De thi HSG Toan 6 cap huyen

Tính độ dài đoạn thẳng MP theo a  b Cho tia Ox là phân giác của MON trong nửa mặt phẳng có chứa tia ON với bờ   là đường thẳng chứa tia OM, vẽ tia Oy sao cho MOy  MON... nhiên cần tì[r]

PHÒNG GD- ĐT ĐỨC PHỔ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

MÔN TOÁN – LỚP 6

Thời gian 120 phút ( không kể thời gian giao đề)

Ngày thi : 07/4/2013

Câu 1: ( 4 điểm)

a)

10 15 21 120

b) Tìm các số nguyên x và y biết rằng x 2 xy 1 5

Câu 2: ( 5 điểm)

a) Tìm các số nguyên n để giá trị của biểu thức

17

2 1

A n



 là số nguyên b) Tìm số tự nhiên x biết rằng

Câu 3: ( 5 điểm)

a) Cho hai phân số có tổng bằng 2013 lần tích của hai phân số đó Tính tổng số các nghịch đảo của hai phân số đó

b) Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia 355 cho a ta được số dư là 13 và khi chia 836 cho a có số dư là 8

Câu 4: ( 2 điểm)

Chứng tỏ rằng nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì a 2 1 chia hết cho 6

Câu 5: ( 4 điểm)

a)Trên đường thẳng xy lấy các điểm M, N, P sao cho độ dài MN = a và NP = 2a ( với a > 0) Tính độ dài đoạn thẳng MP theo a

b) Cho tia Ox là phân giác của MON trong nửa mặt phẳng có chứa tia ON với bờ

là đường thẳng chứa tia OM, vẽ tia Oy sao cho MOy MON Chứng tỏ rằng:

2

MOy NOy

Giải:

Câu 1: a)

10 15 21 120 2.5 5.3 7.3 7.4 15.7 15.8

2.5 5.3 7.3 7.4 15.7 15.8

       

1 1 1 1 1 1 1 1 1

5 2 3 7 3 4 15 7 8

          

6 12 56 2.3 3.4 7.8 2 8 8

b) Ta có 5  1 5 1.5 x 2 xy 1  1 5 1.5

2

1

7( loại) Vậy x y ;   1; 4 ; 3;0 ; 3;2       

Câu 2: Để biểu thức

17

2 1

A n



 là số nguyên thì 17 2 n 1 Ta có Ư(17)   1; 17 nên

2n 1 -17 -1 1 17

Vậy n    9; 1;0;8

b) xx1  x2  x3  x100 8080( 1)

Từ 0 đến 100 có 101 số hạng của x nên ta có 101xvà từ 1đến 100 có tổng

100.101

101.50 5050

2   nên vế trái của (1) là 101x 5050 ta có

3030

101 5050 8080 101 3030 30

101

Vậy x 30 là số tự nhiên cần tìm

Câu 3:

a) Gọi hai phân số cần tìm là x và y với x y ; 0  xy0 Theo đề ta có

2003

x y  xy(1) Do xy 0 nên chia hai vế của (1) cho xy ta được

2013 1 1

2013



Nên tổng các nghịch đảo của hai phân số đó là 2013 b) Theo đề khi chia 355 cho a ta được số dư là 13 nên ta có 355a m. 13 với

*

m N và a 13 hay a m . 342 18.19 (2) và khi chia 836 cho a ta được số dư là 8 nên

ta có 836a n.  8 a n. 828 18.46 với n N * (3) Từ (2) và (3) suy ra a 18 là số tự nhiên cần tìm

Câu 4: Khi a là một số lẻ không chia hết cho 3 nên a có dạng: a6k 1 và a6k1 với k N Khi a6k 1

 a2 1 6k 12 1 6k 1 6  k 1 1 6 6  k k  1  6k 1 1  =

36k  6k 6k  1 1 36  k  12k 6 6k k  2 6  với mọi k Vậy a  2 1 6

Khi a6k 1 a2 1 6k 12 1 6k 1 6  k 1 1 6 6   k k  1  6k 1 1  =

36k  6k 6k  1 1 36  k  12k  6 6k k  2 6  với mọi k Vậy a  2 1 6

Câu 5:a)

 Trường hợp N và P nằm khác phía với M

ta có M nằm giữa N và P nên ta có 2

 Trường hợp N; P nằm cùng phía với M ta có N

nằm giữa M và P nên MP MN NP a   2a3a

b) Do Ox là tia phân giác của MON nên

 1 

2

Do MOy MON (gt) nên tia ON nằm giữa hai tia OM và Oy nên

2

2



    