Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E.. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng EM và BN.[r]
Trang 1Câu 1: (2,0 điểm)
1 Cho số x ( x ∈ R ; x>0 ) thoả mãn điều kiện: x 2 + 1
x2 = 7 Tính giá trị các biểu thức: A = x 3 + 1
x3 và B = x 5 + 1
x5
2 Giải hệ phương trình:
y x
x y
Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: ax2 bx c 0(a 0) có hai nghiệm
1, 2
x x thoả mãn điều kiện: 0 x1 x2 2.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
2
a ab b Q
a ab ac
Câu 3: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: √x −2 + √y+2009 + √z −2010 = 1
2(x + y +z)
2 Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p 2 +1 và 6p 2 +1 cũng là số nguyên tố.
Câu 4: (3,0 điểm)
1 Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E Một đường
thẳng qua A, cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N Gọi K là
các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm).Một góc xOy có
AC tại E Chứng minh rằng: 2√2 −2 ≤ DE<1
Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức P=a2
+b2 +c2 +d2 +ac+bd ,trong đó
ad − bc=1
Chứng minh rằng: P≥√3
Hết
Trang 2SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ
KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC: 2009 - 2010
Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Đáp án chính thức
Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009 (Đáp án này gồm 04 trang)
1
x )2 = 9 x + 1x = 3 (do x > 0)
21 = (x + 1x )(x2 + 1
x2 ) = (x3 + 1
x3 ) + (x + 1x ) A = x3 + 1
x3
=18
7.18 = (x2 + 1
x2 )(x3 + 1
x3 ) = (x5 + 1
x5 ) + (x + 1x )
B = x5+ 1
x5 = 7.18 - 3 = 123
0.25 0.25
0.25 0.25 2
√x+√2 −1
y=
1
√y+√2−1
x (2)
√x>
1
√y thì √2−1
y>√2−1
x nờn (2) xảy ra khi và chỉ khi x=y thế vào hệ ta giải được x=1, y=1
0.5
0.5 2
b
x x
a
, x x1. 2 c
a
Khi đó
2
2
a ab b Q
a ab ac
=
2
2 3.
2
b b
a a
b c
a a
( Vì a 0)
=
2
x x x x
Vì 0 x1 x2 2 nên x12 x x1 2 và x 22 4
x12 x22 x x1 24 x1x22 3x x1 2 4
Do đó
3
x x x x Q
x x x x
0.25
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
Trang 3Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 x2 2 hoặc x1 0, x2 2
Tức là
4
4 4
2
0
b a
a
b
c a
c a
0.25
3
1 ĐK: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010
Phương trình đã cho tương đương với:
( √x −2 - 1)2 + ( √y+2009 - 1)2 + ( √z −2010 - 1)2 = 0
√x −2 - 1 = 0 x = 3
√y+2009 - 1 = 0 y = - 2008
√z −2010 - 1 = 0 z = 2011
0.25
0.25 0.25
0.25
2 Nhận xét: p là số nguyên tố 4p2 + 1 > 5 và 6p2 + 1 > 5
Đặt x = 4p2 + 1 = 5p2- (p - 1)(p + 1)
y = 6p2 + 1 4y = 25p2 – (p - 2)(p + 2)
Khi đó:
- Nếu p chia cho 5 dư 4 hoặc dư 1 thì (p - 1)(p + 1) chia hết cho 5
x chia hết cho 5 mà x > 5 x không là số nguyên tố
- Nếu p chia cho 5 dư 3 hoặc dư 2 thì (p - 2)(p + 2) chia hết cho 5
4y chia hết cho 5 mà UCLN(4, 5) = 1 y chia hết cho 5 mà
y > 5
y không là số nguyên tố
Vậy p chia hết cho 5, mà p là số nguyên tố p = 5
Thử với p =5 thì x =101, y =151 là các số nguyên tố
Đáp số: p =5
0.25
0.25
0.25
0.25 4
Trang 42
Trên cạnh AB lấy điểm I sao cho IB = CM
Mặt khác: IBAB=CM
CB =
MN
∠BCE=∠EMI=∠BKE tứ giác BECK nội tiếp
∠BEC +∠BKC=1800
vuông
Trên cung nhỏ BC lấy điểm M sao cho DOM = DOB
MOE=COE
suy ra D,M,E thẳng hàng, suy ra DE là tiếp tuyến của (O)
Vì DE là tiếp tuyến suy ra DM=DB, EM=EC
Ta có DE<AE+AD 2DE<AD+AE+BD+CE =2 suy ra DE<1
Đặt DM= x, EM=y ta có AD2 + AE2 = DE2
(1-x)2 + (1-y)2 = (x+y)2
1- (x+y) = xy (x + y )
2
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
Trang 55 Ta có: ad − bc¿
2
=a2c2+2 abcd+b2d2+a2d2−2 abcd +b2c2
ac+bd¿2+¿
¿
¿a2(c2+d2)+b2(d2+c2)=(a2+b2) (c2+d2)
Vì ad − bc=1 nên ac+bd¿❑
2
=(a2+b2) (c2+d2)(1) 1+¿
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm (a2+b2);(c2+d2) có:
P=a2+b2+c2+d2+ac+bd ≥ 2√ (a2+b2) (c2+d2)+ac+bd
⇒ P ≥2√1+(ac+bd )2+ac+bd (theo (1))
Rõ ràng P>0 vì: 2√1+(ac +bd)2>|ac +bd|2
Đặt x=ac+bd ,ta có: P≥ 2√1+ x2
+x
⇔ P2≥ 4(1+x2)+4 x√1+ x2
+x2
=(1+ x2)+4 x√1+ x2
+4 x2 +3
¿( √1+ x2+2 x)2+3 ≥3
0.25
0.25
0.25 0.25
0.25