Ngời ta thực hiện phép biến đổi nh sau: Lấy hai hình quạt bất kì có bi rồi chuyển từ mỗi hình quạt đó một viên bi sang h×nh qu¹t liÒn kÒ nhng theo 2 chiÒu ngîc nhau nÕu mét viên ở một hì[r]
Trang 1Phòng giáo dục Trờng THCS HIỆP THUẬN đề thi học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2010-2011
Môn thi : Toán Ngày thi: 27/9/2010 Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1 (6 điểm) Cho biểu thức:
A=( x+1
xy+1+
xy +x
xy − 1 − 1) : ( x+1
xy+1 −
xy+ x
xy − 1+1)
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A nếu x=√14+6√5 , y=√5− 1
√5+1
c) Cho x+ y=√2 Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Câu 2 (6 điểm)
a) Cho x là số thỏa mãn √x2−2 x+ 25−√x2−2 x+ 9=2
Tính giá trị của biểu thức : B= √x2−2 x+25+√x2−2 x+9
b) Tìm số tự nhiên n để √n2+91 cũng là số tự nhiên
Câu 3 (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông góc tại A, đờng cao AH.
a) Giả sử BH=3cm;AC=2cm Tính diện tích tam giác ABC?
b) Giả sử BH=AC, trung tuyến BM của tam giác ABC cắt AH tại I Chứng minh CI
là tia phân giác của góc ACB
Câu 4 (2 điểm)
Chia một hình tròn thành 10 hình quạt bằng nhau,
trong mỗi hình quạt đặt một viên bi (hình vẽ) Ngời ta
thực hiện phép biến đổi nh sau: Lấy hai hình quạt bất kì
có bi rồi chuyển từ mỗi hình quạt đó một viên bi sang
hình quạt liền kề nhng theo 2 chiều ngợc nhau (nếu một
viên ở một hình quạt đợc chuyển theo chiều kim đồng
hồ thì viên bi ở hình quạt kia chuyển theo chiều ngợc
lại)
Hỏi sau một số hữu hạn các bớc biến đổi nh trên ta có thể chuyển tất cả các viên
bi vào một hình quạt đợc không? Vì sao ?
Phòng giáo dục
Trờng THCS HIỆP THUẬN kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 Năm học 2010-2011
Hớng dẫn chấm Thi môn toán
I.Hớng dẫn chung Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tơng đơng
II.Thang điểm và đáp án
Câu Đáp án Điểm
Trang 2b) Tìm điều kiện xác định : x -1; xy ≠± 1
Tính ra x=3+√5 y= 3 −√5
Thay vào A đợc A=− 2
0,5 đ
1 đ
Câu1
6 đ c) áp dụng BĐT x + y
2
≥ xy
¿
với mọi x,y Thay x+ y=√2 và biến đổi dẫn đến A=− xy ≥−1
2
Chỉ ra A=− xy=−1
2 khi x= y=√
2
2 Và KL : GTNN của A là Amin=−
1 2
0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ
a) Ta có B.2=( √x2−2 x+25+√x2−2 x+9 ).( √x2−2 x+25−√x2−2 x+9 )=16
Suy ra B=16:2=8
2,5 đ 0,5 đ
Câu 2
(6đ) b) Đặt √n2+91=m⇒m>n và (m− n)(m+n)=1 91=7 13 ; m+n>m-n
Xét 2 TH:
m+n=91; m-n=1 ta đợc n=45
m+n=13; m-n=7 ta đợc n=3 Thử lại đúng
KL: n ∈{3 ;45}
2 đ
1 đ
Câu 3
6đ
a) Đặt CH=x ĐK: 0<x<2
AD hệ thức lợng: AC2=CH CB⇒22
=x (x +3)
Giải PT: x2
x2 =1(TM)
BC=4cm; AH=√3 cm⇒SABC=2√3 cm2
I A
D
H M
0,5 đ 1,5 đ
1 đ
b) Vẽ tia Ax//BC; tia BM cắt tia Ax tại D, ΔMAD= ΔMCB (g.c.g) ⇒
AD=BC
áp dụng định lí Ta-let ta có: IA
IH=
AD
BH =
BC
BH=
AC 2 CH
BH =
AC2
BH CH=
CA CH
Từ đó chứng minh đợc CI là tia phân giác của góc ACB
1 đ 1,5 đ 0,5 đ
Câu 4
2 đ
Ta chứng minh không thể chuyển tất cả các viên bi
vào một hình quạt
-Tô các hình quạt bằng 2 mầu đen, trắng xen kẽ
(hình vẽ)
-Tổng số các viên bi trong các hình quạt đen bằng
tổng số các viên bi trong hình quạt trắng và bằng 5
-Theo cách biến đổi, tại mọi thời điểm thì tống số
viên bi trong trong các hình quạt đen và hình quạt
trắng đều là 1 số lẻ
0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ -Vậy không thể chuyển tất cả các viên bi vào một hình quạt( số bi trong hình