A+1 díi d¹ng mét luü thõa.
Bµi 7 Cho B 3 32 33 3 2005 CMR: 2B+3 lµ luü thõa cña 3
Bµi 8 Cho C 4 22 23 2 2005 CMR: C lµ mét luü thõa cña 2
Bµi 9: Chøng minh r»ng:
a) 55 54 5 73 b) 76 75 7 114 c) 109 108 10 2227e) 106 5 597 g) 3n2 2n2 3n 2 10n n N*
Trang 15Bµi tËp 11: ViÕt 2100 lµ mét sè cã bao nhiªu ch÷ sè khi tÝnh gi¸ trÞ cña nã.
Bµi tËp 13: T×m sè tù nhiªn abcbiÕt (a + b + c)3 = abc (a b c)
Bµi tËp 14: Cã hay kh«ng sè tù nhiªn abcd
(a + b + c + d)4 = abcd
Trang 16Các dấu hiệu chia hếtA/ Mục tiêu:
-Học sinh nắm vững các tính chất chia hết và các tdấu hiệu chia hết vào trong giải bài tập.-Vận dụng thành thạo các phép biến đổi vào trong các bài tập số học
-Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, t duy lô gic óc phân tích tổng hợp
B/ Chuẩn bị:
Nội dung chuyên đề, kiến thức cơn bản cần sử dụng và các bài tập tự luyện
C/ Nội dung chuyên đề
3/ Soỏ 0 chia heỏt cho moùi soỏ b khaực 0
4/ Baỏt cửự soỏ naứo cuỷng chia heỏt cho 1
5/ Neỏu a m vaứ b m thỡ a b m vaứ a b m
6/ Neỏu toồng cuỷa hai soỏ chia heỏt cho m vaứ moọt trong hai soỏ aỏy chia heỏt cho m thỡ soỏ coứn laùi cuừng chia heỏt cho m
7/ Neỏu moọt trong hai soỏ a vaứ b chia heỏt cho m, soỏ kia khoõng chia heỏt cho m
thỡ a +b khoõng chia heỏt cho m vaứ a - b khoõng chia heỏt cho m
8/ Neỏu moọt thửứa soỏ cuỷa tớch chia heỏt cho m thỡ tớch chia heỏt cho m
Trang 17a/ Số 275x chia hết cho 5; cho 25; cho125.
b/ Số 9 4xy chia hết cho 2, cho4, cho 8
Giải: a/ 275x 5 x0;5 ; 275x 25 x 0 ; 275x 125 x 0
b/ 9 4 2xy x y, 0;1; 2; ;9 ; 9 4 4xy x0;1; 2; ;9 , y0, 2, 4,6,8
9 4 8xy x0;2; 4;6;8 ; y2;6 hoặc x1;3;5;7;9;y0;4;8 :
LUYỆN TẬP1) Cho n N, chứng minh rằng:
b/ Ta có n2 + n = n( n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tích chẳn, do đó n2
+ n + 1 là số lẽ nên không chia hết cho 4
Số 1028 + 8 có tận cùng bằng 008 nên chia hết cho 8 (2)
Mặt khác (8;9) = 1 Vậy 1028 + 8 chia hết cho 72
b/ 88 + 220 = (23)8 + 220 = 2 24 + 2 20 = 220(24 + 1) = 220 17 17
vây 88 + 220 chia hết cho 17
3/ CMR với mọi số tự nhiên n thì n 2 + n + 6 không chia hết cho 5
Giải:
Với mọi số tự nhiên n thì n 2 + n = n(n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tận cùng bằng 0; 2; 6 Do đó n 2 + n + 6 tận cùng bằng 6; 8; 2 nên không chia hết cho 5
4) CMR: a/ 94260 – 35137chia hết cho 5
b/ 995 - 984 + 973 - 962 chia hết cho 2 và 5
Trang 18Giải: a/ 94260 – 35137= 9424.15 – 35137= ….615 - …1 = …6 - …1 = …5 5
b/ 995 - 984 + 973 - 962 = …9 - …6 + ….3 - … 6 =….0
Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho cả 2 và 5
a) ab ba chia hết cho 11
b) ab ba Chia hết cho 9 với a > b
a) Ta có ab ba= (10a +b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b) 11 Vậy ab ba 11
b) Ta có : ab ba= (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b = 9 (a – b) 9
Chú ý : Nếu ab cd 11 abcd 11
Bµi 2 Cho abc deg 7 Cmr abcdeg 7
2) CMR Nếu viết thêm vào đằng sau một số tự nhiên có hai chữ số số gồm chính hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được một số chia hết cho 11
3) Cho số abc27Chứng minh rằng số bca 27
Mà : 7.143abc7 và abc deg 7 Vậy abcdeg 7
2) Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: ab.( 0 < a 9, 0 b 9, a,b N)
Khi viết thêm số có hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại ta được số: abba
Trang 194) Cmr nếu ab cd eg 11thì abcdeg 11
5) Cho abc deg 37 Cmr abcdeg 37
6) Cho 10 k – 1 19 với k > 1 CMR: 102k – 1 19
7) Cho n là số tự nhiên CMR:
a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia hết cho 2
b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho cả 2 và 3
8) Chứng minh rằng nếu ab 2cd abcd 67
Giải:
1) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2
Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2) 3
Thật vậy ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 3
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3
Ta có: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 7 không chia hết cho 4 vì 4n chia hết cho 4 còn 7 không chia hết cho 4
Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4
2) Gọi 5 số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + 8 với n là số tự nhiên
Trang 20= 2(2k + 11 )(k + 8) chia hết cho 2.
Vây (n + 10 ) (n + 15 ) Chia hết cho 2
b/ Đăt A = n (n + 1)(n + 2)
+ Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẳn và một số lẽ, số chẳn chia hết cho 2 nên A chia hết cho 2
+ Trường hợp: n = 3k (k N) thì n chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3 (1)
Trường hợp: n không chia hết cho 3 thì n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2
Khi n = 3k + 1 => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3 (2)
Khi n = 3k + 2 => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: A chia hết cho 3
Vậy A chia hết cho cả 2 và 3
a) Số đĩ chia hết cho 2 và cho 5
Giải a) Một số chia hết cho 5 thì số đĩ tận cùng bằng 0 hoặc 5 vậy cĩ ba số cĩ chữ số chia hết cho
5 là: 950 ; 590 ; 905
b)Một số chia hết cho 2 và cho 5 thì số đĩ tận cùng bằng 0 vậy cĩ hai số cĩ chữ số chia hết cho 2
và cho 5 là: 950 ; 590 ;
Bài 4 Cho số 123 x 43 y hãy thay x,y bởi các chữ số để số đã cho chia hết cho 3 và 5
- Nếu x + 1 = 3 thì x = 2 ,ta được 1232430
- Nếu x + 1 = 6 thì x = 5 ,ta được 1235430
- Nếu x + 1 = 3 thì x = ,ta được 1238430