Do đó để khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất thì C phải là giao điểm của đường tròn tâm O 1 bán kính O1M với đường tròn O trong đó O1 là hình chiếu vu[r]
Trang 1B i 1à Cho tam giác ABC có ba góc nh n n i ti p ọ ộ ế đườ ng tròn (O) Các đườ ng cao AD, BE, CF
c t nhau t i ắ ạ
H v c t à ắ đườ ng tròn (O) l n l ầ ượ ạ t t i M,N,P.
Ch ng minh r ng: ứ ằ
1 T giác CEHD, n i ti p ứ ộ ế
2 B n i m B,C,E,F cùng n m trên m t ố đ ể ằ ộ đườ ng tròn.
3 AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
M à CEH v à CDH l hai góc à đố ủ ứ i c a t giác CEHD , Do ó CEHD l t giác n i ti p đ à ứ ộ ế
2 Theo gi thi t: BE l ả ế à đườ ng cao => BE AC => BEC = 90 0
CF l à đườ ng cao => CF AB => BFC = 90 0
Nh v y E v F cùng nhìn BC d ư ậ à ướ i m t góc 90 ộ 0 => E v F cùng n m trên à ằ đườ ng tròn
ng kính BC.
đườ
V y b n i m B,C,E,F cùng n m trên m t ậ ố đ ể ằ ộ đườ ng tròn.
3 Xét hai tam giác AEH v ADC ta có: à AEH = ADC = 90 0 ; l góc chung  à
=> AEH ADC => AC
AH AD
BE
=> AD.BC = BE.AC.
4 Ta có C 1 = A 1 ( vì cùng ph v i góc ABC) ụ ớ
C 2 = A 1 ( vì l hai góc n i ti p cùng ch n cung BM) à ộ ế ắ
=> C 1 = C 2 => CB l tia phân giác c a góc HCM; l i có CB à ủ ạ HM => CHM cân t i C ạ
=> CB c ng l ũ à đươ ng trung tr c c a HM v y H v M ự ủ ậ à đố ứ i x ng nhau qua BC.
5 Theo ch ng minh trên b n i m B,C,E,F cùng n m trên m t ứ ố đ ể ằ ộ đườ ng tròn
=> C 1 = E 1 ( vì l hai góc n i ti p cùng ch n cung BF) à ộ ế ắ
C ng theo ch ng minh trên CEHD l t giác n i ti p ũ ứ à ứ ộ ế
C 1 = E 2 ( vì l hai góc n i ti p cùng ch n cung HD) à ộ ế ắ
E 1 = E 2 => EB l tia phân giác c a góc FED à ủ
Ch ng minh t ứ ươ ng t ta c ng có FC l tia phân giác c a góc DFE m BE v CF c t nhau t i H ự ũ à ủ à à ắ ạ
do ó H l tâm đ à đườ ng tròn n i ti p tam giác DEF ộ ế
B i 2à Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đườ ng cao AD, BE, c t nhau t i H G i O l tâm ắ ạ ọ à
ng tròn
đườ
ngo i ti p tam giác AHE ạ ế
1 Ch ng minh t giác CEHD n i ti p ứ ứ ộ ế
Trang 2M à CEH v à CDH l hai góc à đố ủ ứ i c a t giác
CEHD , Do ó CEHD l t giác n i ti p đ à ứ ộ ế
2 Theo gi thi t: ả ế BE l à đườ ng cao => BE AC =>
3 Theo gi thi t tam giác ABC cân t i A có AD l ả ế ạ à
ng cao nên c ng l ng trung tuy n
Theo trên DE = 2
1
BC => tam giác DBE cân t i D => ạ E 3 = B 1 (2)
M à B 1 = A 1 ( vì cùng ph v i góc ụ ớ ACB) => E 1 = E 3 => E 1 + E 2 =
E 2 + E 3
M à E 1 + E 2 = BEA = 90 0 => E 2
+ E 3 = 90 0 = OED => DE OE t i ạ E.
V y DE l ti p tuy n c a ậ à ế ế ủ đườ ng tròn (O) t i E ạ
ng tròn k ti p tuy n th ba c t
các ti p tuy n Ax , By l n l ế ế ầ ượ ở t C v à
D Các đườ ng th ng AD v BC c t ẳ à ắ nhau t i N ạ
5.Ch ng minh AB l ti p tuy n c a ứ à ế ế ủ đườ ng tròn đườ ng
3.Theo trên COD = 90 0 nên tam giác COD vuông t i O có OM ạ CD ( OM l ti p tuy n ) à ế ế
áp d ng h th c gi a c nh v ụ ệ ứ ữ ạ à đườ ng cao trong tam giác vuông ta có OM 2 = CM DM,
M OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R à 2 => AC BD = 4
2
AB
.
4 Theo trên COD = 90 0 nên OC OD (1)
Theo tính ch t hai ti p tuy n c t nhau ta có: DB = DM; l i có OM = OB =R => OD l ấ ế ế ắ ạ à trung tr c c a BM => BM ự ủ OD (2) T (1) V (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc v i ừ à ớ OD).
5.G i I l trung i m c a CD ta có I l tâm ọ à đ ể ủ à đườ ng tròn ngo i ti p tam giác COD ạ ế đườ ng kính CD có IO l bán kính à
Theo tính ch t ti p tuy n ta có AC ấ ế ế AB; BD AB => AC // BD => t giác ACDB l hình ứ à thang L i có I l trung i m c a CD; O l trung i m c a AB => IO l ạ à đ ể ủ à đ ể ủ à đườ ng trung bình c a hình thang ACDB ủ
IO // AC , m AC à AB => IO AB t i O => AB l ti p tuy n t i O c a ạ à ế ế ạ ủ đườ ng tròn
ng kính CD
đườ
Trang 36 Theo trên AC // BD => BD
AC BN
CN
, m CA = CM; DB = DM nên suy ra à DM
CM BN
nh nh t , m CD nh nh t khi CD l kho ng cách gi Ax v By t c l CD vuông góc v i Ax ỏ ấ à ỏ ấ à ả ữ à ứ à ớ
v By Khi ó CD // AB => M ph i l trung i m c a cung AB à đ ả à đ ể ủ
B i 4à Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I l tâm à đườ ng tròn n i ti p, K l tâm ộ ế à đườ ng tròn
b ng ti p góc à ế
A , O l trung i m c a IK à đ ể ủ
1 Ch ng minh B, C, I, K cùng n m trên m t ứ ằ ộ đườ ng tròn.
2 Ch ng minh AC l ti p tuy n c a ứ à ế ế ủ đườ ng tròn (O).
3 Tính bán kính đườ ng tròn (O) Bi t AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm ế
L i gi i:ờ ả (HD)
1 Vì I l tâm à đườ ng tròn n i ti p, K l tâm ộ ế à đườ ng tròn b ng ti p góc A nên BI v à ế à
BK l hai tia phân giác c a hai góc k bù à ủ ề đỉ nh B
I 1 = ICO (3) ( vì tam giác OIC cân t i O) ạ
T (1), (2) , (3) => ừ C 1 + ICO = 90 0 hay AC OC V y AC l ti p tuy n c a ậ à ế ế ủ đườ ng tròn (O).
3 T gi thi t AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm ừ ả ế
AH 2 = AC 2 HC– 2 => AH = 20 2 122 = 16 ( cm)
CH 2 = AH.OH => OH = 16
122 2
3 Ch ng minh OI.OM = R ứ 2 ; OI IM = IA 2
4 Ch ng minh OAHB l hình thoi ứ à
Trang 4V dây cung) => à OKM = 90 0 Theo tính ch t ti p tuy n ta có ấ ế ế OAM = 90 0 ; OBM = 90 0 nh ư
v y K, A, B cùng nhìn OM d ậ ướ i m t góc 90 ộ 0 nên cùng n m trên ằ đườ ng tròn đườ ng kính OM
=> T giác OAHB l hình bình h nh; l i có OA = OB (=R) => OAHB l hình thoi ứ à à ạ à
5 Theo trên OAHB l hình thoi => OH à AB; c ng theo trên OM ũ AB => O, H, M th ng ẳ
h ng( Vì qua O ch có m t à ỉ ộ đườ ng th ng vuông góc v i AB) ẳ ớ
6 (HD) Theo trên OAHB l hình thoi => AH = AO = R V y khi M di à ậ độ ng trên d thì H c ng di ũ
ng nh ng luôn cách A c nh m t kho ng b ng R Do ó qu tích c a i m H khi M di
chuy n trên ể đườ ng th ng d l n a ẳ à ử đườ ng tròn tâm A bán kính AH = R
B i 6à Cho tam giác ABC vuông A, ở đườ ng cao AH V ẽ đườ ng tròn tâm A bán kính AH G i ọ
HD l à đườ ng kính c a ủ đườ ng tròn (A; AH) Ti p tuy n c a ế ế ủ đườ ng tròn t i D c t CA E ạ ắ ở
1 Ch ng minh tam giác BEC cân ứ
2 G i I l hình chi u c a A trên BE, Ch ng minh r ng AI = ọ à ế ủ ứ ằ
Vì AB CE (gt), do ó AB v a l đ ừ à đườ ng cao v a l ừ à đườ ng trung
tuy n c a ế ủ BEC => BEC l tam giác cân => à B 1 = B 2
2 Hai tam giác vuông ABI v ABH có c nh huy n AB chung, à ạ ề B 1 = B 2 => AHB = AIB => AI =
cho AP > R, t P k ti p tuy n ti p xúc v i (O) t i M ừ ẻ ế ế ế ớ ạ
1 Ch ng minh r ng t giác APMO n i ti p ứ ằ ứ ộ ế đượ c
m t ộ đườ ng tròn.
2 Ch ng minh BM // OP ứ
3 Đườ ng th ng vuông góc v i AB ẳ ớ ở O c t tia BM t i N ắ ạ
Ch ng minh t giác OBNP l hình bình h nh ứ ứ à à
(1) OP l tia phân giác à
AOM ( t/c hai ti p tuy n c t nhau ) => ế ế ắ AOP = 2
AOM
(2)
T (1) v (2) => ừ à ABM = AOP (3)
M à ABM v à AOP l hai góc à đồ ng v nên suy ra BM // OP (4) ị
3.Xét hai tam giác AOP v OBN ta có : à PAO=90 0 (vì PA l ti p tuy n ); à ế ế NOB = 90 0 (gt NOAB).
=> PAO = NOB = 90 0 ; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5)
T (4) v (5) => OBNP l hình bình h nh ( vì có hai c nh ừ à à à ạ đố i song song v b ng nhau) à ằ
4 T giác OBNP l hình bình h nh => PN // OB hay PJ // AB, m ON ứ à à à AB => ON PJ
Ta c ng có PM ũ OJ ( PM l ti p tuy n ), m ON v PM c t nhau t i I nên I l tr c tâm tam à ế ế à à ắ ạ à ự
giác POJ (6)
D th y t giác AONP l hình ch nh t vì có ễ ấ ứ à ữ ậ PAO = AON = ONP = 90 0 => K l trung à
i m c a PO ( t/c ng chéo hình ch nh t) (6)
AONP l hình ch nh t => à ữ ậ APO = NOP ( so le) (7)
Theo t/c hai ti p tuy n c t nhau Ta có PO l tia phân giác ế ế ắ à APM => APO = MPO (8).
Trang 5T (7) v (8) => ừ à IPO cân t i I có IK l trung tuy n ông th i l ạ à ế đ ờ à đườ ng cao => IK PO (9)
3) Ch ng minh BAF l tam giác cân ứ à
4) Ch ng minh r ng : T giác AKFH l hình thoi ứ ằ ứ à
5) Xác đị nh v trí M ị để ứ t giác AKFI n i ti p ộ ế đượ c m t ộ
=> KMF + KEF = 180 0 M à KMF v à KEF l hai góc à
i c a t giác EFMK do ó EFMK l t giác n i ti p.
2. Ta có IAB = 90 0 ( vì AI l ti p tuy n ) => à ế ế AIB vuông t i A có AM ạ IB ( theo trên)
áp d ng h th c gi a c nh v ụ ệ ứ ữ ạ à đườ ng cao => AI 2 = IM IB.
3. Theo gi thi t AE l tia phân giác góc IAM => ả ế à IAE = MAE => AE = ME (lí do
)
……
=> ABE =MBE ( hai góc n i ti p ch n hai cung b ng nhau) => BE l tia phân giác góc ABF ộ ế ắ ằ à (1)
Theo trên ta có AEB = 90 0 => BE AF hay BE l à đườ ng cao c a tam giác ABF (2) ủ
T (1) v (2) => BAF l tam giác cân t i B ừ à à ạ
4. BAF l tam giác cân t i B có BE l à ạ à đườ ng cao nên đồ ng th i l ờ à đươ ng trung tuy n => ế
AKFI l hình thang cân khi M l trung i m c a cung AB à à đ ể ủ
Th t v y: M l trung i m c a cung AB => ậ ậ à đ ể ủ ABM = MAI = 45 0 (t/c góc n i ti p ) (7) ộ ế
Tam giác ABI vuông t i A có ạ ABI = 45 0 => AIB = 45 0 (8)
T (7) v (8) => ừ à IAK = AIF = 45 0 => AKFI l hình thang cân (hình thang có hai góc áy à đ
b ng nhau) ằ
V y khi M l trung i m c a cung AB thì t giác AKFI n i ti p ậ à đ ể ủ ứ ộ ế đượ c m t ộ đườ ng tròn.
B i 9à Cho n a ử đườ ng tròn (O; R) đườ ng kính AB K ti p tuy n Bx v l y hai i m C v D ẻ ế ế à ấ đ ể à thu c n a ộ ử đườ ng tròn Các tia AC v AD c t Bx l n l à ắ ầ ượ ở t E, F (F gi a B v E) ở ữ à
1 Ch ng minh AC AE không ứ đổ i.
ABE = 90 0 ( Bx l ti p tuy n ) => tam giác ABE vuông t i B có BC à ế ế ạ
l à đườ ng cao => AC AE = AB 2 (h th c gi a c nh v ệ ứ ữ ạ à đườ ng cao ),
m AB l à à đườ ng kính nên AB = 2R không đổ i do ó AC AE không đ
i.
đổ
2. ADB có ADB = 90 0 ( n i ti p ch n n a ộ ế ắ ử đườ ng tròn ).
=> ABD + BAD = 90 0 (vì t ng ba góc c a m t tam giác b ng ổ ủ ộ ằ
Trang 63.T giác ACDB n i ti p (O) => ứ ộ ế ABD + ACD = 180 0
ECD + ACD = 180 0 ( Vì l hai góc k bù) => à ề ECD = ABD
( cùng bù v i ớ ACD).
Theo trên ABD = DFB => ECD = DFB M à EFD + DFB =
180 0 ( Vì l hai góc k bù) nên suy ra à ề ECD + EFD = 180 0 , m t ặ
khác ECD v à EFD l hai góc à đố ủ ứ i c a t giác CDFE do ó t giác đ ứ
CEFD l t giác n i ti p à ứ ộ ế
B i 10à Cho đườ ng tròn tâm O đườ ng kính AB v i m M b t kì trên à đ ể ấ
n a ử đườ ng tròn sao cho AM < MB G i M l i m ọ ’ à đ ể đố ứ i x ng c a M qua ủ
AB v S l giao i m c a hai tia BM, M A G i P l chân à à đ ể ủ ’ ọ à đườ ng
vuông góc t S ừ đế n AB.
1.G i S l giao i m c a MA v SP Ch ng minh r ng PS M cân ọ ’ à đ ể ủ à ứ ằ ∆ ’
2.Ch ng minh PM l ti p tuy n c a ứ à ế ế ủ đườ ng tròn
L i gi i: ờ ả
1 Ta có SP AB (gt) => SPA = 90 0 ; AMB = 90 0 ( n i ti p ch n n a ộ ế ắ ử
ng tròn ) =>
đườ AMS = 90 0 Nh v y P v M cùng nhìn AS d ư ậ à ướ i
m t góc b ng 90 ộ ằ 0 nên cùng n m trên ằ đườ ng tròn đườ ng kính AS.
V y b n i m A, M, S, P cùng n m trên m t ậ ố đ ể ằ ộ đườ ng tròn
2 Vì M ’đố ứ i x ng M qua AB m M n m trên à ằ đườ ng tròn nên M ’
c ng n m trên ũ ằ đườ ng tròn => hai cung AM v AM có s o b ng à ’ ố đ ằ
Tam giác PMS cân t i P => ’ ạ
S’ 1 = M 1 (4) Tam giác OBM cân t i O ( vì ạ
BD
L i gi i: ờ ả
1 (HD) Theo t/c hai ti p tuy n c t nhau ta có AD = AF => tam giác ế ế ắ
ADF cân t i A => ạ ADF = AFD < 90 0 => s cung DF < 180 đ 0 => DEF <
90 0 ( vì góc DEF n i ti p ch n cung DE) ộ ế ắ
Ch ng minh t ứ ươ ng t ta có ự DFE < 90 0 ; EDF < 90 0 Nh v y tam giác ư ậ
4 Xét hai tam giác BDM v CBF Ta có à DBM = BCF ( hai góc áy c a tam giác cân) đ ủ
BDM = BFD (n i ti p cùng ch n cung DI); ộ ế ắ CBF = BFD (vì so le) => BDM = CBF
Trang 7=> BDM CBF => CF
BM CB
Xét hai tam giác OMC v MOP ta có à MOC = OMP = 90 0 ; OPM = OCM => CMO =
POM l i có MO l c nh chung => ạ à ạ OMC = MOP => OC = MP (1)
Theo gi thi t Ta có CD ả ế AB; PM AB => CO//PM (2).
T (1) v (2) => T giác CMPO l hình bình h nh ừ à ứ à à
3 Xét hai tam giác OMC v NDC ta có à MOC = 90 0 ( gt CD AB); DNC = 90 0 (n i ti p ch n ộ ế ắ
n a ử đườ ng tròn ) => MOC =DNC = 90 0 l i có ạ C l góc chung => à OMC NDC
=>
CD CN => CM CN = CO.CD m CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R à 2 không đổ i =>
CM.CN =2R 2 không đổ i hay tích CM CN không ph thu c v o v trí c a i m M ụ ộ à ị ủ đ ể
4 ( HD) D th y ễ ấ OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 90 0 => P ch y trên ạ đườ ng th ng c ẳ ố đị nh vuông góc v i CD t i D ớ ạ
Vì M ch ch y trên o n th ng AB nên P ch ch y trên do n th ng A B song song v b ng ỉ ạ đ ạ ẳ ỉ ạ ạ ẳ ’ ’ à ằ AB.
B i 13à Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), ở đườ ng cao AH Trên n a m t ph ng b BC ử ặ ẳ ờ
ch a i n A , V n a ứ đ ể ẽ ử đườ ng tròn đườ ng kính BH c t AB t i E, N a ắ ạ ử đườ ng tròn đườ ng kính HC c t AC t i F ắ ạ
1 Ch ng minh AFHE l hình ch nh t ứ à ữ ậ
2 BEFC l t giác n i ti p à ứ ộ ế
3 AE AB = AF AC.
4 Ch ng minh EF l ti p tuy n chung c a hai n a ứ à ế ế ủ ử đườ ng tròn
đườ F 1 =H 1 (n i ti p ch n cung AE) Theo gi ộ ế ắ ả
thi t AH ế BC nên AH l ti p tuy n chung c a hai n a à ế ế ủ ử đườ ng
tròn (O 1 ) v (O à 2 )
=> B 1 = H 1 (hai góc n i ti p cùng ch n cung HE) => ộ ế ắ B 1 =
F 1 => EBC+EFC = AFE + EFC m à AFE + EFC =
180 0 (vì l hai góc k bù) => à ề EBC+EFC = 180 0 m t khác ặ EBC v à EFC l hai góc à đố i
c a t giác BEFC do ó BEFC ủ ứ đ
l t giác n i ti p à ứ ộ ế Xét hai tam giác AEF v ACB ta à
có A = 90 0 l góc chung; à AFE = ABC ( theo Ch ng minh trên) ứ
=> AEF ACB =>
ACAB =>
AE AB = AF AC.
HD cách 2 : Tam giác AHB vuông
t i H có HE ạ AB => AH 2 = AE.AB (*)
Tam giác AHC vuông
t i H có HF ạ AC => AH 2 = AF.AC (**)
T (*) v (**) => AE ừ à
AB = AF AC
Trang 84 T giác AFHE l hình ch nh t => IE = EH => ứ à ữ ậ IEH cân t i I => ạ
Ch ng minh t ứ ươ ng t ta c ng có O ự ũ 2 F EF V y EF l ti p ậ à ế
tuy n chung c a hai n a ế ủ ử đườ ng tròn
B i 14à Cho i m C thu c o n th ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = đ ể ộ đ ạ ẳ
40 Cm V v m t phía c a AB các n a ẽ ề ộ ủ ử đườ ng tròn có đườ ng kính
theo th t l AB, AC, CB v có tâm theo th t l O, I, K ứ ự à à ứ ự à
AMC = 90 0 ( n i ti p ch n n c ộ ế ắ ử đườ ng tròn tâm I) => EMC = 90 0 (vì l hai góc k bù).(2) à ề
AEB = 90 0 (n i ti p ch n n a ộ ế ắ ử đườ ng tròn tâm O) hay MEN = 90 0 (3)
T (1), (2), (3) => t giác CMEN l hình ch nh t => EC = MN (tính ch t ừ ứ à ữ ậ ấ đườ ng chéo hình ch ữ
Ch ng minh t ứ ươ ng t ta c ng có MN l ti p tuy n c a (I) t i M, ự ũ à ế ế ủ ạ
V y MN l ti p tuy n chung c a các n a ậ à ế ế ủ ử đườ ng tròn (I), (K).
3 Ta có AEB = 90 0 (n i ti p ch n n c ộ ế ắ ử đườ ng tròn tâm O) => AEB vuông t i A có EC ạ AB (gt)
=> EC 2 = AC BC EC 2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm Theo trên EC = MN => MN = 20 cm.
1 Ch ng minh ABCD l t giác n i ti p ứ à ứ ộ ế
2 Ch ng minh CA l tia phân giác c a góc SCB ứ à ủ
3 G i E l giao i m c a BC v i ọ à đ ể ủ ớ đườ ng tròn (O) Ch ng minh r ng các ứ ằ đườ ng th ng ẳ
BA, EM, CD đồ ng quy.
4 Ch ng minh DM l tia phân giác c a góc ADE ứ à ủ
5 Ch ng minh i m M l tâm ứ đ ể à đườ ng tròn n i ti p tam giác ADE ộ ế
L i gi i: ờ ả
Trang 9
1 Ta có CAB = 90 0 ( vì tam giác ABC vuông t i A); ạ MDC = 90 0 ( góc n i ti p ch n n a ộ ế ắ ử
ng tròn ) =>
đườ CDB = 90 0 nh v y D v A cùng nhìn BC d ư ậ à ướ i m t góc b ng 90 ộ ằ 0 nên A và
D cùng n m trên ằ đườ ng tròn đườ ng kính BC => ABCD l t giác n i ti p à ứ ộ ế
2 ABCD l t giác n i ti p => à ứ ộ ế D 1 = C 3 ( n i ti p cùng ch n cung AB) ộ ế ắ
D 1 = C 3 => SM EM => C
2 = C 3 (hai góc n i ti p ộ ế đườ ng tròn (O) ch n hai cung b ng ắ ằ nhau)
=> CA l tia phân giác c a góc SCB à ủ
3 Xét CMB Ta có BACM; CD BM; ME BC nh v y BA, EM, CD l ba ư ậ à đườ ng cao c a ủ tam giác CMB nên BA, EM, CD đồ ng quy.
4 Theo trên Ta có SM EM => D
1 = D 2 => DM l tia phân giác c a góc ADE.(1) à ủ
5 Ta có MEC = 90 0 (n i ti p ch n n a ộ ế ắ ử đườ ng tròn (O)) => MEB = 90 0
T giác AMEB có ứ MAB = 90 0 ; MEB = 90 0 => MAB + MEB = 180 0 m ây l hai góc à đ à đố i nên t giác AMEB n i ti p m t ứ ộ ế ộ đườ ng tròn => A 2 = B 2
T giác ABCD l t giác n i ti p => ứ à ứ ộ ế A 1 = B 2 ( n i ti p cùng ch n cung CD) ộ ế ắ
=> A 1 = A 2 => AM l tia phân giác c a góc DAE (2) à ủ
T (1) v (2) Ta có M l tâm ừ à à đườ ng tròn n i ti p tam giác ADE ộ ế
TH2 (Hình b)
Câu 2 : ABC = CME (cùng ph ụ ACB); ABC = CDS (cùng bù ADC) => CME = CDS
=> CE CS SM EM => SCM = ECM => CA l tia phân giác c a góc SCB. à ủ
B i 16à Cho tam giác ABC vuông A.v m t i m D n m gi a A v B ở à ộ đ ể ằ ữ à Đườ ng tròn đườ ng kính
BD c t BC t i E Các ắ ạ đườ ng th ẳng CD, AE l n l ầ ượ ắ đườ t c t ng tròn t i F, G ạ
Ch ng minh : ứ
1 Tam giác ABC đồ ng d ng v i tam giác EBD ạ ớ
2 T giác ADEC v AFBC n i ti p ứ à ộ ế
3 AC // FG.
4 Các đườ ng th ng AC, DE, FB ẳ đồ ng quy.
L i gi i: ờ ả
1 Xét hai tam giác ABC v EDB Ta có à BAC = 90 0 ( vì tam giác ABC
vuông t i A); ạ DEB = 90 0 ( góc n i ti p ch n n a ộ ế ắ ử đườ ng tròn )
=> DEB = BAC = 90 0 ; l i có ạ ABC l góc chung => à DEB CAB
2 Theo trên DEB = 90 0 => DEC = 90 0 (vì hai góc k bù); ề BAC = 90 0
( vì ABC vuông t i A) hay ạ DAC = 90 0 => DEC + DAC = 180 0 m ây à đ
l hai góc à đố i nên ADEC l t giác n i ti p à ứ ộ ế
* BAC = 90 0 ( vì tam giác ABC vuông t i A); ạ DFB = 90 0 ( góc n i ti p ch n n a ộ ế ắ ử đườ ng tròn ) hay BFC = 90 0 nh v y F v A cùng nhìn BC d ư ậ à ướ i m t góc b ng 90 ộ ằ 0 nên A v F cùng à
n m trên ằ đườ ng tròn đườ ng kính BC => AFBC l t giác n i ti p à ứ ộ ế
3 Theo trên ADEC l t giác n i ti p => à ứ ộ ế E 1 = C 1 l i có ạ E 1 = F 1 => F 1 = C 1 m ây l hai góc à đ à
so le trong nên suy ra AC // FG.
4 (HD) D th y CA, DE, BF l ba ễ ấ à đườ ng cao c a tam giác DBC nên CA, DE, BF ủ đồ ng quy t i S ạ
B i 17.à Cho tam giác đề u ABC có đườ ng cao l AH Trên c nh BC l y i m M b t kì ( M không à ạ ấ đ ể ấ trùng B C, H ) ; t M k MP, MQ vuông góc v i các c nh AB AC ừ ẻ ớ ạ
1 Ch ng minh APMQ l t giác n i ti p v hãy xác ứ à ứ ộ ế à đị nh tâm O c a ủ đườ ng tròn ngo i ạ
* Vì AM l à đườ ng kính c a ủ đườ ng tròn ngo i ti p t giác ạ ế ứ
APMQ tâm O c a ủ đườ ng tròn ngo i ti p t giác APMQ l ạ ế ứ à
Trang 10Ta có S ABM + S ACM = S ABC =>
2BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH
M AB = BC = CA (vì tam giác ABC à đề u) => MP + MQ = AH.
3 Tam giác ABC có AH l à đườ ng cao nên c ng l ũ à đườ ng phân giác => HAP = HAQ =>
1 Ch ng minh MCID l t giác n i ti p ứ à ứ ộ ế
2 Ch ng minh các ứ đườ ng th ng AD, BC, MH ẳ đồ ng quy t i I ạ
3 G i K l tâm ọ à đườ ng tròn ngo i ti p t giác MCID, Ch ng minh KCOH l t giác n i ti p ạ ế ứ ứ à ứ ộ ế
=> MCI + MDI = 180 0 m ây l hai góc à đ à đố ủ ứ i c a t giác
MCID nên MCID l t giác n i ti p à ứ ộ ế
2 Theo trên Ta có BC MA; AD MB nên BC v AD l à à hai đườ ng cao c a tam giác MAB m BC v AD c t nhau t i I ủ à à ắ ạ
nên I l tr c tâm c a tam giác MAB Theo gi thi t thì MH à ự ủ ả ế
AB nên MH c ng l ũ à đườ ng cao c a tam giác MAB => AD, BC, ủ
Xét t giác KCOH Ta có ứ OHK = 90 0 ; OCK = 90 0 => OHK + OCK = 180 0 m à OHK v à
OCK l hai góc à đố i nên KCOH l t giác n i ti p à ứ ộ ế
B i 19.à Cho đườ ng tròn (O) đườ ng kính AC Trên bán kính OC l y i m B tu ý (B khác O, ấ đ ể ỳ
C ) G i M l trung i m c a o n AB Qua M k dây cung DE vuông góc v i AB N i CD, K ọ à đ ể ủ đ ạ ẻ ớ ố ẻ
BI vuông góc v i CD ớ
1 Ch ng minh t giác BMDI n i ti p ứ ứ ộ ế
2 Ch ng minh t giác ADBE l hình thoi ứ ứ à
DE (quan h ệ đườ ng kính v dây à cung)
Trang 11=> T giác ADBE l hình thoi vì có hai ứ à đườ ng chéo vuông góc v i nhau t i trung i m c a ớ ạ đ ể ủ
m i ỗ đườ ng
3 ADC = 90 0 ( n i ti p ch n n a ộ ế ắ ử đườ ng tròn ) => AD DC; theo trên BI DC => BI // AD (1)
4 Theo gi thi t ADBE l hình thoi => EB // AD (2) ả ế à
T (1) v (2) => I, B, E th ng h ng (vì qua B ch có m t ừ à ẳ à ỉ ộ đườ ng th ng song song v i AD m ẳ ớ à thôi.)
5 I, B, E th ng h ng nên tam giác IDE vuông t i I => IM l trung tuy n ( vì M l trung ẳ à ạ à ế à
3 Theo gi thi t M l trung i m c a AB; DE ả ế à đ ể ủ AB t i ạ
M nên M c ng l trung i m c a DE (quan h ũ à đ ể ủ ệ đườ ng
kính v dây cung) à
=> T giác ADBE l hình thoi vì có hai ứ à đườ ng chéo vuông
góc v i nhau t i trung i m c a m i ớ ạ đ ể ủ ỗ đườ ng
4 ADC = 90 0 ( n i ti p ch n n a ộ ế ắ ử đườ ng tròn ) => AD
DF ; theo trên t giác ADBE l hình thoi ứ à
=> BE // AD m AD à DF nên suy ra BE
DF Theo trên BFC = 90 0 ( n i ti p ch n ộ ế ắ
n a ử đườ ng tròn ) => BF DF m qua B à
ch có m t ỉ ộ đườ ng th ng vuông góc v i ẳ ớ
DF do o B, E, F th ng h ng đ ẳ à Theo trên DF BE; BM DE m DF à
v BM c t nhau t i C nên C l tr c tâm à ắ ạ à ự
c a tam giác BDE ủ
=> EC c ng l ũ à đườ ng cao => EC BD; theo trên CGBD => E,C,G th ng h ng ẳ à
V y DF, EG, AB ậ đồ ng quy Theo trên DF BE => DEF vuông t i ạ
F có FM l trung tuy n (vì M l trung à ế à
=> MDF cân t i M => ạ D 1 = F 1
O BF cân t i O ( vì O B v O F cùng l ’ ạ ’ ’ à ’ à bán kính ) => F 3 = B 1 m à B 1 = D 1
(Cùng ph v i ụ ớ DEB ) => F 1 = F 3 => F 1
F 2 = F 3 + F 2 M à F 3 + F 2 = BFC = => F 1 + F 2 = 90 0 = MFO hay MF ’
O F t i F => MF l ti p tuy n c a (O ) ’ ạ à ế ế ủ ’
B i 21.à Cho đườ ng tròn (O) đườ ng kính AB
G i I l trung i m c a OA V ọ à đ ể ủ ẽ đườ ng tron tâm I i qua A, trên (I) l y P b t kì, AP c t đ ấ ấ ắ (O) t i Q ạ
Ch ng minh r ng các ứ ằ đườ ng tròn (I) v (O) ti p xúc nhau t i A à ế ạ
2 Ch ng minh IP // OQ ứ
3 Ch ng minh r ng AP = PQ ứ ằ
Trang 124 Xác đị nh v trí c a P ị ủ để tam giác AQB có di n tích l n ệ ớ
nh t ấ
L i gi i: ờ ả
1 Ta có OI = OA IA m OA v IA l n l – à à ầ ượ à t l các bán
kính c a / tròn (O) v ủ đ à đườ ng tròn (I) V y / tròn (O) ậ đ
v à đườ ng tròn (I) ti p xúc nhau t i A ế ạ
3 APO = 90 0 (n i ti p ch n n a ộ ế ắ ử đườ ng tròn ) => OP AQ => OP l à đườ ng cao c a ủ OAQ
m à OAQ cân t i O nên OP l ạ à đườ ng trung tuy n => AP = PQ ế
Th t v y P l trung i m c a cung AO => PI ậ ậ à đ ể ủ AO m theo trên PI // QO => QO à AB t i O => ạ
Q l trung i m c a cung AB v khi ó H trung v i O; OQ l n nh t nên QH l n nh t à đ ể ủ à đ ớ ớ ấ ớ ấ
B i 22.à Cho hình vuông ABCD, i m E thu c c nh BC Qua B k đ ể ộ ạ ẻ đườ ng th ng vuông góc v i ẳ ớ
DE, đườ ng th ng n y c t các ẳ à ắ đườ ng th ng DE v DC theo th t H v K ẳ à ứ ự ở à
4 (HD) Ta luôn có BHD = 900 v BD c à ố đị nh nên khi E chuy n ể độ ng trên c nh BC c ạ ố đị nh thì
H chuy n ể độ ng trên cung BC (E B thì H B; E C thì H C).
B i 23.à Cho tam giác ABC vuông A D ng mi n ngo i tam giác ABC các hình vuông ở ự ở ề à
ABHK, ACDE.
1 Ch ng minh ba i m H, A, D th ng h ng ứ đ ể ẳ à
2 Đườ ng th ng HD c t ẳ ắ đườ ng tròn ngo i ti p tam ạ ế
giác ABC t i F, ch ng minh FBC l tam giác vuông ạ ứ à cân.
3 Cho bi t ế ABC > 45 0 ; g i M l giao i m c a BF ọ à đ ể ủ
v ED, Ch ng minh 5 i m b, k, e, m, c cùng n m à ứ đ ể ằ trên m t ộ đườ ng tròn.
4 Ch ng minh MC l ti p tuy n c a ứ à ế ế ủ đườ ng tròn
ngo i ti p tam giác ABC ạ ế
L i gi i: ờ ả
1 Theo gi thi t ABHK l hình vuông => ả ế à BAH =
45 0
T giác AEDC l hình vuông => ứ à CAD = 45 0 ; tam giác ABC vuông A => ở BAC = 90 0
=> BAH + BAC + CAD = 45 0 + 90 0 + 45 0 = 180 0 => ba i m H, A, D th ng h ng đ ể ẳ à
2 Ta có BFC = 90 0 (n i ti p ch n n a ộ ế ắ ử đườ ng tròn ) nên tam giác BFC vuông t i F (1) ạ
FBC = FAC ( n i ti p cùng ch n cung FC) m theo trên ộ ế ắ à CAD = 45 0 hay FAC = 45 0 (2).
T (1) v (2) suy ra ừ à FBC l tam giác vuông cân t i F à ạ
3 Theo trên BFC = 90 0 => CFM = 90 0 ( vì l hai góc k bù); à ề CDM = 90 0 (t/c hình vuông).
Trang 13=> CFM + CDM = 180 0 m ây l hai góc à đ à đố i nên t giác CDMF n i ti p m t ứ ộ ế ộ đườ ng tròn suy ra CDF = CMF , m à CDF = 45 0 (vì AEDC l hình vuông) => à CMF = 45 0 hay CMB
= 45 0
Ta c ng có ũ CEB = 45 0 (vì AEDC l hình vuông); à BKC = 45 0 (vì ABHK l hình vuông) à
Nh v y K, E, M cùng nhìn BC d ư ậ ướ i m t góc b ng 45 ộ ằ 0 nên cùng n m trên cung ch a góc 45 ằ ứ 0
d ng trên BC => 5 i m b, k, e, m, c cùng n m trên m t ự đ ể ằ ộ đườ ng tròn.
4 CBM có B = 45 0 ; M = 45 0 => BCM =45 0 hay MC BC t i C => MC l ti p tuy n c a ạ à ế ế ủ đườ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC ạ ế
B i 24.à Cho tam giác nh n ABC có ọ B = 45 0 V ẽ đườ ng tròn đườ ng kính AC có tâm O, đườ ng tròn n y c t BA v BC t i D v E à ắ à ạ à
1 Ch ng minh AE = EB ứ
2 G i H l giao i m c a CD v AE, Ch ng minh r ng ọ à đ ể ủ à ứ ằ đườ ng
trung tr c c a o n HE i qua trung i m I c a BH ự ủ đ ạ đ đ ể ủ
3.Ch ng minh OD l ti p tuy n c a ứ à ế ế ủ đườ ng tròn ngo i ti p BDE ạ ế ∆
L i gi i: ờ ả
1 AEC = 90 0 (n i ti p ch n n a ộ ế ắ ử đườ ng tròn )
=> AEB = 90 0 ( vì l hai góc k bù); Theo gi thi t à ề ả ế ABE = 45 0
=> AEB l tam giác vuông cân t i E => EA = EB à ạ
E
D
O
C B
A
2 G i K l trung i m c a HE (1) ; I l trung i m c a HB => IK l ọ à đ ể ủ à đ ể ủ à đườ ng trung bình c a tam ủ giác HBE => IK // BE m à AEC = 90 0 nên BE HE t i E => IK ạ HE t i K (2) ạ
T (1) v (2) => IK l trung tr c c a HE V y trung tr c c a o n HE i qua trung i m I c a BH ừ à à ự ủ ậ ự ủ đ ạ đ đ ể ủ
3 theo trên I thu c trung tr c c a HE => IE = IH m I l trung i m c a BH => IE = IB ộ ự ủ à à đ ể ủ
ADC = 90 0 (n i ti p ch n n a ộ ế ắ ử đườ ng tròn ) => BDH = 90 0 (k bù ề ADC) => tam giác BDH vuông t i D có DI l trung tuy n (do I l trung i m c a BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = ạ à ế à đ ể ủ
IB = ID => I l tâm à đườ ng tròn ngo i ti p tam giác BDE bán kính ID ạ ế
Ta có ODC cân t i O (vì OD v OC l bán kính ) => ạ à à D 1 = C 1 (3)
IBD cân t i I (vì ID v IB l bán kính ) => ạ à à D 2 = B 1 (4)
Theo trên ta có CD v AE l hai à à đườ ng cao c a tam giác ABC => H l tr c tâm c a tam giác ủ à ự ủ ABC => BH c ng l ũ à đườ ng cao c a tam giác ABC => BH ủ AC t i F => ạ AEB có AFB = 90 0
Theo trên ADC có ADC = 90 0 => B 1 = C 1 ( cùng ph ụ BAC) (5).
T (3), (4), (5) => ừ D 1 = D 2 m à D 2 +IDH =BDC = 90 0 => D 1 +IDH = 90 0 = IDO => OD ID
t i D => OD l ti p tuy n c a ạ à ế ế ủ đườ ng tròn ngo i ti p tam giác BDE ạ ế
B i 25.à Cho đườ ng tròn (O), BC l dây b t kì (BC< 2R) K các ti p tuy n v i à ấ ẻ ế ế ớ đườ ng tròn (O)
t i B v C chúng c t nhau t i A Trên cung nh BC l y m t i m M r i k các ạ à ắ ạ ỏ ấ ộ đ ể ồ ẻ đườ ng vuông góc
MI, MH, MK xu ng các c nh t ố ạ ươ ng ng BC, AC, AB G i giao i m c a BM, IK l P; giao i m ứ ọ đ ể ủ à đ ể
2 Theo gi thi t MI ả ế BC => MIB = 90 0 ; MK AB => MKB = 90 0
=> MIB + MKB = 180 0 m ây l hai góc à đ à đố i => t giác BIMK n i ứ ộ
ti p ế
* ( Ch ng minh t giác CIMH n i ti p t ứ ứ ộ ế ươ ng t ự t giác BIMK ) ứ
3 Theo trên t giác BIMK n i ti p => ứ ộ ế KMI + KBI = 180 0 ; t giác ứ
CHMI n i ti p => ộ ế HMI + HCI = 180 0 m à KBI = HCI ( vì tam giác
ABC cân t i A) => ạ KMI = HMI (1).
Theo trên t giác BIMK n i ti p => ứ ộ ế B 1 = I 1 ( n i ti p cùng ch n cung ộ ế ắ
KM); t giác CHMI n i ti p => ứ ộ ế H 1 = C 1 ( n i ti p cùng ch n cung IM) ộ ế ắ
M à B 1 = C 1 ( = 1/2 s đ BM ) => I 1 = H 1 (2).
T (1) v (2) => ừ à MKI MIH =>
MH MI => MI 2 = MH.MK
4 Theo trên ta có I 1 = C 1 ; c ng ch ng minh t ũ ứ ươ ng t ta có ự I 2 = B 2 m à C 1 + B2 +
BMC = 180 0 => I 1 + I 2 + BMC = 180 0 hay PIQ + PMQ = 180 0 m ây l hai góc à đ à đố i =>
t giác PMQI n i ti p => ứ ộ ế Q 1 = I 1 m à I 1 = C 1 => Q 1 = C 1 => PQ // BC ( vì có hai góc
ng v b ng nhau) Theo gi thi t MI
B i 26.à Cho đườ ng tròn (O), đườ ng kính AB = 2R V dây cung CD ẽ AB H G i M l i m ở ọ à đ ể chính gi a c a cung CB, I l giao i m c a CB v OM K l giao i m c a AM v CB Ch ng ữ ủ à đ ể ủ à à đ ể ủ à ứ minh :
Trang 141 AB
AC KB
L i gi i: ờ ả 1 Theo gi thi t M l trung i m c a ả ế à đ ể ủ BC => MB MC
=> CAM = BAM (hai góc n i ti p ch n hai cung b ng nhau) => AK l ộ ế ắ ằ à
tia phân giác c a góc CAB => ủ AB
AC KB
KC
( t/c tia phân giác c a tam giác ) ủ
2 (HD) Theo gi thi t CD ả ế AB => A l trung i m c a à đ ể ủ CD => CMA = DMA => MA l tia à
phân giác c a góc CMD ủ
3 (HD) Theo gi thi t M l trung i m c a ả ế à đ ể ủ BC => OM BC t i I => ạ OIC = 90 0 ; CD AB
t i H => ạ OHC = 90 0 => OIC + OHC = 180 0 m ây l hai góc à đ à đố i => t giác OHCI n i ứ ộ
ti p ế
4 K MJ ẻ AC ta có MJ // BC ( vì cùng vuông góc v i AC) Theo trên OM ớ BC => OM MJ
t i J suy ra MJ l ti p tuy n c a ạ à ế ế ủ đườ ng tròn t i M ạ
B i 27à Cho đườ ng tròn (O) v m t i m A ngo i à ộ đ ể ở à đườ ng tròn Các ti p tuy n v i ế ế ớ đườ ng tròn (O) k t A ti p xúc v i ẻ ừ ế ớ đườ ng tròn (O) t i B v C G i M l i m tu ý trên ạ à ọ à đ ể ỳ đườ ng tròn ( M khác B, C), t M k MH ừ ẻ BC, MK CA, MI AB Ch ng minh : ứ
1 T giác ABOC n i ti p ứ ộ ế 2 BAO = BCO 3 MIH MHK 4 MI.MK =
B i 28à Cho tam giác ABC n i ti p (O) G i H l tr c tâm c a tam giác ABC; E l i m ộ ế ọ à ự ủ à đ ể đố ứ i x ng
c a H qua BC; F l i m ủ à đ ể đố ứ i x ng c a H qua trung i m I c a BC ủ đ ể ủ
1 Ch ng minh t giác BHCF l hình bình h nh ứ ứ à à
2 E, F n m trên ằ đườ ng tròn (O).
3 Ch ng minh t giác BCFE l hình thang cân ứ ứ à
4 G i G l giao i m c a AI v OH Ch ng minh G l tr ng ọ à đ ể ủ à ứ à ọ
tâm c a tam giác ABC ủ