hµm sè: Kh¸i niÖm hµm sè * Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x đợc g[r]
Trang 1CHủ đề 1: Căn thức - rút gọn biểu thức
I căn thức:
Kiến thức cơ bản:
1 Điều kiện tồn tại : √A Có nghĩa ⇔ A ≥0
2 Hằng đẳng thức: √A2=|A|
3 Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng: √A B=√A √B (A ≥ 0; B ≥ 0)
4 Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng: √A
B=
√A
√B (A ≥ 0; B>0)
5 Đa thừa số ra ngoài căn: √A2 B=|A|√B (B≥ 0)
6 Đa thừa số vào trong căn: A√B=√A2 B (A ≥ 0; B ≥ 0)
A√B=−√A2 B (A<0 ; B ≥0)
7 Khử căn thức ở mẫu:
A A B
B B
(AB0;B0)
8 Trục căn thức ở mẫu:
B
B (B 0)
C
√A ±√B=
C(√A ∓√B)
A − B
(A0;B0;A B )
Bài tập:
Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định:
1) √−2 x+3 2) √x22 3) √ 4
x +3 4) √x − 52
+6 5) √3 x +4 6) √1+x2 7) √ 3
1 −2 x 8) √ −3
3 x +5
1) 8 3 2 10 2 5
0, 2 10 3 2 3 5
3)
2 200 :
4) 2 2 3 2 2 3 2 5 14
5) 2 32 4 2 3
6) 15 6 6 33 12 6
7) 15 200 3 450 2 50 : 10
√5 −1 −
1
√5+1
4 −3√2−
2 4+3√2 10) 2+√2
1+√2
11) 2√3 −3√2¿2+2√6+3√24
¿
12)
7
√28− 2√14+√¿
¿
¿
13)
√3− 2¿2
¿
√3− 1¿2
¿
¿
√¿
14) √7+√5
√7 −√5+
√7 −√5
√7+√5 15) 4 7 4 7 16) 2 3 14 5 3 2 17)
x −12¿2
¿
¿
4 x+√¿
18)
x2− 4 xy+4 y2
¿2
¿
¿
x +2 y −√¿
Trang 219)
6 14
2 3 28
1) √2 x −1=√5
2) 10 3x 2 6
3) √9(x − 1)=21
4) √2 x −√50=0
5) √3 x2−√12=0
6)
x − 3¿2
¿
¿
√¿
7) √4 x2+4 x +1=6
8)
2 x −1¿2
¿
¿
√¿
9) √4 x2=6 10)
1− x¿2
¿
4¿
√¿
11) √3 x+1=2
12) √33− 2 x=−2
13)
4
3
x x x 14) x2 7x x2 7x 8 12
So sánh
1) 6 2 2 và 9
2) 11 3 và 2
3) 3 2 và 2 6
4) 2003 2005 và 2 2004 5)
1
3 2 và 5 1 6) 2005 2003 và 2003 2001
Tìm GTNN, GTLN
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2x 3 1 , giá trị đó đạt đợc khi x bằng bao nhiêu?
2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 1
x x , giá trị đó đạt đợc khi x bằng bao nhiêu?
3) Cho hai số a, b không âm Chứng minh
2
a b
ab
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
4) Với a0;b0 chứng minh
a b a b
5) Với a dơng, chứng minh
1 2
a a
6) Với ba số a, b, c không âm, chứng minh bất đẳng thức
a b c ab bc ca
II các bài toán rút gọn:
A.các b ớc thực hiên :
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu đợc)
Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại
Quy đồng, gồm các bớc:
Trang 3+ Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng + Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung
Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng
Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên)
Rút gọn
B.Bài tập luyện tập:
Bài 1 Cho biểu thức : A =
2 1
với ( x >0 và x ≠ 1) 1) Rỳt gọn biểu thức A
2) Tớnh giỏ trị của biểu thức A tại x 3 2 2
Bài 2 Cho biểu thức : P =
( Với a 0 ; a 4 ) 1) Rỳt gọn biểu thức P
2) Tỡm giỏ trị của a sao cho P = a + 1
Bài 3: Cho biểu thức A =
1 2
1/.Đặt điều kiện để biểu thức A cú nghĩa
2/.Rỳt gọn biểu thức A
3/.Với giỏ trị nào của x thỡ A< -1
Bài 4: Cho biểu thức A =
( Với x0;x1) a) Rỳt gọn A
b) Tỡm x để A = - 1
Bài 5 : Cho biểu thức : B = 1
2√x − 2 −
1
2√x +2+
√x
1 − x
a; Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B
b; Tính giá trị của B với x =3
c; Tìm giá trị của x để |A|=1
2
Bài 6: Cho biểu thức : P = √x+1
√x − 2+
2√x
√x+2+
2+5√x
4 − x
a; Tìm TXĐ
b; Rút gọn P
c; Tìm x để P = 2
Bài 7: Cho biểu thức: Q = ( 1
√a − 1 −
1
√a¿:(
√a+1
√a − 2 −
√a+2
√a −1)
a; Tìm TXĐ rồi rút gọn Q
b; Tìm a để Q dơng
c; Tính giá trị của Biểu thức biết a = 9 - 4 √5
Bài 8: Cho biểu thức: M = ( √2a −
1
2√a)(a −√a+1√a −
a+√a
√a −1) a/ Tìm ĐKXĐ của M
b/ Rút gọn M
Tìm giá trị của a để M = - 4
Trang 4Bài 9 : Cho biểu thức : K = 15√x −11
x +2√x −3+
3√x 1−√x −
2√x+3
√x+3
a Tìm x để K có nghĩa
b Rút gọn K
c Tìm x khi K= 1
2
d Tìm giá trị lớn nhất của K
Bài 10 : Cho biểu thức: G= ( √x −2
x −1 − √
x+2
x +2√x +1).x
2
− 2 x +1
2
1 Xác định x để G tồn tại
2 Rút gọn biểu thức G
3 Tính số trị của G khi x = 0,16
4 Tìm gía trị lớn nhất của G
5 Tìm x Z để G nhận giá trị nguyên
6 Chứng minh rằng : Nếu 0 < x < 1 thì M nhận giá trị dơng
7 Tìm x để G nhận giá trị âm
Bài 11 : Cho biểu thức: P= (x√x +2 x −1+
√x
x +√x +1+
1
1−√x):√x −1
2 Với x ≥ 0 ; x ≠ 1
a Rút gọn biểu thức trên
b Chứng minh rằng P > 0 với mọi x≥ 0 và x ≠ 1
Bài 12 : cho biểu thức Q= (2+21√a+
1
2− 2√a −
a2
+1
1− a2).(1+1
a)
a Tìm a dể Q tồn tại
b Chứng minh rằng: Q không phụ thuộc vào giá trị của a
Bài 13: Cho biểu thức :
A= √x3
√xy −2 y+
2 x
2√xy +2√y − x −√x.
1− x 1−√x
a) Rút gọn A
b) Tìm các số nguyên dơng x để y = 625 và A < 0,2
Bài 14:Xét biểu thức: P = [ 3√a
√a+4+
√a
√a− 4+
4 (a+2)
16 − a ]:(1 −2√a+5
√a+4 ) (Với a ≥0 ; a ≠ 16) 1)Rút gọn P
2)Tìm a để P = -3
3)Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyên tố
-CHủ đề 2: hàm số - hàm số bậc nhất
I hàm số:
Khái niệm hàm số
* Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x đợc gọi là biến số.
* Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng
II hàm số bậc nhất:
Kiến thức cơ bản:
Định nghĩa:
Hàm số bậc nhất có dạng: y=ax +b Trong đó a; b là các hệ số a ≠ 0
Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng: y=ax +b là hàm số bậc nhất là: a ≠ 0
Tính chất:
+ TXĐ: ∀ x ∈ R
+ Đồng biến khi a>0 Nghịch biến khi a<0
Đồ thị:
+ Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc nhất là đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b Cắt trục hoành tại
điểm có hoành độ bằng − b
a .
+ Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y= ax+b:
Trang 5Cho x = 0 => y = b => điểm (0;b) thuộc đồ thị hàm số y = ax+b
Cho y = 0 =>
b x a
=> điểm (
b a
;0) thuộc đồ thị hàm số y = ax+b
Đờng thẳng qua hai điểm (0;b) và (
b a
;0) là đồ thị hàm số y = ax+b
Điều kiện để hai đờng thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, :
+ Cắt nhau: (d1) cắt (d2) a a '
*/ Để hai đờng thẳng cắt nhau trên trục tung thì cần thêm điều kiện b b '.
*/ Để hai đờng thẳng cắt nhau trên trục hoành thì cần thêm điều kiện
' '
*/ Để hai đờng thẳng vuông góc với nhau thì : a a ' 1
+ Song song với nhau: (d1) // (d2) a a b b '; '
+ Trùng nhau: (d1) (d2) a a b b '; '
Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b là a
+ Cách tính góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lợng giác
Trờng hợp: a > 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc nhọn tg a
Trờng hợp: a < 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc tù tg'a; 1800'
Các dạng bài tập th ờng gặp:
Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị.
Ph
ơng pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không?
Thay giá trị của x1 vào hàm số; tính đợc y0 Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị Nếu y0 y1 thì điểm M không thuộc đồ thị
-Dạng 5: Viết phơng trình đờng thẳng:
Ví dụ: Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b đi qua điểm P (x0; y0) và điểm Q(x1; y1)
Ph
ơng pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y0 = ax0 + b (1)
+ Thay x1; y1 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y1 = ax1 + b (2)
+ Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị của a và b
+ Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta đợc phơng trình đờng thẳng cần tìm
-Dạng 6: Chứng minh đờng thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh đồng quy:
Ví dụ: Cho các đờng thẳng :
(d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Với m 1; m -1 )
(d2) : y = x +1
(d3) : y = -x +3
a) C/m rằng khi m thay đổi thì d1 luôn đi qua 1điểm cố định
b) Xác định m để 3 đờng thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui
Giải:
a) Gọi điểm cố định mà đờng thẳng d1 đi qua là A(x0; y0 ) ta có :
y0 = (m2-1 ) x0 +m2 -5 Với mọi m
=> m2(x0+1) -(x0 +y0 +5) =0 với mọi m
Điều này chỉ xảy ra khi :
x0+ 1 =0 và x0+y0+5 = 0
suy ra : x0 = -1 và y0 = - 4
Vậy điểm cố định là A (-1; - 4)
b) +Ta tìm giao điểm B của (d2) và (d3):
Ta có phơng trình hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1
Thay vào y = x +1 = 1 +1 =2 Vậy B (1;2)
Để 3 đờng thẳng đồng qui thì (d1)phải đi qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = 2 vào phơng trình (d1) ta có:
2 = (m2 -1) 1 + m2 -5
m2 = 4 => m = 2 và m = -2
Vậy với m = 2 hoặc m = - 2 thì 3 đờng thẳng trên đồng qui
Bài tập :
Trang 6Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( 2 + m )x + 1 và (d2): y = ( 1 + 2m)x + 2
1) Tỡm m để (d1) và (d2) cắt nhau
2) Với m = – 1, vẽ (d1) và (d2)trờn cựng mặt phẳng tọa độ Oxy rồi tỡm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2)bằng phộp tớnh
Bài 2: Cho hàm số bậc nhất y = (2 - a)x + a Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay
nghịch biến trờn R? Vỡ sao?
Bài 3: Cho hàm số bậc nhất y = (1- 3m)x + m + 3 đi qua N(1;-1), hàm số đồng biến hay nghịch biến? Vỡ sao?
2 x và cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ bằng 10
Bài 5: Viết phương trỡnh đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và đi qua điểm A(2;7).
Bài 6: Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3).
1 2
2x và (d2): y = x2 a/ Vẽ (d1) và (d2) trờn cựng một hệ trục tọa độ Oxy
b/ Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm của (d1) và (d2) Tớnh chu vi và diện tớch của tam giỏc ABC (đơn vị trờn hệ trục tọa độ là cm)?
(d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9)
a; Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2)
b; Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2) Tìm toạ độ giao điểm khi m = 2
c; C/m rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định A ;(d2) đi qua điểm cố định B Tính BA
?
Bài 9: Cho hàm số : y = ax +b
a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2)
b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc tạo bởi đờng thẳng trên với trục Ox ?
c; Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với đờng thẳng y = - 4x +3 ?
d; Tìm giá trị của m để đờng thẳng trên song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2
Bài 10: Cho hai hàm số bậc nhất:
2
1 3
ym x
2 3
y m x
(2) Với giỏ trị nào của m thỡ:
a) Đồ thị của hàm số (1) và (2) là hai đường thẳng cắt nhau?
b) Đồ thị của hàm số (1) và (2) là hai đường thẳng song song?
c) Đồ thị của hàm số (1) và (2) cắt nhau tại một điểm trờn trục tung?
d) Đồ thị của hàm số (1) và (2) cắt nhau tại một điểm trờn trục hoành?
e) Đồ thị của hàm số (1) và (2) cắt nhau tại điểm cú hoành độ bằng 4?
Bài 11: Cho đường thẳng ym 2x2
a) Chứng minh (d) luụn đi qua một điểm cố định với mọi giỏ trị của m
b) Tỡm m để khoảng cỏch từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) bằng 1
c) Tỡm m để khoảng cỏch từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) cú giỏ trị lớn nhất
CHủ đề 3: hình học
I hệ thức trong tam giác vuông :
Hệ thức giữa cạnh và đ ờng cao:
Trang 7b2=a b , ;c2=a c , a2=b2+c2
h2
=b , c , a=b ,
+c ,
a h=b c
1
h2=
1
b ,+
1
c ,
b2
c2=
b ,
c , ;
c2
b2=
c ,
b ,
Tỷ số l ợng giác:
Tính chất của tỷ số l ợng giác:
1/ Nếu α+ β=900 Thì: Sin α=Cos β
Cos α=Sin β
Tg α=Cotg β Cotg α=Tg β
2/Với α nhọn thỡ 0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1
*sin2 α
+ cos2 = 1 *
sin tg
cos
*
cos
cotg
sin
*tg α
cotg α
=1
Hệ thức giữa cạnh và góc:
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Sin góc đối:
b=a SinB ;c=a SinC
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Cos góc kề:
b=a CosC.;c =a CosB
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Tg góc đối:
b=c TgB ;c=b TgC
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Cotg góc kề:
b=c CotgC ;c=b CotgB
Bài Tập áp dụng:
Bài 1: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A Biết AB = 4 cm, AC = 3 cm Giải tam giỏc ABC
Bài 2: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú AH vuụng gúc BC, BH = 7cm, HC = 3cm Giải tam giỏc ABC? Bài 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú AH vuụng gúc BC, AH = 4,8cm; BC =10cm Giải tam giỏc ABC? Bài 4: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú AH là đường cao, AH = 4cm, HC = 3cm Giải tam giỏc ABC? Bài 5: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, AC = 5cm, B = 400. Giải tam giỏc ABC?
Bài 6: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú AH là đường cao AH = 3cm, C= 400 Giải tam giỏc ABC?
Bài7: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú AH là đường cao, HC= 4cm, B = 550 Giải tam giỏc ABC?
Bài 8: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, cú AH là đường cao, AM là đường trung tuyến, biết AM = 5, AH = 4
Giải tam giỏc ABC?