De Khao sat Chat Luong hsg toan 9

Tìm nghiệm còn lại b T×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm nguyªn cã thÓ cã cña ph¬ng tr×nh trªn.. Gọi BD và CE là các đờng cao cña tam gi¸c ABC.[r]

ờng THCS Phù Cừ

Đề khảo sát chất lợng học sinh giỏi môn Toán 9

Thời gian làm bài 90 phút

-Bài 1 (2,0 điểm): Rút gọn các biểu thức sau:

8 2 15 8 2 15

A

B

Bài 2 (2,0 điểm): Cho hàm số y mx m   1 ( )d

a) Tìm m để đồ thị của (d) cắt hai trục tọa độ theo một tam giác cân

b) Tìm các điểm mà đồ thị hàm số (d) không thể đi qua với mọi giá trị của m

Bài 3 (2,0 điểm): Cho phơng trình 2x2  2m3 x m 2 2 0

(ẩn x) a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x=2 Tìm nghiệm còn lại

b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên có thể có của phơng trình trên.

Bài 4 (3,0 điểm): Cho tam giác nhọn ABC có BAC  600 Gọi BD và CE là các đờng

cao của tam giác ABC Kẻ DG vuông góc AB tại G, kẻ EK vuông góc AC tại K.

a) Chứng minh BDE BCE  và GK song song với BC.

b) Tính

GK

BC .

Bài 5 (1,0 điểm): Tìm tất cả các số x, y, z thỏa mãn

4 4 4

3 3

x y z

x y z

  







-

Hết -Họ và tên thí sinh

Số báo danh

Chữ ký của giám thị 1

Hớng dẫn chấm

Bài 1:

 2  2

Bài 2: Cho hàm số y mx m  1 ( )d

a) Tìm m để đồ thị của (d) cắt hai trục tọa độ theo một tam giác cân

(d) cắt hai trục theo một tam giác khi m0 và m1 0,25 Khi đó (d) cắt hai trục tại

m-1

m

Vì Ox vuông góc Oy nên tam giác AOB cân khi OA=OB 0,25



0,25

b) Tìm các điểm mà đồ thị hàm số (d) không thể đi qua với mọi giá trị của m

ta có y0 mx0 m1 với m 0,25

(pt ẩn m vô nghiệm) 0,25





 





0

0

1

1

x

y

Vậy (d) không thể đi qua các điểm 1;y0 trong đó y0 1

0,5

L

u ý: Nếu có 1 bớc biến đổi thiếu "m" thì từ bớc biến đổi đó trở đi không cho

điểm

Bài 3: Cho phơng trình 2x2 2m 3x m 2   2 0

(ẩn x)

a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x=2 Tìm nghiệm còn lại

Phơng trình có một nghiệm x=2 khi 2.22  2m 3 2 m2  2 0

0,25

m 22 0 m 2

Nghiệm còn lại là



 2

2 2

2 thì x 2 (theo Vi-et)

2

m x

Suy ra

2 2

2 4 2

3

m

x

0,25

b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên có thể có của phơng trình.

Giả sử x0 là một nghiệm nguyên của ph ơng trình

ta có

0,25

2

x0 1 x  0 2 0 1 x0 2

Vậy các nghiệm nguyên có thể có của phơng trình là x=1; x=2

Bài 4 (3,0 điểm): Cho tam giác nhọn ABC có BAC 600 Gọi BD và CE là các

đờng cao của tam giác ABC Kẻ DG vuông góc AB tại G, kẻ EK vuông góc AC

tại K.

a) Chứng minh BDE BCE  và GK song song với BC

b) Tính

GK

BC

A

D E

K G

a) Ta có    

0

90 tứ giác BCDE nội tiếp

0, 5

Mà t/g BCDE nội tiếp nên EDC 180 mà KDE 180

EBC GK BC

0, 5

b) Theo chứng minh trên ta có

  , mà GAK    

0, 5

  cos cos 601

2

GK AK

A

0,5

Tơng tự ta có

2

ED AD

Từ (1) và (2) suy ra

1 4

GK BC

0,5

Bài 5 (1,0 điểm): Tìm tất cả các số x, y, z thỏa mãn

4 4 4

3 3

x y z

x y z

  







2 2

áp dụng bất đẳng thức a 2 ("=" khi a=b) ta có

x 1 2 và 2 2 4 ("=" khi x=1) 1 4 2

b ab

Tơng tự ta có      

1 4 2 và z 1 4 2

y y z "" khi y=1 và x=1

0,5

Suy ra

4 4 4

4 4 4

Dấu "=" xảy ra vì x 3

y z x y z

0,5

VËy PT cã nghiÖm duy nhÊt x y z; ;   1;1;1