Ma trận tán xạ S
Khái niệm
Phương trình chuyển động trong biểu diễn tương tác là: i∂Φ (t)
∂t = H (t) Φ (t) (1.1) trong đó H (t) là Hamiltonien tương tác, Φ (t) là vector trang thái tại thời điểm t.
Giả sử tại thời điểm ban đầu t 0 cho vector trạng thái ban đầu là Φ (t 0 ), hãy xác định vector trạng thái tại các thời điểm t > t 0
Phương trình (1.1) là một phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất, cho phép chúng ta biểu diễn nghiệm dưới dạng Φ(t) = S(t, t₀) Φ(t₀) (1.2), trong đó S(t, t₀) là toán tử tuyến tính Khi thay thế (1.2) vào (1.1) và thực hiện tích phân hai vế, chúng ta sẽ thu được kết quả cần thiết.
Sử dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp để giải (1.3) ta tìm được dạng của toán tử tuyến tính S(t, t 0 ) ở dạng gần đúng như sau:
Công thức tổng quát của S(t, t0) (1.4) bao gồm các số hạng tích phân với cận dưới là t0 và các cận trên khác nhau Để đơn giản hóa quá trình tính toán, chúng ta sẽ chuyển đổi biểu thức tổng quát của S(t, t0) về một dạng dễ xử lý hơn.
Khi xem xét bài toán tán xạ, hệ ban đầu được giả định là hoàn toàn tự do, tức là các hạt không tương tác Sau khi xảy ra tương tác, các hạt vẫn tồn tại trong trạng thái tự do, nhưng chuyển động của chúng đã thay đổi do va chạm với bia Trong biểu thức, ta coi thời gian t₀ tiến về âm vô cực và t tiến về dương vô cực, dẫn đến sự khác biệt trong chuyển động của các hạt trước và sau tương tác.
Z t n−1 dt n P [H(t 1 )H (t 2 ) H(t n )] (1.9) Viết dưới dạng hàm mũ:
Ý nghĩa vật lý của ma trận tán xạ S
Theo (1.2), vector trạng thái của hệ tại thời điểm t được biểu diễn bởi Φ(t) = S(t, t0) Φ(t0), trong đó S(t, t0) là toán tử tác động lên vector trạng thái ban đầu Φ(t0) Ta giả định rằng tại thời điểm t0 → −∞, hệ thống hoàn toàn tự do với vector trạng thái là Φ(t0) = Φ(−∞) = Φi Sau quá trình tán xạ, tại thời điểm cuối t → +∞, trạng thái mới của hệ Φ(t) = Φ(∞) liên hệ với trạng thái ban đầu thông qua công thức: Φ(+∞) = SΦ(−∞) = SΦi (1.11).
Sau khi tương tác, các hạt trở nên xa nhau và không còn tương tác, do đó có thể coi Φ (+∞) là vector trạng thái của hệ các hạt tự do mới Vector trạng thái này được khai triển theo bộ đầy đủ các vector trạng thái Φ n của hệ.
Tại thời điểm t → ∞, xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái Φ n được tính theo công thức:
Nếu tại thời điểm ban đầu hệ ở trạng thái Φ i thì xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái cuối Φ f là:
W i→f = |C f | 2 = |hΦ f |SΦ i i| 2 (1.15) Để tìm W i→f ta cần tính yếu tố ma trận:
Như vậy ma trận tán xạ S(t, t 0 ) ∞
S n (t, t 0 ) có yếu tố ma trận là:
(1.17) Khi không có tương tác
Khi có tương tác, yếu tố ma trận S n được viết dưới dạng sau
Sn = δf i +iRf i (1.19) trong đó ma trận
Tiết diện tán xạ
Khái niệm
Giả sử có một hạt bia trong miền không gian A và một hạt đạn di chuyển qua miền này Xác suất tán xạ P được xác định dựa trên sự tương tác giữa hạt bia và hạt đạn trong không gian.
Tiết diện tán xạ toàn phần σ đại diện cho xác suất tán xạ trong một đơn vị thể tích Cả xác suất tán xạ P và miền không gian A đều không bị ảnh hưởng bởi hệ quy chiếu, cho dù là khối tâm hay phòng thí nghiệm Do đó, tiết diện tán xạ σ cũng không phụ thuộc vào hệ quy chiếu được chọn.
Trường hợp tán xạ có nhiều hạt tới và nhiều hạt bia, khi đó tốc độ tán xạ
R được định nghĩa như sau:
R = F.A.N t P (1.21) trong đó F là số hạt tới trong một đơn vị thể tích và một đơn vị thời gian:
F = nivrel (1.22) với n i là mật độ hạt tới,v rel là vận tốc tương đối giữa hai hạt với nhau (v rel = v ab ), N t là số hạt bia.
Khi đó biểu thức tốc độ tán xạ R được viết lại như sau:
Trong nhiều trường hợp ta chỉ quan tâm tới sự tán xạ trong một góc khối.
Tiết diện tán xạ riêng phần, hay còn gọi là tiết diện tán xạ vi phân dσ dΦ, là khái niệm quan trọng trong vật lý Góc khối dΩ có sự phụ thuộc vào hệ quy chiếu, do đó, tiết diện tán xạ vi phân dΩ dσ cũng bị ảnh hưởng bởi hệ quy chiếu.
Biểu thức tán xạ vi phân
Xác suất cho một chuyển dời từ trạng thái i (P i ) đến trạng thái f (P f ) với i 6= f là:
Ta có δ 4 (q) 2 = δ 4 (q)δ 4 (0), δ 4 (q) 2 = δ 4 (q)δ 4 (0) (1.25) trong đó δ 4 (0) = lim q→0 δ 4 (q) = lim q→0
Wif = (2π) 2 δ 4 (pf −pi) |M f i | 2 V T (1.27) Xác suất chuyển dời trong một đơn vị thời gian là: rate f i = W f i
T = (2π) 4 δ 4 (p f −p i ) |M f i | 2 V (1.28) Biến đổi công thức trên về dạng sau
Y k=1 d 3 p k (2π) 3 V n+1 (1.29) tổng lấy theo nhiều hạt ở trạng thái cuối Mặt khác:
So sánh (1.29) với (1.30), ta có: σ f i = V n+2 v rel (2π) 4
(1.33) trong đó E a , E b là năng lượng của các hạt tới a, b, và v rel = v ab = v a −v b (1.34) là vận tốc tương đối giữa 2 hạt
Tiết diện tán xạ vi phân dσ f i = |M f i | 2
(1.38) Đối với trường hợp hệ hạt đồng nhất, ta có: dσ = |M| 2
1 li! (1.40) ở đây l i là số hạt đồng nhất loại i tại trạng thái cuối.
Xét quá trình tán xạ với hai hạt ở trạng thái đầu có xung lượng là (p 1 , p 2 ), khối lượng (m 1 , m 2 ), cho (n−2) hạt ở trạng thái cuối có xung lượng (p3, p4, , pn), khối lượng (m3, m4, , mn).
Phần thể tích không gian pha của trạng thái cuối là: dΦf (p3, p4, , pn) = (2π) 4 δ 4 (p3 + p4 +pn−pi) 1
Nếu quan tâm đến xác suất tán xạ theo một phương nào đó (ϕ, θ) trong góc khối dΩ =dϕdcosθ thì dσ Z dΩ
Trường hợp n = 4 (quá trình tán xạ với hai hạt tới, hai hạt ra):
Tại góc cố định (ϕ, θ), kết quả tích phân theo không gian pha của hai hạt sau phép lấy tích phân đối với toàn p 4 và toàn E 3 là
Đối với các hạt không có spin, ma trận M phụ thuộc vào xung lượng thông qua các biến Mandelstam s, t và u, được định nghĩa như sau: s = (p1 + p2)² = (p3 + p4)², t = (p1 - p3)² = (p4 - p2)², và u = (p1 - p4)² = (p3 - p2)².
Trong hệ quy chiếu khối tâm, các xung lượng 4 chiều được định nghĩa như sau: p 1 = (E 1 , ~p), p 2 = (E 2 ,−~p), p3 = (E3, ~q), p 4 = (E 4 ,−~q)
(1.48) Áp dụng các định luật bảo toàn năng xung lượng ta được s+t+u = m 2 1 + m 2 2 +m 2 3 +m 2 4 (1.49)
Khi đó biểu thức tiết diện tán xạ vi phân được viết lại như sau: dσ dΩ cm
Ta suy ra dt= 2|~p| |~q|cosθ (1.58)
Ta có góc khối dΩ = 2πdcosθ = π
Do đó ở dạng khác, chúng ta có thể viết biểu thức tiết diện tán xạ vi phân theo các biến s và t như sau: dσ dΩ cm
Khi lấy tổng theo spin của các hạt ở trạng thái cuối, và lấy trung bình theo spin của các hạt ở trạng thái đầu, ta thay:
Có thể viết lại (1.53) dưới dạng sau: dσ dΩ cm
= |M| 2 16πλ(s, m 2 1 , m 2 2 ) (1.62) Bây giờ ta xét bài toán trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm: p à 1 = (E 1 , p) ;p à 2 = (m 2 ,0) ;p à 3 = (E 3 , q) ;p à 4 = (E 4 , p 4 ) (1.63)
Ta dễ dàng thu được các hệ thức sau:
E 3 E 4 d(E 3 +E 4 ) d|q| = |q|(E 1 +E 2 )− |p|cos (θ lab ) (1.64) Thay (1.64) vào (1.44) ta được dσ dΩ cm
Trong đó s = j! 1 với j là số hạt đồng nhất ở trạng thái cuối p i = (E i , ~p i ), E i q m 2 i +p~ i 2 (1.68) Trường hợp 2 : 1 →2 + 3 + +n dσ = s
Các trường hợp đặc biệt
(1.72) Trong tọa độ cầu d 3 p~ 2 = |p~ 2 | 2 d|p~ 2 |sinθdθdϕ
M 2 là vô hướng chỉ phụ thuộc ρ = |p~ 2 | Do đó Γ = s
E là năng lượng tổng cộng của các hạt ra:
Mặt khác, ta lại có: m 1 q m 2 2 +ρ 2 0 + q m 2 3 +ρ 2 0 m 2 1 = m 2 2 +m 2 3 + 2ρ 2 0 + 2 q (m 2 2 +ρ 2 0 ) (m 2 3 +ρ 2 0 )
2m 1 q m 4 1 + m 4 2 +m 4 3 −2m 2 1 m 2 2 −2m 2 1 m 2 3 − −2m 2 2 m 2 3 (1.77) Vậy nếu m 2 = m 3 = 0 ta thu được: Γ = s
Trong hệ khối tâm ta có:
Tích phân theo p~4, ~p4 = −p~3 ta được: σ = s
MÔ HÌNH CHUẨN MỞ RỘNG
Mô hình Randall Sundrum
Các mô hình Randall-Sundrum (RS) dựa trên không-thời gian 5D được mở rộng và compact hóa trên orbifold S¹/Z₂ Trong mô hình này, có hai brane ba chiều (3-brane) định vị tại hai điểm cố định, tạo thành các siêu bề mặt 4D.
Tại y = 0 và brane TeV tại y = 1/2, sự bất biến Poincare 4D được thể hiện và duy trì qua giải pháp cổ điển của phương trình Einstein với metric ds² = e⁻²σ(y) ηₐν dxₐ dxν - b₀² dy², trong đó σ(y) = m₀ b₀ |y| Ở đây, xₐ (với α = 0,1,2,3) là các thành phần tọa độ trên siêu mặt bốn chiều không đổi, và metric tương ứng là nₐν = diag(1,−1,−1,−1), với m₀ và b₀ lần lượt là tham số khối lượng và bán kính compact Khi thực hiện dao động hấp dẫn nhỏ với metric RS, ta có nₐν → gₐν = nₐν + εhₐν(x, y) và b₀ → b₀ + b(x), từ đó thu được hai thành phần mới trên brane TeV là các mode KK (Kaluza-Klein).
- Klein) h (n) àν (x) và trường radion chuẩn tắc Φ 0 (x) tương ứng được cho bởi h àν (x, y) ∞
6M P l Ω b (x) (2.3) trong đó Ω b (x) = e −m 0[ b 0+ 2 b(x)] , ε liên hệ với khối lượng Planck bốn chiều
MP l và năm chiều M5 theo biểu thức sau: ε 2 = 16πG 5 = 1
Hệ số dọc Ω, được định nghĩa là Ω ≡ e −m 2 0 b 0, đóng vai trò quan trọng trong việc giải thích hệ thống phân bậc, khi giá trị trung bình của m 2 0 b 0 ∼= 35 có thể tạo ra khối lượng vật lý ở quy mô TeV Brane TeV được sắp xếp với y = 1/2, dẫn đến một vô hướng bình thường được nhân với yếu tố dọc, ví dụ như m phys = Ω 0 m 0 Lagrangian hiệu dụng 4 chiều cũng có dạng tương ứng với các yếu tố này.
6M pl Ω 0 là trung bình chân không của trường radion, Λˆ W √2M pl Ω 0 và T àν là tensor năng xung lượng ở mức cõy ta cú:
(2.6) Trong brane TeV xuất hiện số hạng trộn giữa hấp dẫn và vô hướng là:
−g vis R(g vis )H + H (2.7) Ở đây R(g vis ) là tenxo vô hướng Ricci rút gọn trên brane TeV, g vis àν = Ω 2 b (x) (nàν +εhàν) (2.8)
Trường Higgs được xác định bởi Hˆ = Ω 0 H 0, trong đó tham số ξ thể hiện độ lớn của số hạng trộn Khi ξ khác 0, không tồn tại hàm riêng khối lượng cho boson Higgs thuần túy hoặc radion thuần túy Tham số ξ này kết hợp các trường h0 và Φ0 thành các hàm riêng khối lượng h và Φ.
Z sinθ (2.10) Góc trộn θ được xác định bởi tan 2θ = 12ξγZ m 2 h 0 m 2 h
(2.11) Các trường mới h vàΦlà các hàm riêng khối lượng và không khối lượng: m 2 h,Φ = 1
Sự trộn giữa các trạng thái cho phép chuyển đổi các hạt nặng thành hạt nhẹ hơn khi động năng đủ lớn Tiết diện tán xạ, độ rộng phân rã và tỷ số giữa hằng số rã riêng và hằng số rã đều bị ảnh hưởng đáng kể bởi tham số trộn Hai ràng buộc đối với giá trị của ξ là cần thiết, một trong số đó yêu cầu nghiệm của hàm ngược của phương trình (2.12) phải dương, chứng minh rằng Bosson Higgs là hạt nặng hơn với điều kiện m²h m²Φ > 1 + 2β.
Một yếu tố khác ảnh hưởng đến hệ số của số hạng động năng radion là việc loại bỏ sự trộn động năng Để đảm bảo số hạng động năng của radion luôn dương, điều kiện cần thiết là Z 2 > 0.
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét khối lượng của radion cùng với một số tham số khác trong mô hình Tất cả các tín hiệu liên quan đến sự tương tác giữa radion và Higgs trong mô hình này sẽ được phân tích.
RS đều được xác định từ năm tham số sau: Λ Φ , m 0
Để đảm bảo tính tin cậy của nghiệm RS, tỷ số M m 0 pl được chọn trong khoảng 0,01 ≤ M m 0 pl ≤ 0,1 nhằm tránh độ cong không - thời gian tổng quát quá lớn Chúng ta xem xét trường hợp ΛΦ = 5T eV và M m 0 pl = 0,1, trong đó hiệu ứng của radion trên các tham số xiên là nhỏ Tham số ξ được chọn là ± 1 6, phù hợp với ξ γ 1, Z 2 ≈ 1.
Nghiên cứu gần đây cho thấy radion có thể tồn tại tự nhiên với khối lượng nhỏ, khoảng 10 −2 GeV Mặc dù có khả năng giá trị nhỏ hơn xảy ra nhờ các hiệu chỉnh nhỏ, nhưng nhìn chung radion không nhỏ một cách tự nhiên Hiện tại, các thí nghiệm chỉ mới đạt được gần vùng không gian tham số lý thuyết mong muốn của các mô hình đã biết.
Liên kết của radion với các photon
Các boson chuẩn không khối lượng như photon và gluon có tương tác hạn chế với radion do sự hiện diện của số hạng khối lượng trên brane Tuy nhiên, các tương tác này có thể nhận được đóng góp đáng kể từ các bổ chính vòng của boson chuẩn, trường Higgs, top quark và các dị thường trục Những yếu tố này có khả năng tạo ra các đóng góp lớn, đặc biệt khi các boson chuẩn không khối lượng được đặt lên brane Chúng ta xác định hằng số liên kết của radion với các photon như sau:
(2.17) trong đó: b 2 = 19 6 b y = − 41 6 là hệ số trong mô hình chuẩn (SM), và: a 12 = a+ γ c τ t = 4m q 2 2 t τ W = 4m q 2 2 W
Do τ t = 4m m 2 2 t Φ nên ta suy ra q 2 = m 2 Φ
Vớiτ > 1, tính chất quan trọng của F 1
2 (τ t ) là hàm này bão hòa rất nhanh ở − 4 3 và dưới 0 với τ < 1
Với τ > 1, tính chất quan trọng của F 1 (τ t ) là hàm này bão hòa rất nhanh ở 7 và dưới 0 với τ < 1 trong đó: f (τ)
SỰ SINH CÁC RADION TRONG
MÔ HÌNH CHUẨN MỞ RỘNG
Sự sinh các radion trong mô hình chuẩn mở rộng
Trong chương này, chúng tôi xem xét quá trình hình thành radion trong các va chạm năng lượng cao giữa electron và photon (e − γ) Đồng thời, chúng tôi cũng thực hiện tính toán chi tiết về tiết diện tán xạ vi phân toàn phần của quá trình này.
Quá trình e − γ →φe − được biểu diễn qua phương trình: e − (p1) +γ(p2) → e − (k1) +φ(k2) (3.1) Ở đây: pi, ki(i = 1,2) là xung lượng 4 chiều ở trạng thái đầu và cuối
Có 3 giản đồ Feynman tương ứng cho 3 kênh s, t, u
Hình 3.1: Giản đồ Feynman của quá trình e − γ → φe −
Biểu thức của ma trận tán xạ được viết như sau:
Trong đó: à (p 2 ) là vector phõn cực của photon
A à i cho 3 giản đồ được cho bởi:
Tính tiết diện tán xạ vi phân toàn phần:
Biên độ của quá trình tán xạ:
|M u | 2 = e 2 m 2 e Λ 2 Φ q u 4 (−g àν ) (C +D) (3.15) Tương tự như kênh s ta tính được:
Xét các thành phần giao thoa
Vậy từ (3.10), (3.18), (3.27) và (3.40) ta thu được:
− 192e 2 C Φγγ 2 q t 2 p 2 2 m 2 e + 2.16e 2 m 2 e Λ 2 Φ q u q s p 1 k 1 − 2.16e 2 m 4 e Λ 2 Φ q u q s (3.42) Trong hệ khối tâm ta có:
4(1−cosθ) (3.47) Nên ta tính được:
Tiết diện tán xạ vi phân: dσ dΩ = 1
Kết quả
Tiết diện tán xạ vi phân toàn phần có sự phụ thuộc đáng kể vào khối lượng của radion, như được thể hiện qua biểu thức của nó.
Khối lượng radion nằm trong khoảng từ 10 GeV đến 500 GeV (√s = 3T eV) là yếu tố quan trọng, vì nó đủ rộng để loại bỏ sự biến đổi hương vị dòng trung hòa một cách gián tiếp Sự phụ thuộc này được minh họa trong hình dưới đây [6].
Hình 3.2: Sự phụ thuộc tiết diện tán xạ của quá trình e − γ → φe − vào khối lượng radion ở √ s = 3T eV
Trong khoảng khối lượng này, ta có σmax = 2,2743.10 −3 pb khi mφ 10GeV.
Với độ trưng tương tác lớn L = 9.10^4 f b^−1 và các giá trị khối lượng radion khác nhau, chúng ta có thể tính toán số sự kiện xảy ra trong va chạm như sau: m[GeV] = 10, 100, 200, 300, 400, 500.
Bảng 3.1: Số sự kiện xảy ra với các giá trị khác nhau của khối lượng radion.
Kết quả nghiên cứu cho thấy rằng chùm electron có độ trưng tương tác lớn và sự phân cực cao, dẫn đến số lượng sự kiện xảy ra trong các va chạm là rất đáng kể.
3 Metric dS 2 bao gồm F nhiễu loạn vô hướng tương ứng với tác dụng của radion Trong đó, metric F nhiễu loạn được cho bởi:
F (x, z) =b(x).R(z) (3.52) Ở đây R(z) đã được xác định từ việc giải phương trình Einstein và r(x) là trường vô hướng 4D chuẩn hóa chính tắc sau khi đã tích hợp chiều ngoại phụ [5].
Luận văn đã xác định tiết diện tán xạ của radion, phụ thuộc vào C φγγ, và kết hợp sự liên kết của radion với gauge boson không khối lượng.
− b Λb b IR α 8π F àν F àν và từ (2.16) suy ra:
R0 = 1T eV với photon b IR = -7/3 Tại σ max = 2,2743 x 10^(-3) pb khi m φ = 10 GeV, ta tính được b = 6,3 x 10^(-15) GeV Do đó, bán kính của chiều thêm vào trong mô hình RS là rất nhỏ.
Trong luận văn này đã xem xét sự tạo thành của radion trong va chạm năng lượng cao e − γ và đạt được một số kết quả sau:
Bài viết trình bày kiến thức cơ bản về ma trận tán xạ, bao gồm biểu thức của ma trận tán xạ và tiết diện tán xạ, cũng như biểu thức tiết diện tán xạ vi phân toàn phần cho các quá trình tán xạ Ngoài ra, bài viết cũng giới thiệu mô hình chuẩn mở rộng có hạt radion, cụ thể là mô hình Radall – Sundrum, cùng với hằng số liên kết của radion với các photon.
Biểu thức tiết diện tán xạ vi phân toàn phần cho quá trình va chạm năng lượng cao e − γ → φe − được tính toán để hiểu rõ hơn về các tương tác trong vật lý hạt Việc phân tích biểu thức này giúp xác định các đặc điểm quan trọng của quá trình tán xạ và cung cấp thông tin cần thiết cho các nghiên cứu tiếp theo trong lĩnh vực vật lý hạt.
Tiết diện tán xạ vi phân toàn phần của radion phụ thuộc vào khối lượng của nó trong khoảng từ 10GeV đến 500GeV Trong khoảng khối lượng này, giá trị tiết diện tán xạ tạo thành của radion trở nên đáng kể trong các va chạm diễn ra ở mức năng lượng cao.
Với độ trưng tương tác lớn và sự phân cực cao của chùm electron trong máy gia tốc LHC, có khả năng phát hiện dấu hiệu radion trong các va chạm γe − Sự phát hiện radion sẽ đánh dấu bước tiến quan trọng, là dấu hiệu đầu tiên xác nhận mô hình RS.
• Chỉ ra rằng bán kính của chiều thêm vào trong mô hình RS là rất nhỏ
1 Hà Huy Bằng (2010), Lý thuyết trường lượng tử, NXB Đại học Quốc gia Hà nội.
2 Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, NXB Giáo dục.
3 Hoàng Ngọc Long (2003), Nhập môn lý thuyết trường và mô hình thống nhất tương tác điện yếu, NXB Khoa học kỹ thuật.
4 Hoàng Ngọc Long (2006), Cơ sở Vật lý hạt cơ bản, NXB Thống kê.
5 C Csaki, J Hubisz and S J Lee (2007), “Radion phenomenology in realistic warped space models”, Phys Rev, D 76, 125015.
6 C Csaki, D T L.Thuy, N H.Thao, T D.Tham (2012), "Radion pro- duction in γe − collisions",Modern Physics Letters, A 27, 1250126.
7 David Griffiths (1998), Basics of Introduction to Feynman Diagrams and electroweak Interactions, Editions frontieres.
8 D V Soa, T D Tham, N H Thao, D T L Thuy (2012), “Radion pro- duction in gamma-electron collisions,” Mod Phys Lett, A 27, 1250126.
9 K m Cheung (2001), “Phenomenology of radion in Randall-Sundrum scenario”, Phys Rev, D 63, 056007.
10 S.M Bilenky (1996), Introduction to elementary particle, Elementary.
Vector và tích vô hướng
• Tích vô hướng a 2 = a à a à = a 2 0 − |−→a| 2 ab = aàb à = a0b0 − −→a−→ b
• 4 - vecto xung lượng p à = (E, p x , p y , p z ) với E = pp 2 +m 2
• Ta có các công thức hữu ích sau: ˆ a = γ à a à = γ 0 a 0 − −→γ−→a
T r(ABC) = T r(CAB) =T r(CBA) A, B, C là các ma trận bất kỳ