Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢, cạnh đáy bằng a, đường chéo của mặt bên BCC¢B¢ hợp với mặt bên ABB¢A¢ một gĩc a.. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiế
Trang 1Trần Sĩ Tùng Khối đa diện
Bài 14 Cho hình chĩp tứ giác S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D, AB =
AD = a, CD = 2a Cạnh bên SD ^ (ABCD), SD =a 3 Từ trung điểm E của DC dựng
EK ^ SC (K Ỵ SC) Tính thể tích khối chĩp S.ABCD theo a và chứng minh SC ^ (EBK)
Bài 15 Cho hình chĩp tứ giác S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D Biết
rằng AB = 2a, AD = CD = a (a > 0) Cạnh bên SA = 3a và vuơng gĩc với đáy
a) Tính diện tích tam giác SBD
b) Tính thể tích của tứ diện SBCD theo a
Bài 16 Cho hình chĩp tam giác S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng ở B Cạnh SA vuơng
gĩc với đáy Từ A kẻ các đoạn thẳng AD ^ SB và AE ^ SC Biết AB = a, BC = b, SA =
c
a) Tính thể tích của khối chĩp S.ADE
b) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SAB)
Bài 17 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢, cạnh đáy bằng a, đường chéo của mặt bên
BCC¢B¢ hợp với mặt bên ABB¢A¢ một gĩc a
a) Xác định gĩc a
b) Chứng minh thể tích lăng trụ là: 3
3
8
sin
a
a HD: a) · C BI ¢ ¢ với I¢ là trung điểm của A¢B¢
Bài 18 Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A¢B¢C¢D¢, chiều cao h Mặt phẳng (A¢BD) hợp với
mặt bên ABB¢A¢ một gĩc a Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ
HD: V = h tan a - , S3 2 1 xq =4h tan a - 2 2 1
Bài 19 Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC vuơng tại A Khoảng cách từ AA¢ đến mặt
bên BCC¢B¢ bằng a, mp(ABC¢) cách C một khoảng bằng b và hợp với đáy gĩc a
a) Dựng AH ^ BC, CK ^ AC¢ Chứng minh: AH = a, ·CAC¢ = a, CK = b
b) Tính thể tích lăng trụ
c) Cho a = b khơng đổi, cịn a thay đổi Định a để thể tích lăng trụ nhỏ nhất
HD: b) V =
3
2
ab
sin a - sin a c) a = arctan 2
2
Bài 20 Cho lăng trụ đều ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh đáy bằng a Gĩc giữa đường chéo AC¢ và
đáy là 600 Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ
HD: V = a 3 6 ; S xq = 4a 2 6
Bài 21 Cho lăng trụ tứ giác đều, cĩ cạnh bên là h Từ một đỉnh vẽ 2 đường chéo của 2 mặt
bên kề nhau Gĩc giữa 2 đường chéo ấy là a Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ
HD: S xq = 4h 2 1 cos
cos
a a
-
Bài 22 Cho lăng trụ tam giác đều ABc.A¢B¢C¢, cạnh đáy bằng a Mặt phẳng (ABC¢) hợp với
mp(BCC¢B¢) một gĩc a Gọi I, J là hình chiếu của A lên BC và BC¢
a) Chứng minh · AJI = a
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ
HD: b) V = 3a3
; S xq = 3a 2
2
3
Trang 2
Khối đa diện Trần Sĩ Tùng
a) Xác định đường cao của lăng trụ vẽ từ A¢ Chứng minh mặt bên BCC¢B¢ là hình chữ nhật
b) Định b theo a để mặt bên ABB¢A¢ hợp với đáy gĩc 600
c) Tính thể tích và diện tích tồn phần theo a với giá trị b tìm được
HD: b) b = a 7
12 c) S tp =
2
7 3 21 6
Bài 24 Cho hình lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC là tam giác vuơng cân đỉnh A Mặt
bên ABB¢A¢ là hình thoi cạnh a, nằm trên mặt phẳng vuơng gĩc với đáy Mặt bên ACC¢A¢ hợp với đáy gĩc nhị diện cĩ số đo a (0 < a < 900)
a) Chứng minh: · A AB¢ = a
b) Tính thể tích lăng trụ
c) Xác định thiết diện thẳng qua A Tính diện tích xung quanh lăng trụ
d) Gọi b là gĩc nhọn mà mp(BCC¢B¢) hợp với mặt phẳng đáy
Chứng minh: tanb = 2 tana
HD: b) V = 1
2a
3 sin a c) S xq = a 2 (1 + sin a + 1+sin a2 )
Bài 25 Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢ đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của A¢ lên
mp(ABC) trùng với tâm đường trịn (ABC) Cho · BAA¢ = 450
a) Tính thể tích lăng trụ b) Tính diện tích xung quanh lăng trụ
HD: a) V = 2 2
8
a b) S xq = a 2 (1 + 2
2 )
Bài 26 Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC là tam giác đều nội tiếp trong đường trịn
tâm O Hình chiếu của C¢ lên mp(ABC) là O Khoảng cách giữa AB và CC¢ là d và số đo nhị diện cạnh CC¢ là 2j
a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A¢B¢C¢
b) Gọi a là gĩc giữa 2 mặt phẳng (ABB¢A¢) và (ABC) (0 < a < 900)
Tính j biết a + j = 900
2
2
d tan
tan
j
j - b) tan a =
2
1
3tan j -1; j = arctan 2
2
Bài 27 Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢ cĩ đáy là tam giác vuơng tại A, AB = a, BC = 2a Mặt
bên ABBA¢ là hình thoi, mặt bên BCC¢B¢ nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy, hai mặt này hợp với nhau một gĩc a
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCC¢B¢) Xác định gĩc a
b) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A¢B¢C¢
2
a Gọi AK là đường cao của DABC; vẽ KH ^ BB¢ · AHK = a
3
a
Trang 3Trần Sĩ Tùng Khối đa diện
HD: a) S xq = 2 S12+S22 b) V = 1 2
4
2 2
S S
-Bài 29 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢, đường chéo AC¢ = d hợp với đáy ABCD
một gĩc a và hợp với mặt bên BCC¢B¢ một gĩc b
a) Chứng minh: · CAC¢=a và AC B ·¢ = b
b) Chứng minh thể tích hình hộp là: V = d3sina.sinb cos(a b+ ).cos(a b- )
c) Tìm hệ thức giữa a, b để A¢D¢CB là hình vuơng Cho d khơng đổi, a và b thay đổi mà A¢D¢CB luơn là hình vuơng, định a, b để V lớn nhất
HD: c) 2(cos 2 a – sin 2 b) = 1 ; V max = 3 2
32
d khi a = b = 30 0 (dùng Cơsi)
Bài 30 Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D’ cĩ đáy là hình thoi ABCD cạnh a, µA = 600 Chân đường vuơng gĩc hà từ B¢ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo của đáy Cho BB¢ = a
a) Tính gĩc giữa cạnh bên và đáy
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp
HD: a) 60 0 b) V =
3
3 4
a
; S xq = a 2 15
Bài 31 Cho hình hộp xiên ABCD.A¢B¢C¢D¢, đáy ABCD là hình thoi cạnh a và · BAD = 600; A¢A = A¢B = A¢D và cạnh bên hợp với đáy gĩc a
a) Xác định chân đường cao của hình hộp vẽ từ A¢ và gĩc a Tính thể tích hình hộp b) Tính diện tích các tứ giác ACC¢A¢, BDD¢B¢
c) Đặt b = · (ABB A ABCD¢ ¢, ) Tính a biết a + b =
4
p
HD: a) Chân đường cao là tâm của tam giác đều ABD
b) S BDD ¢ B ¢ =
2 3 3
a sina ; S ACC ¢ A ¢ = a
2 tana c) a = arctan 17 3
4
-Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này
transitung_tv@yahoo.com
Trang 4Khối tròn xoay Trần Sĩ Tùng
I Mặt cầu – Khối cầu:
1 Định nghĩa
· Mặt cầu: S O R( ; ) ={M OM R= } · Khối cầu: V O R( ; ) ={M OM R£ }
2 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P) Gọi d = d(O; (P))
· Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm H và
bán kính r= R2-d2
· Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H ((P) đgl tiếp diện của (S))
· Nếu d > R thì (P) và (S) không có điểm chung
Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và đgl mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính bằng R đgl đường tròn lớn
3 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng D Gọi d = d(O; D)
· Nếu d < R thì D cắt (S) tại hai điểm phân biệt
· Nếu d = R thì D tiếp xúc với (S) (D đgl tiếp tuyến của (S))
· Nếu d > R thì D và (S) không có điểm chung
4 Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp
Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp Hình đa diện Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều
nằm trên mặt cầu
Tất cả các mặt của hình đa diện đều tiếp xúc với mặt cầu
Hình trụ Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm
trên mặt cầu Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và mọi đường sinh của hình trụ
Hình nón Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn
đáy của hình nón Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi đường sinh của hình nón
5 Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
· Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì
tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó
· Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
– Xác định trục D của đáy (D là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm
– Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên
– Giao điểm của (P) và D là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
II Diện tích – Thể tích
2
CHƯƠNG II KHỐI TRÒN XOAY
Trang 5Trần Sĩ Tùng Khối trịn xoay
VẤN ĐỀ 1: Mặt cầu – Khối cầu Bài 1 Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B và SA^(ABC)
a) Gọi O là trung điểm của SC Chứng minh: OA = OB = OC = SO Suy ra bốn điểm A,
B, C, S cùng nằm trên mặt cầu tâm O bán kính
2
SC
R= b) Cho SA = BC = a và AB=a 2 Tính bán kính mặt cầu nĩi trên
Bài 2 Trong mặt phẳng (P), cho đường thẳng d và một điểm A ngồi d Một gĩc xAy di
động quanh A, cắt d tại B và C Trên đường thẳng qua A vuơng gĩc với (P) lấy điểm S
Gọi H và K là các hình chiếu vuơng gĩc của A trên SB và SC
a) Chứng minh A, B, C, H, K thuộc cùng một mặt cầu
b) Tính bán kính mặt cầu trên, biết AB = 2, AC = 3, · BAC 6= 00
Bài 3 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA^(ABCD) và
3
a
SA= Gọi O là tâm hình vuơng ABCD và K là hình chiếu của B trên SC
a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một gĩc vuơng Suy ra năm điểm S, D, A, K B cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nĩi trên
Bài 4 Cho mặt cầu S(O; a) và một điểm A, biết OA = 2a Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc
với (S) tại B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C và D, biết CD=a 3
a) Tính AB
b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD
Bài 5 Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC, cĩ cạnh đáy bằng a và gĩc hợp bởi mặt bên và
đáy bằng 600 Gọi O là tâm của tam giác ABC Trong tam giác SAO dựng đường trung trực của cạnh SA, cắt SO tại K
a) Tính SO, SA
b) Chứng minh D SMK : D SOA( với M là trung điểm của SA) Suy ra KS
c) Chứng minh hình chĩp K.ABC là hình chĩp đều suy ra: KA = KB +KC
d) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABC
Bài 6 Cho hình chĩp S.ABC biết rằng cĩ một mặt cầu bán kính R tiếp xúc với các cạnh
của hình chĩp và tâm I của mặt cầu nằm trên đường cao SH của hình chĩp
a) Chứng minh rằng S.ABC là hình chĩp đều
b) Tính chiều cao của hình chĩp, biết rằng IS =R 3
Bài 7 Cho tứ diện đều ABCD cĩ cạnh là a
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đĩ
Bài 8 Cho một hình chĩp tứ giác đều cĩ cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một gĩc
600
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đĩ
Bài 9 Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ tất cả các cạnh đều bằng a Xác định tâm và
bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D
Bài 10 Cho tam giác ABC cĩ độ dài ba cạnh là 13, 14, 15 Một mặt cầu tâm O, bán kính R =
Trang 6Khối trịn xoay Trần Sĩ Tùng
khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng chứa tam giác
Bài 11 Hình chĩp S.ABC cĩ đường cao SA = a, đáy ABC là tam giác đều cạnh a Tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp
Bài 12 Cho hình chĩp từ giác đều S.ABCD cĩ cạnh đáy bằng a và gĩc hợp bởi mặt bên và
đáy bằng 600 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp
Bài 13 Hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh đáy a và đường cao h Gọi O là tâm của
ABCD và H là trung điểm của BC Đường phân giác trong của gĩc SHO cắt SO tại I Chứng minh rằng I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chĩp Tính bán kính mặt cầu này
Bài 14 Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA ^ (ABC) và tam giác ABC vuơng tại B Gọi AH, AK
lần lượt là các đường cao của các tam giác SAB và SAC
a) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, H, K cùng ở trên một mặt cầu
b) Cho AB = 10, BC = 24 Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đĩ
Bài 15 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ ABCD là hình vuơng cạnh bằng a, SA = a 7 và SA ^ (ABCD) Một mặt phẳng (P) qua A và vuơng gĩc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H,
M, K
a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, H, M, K cùng ở trên một mặt cầu
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đĩ
VẤN ĐỀ 2: Mặt trụ – Hình trụ – Khối trụ
Bài 1 Cho hình trụ cĩ các đáy là hai hình trịn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng 2 cm Trên
đường trịn đáy tâm O lấy hai điểm A, B sao cho AB = 2 cm Biết rằng thể tích tứ diện OO¢AB bằng 8 cm3 Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ
Bài 2 Cho hình trụ cĩ các đáy là hai hình trịn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng 2 cm Trên
đường trịn đáy tâm O lấy điểm A sao cho AO¢ hợp với mặt phẳng đáy một gĩc 60 0
Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ
Bài 3 Cho hình trụ cĩ các đáy là hai hình trịn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng chiều cao và
bằng a Trên đường trịn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường trịn đáy tâm O¢ lấy điểm B sao cho AB = 2a Tính thể tích của khối tứ diện OO¢AB
Bài 4 Một khối trụ cĩ chiều cao bằng 20 cm và cĩ bán kính đáy bằng 10 cm Người ta kẻ hai
bán kính OA và O’B’ lần lượt trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một gĩc 300 Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’ của khối trụ đĩ Hãy tính diện tích của thiết diện
Bài 5 Một hình trụ cĩ bán kính đáy R = 53 cm, khoảng cách giữa hai đáy h = 56 cm Một
thiết diện song song với trục là hình vuơng Tính khoảng cách từ trục đến mặt phẳng thiết diện
Bài 6 Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao OO¢ = h, A và B là hai điểm thay đổi trên hai
đường trịn đáy sao cho độ dài AB = a khơng đổi (h a> < h2+4R2)
Trang 7Trần Sĩ Tùng Khối trịn xoay
Bài 8 Một hình trụ cĩ bán kính đáy R và cĩ thiết diện qua trục là một hình vuơng
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho
Bài 9 Một hình trụ cĩ bán kính đáy R và đường cao bằng R 3; A và B là hai điểm trên hai đường trịn đáy sao cho gĩc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 300
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ
Bài 10 Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h Gọi A và B là hai điểm lần lượt nằm trên
hai đường trịn đáy (O, R) và (O¢, R) sao cho OA và O¢B hợp với nhau một gĩc bằng x và
và hai đường thẳng AB, O¢O hợp với nhau một gĩc bằng y
a) Tính bán kính R theo h, x, y
b) Tính Sxq, Stp và thể tích V của hình trụ theo h, x, y
Bài 11 Cho hình trụ bán kính đáy bằng a và trục OO’ = 2a OA và OB’ là hai bán kính của
hai đường trịn đáy (O), (O’) sao cho gĩc của OA và OB’ bằng 300
a) Tính độ dài đoạn thẳng AB’
b) Tính tang của gĩc giữa AB’ và OO’
c) Tính khoảng cách giữa AB’ và OO’
Bài 12 Một khối trụ cĩ các đáy là hai hình trịn tâm O và O’, bán kính R và cĩ đường cao
2
R
h= Gọi A là một điểm trên đường trịn tâm O và B là một điểm trên đường trịn tâm O’ sao cho OA vuơng gĩc với O’B
a) Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO’ là những tam giác vuơng Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện OABO’ và khối trụ
b) Gọi ( )a là mặt phẳng qua AB và song song với OO’ Tính khoảng cách giữa trục OO’
và mặt phẳng( )a
c) Chứng minh rằng ( )a là tiếp diện của mặt trụ cĩ trục OO’ và cĩ bán kính đáy bằng
2
2
R
VẤN ĐỀ 3: Mặt nĩn – Hình nĩn – Khối nĩn
Bài 1 Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A¢B¢C¢D¢ cĩ cạnh đáy bằng a, chiều cao 2a
Biết rằng O¢ là tâm của A¢B¢C¢D¢ và (C) là đường trịn nội tiếp đáy ABCD Tính thể tích khối nĩn cĩ đỉnh O¢ và đáy (C)
Bài 2 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢ cĩ cạnh đáy bằng a và chiều cao 2a
Biết rằng O¢ là tâm của A¢B¢C¢ và (C) là đường trịn nội tiếp đáy ABC Tính thể tích khối nĩn cĩ đỉnh O¢ và đáy (C)
Bài 3 Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một
gĩc 60 Gọi (C) là đường trịn ngoại tiếp đáy ABCD Tính thể tích khối nĩn cĩ đỉnh S 0
và đáy (C)
Bài 4 Trong khơng gian cho tam giác OIM vuơng tại I, gĩc IOM bằng 300 và cạnh IM = a Khi quay tam giác OIM quanh cạnh gĩc vuơng OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nĩn trịn xoay
Trang 8Khối trịn xoay Trần Sĩ Tùng
Bài 5 Thiết diện qua trục của một hình nĩn là một tam giác vuơng cân cĩ cạnh gĩc vuơng
bằng a
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nĩn
b) Tính thể tích của khối nĩn tương ứng
c) Một thiết diện qua đỉnh và tạo với đáy một gĩc 600 Tính diện tích của thiết diện này
Bài 6 Cho hình nĩn đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường trịn đáy sao
cho khoảng cách từ điểm O đến AB bằng a và · SAO 3 = 00, · SAB=6 Tính độ dài đường 00 sinh của hình nĩn theo a
Bài 7 Thiết diện qua trục của một khối nĩn là một tam giác vuơng cân cĩ cạnh huyền bằng
a Tính thể tích khối nĩn và diện tích xung quanh của hình nĩn đã cho
Bài 8 Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a Tính diện tích xung quanh của hình
nĩn cĩ đỉnh là tâm O của hình vuơng ABCD và đáy là hình trịn nội tiếp hình vuơng A’B’C’D’
Bài 9 Cắt một hình nĩn bằng một mặt phẳng đi qua trục của nĩ, ta được thiết diện là một
tam giác đều cạnh 2a Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần của hình và thể tích của khối nĩn
Bài 10 Cho hình chĩp tam giác đều S ABC cĩ cạnh bên bằng a và gĩc giữa các mặt bên và
mặt đáy là a Một hình nĩn đỉnh S cĩ đường trịn đáy nội tiếp tam giác đều ABC, Hãy
tính diện tích xung quanh của hình nĩn này theo a và a
Bài 11 Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ chiều cao SO = h và · SAB a = (a > 450) Tính diện tích xung quanh của hình nĩn đỉnh S và cĩ đường trịn đáy ngoại tiếp hình vuơng ABCD
Bài 12 Một hình nĩn cĩ độ dài đường sinh bằng 1 và gĩc giữa đường sinh và đáy là a
a) Tình diện tích xung quanh và thể tích của khối nĩn
b) Gọi I là điểm trên đường cao SO của hình nĩn sao cho =k(0<k <1)
SO
SI
Tính diện tích của thiết diện qua I và vuơng gĩc với trục
Trang 9Trần Sĩ Tùng Khối trịn xoay
Bài 1 Cho một tứ diện đều cĩ cạnh là a
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tương ứng
Bài 2 Cho một hình chĩp tứ giác đều cĩ cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một gĩc
0
60
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tương ứng
Bài 3 Hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh đáy a, gĩc giữa mặt bên và đáy là a
a) Tính bán kính các mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chĩp
b) Tính giá trị của tana để các mặt cầu này cĩ tâm trùng nhau
Bài 4 Cho tứ diện ABCD, biết AB = BC = AC = BD = a, AD = b Hai mặt phẳng (ACD)
và (BCD) vuơng gĩc với nhau
a) Chứng minh tam giác ACD vuơng
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Bài 5 Cho hình cầu tâm O bán kính R và đường kính SS¢ Một mặt phẳng vuơng gĩc với
SS¢ cắt hình cầu theo một đường trịn tâm H Gọi ABC là tam giác đều nội tiếp trong
đường trịn này Đặt SH = x (0 < x < 2R)
a) Tính các cạnh của tứ diện SABC theo R, x
b) Xác định x để SABC là tứ diện đều, khi đĩ tính thể tích của tứ diện và chứng minh
rằng các đường thẳng S¢A, S¢B, S¢C đơi một vuơng gĩc với nhau
Bài 6 Trong mặt phẳng (P), cho hình thang cân ABCD với AB = 2a, BC = CD = DA = a
Trên nửa đường thẳng Ax vuơng gĩc với (P) ta lấy một điêm di động S Một mặt phẳng qua A vuơng gĩc với SB, cắt SB, SC, SD lần lượt tại P, Q, R
a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, P, Q, R luơn thuộc một mặt cầu cố định Tính diện tích của mặt cầu đĩ
b) Co SA = a 3 Tính diện tích của tứ giác APQR
Bài 7 Cho một đoạn thẳng IJ cĩ chiều dài c Trên đường thẳng vuơng gĩc với IJ tại I ta lấy
hai điểm A, A¢ đối xứng qua I và IA = IA¢ = a Trên đường thẳng vuơng gĩc với IJ tại J
và khơng song song với AA¢ ta lấy hai điểm B, B¢ đối xứng qua J và JB = JB¢ = b
a) Chứng minh rằng tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA¢B¢B nằm trên đường thẳng
IJ
b) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA¢B¢B theo a, b, c
Bài 8 Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC)
vuơng gĩc với nhau và · BDC =900 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Bài 9 Cho hình cầu bán kính R Từ một điểm S bất kỳ trên mặt cầu, dựng ba cát tuyến bằng
nhau, cắt mặt cầu tại A, B, C sao cho: · ASB ASC =BSC a=· · = Tính thể tích V của tứ
diện SABC theo R và a
Bài 10 Cho tứ diện SABC cĩ SA ^ (ABC), SA = a, AB = b, AC = c Xác định tâm và tính
bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:
a) · BAC =900 b) · BAC =600, b = c c) · BAC =1200, b = c
ƠN TẬP KHỐI TRỊN XOAY
Trang 10Khối trịn xoay Trần Sĩ Tùng
Bài 12 Một hình trụ cĩ bán kính đáy R và cĩ thiết diện qua trục là một hình vuơng
a) Tính Sxq và Stp của hình trụ
b) Tính V khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho
Bài 13 Một hình trụ cĩ bán kính đáy R và đường cao R 3 A và B là 2 điểm trên 2 đường trịn đáy sao cho gĩc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 30 0
a) Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của hình trụ
b) Tính Sxq và Stp của hình trụ
c) Tính thể tích khối trụ tương ứng
Bài 14 Bên trong hình trụ trịn xoay cĩ một hình vuơng ABCD cạnh a nội tiếp mà 2 đỉnh
liên tiếp A, B nằm trên đường trịn đáy thứ 1 của hình trụ, 2 đỉnh cịn lại nằm trên đường trịn đáy thứ 2 của hình trụ Mặt phẳng chứa hình vuơng tạo với đáy hình trụ một gĩc
0
45 Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ đĩ
Bài 15 Thiết diện qua trục của một hình nĩn là một tam giác vuơng cân cĩ cạnh gĩc vuơng
bằng a
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nĩn
b) Tính thể tích khối nĩn tương ứng
Bài 16 Cho hình nĩn cĩ đường cao SO = h và bán kính đáy R Gọi M là điểm trên đoạn OS,
đặt OM = x (0 < x < h)
a) Tính diện tích thiết diện (C) vuơng gĩc với trục tại M
b) Tính thể tích V của khối nĩn đỉnh O và đáy (C) theo R, h và x Xác định x sao cho V
đạt giá trị lớn nhất
Bài 17 Một hình nĩn đỉnh S cĩ chiều cao SH = h và đường sinh bằng đường kính đáy Một
hình cầu cĩ tâm là trung điểm O của đường cao SH và tiếp xúc với đáy hình nĩn
a) Xác định giao tuyến của mặt nĩn và mặt cầu
b) Tính diện tích của phần mặt nĩn nằm trong mặt cầu
c) Tính S mặt cầu và so sánh với diện tích tồn phần của mặt nĩn
Bài 18 Cho hình nĩn trịn xoay đỉnh S Trong đáy của hình nĩn đĩ cĩ hình vuơng ABCD nội
tiếp, cạnh bằng a Biết rằng · ASB=2a, (00 < <a 450) Tính thể tích khối nĩn và diện tích xung quanh của hình nĩn
Bài 19 Cho hình nĩn cĩ bán kính đáy bằng R và gĩc ở đỉnh là 2a Trong hình nĩn cĩ một
hình trụ nội tiếp Tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, biết rằng thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuơng
Bài 20 Cho hình nĩn cĩ bán kính đáy R, gĩc giữa đường sinh và đáy của hình nĩn là a
Một mặt phẳng (P) song song với đáy của hình nĩn, cách đáy hình nĩn một khoảng h, cắt hình nĩn theo đường trịn (C) Tính bán kính đường trịn (C) theo R, h và a
