Part 1 2 GIẢI TÍCH FOURIER

Tích phân Fourier:Giả sử ft là một hàm không tuần hoàn... Biến đổi Fourier:Tích phân Fourier có thể viết lại dưới dạng: Fω được gọi là biến đổi Fourier của ft.. Biến đổi Fourier:Để tồn t

Biến đổi Fourier:

1 Biến đổi Fourier

a Tích phân Fourier:

Giả sử f(t) là một hàm không tuần hoàn Khi đó f(t)

có thể xem như ‘tuần hoàn’ với chu kỳ T  

Chuỗi Fourier phức của hàm ‘tuần hoàn’ f(t):

T

T

a Tích phân Fourier:

Khi T  : ∆ω  0; ω n  ω: là biến liên tục, khi đó:

Đây chính là Tích phân Fourier, biểu diễn hàm f(t).

b Biến đổi Fourier:

Tích phân Fourier có thể viết lại dưới dạng:

F(ω) được gọi là biến đổi Fourier của f(t).

f(t) được gọi là biến đổi Fourier ngược of F(ω).

b Biến đổi Fourier:

Để tồn tại biến đổi Fourier, hàm f(t) cần thõa mãn

một số điều kiện, gọi là điều kiện Dirichlet

Điều kiện Dirichlet:

Nếu hàm f(t) thõa các tính chất:

(a) Tích phân

(b) Chỉ có một số hữu hạn các điểm cực đại, cực tiểu và

một số hữu hạn các điểm gián đoạn trong bất kỳmột khoảng xác định nào

khi đó thể tìm biến đổi Fourier của f(t)

Ví dụ 2.02:

Tìm biến đổi Fourier của hàm xung hình chữ nhật:

với hàm sincx định nghĩa bởi:

; ( )

- Nếu f(t) là hàm tuần hoàn, chúng ta có phổ tần số rời

rạc (tương ứng với chuỗi Fourier)

- Nếu f(t) không tuần hoàn, chúng ta có phổ tần số liên

tục (tương ứng với biến đổi Fourier)

( )

F   F  e   with    F 

Ví dụ 2.03: Xác định phổ biên độ và phổ pha của hàm số:

Ví dụ 2.03 (tt):

Phổ biên độ:

Phổ pha:

Biến đổi Fourier của một số hàm cơ bản:

e Đạo hàm theo thời gian

h Điều chế tín hiệu

F {f(t)cos(0t)} = [F(ω + ω 0 ) + F(ω – ω 0]/2

F {f(t)sin(0t)} = j[F(ω + ω 0 ) - F(ω – ω 0]/2

a The Unit Impluse Function δ(t):

The Unit Impulse Function (or Dirac Function) isdefined as:

No ordinary function behaves this way!

Some real impulse approximations:

Properties of the Unit Impulse Function:

i Scale Impulse: αδ(t)

ii Time-shifting: δ(t - T) is an impulse at t = T

iii Multipication of a Function by an Impulse

Fourier Tranform of the Unit Impulse Function:

F{δ(t)} = 1

F{δ(t - T)} = e -jωT

F{1} = 2πδ(ω) Integral of impulsive functions:

Integral of a function with impulses has jump at eachimpulse, equal to the magnitude of impulse

b Unit Step Function u(t)

Fourier Transform of Unit Step function:

f t

t t

a + T

A f(t - T)

T

a

A f(t)

-b

A f(-t)

c Time-scaling

a

A f(t)

a/2

A f(2t)

2a

A f(t/2)

t

Calculate the Fourier transform of following functions: