Part 3 2 CHUỖI PHỨC

Hàm biến phứcIII.. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư s Part 3: Hàm biến phức... Chuỗi lũy thừaROC của chuỗi lũy thừa: Một chuỗi phức có dạng với các hệ số a i là hằng số và z0 là một điểm

I Hàm biến phức

III Tích phân đường

IV Điểm bất thường, zeros và thặng dư

V Ứng dụng của lý thuyết thặng dư

s

Part 3:

Hàm biến phức

Chuỗi phức

1 Định nghĩa

2 Chuỗi lũy thừa

3 Chuỗi Taylor

4 Chuỗi Laurent

1 Định nghĩa

Ví dụ 2.01: Xét chuỗi:

Chuỗi trên hội tụ về 1/(1 – z) khi |z| < 1, và phân kỳ khi |z| > 1.

Một chuỗi phức tổng quát có dạng:

trong đó f n (z) là một hàm phức theo biến z.

0

( ) ( ) ( ) ( )

n





    



2 0

1

1

n

n

z





     





Tiêu chuẩn D’Alembert

Ví dụ 2.02: Tìm miền hội tụ (region of converge - ROC):

Đáp án: ROC: Re{z} > 0.

Xét chuỗi phức:

Tìm giới hạn:

 L < 1: Chuỗi hội tụ

 L > 1: Chuỗi phân kỳ

 L = 1: Chưa thể kết luận về tính hội tụ của chuỗi.

0

1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) lim

( )

n

n n

n

f z L

f z









    





2 0

n



  



   



2 Chuỗi lũy thừa

ROC của chuỗi lũy thừa:

Một chuỗi phức có dạng

với các hệ số a i là hằng số và z0 là một điểm cố

định trong mặt phẳng phức, được gọi là một chuỗi lũy

thừa quanh điểm z0

2

0

n n





      



0

1

lim n n

n

a

z z R with R

a





Ví dụ 2.03: Tìm chuỗi lũy thừa biểu diễn hàm 1/(z – 3)

trong 3 miền sau:

a |z| < 3

b |z – 2| < 1

c |z| > 3

Đáp án:

2

0

2 0

0

1

3

3

n

n

n

n

n

n

z

z













 

         

  

           



 

       

  







2 Chuỗi lũy thừa

Ví dụ 2.03 (tt):

Nhận xét: Chúng ta có thể chọn bất kỳ một điểm z0

trong mặt phẳng phức và xác định 1 chuỗi lũy thừa hội

tụ về 1/(z – 3) với miền hội tụ là một hình tròn tâm z0,

bán kính R.

2 Chuỗi lũy thừa

Khai triển chuỗi nhị thức:

với

Hai trường hợp đặc biệt thường sử dụng:

2

r

1

k  and z 

2

0 2

0

1

1 1

1

n n

n n

z

z









     



      







2 Chuỗi lũy thừa

3 Chuỗi Taylor

ROC của chuỗi Taylor:

Một chuỗi lũy thừa có dạng

trong đó f(z) là một hàm phức giải tích bên trong

và trên biên một đường cong kín C, được gọi là khai

triển chuỗi Taylor của f(z) quanh điểm z0

( )

0

1

!

n

n





  

0

z z  R

Ví dụ 2.04: Xác định khai triển chuỗi Taylor của hàm

quanh điểm z = j, đến số hạng (z - j)4

Đáp án:

1 ( )

( 2 )

f z

z z j





(1)

(4)

( )

( ) 1; ( ) 0

( ) 24

f z

f j

 

    

   



           



3 Chuỗi Taylor

Ví dụ 2.05: Xác định khai triển chuỗi Maclaurin của

các hàm số sau:

Đáp án:

Một chuỗi Taylor với z0 = 0 được gọi là chuỗi Maclaurin.

0

0

0

.sin ( 1)

n z

n

n n

n

n n

n

n

n

n















     

    



     







3 Chuỗi Taylor

 Khai triển chuỗi Taylor có thể được xác định thông

qua phép khai triển chuỗi nhị thức

Example 2.06: Tìm khai triển Maclaurin của các hàm sau

và xác định miền hội tụ (ROC) tương ứng:

Đáp án:

1

z

z



2

1

0

1

3

n

n

a f z

z z

z





 

        

   





3 Chuỗi Taylor

Đáp án ví dụ 2.06 (tt):

 

 

 

2 1

0

3

0

0

1

1

n n

n n

n

n

n n

n

z z

z

























 

      

   







3 Chuỗi Taylor

Ví dụ 2.07: Tìm khai triển Taylor của các hàm sau quanh điểm z0 cho trước và xác định miền hội tụ (ROC) tương ứng:

0 2

0

0

1

1

( 2 )

( 1)(2 )

z z j

z

 



 

3 Chuỗi Taylor

4 Chuỗi Laurent

 ROC của chuỗi Laurent:

 r1 có thể bằng 0

 r2 có thể bằng 

 Xác định chuỗi Laurent bằng

cách khai triển chuỗi nhị thức

Nếu f(z) giải tích trong hình vành khăn giới hạn bởi

2 đường tròn C1 và C2 có bán kính lần lượt là r1 và r2 (r1 <

r2) và đồng tâm tại z0, khi đó f(z) được biểu diễn bằng

chuỗi Laurent:

0

n





  

r  z z  r

Chuỗi Laurent của f(z) có thể viết dưới dạng:

Khi đó, tổng thứ nhất ở vế phải được gọi là thành

1

0

 

     

4 Chuỗi Laurent

Ví dụ 2.08: Tìm khai triển chuỗi Laurent quan điểm (a) z = 0 và (b) z = -1 của hàm phức sau:

Xác định miền hội tụ trong mỗi trường hợp

Đáp án:

2

1 ( )

( 1)

f z

z z





2 2

( 1)

1 1

z z z

z

 

 

    



     

 

4 Chuỗi Laurent

Đáp án ví dụ 2.08 (tt):

2 2

2

1

1 ( 1)

1

1 2( 1) 3( 1)

1 1

1

z

z z

z

z





      





       



     



  

4 Chuỗi Laurent

Ví dụ 2.09: Xác định khai triển chuỗi (Taylor, Laurent)

của hàm

trong các miền sau:

a 1 < |z| < 3

b |z| > 3

c 0 < |z + 1| < 2

d |z| < 1

1 ( )

( 1)( 3)

f z



 

4 Chuỗi Laurent