d Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EF S và ABS và T là trung điểm của KS.. Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng.[r]
Trang 1BÀI TẬP ÔN TẬP MÔN TOÁN 9 NĂM 2013
1 Dạng toán giải phương trình và hệ phương trình
1.1 Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) 8x2− 2x − 1 = 0 b)
( 2x + 3y = 3
4− 2x2 − 3 = 0 d) 3x2− 6√2x + 2 = 0
1.2 Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) 2x2− 3x − 2 = 0 b)
( 4x + y = −1
4 − 13x2+ 3 = 0 d) 2x2− 2√2x − 1 = 0
1.3 Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) 3x2− 2x − 1 = 0 b)
( 5x + 7y = 3
4+ 5x2− 36 = 0 d) 3x2+ 5x +√
3 − 3 = 0 1.4 Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) 2x2− x − 3 = 0 b)
( 2x − 3y = 7
4+ x2− 12 = 0 d) x2− 2√2x − 7 = 0
2 Dạng toán vẽ đồ thị và tìm tọa độ giao điểm
2.1
a) Vẽ đồ thị (P ) của hàm số y = x
2
2 và đường thẳng (D) : y = x + 4 trên cùng một hệ trục toạ độ
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P ) và (D) bằng phép tính
2.2
a) Vẽ đồ thị (P ) của hàm số y = −x
2
2 và đường thẳng (D) : y =
1
2x − 1 trên cùng một hệ trục toạ độ
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P ) và (D) bằng phép tính
2.3
a) Vẽ đồ thị (P ) của hàm số y = −x2 và đường thẳng (D) : y = −2x − 3 trên cùng một hệ trục toạ độ
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P ) và (D) bằng phép tính
2.4
a) Vẽ đồ thị (P ) của hàm số y = 1
4x
2 và đường thẳng (D) : y = −1
2x + 2 trên cùng một hệ trục toạ độ
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P ) và (D) bằng phép tính
Trang 23 Dạng toán căn bậc hai
Rút gọn các biểu thức sau:
3.1 A =p3 +√
5 −p3 −√
11 −p6 +√
11
3.3 A =p7 +√
13 −p7 −√
3 −p8 − 4√
3
3.5 A =p9 − 4√
5 −p9 + 4√
√ 5
√
5 + 1 . 3.7 A =p16 − 6√
7 −p16 + 6√
7 −p4 −√
7
3.9 A =
q
3 +p13 +√
5.(√
10 −√
2).(3 +√
5) 3.11 A = 3 +
√ 5
3 −√
5 +
3 −√ 5
3 +√
2 +√ 2
√
2 + 1 − 2 −
√ 2
√
2 − 1. 3.13 A =
r
13 + 30
q
2 +p9 + 4√
15 −p4 −√
15 − 2p3 −√
5
√ 41 p
45 + 4√
41 +p45 − 4√
41
10 +√
2)(6 −√
5)p3 +√
5
3.17 A = 5 p2 +√
3 +p3 −√
5 −r 5 2
!2
+
q
2 −√
3 +
q
3 +√
5 −
r 3 2
!2
3.18 A =
s
3√
3 − 4
2√
3 + 1 +
3 + 4
5 − 2√
3. 3.19 B = (2 −√
3)p26 + 15√
3 − (2 +√
3)p26 − 15√
3
4 Dạng toán rút gọn một biểu thức có chứa ẩn
Rút gọn các biểu thức sau:
x +√
x +
2√ x
x −√
x với x > 0, x 6= 1.
2+√
a
a −√
a + 1 −2a +
√ a
√
a + 1, với a > 0.
4.3 A = x + 2
√
x + 1
√
x − 1
√
x − 1 −√x, với x ≥ 0, x 6= 1
4.4 A = a + b − 2
√ ab
√
a −√
1
√
a +√
b, với a ≥ 0, b ≥ 0, a 6= b.
4.5 A =
2
√
1 + x +
√
1 − x
:
2
√
1 − x2 + 1
với −1 < x < 1
4.6 A = x +√x
√
x + 1 + 1
x −√x
√
x − 1 − 1
với x ≥ 0, x 6= 1
4.7 A =
a
√
a −√ a
:
1
√
a + 1+
2
a − 1
, với a > 0, a 6= 1
4.8 A = x√x − 1
x −√
√
x + 1
x +√ x
:
1 −3 −
√ x
√
x + 1
, với x > 0, x 6= 1
2√
2√
x + 2 +
√ x
1 − x, với x ≥ 0, x 6= 1.
Trang 34.10 A = 2
√
x − 9
x − 5√
x + 6 −
√
x + 3
√
x − 2+
2√
x + 1
3 −√
x , với x ≥ 0, x 6= 4, x 6= 9.
4.11 A = √x − 2
√
x + 2
x + 2√
x + 1
x2− 2x + 1
2 , với x ≥ 0, x 6= 1.
4.12 A = (
√
a +√ b)2− 4√ab
√
a −√
√
b + b√
a
√
ab , với a > 0, b > 0, a 6= b.
4.13 A =
√
x + 3
√
x − 2 −
√
x − 1
√
x + 2 +
4√
x − 4
4 − x , với x ≥ 0, x 6= 4.
4.14 A =
√
x + 1
2√
x − 2 −
√
x − 1
2√
x + 2 − √ 2
x − 1, với x ≥ 0, x 6= 1.
4.15 A =
√
a +√
b − 1
a +√
√
a −√ b
2√ ab
√ b
a −√
b +
√ b
a +√ b
! , với a > 0, b > 0, a 6= b
a + b −
√ ab
√
a +√ b
! :
a
√
ab + b +
b
√
ab − a − a + b√
ab
, với a > 0, b > 0, a 6= b
4.17 A = √x
2√ x
2
√x − 1
√
x + 1 −
√
x + 1
√
x − 1
, với x > 0, x 6= 1
4.18 A = x√x − 1
x −√
√
x + 1
x +√ x
: 2(x − 2
√
x + 1)
x − 1 , với x > 0, x 6= 1.
4.19 A =
x + 2
x√
x − 1 −
√ x
x +√
x + 1 +
1
1 −√ x
:
√
x − 1
2 , với x > 0, x 6= 1.
4.20 A =
a + 2
a + 2√
a + 1−
√
a − 2
a − 1
:
√ a
√
a + 1, với a > 0, a 6= 1.
4.21 A =
2
x√
x + x +√
x +√
x + 1
x2−√x, với x > 0, x 6= 1.
4.22 A =
√
x + 1
x − 3√
√ x
√
x − 2+
√
x + 3
√
x − 1, với x > 0, x 6= 2, x 6= 4.
4.23 A =
3√ x
x +√
x√
x − 1+
1
√
x − 1
: (x − 1)(
√
x − 1)
x +√
x + 1 , với x > 0, x 6= 1.
5 Dạng toán phương trình bậc 2 có chứa tham số
~ Tìm m để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:
5.1 A = m2+ 4m − 2
5.2 B = m2− 3m + 3
5.3 C = 4m2+ 4m − 4
5.4 D = 9m2+ 12m − 5
5.5 E = 3m2− 2m − 6
~ Tìm m để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:
5.6 A = −m2+ 2m − 2
5.7 B = −m2− 4m + 3
5.8 C = −4m2+ 4m + 2
5.9 D = −9m2− 6m + 5
5.10 E = −2m2+ 3m − 1
5.11 Cho phương trình x2− 2mx + m − 2 = 0, với m là tham số
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Trang 4b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình Tìm m để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất
x2
1+ x2
2− 6x1x2 5.12 Cho phương trình x2− 4x + m + 1 = 0, với m là tham số
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa: x2
1+ x2
2 = 10
5.13 Cho phương trình 3x2− mx + 2 = 0, với m là tham số
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa: 3x1.x2 = 2x1− 2x2
5.14 Cho phương trình x2− 4x − m2− 3m = 0, với m là tham số
a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt ∀m
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa: x2
1+ x2
2 = 4x1+ 4x2 5.15 Cho phương trình 2x2+ 6x + m = 0, với m là tham số
a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa: x1
x2 +
x2
x1 ≥ 2
5.16 Cho phương trình x2− 2(m − 1)x − 3 − 3m = 0, với m là tham số
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm ∀m
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa: x2
1+ x2
2 ≥ 10
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa: (4x1+ 1)(4x2+ 1) = 18
5.17 Cho phương trình x2− 2mx + 2m − 1 = 0, với m là tham số
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm ∀m
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm là 2
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa: 2(x2
1+ x2
2) − 5x1x2 = 27
5.18 Cho phương trình 2x2+ (2m − 1)x + m − 1 = 0, với m là tham số
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm ∀m
b) Tìm m để phương trình có nghiệm là −1
c) Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình, tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc m
5.19 Cho phương trình x2− (m − 3)x − 2m = 0, với m là tham số
a) Giải phương trình khi m = −2
b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt ∀m
Trang 5c) Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 không phụ thuộc m.
5.20 Cho phương trình 2x2+ (2m − 1)x + m − 1 = 0, với m là tham số
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm ∀m
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 không phụ thuộc m
5.21 Cho phương trình x2− 2(m − 1)x + m2 = 0, với m là tham số
a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm là −2
c) Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình CMR: (x1− x2)2+ 4(x1 + x2) + 4 = 0
5.22 Cho phương trình x2− 2(m + 1)x + m − 4 = 0, với m là tham số
a) Giải phương trình khi m = −2
b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt ∀m
c) Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình CMR: A = x1(1 − x2) + x2(1 − x1) không phụ thuộc m
5.23 Cho phương trình x2− (m − 1)x + 1 = 0, với m là tham số
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Với điều kiện của câu a), tìm m để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất A = 3x2
1+5x1x2+3x2
2 5.24 Cho phương trình x2− (2m − 3)x + 1 − m = 0, với m là tham số
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Với điều kiện của câu a), tìm m để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: A = x2
1 + x2
2 + 3x1x2(x1+ x2)
5.25 Cho phương trình x2− 2mx + m2− m + 1 = 0 với m là tham số và x là ẩn số
a) Giải phương trình khi m = 1
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
c) Với điều kiện của câu b) hãy tìm m để biểu thức A = x1x2− x1− x2 đạt giá trị nhỏ nhất 5.26 Cho phương trình x2− (3m + 1)x + 2m2+ m − 1 = 0 với m là tham số và x là ẩn số a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b) Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình trên Tìm m để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: A = x21+ x22− 3x1x2
Trang 66 Dạng toán hình học
6.1 Cho 4ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Đường tròn đường kính BC cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D
a) Chứng minh tứ giác BEF C nội tiếp và AH ⊥ BC
b) Chứng minh: AE.AB = AF.AC
c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABC và K là trung điểm của BC Tính tỉ số OK
BC khi tứ giác BHOC nội tiếp
d) Cho HF = 3 cm, HB = 4 cm, CE = 8 cm và HC > HE Tính HC
6.2 Từ một điểm M bên ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến M CD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến M A, M B đến đường tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D a) Chứng minh M A2 = M C.M D
b) Gọi I là trung điểm của CD Chứng minh rằng 5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường tròn
c) Gọi H là giao điểm của AB và M O Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp được đường tròn Suy ra AB là đường phân giác của \CHD
d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O) Chứng minh
A, B, K thẳng hàng
6.3 Cho 4ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) có tâm O, bán kính R Gọi H là giao điểm của 3 đường cao AD, BE, CF của 4ABC Gọi S là diện tích của 4ABC a) Chứng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đường tròn
b) Vẽ đường kính AK của đường tròn (O) Chứng minh 4ABD và 4AKC đồng dạng với
c) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh tứ giác EF DM nội tiếp được đường tròn d) Chứng minh rằng OC vuông góc với DE và (DE + EF + F D).R = 2S
6.4 Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn (O) khác A và B Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại E Vẽ M P vuông góc với AB (P thuộc AB), vẽ M Q vuông góc với AE (Q thuộc AE)
a) Chứng minh rằng AEM O là tứ giác nội tiếp đường tròn và AP M Q là hình chữ nhật b) Gọi I là trung điểm của P Q Chứng minh O, E, I thẳng hàng
c) Gọi K là giao điểm của EB và M P Chứng minh 4EAO và 4M P B đồng dạng Suy ra
K là trung điểm của M P
d) Đặt AP = x Tính M P theo R và x Tìm vị trí của M trên (O) để hình chữ nhật AP M Q
có diện tích lớn nhất
Trang 76.5 Cho đường tròn tâm O có tâm O, đường kính BC Lấy điểm A trên đường tròn tâm O sao cho AB > AC Từ A vẽ AH vuông góc với BC (H thuộc BC) Từ H vẽ HE vuông góc với
AB và HF vuông góc với AC (E thuộc AB, F thuộc AC)
a) Chứng minh rằng AEHF là hình chữ nhật và OA vuông góc với EF
b) Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại P và Q (E nằm giữa P và F ) Chứng minh
AP2 = AE.AB Suy ra AP H là tam giác cân
c) Gọi D là giao điểm của P Q và BC K là giao điểm của AD và đường tròn (O) (K khác A) Chứng minh AEF K là tứ giác nội tiếp
d) Gọi I là giao điểm KF và BC Chứng minh IH2 = IC.ID
6.6 Cho đường tròn (O) có tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn (O) Đường thẳng M O cắt đường tròn (O) tại E và F (M E < M F ) Vẽ cát tuyến M AB và tiếp tuyến M C của đường tròn (O) sao cho C là tiếp điểm, A nằm giữa hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đối với đường thẳng M O
a) Chứng minh rằng: M A.M B = M E.M F
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng M O Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp
c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính M F , nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng
CO và KF Chứng minh M S ⊥ KC
d) Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EF S và ABS và T là trung điểm của KS Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng
6.7 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R C là trung điểm của AO Đường thẳng Cx vuông góc với AB tại C, Cx cắt nửa đường tròn tại I Cho K là điểm bất kì trên CI (K khác với C và I) Tia AK cắt (O) tại M và cắt Cx tại N Tia BM cắt Cx tại D
a) CMR: 4 điểm A, C, M, D cùng nằm trên một đường tròn
b) CMR: 4M N K cân
c) Tính diện tích 4ABD khi K là trung điểm CI
6.8 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC, một điểm A di động trên nửa đường tròn Kẻ
AH vuông góc với BC tại H Đường tròn tâm I đường kính AH cắt nửa đường tròn tâm O tại điểm thứ hai là G, cắt AB và AC tại D và E
a) CMR: Tứ giác BDEC nội tiếp
b) Các tiếp tuyến tại D và E của (I lần lượt cắt BC tại M và N CMR: M, N lần lượt là trung điểm của BH, CH
c) CMR: DE ⊥ AO Từ đó suy ra AG, DE, BC đồng quy
6.9 Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D Từ một điểm M tuỳ
ý trên d kẻ hai tiếp tuyến M A, M B với A, B là hai tiếp điểm của đường tròn (O) Gọi I là trung điểm của CD
a) CMR: 5 điểm M, I, A, O, B cùng nằm trên một đường tròn
Trang 8b) Gọi H là trực tâm của 4M AB Tứ giác OAHB là hình gì ?
c) Khi M di động trên d CMR: đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định
d) Đường thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB, AD lần lượt tại E, K CMR: EC = EK 6.10 Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC
và cát tuyến AM N với đường tròn (B, C, M, N nằm trên đường tròn và AM < AN ) Gọi E là trung điểm của dây M N , I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với đường tròn
a) CMR: Bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đường tròn
b) CMR: [AOC = [BIC
c) CMR: BI//M N
d) Xác định vị trí cát tuyến AM N để diện tích 4AIN lớn nhất
6.11 Từ một điểm M ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến M A, M B (A, B là các tiếp điểm) Một đường thẳng qua M cắt (O) tại C và D Gọi I là trung điểm của CD Gọi E, F, K lần lượt là giao điểm của AB với M O, M D, IO
a) CMR: OE.OM = OI.OK = R2
b) CMR: Tứ giác BOIA nội tiếp
c) Khi \CAD < \CBD CMR: \DEC = 2\DAC
d) Cho M O = 2R, CD = R√
3 Tính diện tích của 4M AK
6.12 Từ một điểm M ngoài (O; R), vẽ hai tiếp tuyến M A, M B (A, B là các tiếp diểm) Gọi I
là trung điểm của M A và K là giao điểm của BI với đường tròn (O) Tia M K cắt (O; R) tại C
b) CMR: BC//M A
c) Gọi H là trực tâm của 4M AB CMR : Khoảng cách HA không phụ thuộc vào vị trí của
M
d) Xác định vị trí của M để tứ giác AM BC là hình bình hành
6.13 Cho hai đường tròn (O) và (O0) cắt nhau tại A, B Tiếp tuyến tại A của (O) cắt (O0) tại
E, tiếp tuyến tại A của (O0) cắt (O) tại F Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp 4EF A a) CMR: Tứ giác OAO0I là hình bình hành và OO0//BI
b) CMR: Tứ giác OBIO0 nội tiếp
c) Kéo dài AB về phía B một đoạn CB = AB CMR tứ giác AECF nội tiếp
6.14 Cho 2 đường tròn (O; R) và (O0; R0) cắt nhau tại hai điểm A; B Kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn (tiếp điểm là D và E ) Biết DE cắt tia AB tại M
b) CMR: M là trung điểm của DE
Trang 9c) Gọi N là điểm đối xứng của B qua M CMR: tứ giác ADN E nội tiếp.
d) Qua D kẻ đường thẳng song song với AE, qua E kẻ đường thẳng song song với AD Hai đường thẳng này cắt nhau tại S CM: SB ≤ R + R0
6.15 Cho 4ABC nội tiếp đường tròn (O) có AC > AB Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ
BC P là giao điểm của AB và CD Tiếp tuyến của đường tròn tại C cắt tiếp tuyến tại D và
AD tại E và Q
a) CMR: Tứ giác P ACQ nội tiếp
b) CMR: DE//P Q
c) Gọi F là giao điểm của AD và BC CMR:
1
1
1 CF
6.16 Cho 4ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Các tia phân giác của các góc [ABC, [ACB lần lượt cắt đường tròn tại E, F
a) CMR: OF ⊥ AB và OE ⊥ AC
b) Gọi M là giao điểm của OF và AB; N là giao điểm của OE và AC CMR: Tứ giác
AM ON nội tiếp và tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác
c) Gọi I là giao điểm của BE và CF ; D là điểm đối xứng của I qua BC CMR: ID ⊥ M N d) CMR: Nếu D nằm trên (O) thì [BAC = 60◦
6.17 Cho đường tròn (O) đường kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm
O0 đường kính BC Gọi M là trung điểm của đoạn AB Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB; DC cắt đường tròn tâm O0 tại I
a) Tứ giác ADBE là hình gì ?
b) CMR: Tứ giác DM BI nội tiếp
c) CMR: B, I, E thẳng hàng và M I = M D
d) CMR: M C.DB = M I.DC
Trang 106.18 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Gọi E là một điểm bất kỳ trên cạnh BC Qua
B vẽ đường thẳng vuông góc với tia DE tại H, đường thẳng này cắt tia DC tại F
a) CMR: Năm điểm A, B, H, C, D cùng nằm trên một đường tròn
b) CMR: DE.HE = BE.CE
c) Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a khi E là trung điểm của BC
d) CMR: HC là tia phân giác của \DHF
6.19 Một hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn (O; R) Điểm M di động trên cung ABC, M không trùng với A, B và C, M D cắt AC tại H
a) CMR: M D.M H = M A.M C
b) CMR: DE.HE = BE.CE
c) 4M DC và 4M AH bằng nhau khi M ở một vị trí đặc biệt M0 Xác định điểm M0 Khi
đó M0D cắt AC tại H0 Đường thẳng qua M0 và vuông góc với AC cắt AC tại I Chứng minh rằng I là trung điểm của H0C
6.20 Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến M CD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến M A và M B đến đường tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D a) CMR: M A2 = M C.M D
b) Gọi I là trung điểm của CD CMR: 5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường tròn c) Gọi H là giao điểm của AB và M O CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp được đường tròn Suy ra AB là phân giác của \CHD
d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O) CMR: 3 điểm
A, B, K thẳng hàng
6.21 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Từ A và B lần lượt kẻ hai tiếp tuyến
Ax và By với nửa đường tròn Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại C và D
a) CMR: Tứ giác AOM C nội tiếp
b) CMR: CD = CA + DB và \COD = 90◦
c) CMR: AC.BD = R2
d) Khi \BAM = 60◦ Chứng tỏ 4BDM là tam giác đều và tính diện tích của hình quạt tròn chắn cung M B của nửa đường tròn đã cho theo R
6.22 Cho hình vuông ABCD cạnh a, lấy điểm M bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C) Qua
B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K
a) Chứng minh: BHCD là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh: KM ⊥ DB
c) Chứng minh: KC.KD = KH.KB