Các mặt đó đều nội tiếp đường tròn nhưng hình đa diện ABCDE không nội tiếp mặt cầu.. Từ đó suy ra tập hợp các điểm Ó là trục của đường tròn nội tiếp tam giác ABC... Trong mặt phẳng SAH,
Trang 1IV — TRA LOI CAU HOI VA GIAI BAI TAP
1
HUONG DAN BAI TAP CHUONG I
a) Trong tam giác vuông OHA, tacé AH = VOA? -OH? = Va? - RẺ
b) Vì H/ là đường cao của tam giác vuông OHA nên O/.OA =OH7 hay
2
O[ = x (không đổi) Suy ra / là điểm cố định và do đó H nằm trên mp(P) | vuông góc với ÓA tại ! Ngoài ra, vì H còn nằm trên mặt cầu S(O ; R) nên H nằm trên đường tròn giao tuyến của mặt cầu va mp(P)
(h.36) Vì AB L 5C và AB L CD nên AB L BD,
tương tự ta có ĐC L AC Vậy các điểm A, 8, C, D
cùng nằm trên mặt cầu dudéng kinh AD
Vi AD? = AB? + BC’ + CD? = a? + bˆ + cˆ nên bán
kính mặt cầu đó là R=+1 22 +b2 +2
a) / 1a tam của mặt cầu đi qua hai điểm phân biệt A, B cho trước khi và chỉ khi
IA = IB Vậy tập hợp tâm của các mặt cầu đó là mặt phẳng trung trực của đoạn
thang AB
b) 7 là tâm của mặt cầu đi qua ba điểm phân biệt A, 8, C cho trước khi và chỉ
khi JA = IB =IC Vay:
+ Néu ba diém A, B, C khong thing hang thi tập hợp các điểm / là trục của
đường tròn ngoại tiếp tam giác A8C
+ Nếu ba điểm A, B, C thang hang thi tập hợp các điểm / là rỗng
c) / 14 tam của mặt cầu đi qua đường tròn ('ố) cho trước khi và chỉ khi / cách
đều mọi điểm của đường tròn Vậy tập hợp các điểm 7 là trục của đường
tron (%)
đ) Gọi M là một điểm nằm ngoài mặt phang chifa dudng tron (@) Lay diém A
nằm trên (#) và gọi / là giao điểm của trục d
đường tròn va mat phang trung truc cia MA Khi
đó, mặt cầu tâm /, ban kinh R = JA = JM 1a mat
cu di qua dudng tron (%) va di qua diém M fp aD) s+)
Gia str (S) 14 một mặt cầu đi qua Á, có tâm O O
nằm trên ¿ (h.37) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A
và vuông góc với d Khi đó, (P) cắt mặt cầu (S)
Hình 37
45
IUlIIIH.IIlI
Trang 2theo đường tròn ('Š) có tâm là giao điểm 7 của
(P) và d, có bán kính r = /A Vậy đường tròn
(#) cố định và mặt cầu (Š) luôn luôn đi qua
đường tròn cố định đó
a) Đúng
b) Không đúng Ví dụ : Cho tứ diện ABCD nội
tiếp mặt cầu (5) (h.38) Lấy một điểm E nằm
khác phía với A đối với mp(BCD) sao cho E Hình 38
không nằm trên (S) Xét hình đa diện ABCDE
có sáu mặt là các tam giác ABC, ABD, ADC, EBC, ECD, EDB Các mặt đó
đều nội tiếp đường tròn nhưng hình đa diện ABCDE không nội tiếp mặt cầu Thật vậy, nếu có mặt cầu đi qua các đỉnh A, 8, €, D, E thì nó phải đi qua A, B,
C, D nên nó chính là mặt cầu (S), nhưng £ lại không nằm trên (S), vô lí
a) Mặt cầu tâm O tiếp xúc với ba canh AB, BC,
CA (của tam giác ABC) lần lượt tại các điểm },
⁄, K khi và chỉ khi
OI 1 AB, O7 L BC, OK 1 CA, OI=O7=OK (*)
Gọi O' là hình chiếu vuông góc của điểm O
trên mp(Að8C) thì các điều kiện (*) tương
đương với
Ø7 | AB, O’J L BC, O’K L CA, O'l= O'J = O'FK,
hay O’ 1a tam đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Từ đó suy ra tập hợp các điểm Ó là trục của đường tròn nội tiếp tam giác ABC b) Giả sử có mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện ABCD tại các điểm
Mì, Mạ, M3, My, Ms, Mẹ như trên hình 40 Khi đó ta có :
AM, = AM) = AM;, BM, = BM = BM,,
CM, = CM, = CM,, DMs; = DM, = DM
Suy ra:
= AM, + CM, + BM, + DMẹ
= AM, + DM; + BM,+CM,
Hinh 39
Mì
Trang 3Chú ý Mệnh đề đảo của câu b) cũng đúng, tức là : nếu tứ điện có tổng
các cạnh đối bằng nhau thì có mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện a) Giả sử SH là đường cao của hình chóp đều §
S.ABC (h.4l) Khi đó, vì SA = SB = SC nên
mọi điểm nam trén SH cach déu A, B va C
Trong mặt phẳng (SAH), đường trung trực
của SA cắt SH tai O thì Ó là tâm của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp và bán kính của mặt cầu A
la R= SO
Gọi 7 là trung điểm của SA thì tứ giác AHOI
Hinh 41
SA? _ SA?
SO.SH = SISA hay SO = 575 =
2
Tacó SA” = SH? + AH? =n? [=] - oss n
a? + 3h?
Suy ra R=SO= 6h
na? +3h? }
162h°
b) Gọi SH là đường cao của hình chóp đều
S.ABCD thì H 1a tam của hình vuông ABCD và
_ SH đi qua tâm H' cia hình vuông A'BC?D'
(h.42) Mọi điểm nằm trên $H đều cách đều bốn
điểm A, B, C, D và cũng cách đều bốn điểm A,,
B, C, D Trên đường thẳng SH, ta xdc dinh
diém O sao cho OA = OA’ thi O cach đều tám
diém A, B, C, D, A’, B’, C’, D’, tức là tám điểm
đó nằm trên mặt cầu tâm O, ban kinh R = OA
Diém O 1a giao diém cha dudng thang SH và mặt Hinh 42
phẳng trung trực của đoạn thẳng AA'
Vậy thể tích khối cầu phải tìm là
Ta chú ý rang SAC là tam giác vuông cân Gọi 7 là trung điểm của AA' thì
3u S/O cũng là tam giác vuông cân đỉnh 7 nên Óï = Sĩ = 7: Suy ra:
47
Trang 4R=OA =O? + AI?
Ÿ#4j- 4 4 4.ˆ
5zz”^/10
8 a) (h.43) Goi / va J lan luot 1a trung điểm của AB
va CD thi dé thấy // 1 AB và 1JLCD, bởi vay nếu
gợi Ó là trung điểm của J7 thì OA = ØB và OC =OD pg
Ngoài ra, vì AB = CD = c nên hai tam giác vuông
OIB va OJC bang nhau, do dé OB = OC Vay O J
cách đều bốn đỉnh A, 8, C, D Mặt cầu ngoại tiếp Cc
tứ điện ABCD có tâm Ó và có bán kính R = OA Hình 43
Ta có :
Vạy thể tích khối cầu phải tìm là
LW? | ABP _ IS? +0"
Vì C/ là trung tuyến của tam giác ABC nên
_ 2a? +2b? — c2
= —
2? —CI?2—CJ2 24 +2b TC Cu tÐ Tc
a+b? +c"
8
OA* = O17 + Al? =
cr’
Nhu vay R? = OA? =
ABCD la:
va diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
S = 4nR? = sa +2 + c2)
b) Các mặt của hình tứ diện là các tam giác bằng nhau (đều có ba cạnh bằng ¿, b, c) nên các đường tròn ngoại tiếp các tam giác đó có bán kính r bằng nhau Các đường tròn đó đều nằm trên mặt cầu (Ó ; R) nên khoảng cách từ tâm O tới các mặt phẳng chứa các đường tròn đó bằng nhau và bing h =VR? — 2
Vậy mặt cầu tam O, ban kính h là mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD
48
Trang 59 (h.44) Gọi J là trung điểm của AB Vì tamgiác €
SAB vu6ng 6 S nén JS = JA = JB Goi A 1a A
đường thẳng vuông góc véi mp(SAB) tai J thi
mọi điểm trên A đều cách đều ba diém S, A, B SS
Bởi vậy, nếu gọi ? là giao điểm của A và mặt <> B
phẳng trung trực của đoạn thẳng SC thi/ cach Š
đều bốn điểm S, A, B, C Vậy mặt cầu ngoại tiếp J
hình chép SABC cé tam J va c6é ban kinh R = JA A
RŸ =1A? =1? +A?
Diện tích mặt cầu là :
S = 4nR? = n(a* +b? +07),
Vi SC // IJ nén SI cat CJ tai mét diém G va do SC = 2/J nén CG = 2GJ Vi
CJ 1a trung tuyén cia tam gidc ABC nén G 1a trong tam tam giác ABC
10 a) Nếu c#’ 1a hinh lang tru c6 mat cdu ngoai tiép thi cdc mat bén 1A nhimg hình bình hành có đường tròn ngoại tiếp nên phải là hình chữ nhật Vậy SH
là lăng trụ đứng Ngoài ra, vì Ÿ” có mặt cầu ngoại tiếp nên mặt đáy phải
là đa giác có đường tròn ngoại tiếp
Ngược lại, cho ' là lăng trụ đứng có các đường
tron (%) va (@’) ngoai tiếp các đa giác đáy (h.45) Gọi '
I var la tam cua hai đường tròn đó thì /7 là trục của
cả hai đường tròn Vì thế, nếu gọi Ó là trung điểm
của đoạn thẳng /Ƒ' thì Ó cách đều tất cả các đỉnh của (#)
hình lăng trụ đã cho Vậy hình lăng trụ ấy có mặt cầu ĩ
ngoại tiếp
b) Nếu hình hộp ' nội tiếp mặt cầu S(Ó ; R) thì các
mặt của #Ý phải là những hình chữ nhật, vậy c2⁄ là hình hộp chữ nhật mà
O là giao điểm của các đường chéo và độ dài đường chéo là đ = 2E Gọi x,
y, z là ba kích thước của hình hộp chữ nhật đó thì xˆ + yˆ + z2 = 4? = 42 Gọi Š là diện tích toàn phần của hình hộp thì ta có :
Hình 45
Trang 6IH
R
IV
11
12
+ Mặt trụ tròn xoay là hình tạo bởi các tiếp tuyến của mặt cầu cho trước và
song song với một đường thẳng cho trước
+ Mặt trụ tròn xoay là hình gồm tất cả các đường thẳng song song và cách đều một đường thẳng A cho trước
+ Mặt trụ tròn xoay là tập hợp các điểm cách đều một đường thẳng cố định
A cho trước
+ Mặt trụ tròn xoay là mặt tròn xoay sinh bởi một đường thẳng d khi quay
quanh đường thẳng cố định A song song với ¿
SGK đã dùng định nghĩa cuối cùng vì chúng tôi cho là đơn giản nhất và về mặt hình thức, nó là trường hợp riêng của định nghĩa mặt tròn xoay nói chung Nội dung kiến thức của bài học không có gì phức tạp Tuy nhiên cần làm cho học sinh phân biệt giữa mặt trụ, hình trụ và khối trụ, hiểu rõ khái niệm
về trục, đường sinh và bán kính của mặt trụ l
Định nghĩa vẻ thể tích và diện tích xung quanh của khối trụ khá đơn giản
vì học sinh đã biết về thể tích và diện tích xung quanh của khối lăng trụ đều nội tiếp khối trụ Từ đó, ta suy ra ngay các công thức mà học sinh đã phải thừa nhận ở lớp 9
TRẢ LỜI [? | VÀ HƯỚNG DẪN HOẠT DONG
Xác định giao của mặt trụ Ở có trục A, bán kính R véi mp(P) :
a) (P) đi qua A thì giao là hai đường sinh đối xứng với nhau qua A
b) (P) //A Khi đó goi d 14 khoảng cách giữa A và (P), ta có :
+ Nếu ¿ở > # thì giao là tập rỗng ;
+ Nếu ¿ = R thì giao là một đường sinh ;
+ Nếu 0 < ở < R thì giao là một cặp đường sinh ;
c) (P) L A thì giao là đường tròn có bán kính R
TRẢ LỜI CÂU HỎI VÀ GIẢI BÀI TẬP
Xét mặt tròn xoay có trục là A Mọi mặt phẳng (P) đi qua A đều là mặt phẳng đối xứng của cZ⁄ Thật vậy, nếu M ccZ⁄ và M là điểm đối xứng với M
qua mp(P) thì M' cũng nằm trên đường tròn (S1;) nên M'e é⁄Z
52“
Trang 713
14
15
16
Goi A là trục của đường tròn (Ó ; R) (h.46) Nếu
điểm M có hình chiếu Ä⁄” nằm trên (Ó ; R) thì
MM// A và khoảng cách từ M tới A bằng M'O = R
Vậy tập hợp các điểm M như thế là mặt trụ có
trục là A và có bán kính bằng Ñ
Cho mat cdu S(O ; R) va đường thẳng ở (h.47)
Gọi A là đường thẳng đi qua Ó và song song với
d Nếu / là tiếp tuyến của mặt cầu va / // d thi
1 // A val céch A mot khoảng không đổi R Vậy
¡ nằm trên mặt trụ có trục là A và có bán kính
bằng R
Từ giả thiết ta suy ra hình trụ có bán kính đáy
bằng # và đường sinh bằng 2Ñ Từ đó suy ra :
Spp = Sự + 25,¿y = 4RR” + 2Ñ” = ORR’ Hình 47
b) V = nR”.2R = 2nRẺ
c) Hình lang trụ tứ giác đều nội tiếp “Ở là hình lăng trụ đứng có cạnh bên bằng 2# và có đáy là hình vuông cạnh R42 nên có thể tích
Vip = 2R?.2R = 4R?
a) Sy = 2RR.RV3 = 2V3nR”
Sip = Seq +2Sgay = 2N3mR? + 2x? = 2(3 + 1)mR?
b) V = xR2.R2J3 = vJ3mÑ3
c) Goi O và Ó” là tâm của hai đường tròn đáy (h.48) Theo
gia thiét, OA = O'B = R Gọi AA' là đường sinh của hình
tru thi O'A’= R, AA’ = RV3 va géc BAA’ bing 30° Vi
OO’ // mp(ABA’) nén khoảng cách giữa OO’ va AB bằng
khoang cach gitta OO’ va mp(ABA’) Goi H 1a trung điểm
BA“ thì khoảng cách đó bằng O’H
Tam giác BA“A vuông tại A” nên
BA' = AA' tan 309 = R3 =Ñ Hình 48
Ms
Nhu vay, BA’O’ la tam giác đều và do dé O'H -83
53
Trang 8IV
17
18
19
- M, có đường cao MO nên :
56
TRA LOI CAU HOI VÀ GIẢI BÀI TAP
a) Hình nón
b) Khối nón
(h.5I) Giả sử A¿ là một tiếp tuyến của mặt cầu
Sự ; R) với tiếp điểm là M Khi đó, nếu gọi A là
đường thẳng A! và z là góc giữa đường thẳng A¿
MI R
va A thi @ = MAI Ta c6 sine =A 7 Ta’ suy ,
ra góc @ khong d6i Vay Ar 1a dudng sinh cia mat
nón Ÿt có đỉnh 4, trục A và góc ở đỉnh bằng 2ø
Hinh 51
a) Giả sử hình nón 9Ucé dinh S va dudng tron day
là (Ó ; r) (h.52) Lấy điểm M cố định trén (O ; r)
thì tam giác SOM vuông ở Ó Điểm ¡ là tâm-của
mặt cầu ngoại tiếp hình nón khi và chỉ khi / nằm
trên SÓ và cách đều hai điểm S, M Vậy 7 là giao
điểm của SÓ và mặt phẳng trung trực của SM nén
nó xác định duy nhất
Mặt cầu tâm /, bán kinh R-= /S 14 mặt cầu ngoại
tiếp duy nhất
b) Goi SS’ 1a đường kính của mặt cầu ngoại tiếp
hình nón (SS” > ) (h.53) Tam giác SMS” vuông tại
MO? =OS.OS' => r? = h(SS’-
2 2 2
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là
2, g2
rˆ+h
R= ah
c) (h.53) Nếu hình nón có chiều cao h, Pan kinh day là r nội tiếp mặt cầu ˆ
bán kính # thì theo câu b), ta có hệ thức rs h(2R —h)
Hinh 53
Trang 920
21
Độ dài đường sinh là / = SM = vSS“.SO = J2R.h Từ đó suy ra :
Syq = l= nal h(2R —h).V2Rh = rhJf2R2R — h)
a) Giả sử hình nón có đỉnh Š và có đáy là đường tròn
C(O ; r) (h.54)
Nếu / là tâm của mặt cầu nội tiếp hình nón thì 7 phải
nằm trên SÓ Thật vậy, nếu / không thuộc SO, ta gọi
I’ 1a giao điểm của S7 và mặt phẳng đáy của hình nón
Mặt phẳng (S/O) cất hình nón theo tam giác cân A
SAB Điểm ¡ï không nằm trên đường phân giác SỞ của
góc ASB nhưng lại cách đều SA, SB, vô lí
Lấy điểm A cố định trên đường tròn đáy và gọi 7 là điểm nằm trên SỞ sao cho A/ là phân giác của góc SAO Điểm I như vậy hoàn toàn xác định và là tâm của mặt cầu nội tiếp hình nón, bán kính của mặt cầu đó là R = !Ó
b) Tacó SA = Vos? +OA? =2 +r2
Theo tính chất đường phân giác, ta có :
IS | SA I0+IS OA+SA h r+ lụ2 „ „2
Hình 54
rh
r+ V h? + rr
Goi o¥ là hình tạo bởi tam giác ABC (kể cả các
điểm trong) khi quay quanh đường thẳng BC (h.55)
Nếu gọi AH là đường cao của tam giác ABC thì các
tam giác BAH và CAH khi quay quanh 8C lần lượt
tạo thành hai khối nón ⁄ và 2 Gọi Vị và V; lần
lượt là thể tích hai khối nón đó, ta có thể tích V của
Ala
Vậy bán kinh mat cdu noi tiép 14: R=/O=
Hinh 55
V=W+Wạ= 3 ~AH”.BH + 3 RAH?.CH
xAH?.BCĂ= 1n~P S— jhề +c? =—=
3 3 p2+c2 3Vp2 402
=
37
Trang 10ÔN TẬP CHƯƠNG II
I— NHỮNG ĐIỀU CẦN LƯU Ý
1 Vì chỉ có 2 tiết ôn tập chương nên cần yêu cầu học sinh chuẩn bị ôn tập chu đáo ở nhà theo hướng dẫn trong SGK
2 Nên lựa chọn 4 hoặc 5 bài tập ôn tập để chữa trên lớp, thông qua đó mà củng cố kiến thức và rèn kĩ năng cho học sinh
3 Cho học sinh làm bài kiểm tra 45 phút
II - HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TẬP
1 Giả sử (S) là mặt cầu đi qua A và có tâm
Ó nằm trên (P) (h.56) Gọi A' là điểm đối
xứng với A qua (P) thi OA’ = OA nén mat
cầu (S) cũng đi qua A’ Vay mat cầu (S)
luôn đi qua hai điểm cố định A va A’
2 (h.57) Từ giả thiết đã cho, ta suy ra AB = ø,
BC = aV2 va AC =a¥3 Nhu vay tam giác
ABC vuông ở B Gọi SH là đường cao của hình
chóp thi do SA = SB = SC nén HA = HB = HC
va do d6 H chinh 1a trung điểm của cạnh AC
Gọi Ó là điểm đối xứng với S qua điểm H thi
dễ thay OS = OA = OC = OB = a Suy ra mặt
cầu ngoại tiếp hình chdp S.ABC cé tam Ó và có
ban kinh R =a
3 (h.58)
a) Goi là trung điểm cua AB thi OM 1 AB,
O'M L AB Do (P) và (P” phân biệt nên ba
diém O, M, O’ khong, thing hàng Từ đó
Gọi A và A' lần lượt là trục của đường tròn
C(Ó ; r) và CO”; r) thì A và A' cùng vuông
Hình 58
58